平面向量的运算与几何应用

向量在平面几何中的应用

向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁与一身，向量的双重身份（既是几何对象又是代数运算对象）决定了向量在解决平面几何问题的重要作用.但是初步接触向量，好多学生还不习惯用向量解决几何中常见的判断几何图形形状，证明全等，直线平行、垂直，求线段的长度，夹角等问题.向量是连接代数与几何间的又一座桥梁，它几乎与中学阶段几何内容与部分代数内容都有联系.

利用向量解答平面几何问题的一般步骤是：1.将题设和结论中的有关元素转化为向量形式；2.确定必要的基底向量，并用基地表示其他向量；3.借助于向量的运算解决问题.

共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的直线平行、三点共线、三线共点问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba＝，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．

相关结论：

1.平面上三点ABC、、共线ABBC＝.(向量共线且有公共点才能得出三点共线．)

2.点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点1OPOAOB2＝＋． 3.平面上三点ABC、、共线O为不同于ABC、、的任意一点，OCOAOB＝＋且1.＋＝.

应用一：应用向量知识证明三点共线

例1：如图已知△ABC两边ABAC、的中点分别为MN、，在BN延长线上取点P，使NPBN，在CM延长线上取点Q，使MQCM.

求证：PAQ、、三点共线11,22ANbAMa

解：设,ABaACb，则，

由此可得12BNNPba，12CMMQab，

,()PAANNPPAbaab，

,()AQAMMQAQbaab，

即PAPQ,故有//PAAQ，且它们有公共点A，

所以PAQ、、三点共线.

应用二：应用向量知识解决有关平行的问题

例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形.

向量在平面几何中的应用　

【关键词】高中数学向量平面几　

何运用　【中图分类号】Ｇ【文献标识码】Ａ　【文章编号】０４５０—９８８９（２０１３）１０Ｂ一　

００６４－０２　

向量是高中数学不可缺少的内容，它　

是沟通代数、几何与三角函数的工具。在　平面几何中，向量可以将很多问题代数　化、程序化，体现出数与形的完美结合，新　课标对向量知识的考查也充分体现了综　合运用的特色。在几何中，平面向量在处　

理长度、距离、垂直、平行等问题时占有绝　对的优势，运用向量与数形的转化，可以　大大简化计算，降低某些题目的难度，向　量方法在几何中得到了广泛的运用。本　

文从证明直线平行、求夹角、证明直线垂　直三个方面论述向量在平面几何中的运　

用。　

一、用向量证明直线平行　

直线平行的证明是平面几何中经常　口玉林师范学院附属中学朱文焕　

遇到的问题之一，也是高中数学中的重点　和难点。如果我们直接用平面几何的知　

识来证明直线平行，思路繁杂，步骤繁琐，　向量却可以帮助我们轻松快速地解决问　题。　用向量证明直线与直线平行的一般　思路是：把问题转换为向量平行（共线）的　

充要条件：ｎ∥ｂｃ：ｚａ＝Ａｂ（ｘｆｆ２－ｘｚｙｌ＝０），即只　需证明ａ＝Ａｂ即可。　【例１】如图１，若ＡＢＣＤ是平行四　边形，ＥＦ，／／ＡＢ，ＡＥ与ＢＦ、ＤＥ与ＣＦ分别　相交于Ｊ７、ｒ和　。求证：ＭＮ／／ＡＤ。　

分析：学生遇到此类题目时，通常会　想到通过证明同位角相等来得出两直线　

图１　Ｃ　平行，但是，这一方法的思维过程复杂，导　

致学生很难人手，无法解决问题。我们可　以尝试用向量的方法证明：要证明删∥　ＡＤ，￣Ａ－－Ｙ：Ａ　（Ａ≠ｏ）即可，而　

：　一Ｄ－－ｇ，　：　一蔚，很容易　

得出：　：Ａ。　，蔚：Ａ　蔚，所以，只需　

要证明Ａ　等于Ａ　。至此，问题就变得简单　了，因为很容易看出ＥＦ／ｌＡＢ∥ＤＣ，且　ＡＢ＝ＤＣ，利用三角形相似的原理，很容易　

得出Ａ。＝Ａ：。下面我们一起看解题过程：　证明：‘．’ＥＦｆｆＡＢ　

1

平面向量的概念及线性运算

知识点：

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量

零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

交换律：

a＋b＝b＋a

结合律：

(a＋b)＋c

＝a＋(b＋c)

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λaμa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb

2

3.向量共线的判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．

选择题：

给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )

A．① B．③ C．①③ D．①②

解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．

已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为( )

平面向量及应用

温州八中 林胜杰

向量在数学、物理学以及许多生产实践中有着广泛的应用，通过本章的复习将使我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域，进一步领会数形结合的思想方法，增强我们解决实际问题的能力。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系多项内容的媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。

【考点梳理】

一、考试内容

1．向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。

2．平面向量的坐标表示，线段的定比分点。

3．平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。

4．平移及平移公式。

二、考试要求

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2．掌握向量的加法与减法。

3．掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。

4．了解平面向量基本定理。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

三、考点精析

1．平面向量知识结构

2．向量的概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。

（2）特定大小或特定关系的向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。

（3）表示法

①几何法：画有向线段表示，记为AB或a。

②坐标法：AB=xi+yj=(x,y)；AB=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)