高考数学新题型

数学2024新高考题型
2024年新高考数学题型的变化可以总结如下：
1. 整体结构变化：
- 多选题减少，每题分值提高至6分。

- 填空题和大题数量均有所减少，可能是为了更侧重于综合能力和深度思考的考察。

- 解答题（大题）部分总分为77分，且包含具有较高难度、接近竞赛水平的题目。

2. 广东高考题型调整：
- 数学题型向高考英语靠拢，这意味着可能增加基于语篇理解及应用数学知识解决实际问题的题型。

- 广东省采用与九省联考类似的试卷结构，即保留了单选题、多选题、填空题和解答题的基本构成。

3. 新增或强调的题型：
- 集合的运算
- 四种命题及其关系的理解与运用
- 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明
- 求解涉及充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围
这些信息意味着在备考2024年新高考数学时，学生需要注重提升以下能力：
- 对基础知识的扎实掌握，特别是集合论初步知识、逻辑推理等。

- 灵活运用所学知识解决复杂问题的能力。

- 提高分析解读题意以及将数学知识应用于实际情境的能力。

建议考生密切关注当地教育考试院发布的最新官方通知，并根据新的题型特点及时调整复习策略。

新高考数学题型试卷一、选择题（每题5分，共8小题）1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={xx^2-ax + a - 1 = 0}，若A∩ B = B，则a的值为（）- A. 2.- B. 3.- C. 2或3。

- D. 1或2或3。

解析：- 先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。

- 对于集合B，方程x^2-ax + a - 1 = 0可化为(x - 1)[x-(a - 1)] = 0，解得x = 1或x=a - 1，所以B={1,a - 1}。

- 因为A∩ B = B，所以B⊆ A。

- 当a-1 = 1时，a = 2；当a - 1=2时，a = 3。

所以a的值为2或3，答案选C。

2. 复数z=(1 + i)/(1 - i)的共轭复数是（）- A. i- B. -i- C. 1 - i- D. 1 + i解析：- 先化简z=(1 + i)/(1 - i)，分子分母同时乘以1 + i，得到z=frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)}=frac{1 + 2i+i^2}{2}=(2i)/(2)=i。

- 复数i的共轭复数是-i，所以答案选B。

3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(x,1)，若→a⊥→b，则x的值为（）- A. - 2.- B. 2.- C. -(1)/(2)- D. (1)/(2)解析：- 因为→a⊥→b，根据向量垂直的性质→a·→b=0。

- 又→a=(1,2)，→b=(x,1)，则→a·→b=1× x+2×1 = 0，即x + 2 = 0，解得x=-2，答案选A。

4. 在等差数列{a_n}中，a_3=5，a_7=13，则a_11的值为（）- A. 21.- B. 22.- C. 23.- D. 24.解析：- 根据等差数列的性质：若m,n,p,q∈ N^+，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。

绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。

新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分三种得分变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分，总分15分，解答题变为5题，分值依次为13分、15分、15分、17分、17分。

新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。

多年不变的集合题从单选题的第1题变为填空题，且以往压轴的函数与导数试题在测试卷中安排在解答题的第1题，难度大幅度降低；概率与统计试题也降低了难度，安排在解答题的第2题；在压轴题安排了新情境试题。

这些变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作用。

九省联考新模式的变化，不仅仅体现在题目个数与分值的变化上，其最大的变换在于命题方向与理念的变化，与以往的试题比较，试题的数学味更浓了，试卷没有太多的废话，也没有强加所谓的情景，体现了数学的简洁美，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的思维素养。

试卷的命制体现“多想少算”的理念，从重考查知识回忆向重考查思维过程转变，试卷题目的设置层次递进有序，难度结构合理，中低难度的题目平和清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中规中矩，体现了良好的区分性，可有效的引导考生在学习过程中从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着眼，建构高中数学的知识体系。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．6(1)ax -的展开式中3x 的系数为160，则=a （ ）A. 2B. 2- C. 4D. 4-2．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34564,8S a a a =++=，则96S S =（ ）A ．2B ．73C ．53D ．373．某学校运动会男子100m 决赛中，八名选手的成绩（单位：s ）分别为：13.09，13.15，12.90,13.16，12.96，13.11，x ，13.24，则下列说法错误的是（ ）A ．若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则13.15x =B ．若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则13.15x =C ．若该八名选手成绩的极差为0.34，则12.9013.24x ≤≤D ．若该八名选手成绩的平均数为13.095，则13.15x =4．在ABC 中，π3C =，AB =5AC BC +=，则ABC 的面积为（ ）AB．C．D．5．已知π170,sin sin ,cos cos 21010βααβαβ<<<==，则cos2α=（ ）A ．0B ．725C ．2425D ．16．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为（ ）A ．35B ．2150C ．611D ．347．在平行四边形ABCD 中，24AB AD ==，π3BAD ∠=，E ，H 分别为AB ，CD 的中点，将ADE V 沿直线DE 折起，构成如图所示的四棱锥A BCDE '-，F 为A C '的中点，则下列说法不正确的是（ ）A ．平面//BFH 平面A DE'B ．四棱锥A BCDE '-体积的最大值为3C ．无论如何折叠都无法满足'AD BC ⊥D ．三棱锥A DEH '-表面积的最大值为48．曲线C 是平面内与三个定点()11,0F -，()21,0F 和()30,1F 的距离的和等于.给出下列四个结论：①曲线C 关于x 轴、y 轴均对称；②曲线C 上存在点P ，使得3PF =③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积最大值是1；④曲线C 上存在点P ，使得12F PF ∠为钝角.其中所有正确结论的序号是（ ）A ．②③④B ．②③C ．③④D ．①②③④二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()44cos cos sin f x x x x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．最小正周期为πB ．函数()f x 在区间()π,π-内有6个零点C ．()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．将()f x 的图象向左平移π4个单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在[]0,t 上的最大值为()0g ，则t的最大值为5π610．已知直线()():2110l a x a y +-+-=与圆22:4C x y +=交于点,A B ，点()1,1,P AB 中点为Q ，则（）A ．AB 的最小值为B ．AB 的最大值为4C ．PA PB ⋅为定值D ．存在定点M ，使得MQ 为定值11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，()()210f f =-≠，且对任意,R x y ∈，()()()()()f x y f x f y f x f y ''+=+，则（ ）A ．()112f '=-B ．()60f =C ．20241()1k f k ==∑D ．20241()1k f k '==-∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若复数2023i 12iz =-，则zz =13．已知三个实数a 、b 、c ，当时，且，则的取值范围是 ．14．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数421()2ln 24g x x ax x x x =--+．(1)当1a =时，求()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程；(2)若()0g x '≥，求实数a 的取值范围．16．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合，且其离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求证：MN OP k k ⋅（O 为坐标原点）为定值.17．（15分）如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==.0c >23b a c ≤+2bc a =2a cb-(1)求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；(2)若直线1B C 与平面11ACC A 1B CC A --的正弦值.18．（17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？就餐区域性别南区北区合计男331043女38745合计711788（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为13，23；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为14，14，12．（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；（ⅱ）求第()*n n ∈N天他去甲餐厅用餐的概率np ．附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.63519．（17分）已知定义域为R 的函数()h x 满足：对于任意的x ∈R ，都有()()()2π2πh x h x h =++，则称函数()h x 具有性质P .（1）判断函数()()2,cos f x x g x x ==是否具有性质P ；（直接写出结论）（2）已知函数()()35πsin ,222f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，判断是否存在,ωϕ，使函数()f x 具有性质P ？若存在，求出,ωϕ的值；若不存在，说明理由；（3）设函数()f x 具有性质P ，且在区间[]0,2π上的值域为()()π0,2f f ⎡⎤⎣⎦.函数()()()sin g x f x =，满足()()2πg x g x +=，且在区间()0,2π上有且只有一个零点.求证：()2π2πf =.绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列各式中，属于对数式的是（）A. 2^x = 8B. x^3 = 27C. log_2(4) = 2D. sin(x) = 12. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f'(2) = 4，则a = （）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)4. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限5. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = 2^xB. y = log_2(x)C. y = x^2D. y = -x6. 已知数列{an}满足an = 2an-1 - 1（n ≥ 2），且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^n - 27. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC = （）A. 1/2B. √3/2C. √2/2D. 18. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = x^3在R上单调递增B. 等差数列{an}的公差一定为正数C. 对数函数y = log_2(x)在定义域内单调递增D. 二项式定理中，展开式中第r+1项的系数为C(n,r)9. 若复数z = a + bi（a，b∈R），且|z| = √(a^2 + b^2) = 1，则z的共轭复数是（）A. a - biB. -a - biC. a + biD. -a + bi10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的极值点为（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = -1 或 x = 1二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

新高考数学试卷题型一、选择题（共8小题）1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={x∈ Z - 1≤slant x - 1≤slant2}，则A∩ B=（）- A. {1,2}- B. {1}- C. {2}- D. varnothing- 解析：- 先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。

- 再求解集合B，不等式-1≤slant x - 1≤slant2，移项可得0≤slant x≤slant3，又因为x∈ Z，所以B = {0,1,2,3}。

- 则A∩ B={1,2}，答案为A。

2. 已知i为虚数单位，若复数z=(1 + 2i)/(2 - i)，z的共轭复数为¯z，则z·¯z=（）- A. 1.- B. √(5)- C. 5.- D. (√(5))/(5)- 解析：- 先将复数z=(1 + 2i)/(2 - i)化简，分子分母同时乘以2 + i得：z=((1 + 2i)(2 + i))/((2 - i)(2 + i))=frac{2 + i+4i + 2i^2}{4 - i^2}=(2 + 5i-2)/(4 + 1)=i。

- 共轭复数¯z=-i，则z·¯z=i·(-i)=1，答案为A。

3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(m, - 1)，若→a∥(→a+→b)，则m=（）- A. (1)/(2)- B. -(1)/(2)- C. 3.- D. -3.- 解析：- 先求→a+→b=(1 + m,1)。

- 因为→a∥(→a+→b)，根据两向量平行的坐标表示x_1y_2-x_2y_1=0，这里x_1=1,y_1=2,x_2=1 + m,y_2=1，则1×1-2×(1 + m)=0。

- 即1-2 - 2m=0，解得m=-(1)/(2)，答案为B。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，若$f(1) = 0$，$f(2) = 3$，$f(3) = 6$，则$a+b+c=$A. 0B. 3C. 6D. 92. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，$a_5 = 11$，则该数列的公差$d=$A. 2B. 3C. 4D. 53. 若复数$z$满足$|z - 1| = |z + 1|$，则复数$z$对应的点在A. 虚轴上B. 实轴上C. 第一象限D. 第二象限4. 下列函数中，奇函数是A. $f(x) = x^2 - 1$B. $f(x) = x^3$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = |x|$5. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A + \sin B +\sin C = 2$，则三角形ABC是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不存在6. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f'(1)=$A. 0B. 1C. -1D. -37. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为A. (2,3)B. (3,2)C. (3,-2)D. (-2,3)8. 若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 2$，$a_3 = 8$，则该数列的公比$q=$A. 2B. 4C. 8D. 169. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 1$，$a_n = 100$，则该数列的项数n为A. 50B. 100C. 200D. 50010. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f(x)$的对称中心为A. (0,0)B. (0,1)C. (0,-1)D. 无对称中心二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

高考数学新题型
高考数学新题型包括但不限于以下几种：
1. 三角函数、向量、解三角形：涉及三角函数的画图、性质、三角恒等变换、和与差公式。

同时考察平面向量背景、正弦定理、余弦定理和解三角形背景。

2. 概率与统计：包括古典概型、茎叶图、直方图、回归方程等，以及概率分布、期望、方差、排列组合等知识点。

这些题型贴近生活、贴近实际，主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件的概率计算公式。

3. 立体几何：主要涉及平行、垂直、角等知识点，可以利用传统的几何法求解，也可以建立空间直角坐标系，利用法向量等。

4. 数列：等差数列、等比数列、递推数列是考查的热点，主要涉及数列通项、数列前n项的和以及二者之间的关系，还会考察错位相减法、裂项求和法等应用题。

5. 圆锥曲线（椭圆）与圆：以椭圆为主线，强调圆锥曲线与直线的位置关系，突出韦达定理或差值法。

同时考察圆的方程和圆与直线的位置关系，注重椭圆与圆、椭圆与抛物线等的组合题。

6. 函数、导数与不等式：包括三次函数、指数函数、对数函数及其复合函数。

主要考查函数的单调性、求函数的最值（极值）、求曲线的切线方程等知识点，并涉及参数的取值范围、根的分布的探求以及参数的分类讨论和代数推理等题型。

此外，不等式和解析几何也是高考数学常考的题型。

高考数学新题型主要考查学生的数学基础知识和应用能力，注重知识的交汇性和综合运用。

学生在备考时需要全面掌握基础知识，熟悉各种题型和解题方法，同时注重思维能力和创新能力的提高。

2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。

2024新高考数学新题型试卷题目：已知函数f(x) = (1)/(3)x^3-ax^2+bx + 1，其中a,b∈ R，且曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y = - 2x+(5)/(3)。

求a，b的值；求函数f(x)在区间[ - 1,2]上的最大值和最小值。

解析：1. 首先对函数f(x)=(1)/(3)x^3-ax^2+bx + 1求导：- 根据求导公式(X^n)^′=nX^n - 1，可得f^′(x)=x^2-2ax + b。

2. 因为曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-2x+(5)/(3)，所以有：- 先求f(1)和f^′(1)：- f(1)=(1)/(3)-a + b+1=(4)/(3)-a + b。

- f^′(1)=1 - 2a + b。

- 由于切线方程y=-2x+(5)/(3)的斜率为-2，所以f^′(1)=1 - 2a + b=-2。

- 又因为点(1,f(1))在切线上，所以f(1)=(4)/(3)-a + b=-2×1+(5)/(3)=- (1)/(3)。

3. 联立方程求解：- 由-得：((4)/(3)-a + b)-(1 - 2a + b)=-(1)/(3)-(-2)。

- 展开得(4)/(3)-a + b - 1+2a - b=(5)/(3)。

- 化简得a=(4)/(3)。

- 将a = (4)/(3)代入得：1-2×(4)/(3)+b=-2。

- 即1-(8)/(3)+b=-2。

- 解得b = -(1)/(3)。

1. 由知a=(4)/(3)，b = -(1)/(3)，所以f(x)=(1)/(3)x^3-(4)/(3)x^2-(1)/(3)x + 1，f^′(x)=x^2-(8)/(3)x-(1)/(3)。

2. 令f^′(x)=0，即x^2-(8)/(3)x-(1)/(3)=0，对于一元二次方程Ax^2+Bx + C = 0（这里A = 1，B=-(8)/(3)，C = -(1)/(3)），根据求根公式x=frac{-B±√(B^2)-4AC}{2A}，可得：- x=(frac{8)/(3)±√((-frac{8){3})^2-4×1×(-(1)/(3))}}{2×1}=(frac{8)/(3)±√(frac{64){9}+(4)/(9)}}{2}=(frac{8)/(3)±√(frac{68){9}}}{2} =(frac{8)/(3)±(2√(17))/(3)}{2}=(4±√(17))/(3)。

2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（6）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________当0d >时，()101n a +的取值范围为()10,+∞.2．[2024届·河南·模拟考试联考]在空间解析几何中,可以定义曲面（含平面）S 的方程,若曲面S 和三元方程(),,0F x y z =之间满足：①曲面S 上任意一点的坐标均为三元方程(),,0F x y z =的解;②以三元方程(),,0F x y z =的任意解()000,,x y z 为坐标的点均在曲面S 上,则称曲面S 的方程为(),,0F x y z =,方程(),,0F x y z =的曲面为S .已知空间中某单叶双曲面C 的方程为2221114x y z +-=,双曲面C 可视为平面xOz 中某双曲线的一支绕z 轴旋转一周所得的旋转面,已知直线l 过C 上一点()1,1,2Q ,且以()2,0,4d =--为方向向量.（1）指出xOy 平面截曲面C 所得交线是什么曲线,并说明理由;（2）证明：直线l 在曲面C 上;（3）若过曲面C 上任意一点,有且仅有两条直线,使得它们均在曲面C 上.设直线l '在曲面C 上,且过点2)T ,求异面直线l 与l '所成角的余弦值.答案：（1）以原点O 为圆心,1为半径的圆（2）点P 的坐标总是满足曲面C 的方程,从而直线l 在曲面C 上（3）810+解析：（1）根据坐标平面xOy 内点的坐标的特征可知,坐标平面xOy 的方程为0z =,已知单叶双曲面C 的方程为2221114x y z +-=,当0z =时,xOy 平面截曲面C 所得交线上的点(,,0)M x y 满足221x y +=,从而xOy 平面截曲面C 所得交线是平面xOy 上,以原点O 为圆心,1为半径的圆.（2）设()000,,P x y z 是直线l 上任意一点,由(2,0,4)d =--,QP 均为直线l 的方向向量,得//QP d ,从而存在实数λ,使得QP d λ=,即()0001,1,2(2,0,4)x y z λ---=--,则00012,10,24,x y z λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩解得00012,1,24,x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以点P 的坐标为(12,1,24)λλ--,于是22222(12)1(24)(12)1(12)1114λλλλ--+-=-+--=,因此点P 的坐标总是满足曲面C 的方程,从而直线l 在曲面C 上.（3）直线l '在曲面C 上,且过点2)T ,设()111,,M x y z 是直线l '上任意一点,直线l '的方向向量为(,,)d a b c '=,由d ',TM均为直线l '的方向向量,得//TM d ' ,从而存在实数t ,使得TM td '=,即()111,2(,,)x y z t a b c --=,则111,,2,x at y bt z ct ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得111,,2,x at y bt z ct ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩所以点M的坐标为,,2)at bt ct ++,因为点M 在曲面C 上,所以222(2)()(2)1114at bt ct +++-=,整理得2222)04c a b t c t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭,因为M 为直线l '任意一点,所以对任意的t ,有2222)04c a b t c t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭恒成立,所以22204c a b +-=,且0c -=,所以c =,b a =或c =,b a =-,不妨取a =,则4c =-,b =或4c =-,b =,所以(4)d '=-,或(4)d '=-,又直线l 的方向向量为(2,0,4)d =--,所以异面直线l 与l '所成角的余弦值为810||d d d d ''⋅+==.3．[2024届·贵州黔南州·二模]1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元n 次多项式方程在复数域上至少有一根（1n ≥）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根（重根按重数计算）.对于n 次复系数多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++⋅⋅⋅++，其中1n a -，2n a -，0,a ⋅⋅⋅∈C ，若方程()0f x =有n 个复根1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，则有如下的高阶韦达定理：()1121311201ni n i ni j n i j nni j k n i j k n n n x a x x a x x x a x x x a-=-≤<≤-≤<<≤⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪⎪⋅⋅⋅=-⎩∑∑∑(1)在复数域内解方程240x +=；(2)若三次方程320x ax bx c +++=的三个根分别是11i x =-，21i x =+，32x =（i 为虚数单位），求a ，b ，c 的值；(3)在4n ≥的多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++⋅⋅⋅++中，已知11n a -=-，21a n a =-，0a a =，a 为非零实数，且方程()0f x =的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含n 的式子表示）.答案：(1)2i x =±；(2)4a =，6b =，4c =-；(3)121111n x x x n==⋅⋅⋅==解析：（1）由240x +=可得24x =-，解得2i x =±.（2）由题意可知：123122313123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，将11i x =-，21i x =+，32x =代入可得464a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以4a =，6b =，4c =-.（3）设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅ ，()12,,,n b b b b =⋅⋅⋅，1212,,,,,,,0n n a a a b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，因为a b a b ⋅≤ ，当且仅当//a b时，等号成立，可得1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+≤，即1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+≤，当且仅当1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=时，等号成立，因为方程()11100n n n f x x a x a x a --=++⋅⋅⋅++=的根恰好全是正实数，设这n 个正根分别为1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，且11n a -=-，21a n a =-，0a a =，由题意可知：()()()1212121122312111n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x n a x x x a ---⎧++⋅⋅⋅+=⎪⎪⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=--⎨⎪⋅⋅⋅=-⎪⎩，因为121n x x x ++⋅⋅⋅+=，且1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 均为正数，则()121212111111n n n x x x x x x x x x ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭22n ⎫≥⋅⋅⋅+=，当且仅当121111n x x x n==⋅⋅⋅==时，等号成立，又因为()()()1221211223211211111nn n n n n nn n a x x x x x x x x x n x x x x x x a-----⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=，即212111nn x x x ++⋅⋅⋅+=，所以121111n x x x n==⋅⋅⋅==.11122122a ，我们定义方阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，方阵A 对应的行列式记为()det A ，且()11221221det A a a a a =-，方阵A 与任意方阵11122122bb B b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭的乘法运算定义如下：A B C ⨯=，其中方阵11122122c c C c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且{}()21,1,2nn mi in i c a b m n ==∈∑.设cos sin sin cos M αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭，cos sin sin cos N ββββ⎛⎫=⎪-⎝⎭，1001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）证明：()()det det M N E ⨯=.（2）若方阵A ，B 满足A B E ⨯=，且()det A ，()det B ∈Z ，证明：()()()()det det det det A B M N +=+.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：设方阵11122122k k K M N k k ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，则()()()11cos cos sin sin cos k αβαβαβ=+--=-，()()12cos sin sin cos sin k αβαββα=+-=-，()()21sin cos cos sin sin k αβαβαβ=+-=-，()22sin sin cos cos cos k αβαβαβ=+=-，则()()()()cos sin sin cos K αββααβαβ--⎛⎫= ⎪--⎝⎭，所以()()()()()2det det cos sin sin M N K αβαββα⨯==----()()22cos sin 1αβαβ=-+-=.因为()det 11001E =⨯-⨯=，所以()()det det M N E ⨯=，证毕.（2）证明：设11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，11122122b b B b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由A B E ⨯=，可得111112211a b a b +=，①111212220a b a b +=，②211122210a b a b +=，③211222221a b a b +=，④由①×④，得111121121111222212212112122122221a b a b a b a b a b a b a b a b +++=，⑤由②×③，得111221111112222112222111122222210a b a b a b a b a b a b a b a b +++=，⑥由⑤-⑥，可得111122221221211211122221122221111a b a b a b a b a b a b a b a b +--=，整理得()()11221221112212211a a a a b b b b --=，即()()det det 1A B ⨯=.由()()det ,det A B ∈Z ，可得()()det 1,det 1,A B =⎧⎪⎨=⎪⎩或()()det 1,det 1,A B =-⎧⎪⎨=-⎪⎩则()()det det 2A B +=.又()()det det 1M N ==，所以()()()()det det det det A B M N +=+，证毕.6．[2024届·湖北黄冈·模拟考试校考]第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线():C y f x =上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB 运动到B 点时，A 点的切线A l 也随着转动到B 点的切线B l ，记这两条切线之间的夹角为θ△（它等于B l 的倾斜角与A l 的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义ΔΔK sθ=为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义()3022lim 1y K sy θ∆→''∆==∆'+（若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率.（其中y '，y ''分别表示()y f x =在点A 处的一阶､二阶导数）（1）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点()3,y 处的曲率是多少？（2）若函数()11212x g x =-+，不等式()e e 2cos 2x x g g x ω-⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭对于x ∈R 恒成立，求ω的取值范围；（3）若动点A 的切线沿曲线()228f x x =-运动至点()(),n n B x f x 处的切线，点B 的切线与x 轴的交点为()()*1,0n x n +∈N .若14x =，2n n b x =-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明3n T <.答案：（1）212（2）[]1,1-（3）()*3n T n <∈N 解析：（1）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点到准线的距离为3，则3p =，即抛物线方程为26x y =，即()216f x y x ==，则()13f x x '=，()13f x ''=，又抛物线在点()3,y 处的曲率，则32211233121139K ===⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭，即在该抛物线上()3,y 处的曲率为212.（2）()()112111212212221x xx x g x g x --=-=-=-=-+++ ，()g x ∴在R 上为奇函数，又()g x 在R 上为减函数.∴不等式()e e 2cos 2x xg g x ω-⎛⎫+≤-⎪⎝⎭对于x ∈R 恒成立，等价于e e cos 22x xx ω-+≥-对于x ∈R 恒成立.又因为两个函数都是偶函数，记()cos p x x ω=，()e e 22x xq x -+=-，则曲线()p x 恒在曲线()q x 上方.()sin p x x ωω'=-，()e e 2x xq x -=-'-，又因为()()001p q ==，所以在0x =处三角函数()p x 的曲率不大于曲线()q x 的曲率.即()()()()332222001010p q p q ≤⎡'''⎤⎡⎤++⎣⎦⎣'⎦''又因为()2cos p x x ωω'=-'，()e e 2x xq x -+=''-，()20p ω''=-，()01q ''=-，所以21ω≤，解得：11ω-≤≤，因此，ω的取值范围为[]1,1-.（3）由题可得()4f x x '=.所以曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线方程是：()()()n n n y f x f x x x '-=-.即()()2284n n n y x x x x --=-.令0y =，得()()2142n n n n x x x x +--=-.即2142n n n x x x ++=.显然0n x ≠，122n n n x x x +∴=+.由122n n nx x x +=+，知()21222222n n n n n x x x x x +++=++=，同理()21222n n n x x x +--=，故2112222n n n n x x x x ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭.从而1122lg 2lg 22n n n n x x x x ++++=--，设2lg 2n n n x a x +=-，即12n n a a +=.所以，数列{}n a 成等比数列.故111111222lg2lg 32n n n n x a a x ---+===-.即12lg 2lg 32n n n x x -+=-.从而12232n n n x x -+=-所以()112223131n n n x --+=-，1242031n n n b x -∴=-=>-，111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-∴==<≤=-+当1n =时，显然1123T b ==<.当1n >时，21121111333n n n n b b b b ---⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1112111113111333133313n n n n n b T b b b b b b -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦∴=+++<+++==-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .综上，()*3n T n <∈N .。

立体几何题型01 空间几何体的有关计算题型02 点线面位置关系、空间角及距离题型03 内切球、外接球问题题型04 空间向量题型01 空间几何体的有关计算1(2024·山西晋城·统考一模)若一个正n棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2,3}，则n 的最小值为，该棱台各棱的长度之和的最小值为．2(2024·浙江·校联考一模)已知圆台的上下底面半径分别是1，4，且侧面积为10π，则该圆台的母线长为．3(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)球O的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为，球O的体积与圆锥M的体积的比值为．4(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．5(2024·广东深圳·校考一模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为3的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为.6(2024·辽宁沈阳·统考一模)正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为()A.2B.3C.2D.57(2024·云南曲靖·统考一模)为努力推进“绿美校园”建设，营造更加优美的校园环境，某校准备开展校园绿化活动．已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，圆台两底面直径分别为18厘米，9厘米，母线长约为7.5厘米．现有2000个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养土约为( )(参考数据：π≈3.14)A.1.702立方米B.1.780立方米C.1.730立方米D.1.822立方米8(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，则()A.该几何体的顶点数为12B.该几何体的棱数为24C.该几何体的表面积为(4800+8003)cm 2D.该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项9(2024·山西晋城·统考一模)如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，AA 1=4，C 1 E =3EC，平面ABE 将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为Ω上，下部分对应的几何体为Ω下，则()A.Ω下的体积为2B.Ω上的体积为12C.Ω下的外接球的表面积为9πD.平面ABE 截该正四棱柱所得截面的面积为25题型02 点线面位置关系、空间角及距离10(2024·河北·校联考一模)已知直线l 、m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是()A.若α⎳β，l ⊂α，n ⊂β，则l ⎳nB.若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC.若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ⎳mD.若l ⊥α，l ⎳β，则α⊥β11(2024·浙江·校联考一模)已知直线a ,b 和平面α,a ⊄α,b ∥α，则“a ∥b ”是“a ∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12(2024·广东深圳·校考一模)已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列说法正确的是()A.若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥βB.若m ⎳n ，m ⎳α，n ⎳β，则α⎳βC.若m ⊥n ，m ⎳α，α⊥β，则n ⊥βD.若m ⎳n ，m ⊥α，α⊥β，则n ⎳β13(2024·吉林白山·统考一模)正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有()A.直线AE与CF是异面直线B.平面ABF⊥平面ABEC.该几何体的体积为432 D.平面ABE与平面DCF间的距离为26314(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,∠BAD=120°,AC⊥BD，△BCD是等边三角形.(1)证明：平面PAD⊥平面PCD.(2)求二面角B-PC-D的正弦值.15(2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，且BC=BD= BA，∠CBA=∠CBD=120°，点P在线段AC上，点Q在线段CD上.(1)求证：AD⊥BC；(2)若AC⊥平面BPQ，求BPBQ的值；(3)在(2)的条件下，求平面ABD与平面PBQ所成角的余弦值.16(2024·重庆·统考一模)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB= AP，AB⊥AD,AB+AD=6,CD=2,∠CDA=45°．(1)若E为PB的中点，求证：平面PBC⊥平面ADE；(2)若平面PAB与平面PCD所成的角的余弦值为66．(ⅰ)求线段AB的长；(ⅱ)设G为△PAD内(含边界)的一点，且GB=2GA，求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度．17(2024·云南曲靖·统考一模)在图1的直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°,AB=BC=2,DC=3，点E是DC边上靠近于点D的三等分点，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1= 6，如图2．(1)求证：平面BC1E⊥平面ABED；(2)在棱DC1上是否存在点P，使得二面角P-EB-C1的大小为45°？若存在，求出线段DP的长度，若不存在说明理由．18(2024·云南曲靖·统考一模)如图所示，正方体ABCD -A B C D 的棱长为1，E ,F 分别是棱AA ,CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ,DD 交于点M ,N ，以下四个命题中正确的是()A.四边形EMFN 一定为菱形B.四棱锥A -MENF 体积为13C.平面EMFN ⊥平面DBB DD.四边形EMFN 的周长最小值为419(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成的角为π4，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =π2,AD =2,PA =BC =1，点E 为棱PD 上一点，满足PE =λPD0≤λ≤1 ，下列结论正确的是()A.平面PAC ⊥平面PCD ；B.在棱PD 上不存在点E ，使得CE ⎳平面PABC.当λ=12时，异面直线CE 与AB 所成角的余弦值为255；D.点P 到直线CD 的距离3；20(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB ，点E ，F 分别是棱PB ，BC 的中点．(1)求直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值；(2)在截面AEF 内是否存在点G ，使DG ⊥平面AEF ，并说明理由．21(2024·山西晋城·统考一模)如图，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，BF 的中点O 为P 在平面ABCDEF 内的射影，PM =2MF．(1)证明：ME ⎳平面PBD ．(2)若PA =2，二面角A -PB -D 的大小为θ，求cos2θ．22(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是AD 1的中点，点Q 是直线CD 1上的动点，则下列说法正确的是()A.△PBD 是直角三角形B.异面直线PD 与CD 1所成的角为π3C.当AB 的长度为定值时，三棱锥D -PBQ 的体积为定值D.平面PBD ⊥平面ACD123(2024·浙江·校联考一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，△ABC是等边三角形，点M是线段AB的中点，∠ABB1=60°．(1)证明：B1C⊥平面ABC1；(2)若平面ABB1A1⊥平面ABC，求直线B1C与平面A1MC1所成角的正弦值．24(2024·广东深圳·校考一模)如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且△SAB是边长为4的等边三角形，C,D为圆弧AB的两个三等分点，E是SB的中点.(1)证明：DE⎳平面SAC；(2)求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值.25(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在如图所示的五面体ABCDEF中，ABEF共面，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，∠ABC=2π3,EF⎳平面ABCD,AB=2EF=2，点M为BC中点．(1)证明：EM∥平面BDF；(2)已知EM=2，求平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值．26(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB =5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=54，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△DEF 位置，OD =10．(1)证明：D H⊥平面ABCD；(2)求平面BAD 与平面ACD 的夹角的余弦值．27(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)设b、c表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是()A.若b⎳α，c⊂α，则b⎳cB.若b⊂α，b⎳c，则c⊂αC.若c⎳α，α⊥β，则c⊥βD.若c⎳α，c⊥β，则α⊥β28(2024·吉林延边·统考一模)已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1C1C是边长为2的菱形，∠CAA1 =πA1是矩形，且平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D是棱A1B1的中点．3，侧面四边形ABB1(1)在棱AC上是否存在一点E，使得AD∥平面B1C1E，并说明理由；(2)当三棱锥B-A1DC1的体积为3时，求平面A1C1D与平面CC1D夹角的余弦值．29(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)如图1，在平面四边形PABC中，PA⊥AB,CD⎳AB，CD=2AB=2PD=2AD=4.点E是线段PC上靠近P端的三等分点，将△PDC沿CD折成四棱锥P-ABCD，且AP=22，连接PA,PB,BD，如图2.(1)在图2中，证明：PA⎳平面BDE；(2)求图2中，直线AP与平面PBC所成角的正弦值.30(2024·重庆·统考一模)如图，在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，M是线段A1E上的一点，则下列说法正确的是()A.当M点与A1点重合时，直线AC1⊂平面ACMB.当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值C.当M点与E点重合时，平面ACM与平面CC1D1D夹角的正弦值为53D.当M点为线段A1E中点时，平面ACM截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积为73332 31(2024·福建厦门·统考一模)如图，在四棱锥E-ABCD中，AD⎳BC，2AD=BC=2，AB=2，AB⊥AD，EA⊥平面ABCD，过点B作平面α⊥BD．(1)证明：平面α⎳平面EAC；(2)已知点F为棱EC的中点，若EA=2，求直线AD与平面FBD所成角的正弦值．32(2024·吉林延边·统考一模)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE =BF =1,DE ∥BF ,DE ⊥平面ABCD ，动点P 在线段EF 上，则下列说法正确的是()A.AC ⊥DPB.存在点P ，使得DP ∥平面ACFC.三棱锥A -CDE 的外接球被平面ACF 所截取的截面面积是9π2D.当动点P 与点F 重合时，直线DP 与平面ACF 所成角的余弦值为3101033(2024·福建厦门·统考一模)如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，△ABF 和△DCE 均是等边三角形，且AB =23，EF =x (x >0)，则()A.EF ⎳平面ABCDB.二面角A -EF -B 随着x 的减小而减小C.当BC =2时，五面体ABCDEF 的体积V (x )最大值为272D.当BC =32时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 题型03 内切球、外接球问题34(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知四面体ABCD 的各个面均为全等的等腰三角形，且CA =CB =2AB =4.设E 为空间内任一点，且A ,B ,C ,D ,E 五点在同一个球面上，则()A.AB ⊥CDB.四面体ABCD 的体积为214C.当AE =23时，点E 的轨迹长度为4πD.当三棱锥E -ABC 的体积为146时，点E 的轨迹长度为32π35(2024·吉林白山·统考一模)在四面体A -BCD 中，BC =22，BD =23，且满足BC ⊥BD ，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ．若该三棱锥的体积为863，则该锥体的外接球的体积为．36(2024·吉林延边·统考一模)已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为25π5，半径为5的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球O 的表面上，则球O 的体积为.37(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，以A1为球心、3为半径的球面与底面ABC的交线长为3π6，则三棱柱ABC-A1B1C1的表面在球内部分的总面积为．38(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知球O的直径PQ=4，A，B，C是球O球面上的三点，△ABC是等边三角形，且∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则三棱锥P-ABC的体积为( ).A.334B.934C.332D.273439(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)如图所示，有一个棱长为4的正四面体P-ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是()A.直线AE与PB所成的角为π2B.△ABE的周长最小值为4+34C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为63D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为26-25 40(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)如图，在正三棱锥P-ABC中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，∠ADP=α．(1)用α分别表示线段BC和PD长度；(2)当α∈0,π2时，求三棱锥的侧面积S的最小值．41(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)地球仪是地理教学中的常用教具.如图1所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为23.5°.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为4cm 的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图2所示.此时平面AB 1C 恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球体积为.(参考数据：tan23.5°≈0.43)题型04 空间向量42(2024·福建厦门·统考一模)已知平面α的一个法向量为n=(1,0,1)，且点A (1,2,3)在α内，则点B (1,1,1)到α的距离为．43(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在边长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，动点M 满足AM =xAB +yAD +zAA 1 ，(x ,y ,z ∈R 且x ≥0,y ≥0,z ≥0)，下列说法正确的是()A.当x =14,z =0,y ∈0,1 时，B 1M +MD 的最小值为13B.当x =y =1,z =12时，异面直线BM 与CD 1所成角的余弦值为105C.当x +y +z =1，且AM =253时，则M 的轨迹长度为42π3D.当x +y =1,z =0时，AM 与平面AB 1D 1所成角的正弦值的最大值为6344(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =AA 1=1，∠DAB =90°，cos <AA 1 ，AB >=22，cos <AA 1 ，AD >=12，点M 为BD 中点.(1)证明：B 1M ⎳平面A 1C 1D ；(2)求二面角B -AA 1-D 的正弦值.。

2024年新高考数学新题型试卷选择题：1. 下列哪个不属于幂函数？A. y = x^2B. y = √xC. y = 2^xD. y = log(x)2. 若两个正数的和为10，它们的积最大是多少？A. 20B. 25C. 30D. 503. 在等差数列2, 5, 8, 11, ...中，第20项是多少？A. 56B. 57C. 58D. 594. 若f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1，则f'(x)的值为：A. 6x^2 - 6x + 5B. 6x^2 - 6x - 3C. 6x^2 - 6x + 3D. 6x^2 - 6x - 55. 在平面直角坐标系中，点A(3, 4)关于y轴对称的点是：A. (-3, 4)B. (3, -4)C. (-3, -4)D. (4, 3)填空题：6. 求解方程2x - 3 = 5。

7. 若log2(8) = a，则a的值是多少？8. 如果一个球的表面积是100π平方米，其半径是多少米？9. 计算∫(3x^2 - 2x + 1)dx。

10. 求直线y = 3x + 2的斜率。

应用题：11. 一辆列车以80km/h的速度行驶，一个小时后又以90km/h的速度行驶，求这两段路程的平均速度。

12. 一个矩形花园的长是20m，宽是15m，围绕花园四周植下一圈花，每米花坛需要2株花，这一圈花共需多少株？13. 若等差数列的第一项是3，公差是5，前n项和是100，求n的值。

14. 某商店一件商品原价500元，现打8.5折售出，求打折后的价格。

15. 解决实际问题：一个长方体容器的底面积为20平方米，高5米，容器内充满水，求容器内水的体积。

高考数学新题型第一篇：混合运算题型混合运算题型是高考数学的新题型之一，其主要是将已有的数学知识进行混合，然后进行计算，并得出正确的答案。

这类题型通常包含有多个数学概念，如函数、三角函数、解析几何等，需要考生们动用多种知识点。

此类题既考查了考生对基础知识的理解，又考查了考生的综合运用能力。

在解题时，考生们需要首先理清题目，看懂每一个概念所代表的含义，然后运用相应的公式进行计算。

在计算过程中，考生需要遵循一定的规则，例如遵循加减乘除的优先级，遵循括号和指数的计算次序等。

对于此类题型的解题，需要考生具备一定的数学基础和综合运用能力，更加重要的是需要考生们平时多做练习，不断发现问题并解决问题，从而掌握混合运算题型的解题方法，提高考试的得分率。

第二篇：逆向思维题型逆向思维题型是高考数学新题型之一，其主要考查考生的逻辑思维能力和创造力。

此类题型通常需要考生们将题意进行倒推，从而得出正确的答案。

例如，一道逆向思维题目中可能给出一些限制条件，而需要考生们根据这些限制条件得出目标值。

在解题时，考生们需要运用逆向思维，将问题分析得更加细致和深入，从而快速得出正确的答案。

对于此类题型的解题，需要考生具备较高的逻辑思维能力和创造力，能够灵活运用数学知识进行分析和解决问题。

第三篇：证明型题型证明型题型是高考数学新题型之一，其主要考查考生的推理和证明能力。

此类题型不仅需要考生们掌握相关知识，还需要考生们能够运用推理和证明进行思考和解决问题。

例如，一道证明型题目中可能需要考生们证明一个几何定理或者证明一个不等式等。

在解题时，考生们需要运用知识点进行推理和分析，然后采用合适的方法进行论证，并得出正确的结论。

对于此类题型的解题，需要考生们具备较高的推理和证明能力，要求考生能够熟练掌握数学知识，能够合理地运用推理和证明方法进行分析和解决问题。

此外，考生需要多做练习，积累经验和技巧，提高解题效率和得分率。

选择题：设函数f(x) = x3 - 3x + 2，则f(x)的极小值为？A. -4B. -2C. 0D. 2（正确答案）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，S3 = 9，则a5 = ？A. 7B. 8C. 9（正确答案）D. 10在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角C的余弦值为？A. 1/2B. √2/2C. √3/2D. 1（正确答案）已知向量a = (1, 2)，b = (2, 1)，则向量a与b的夹角为？A. π/6B. π/4C. π/3（正确答案）D. π/2已知函数f(x) = ln(x + 1) - x2，则f(x)的单调递增区间为？A. (-1, 0)B. (-1, +∞)C. (0, +∞)（正确答案）D. 无单调递增区间已知抛物线C：y2 = 2px(p > 0)的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A，B两点，交l 于D，过A，B分别作x轴的平行线，分别交l于M，N两点，若向量AB = 4向量FB，且|AF| = 3，则C的方程为？A. y2 = xB. y2 = 2xC. y2 = 4x（正确答案）D. y2 = 8x已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ2)，且P(X < -2) + P(X ≤ 0) = 1，则μ等于？A. -2B. -1（正确答案）C. 0D. 1已知圆锥的底面半径为2，母线长为3，则其体积为？A. 4πB. 8π/3C. 4√5π/3D. 8√2π/3（正确答案）已知复数z = (1 + i)/(1 - i)，则z的共轭复数为？A. -iB. i（正确答案）C. 1D. -1。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(2)的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 42. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 105°C. 135°D. 150°3. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a4=11，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知复数z=3+4i，则|z|的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 115. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的切线斜率为2，则f'(1)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知等比数列{bn}的公比为q，且b1=2，b3=8，则q的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则sinA:sinB:sinC的值为（）A. 3:4:5B. 4:5:3C. 5:3:4D. 3:5:48. 已知函数f(x) = |x| + 1，则f(x)在x<0时的导数f'(x)为（）A. -1B. 0C. 1D. 不存在9. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=5，a5=25，则a3的值为（）A. 10B. 15C. 20D. 2510. 已知复数z=2-3i，则|z|的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 11二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处的导数为2，则a+b+c=（）12. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则sinA:sinB:sinC=（）13. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a4=11，则d=（）14. 复数z=3+4i的共轭复数为（）15. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的切线方程为（）16. 在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则cosA:cosB:cosC=（）17. 已知函数f(x) = |x| + 1，则f(x)在x>0时的导数f'(x)为（）18. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=5，a5=25，则a3=（）19. 复数z=2-3i的模长为（）20. 函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=2处的切线斜率为（）三、解答题（每题20分，共60分）21. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)及f'(1)的值。

一、选择题1. 题目：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。

答案：将f(x) = 0，解得x = 1 或 x = 3。

因此，f(x)的图像与x轴的交点坐标为(1, 0)和(3, 0)。

2. 题目：在等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，求第10项an的值。

答案：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 2，d = 3，n = 10，得an = 2 + (10 - 1)×3 = 29。

3. 题目：已知三角形ABC中，AB = 5，AC = 8，BC = 10，求sinB的值。

答案：根据勾股定理，得AB^2 + BC^2 = AC^2，即5^2 + 10^2 = 8^2，所以sinB = BC/AC = 10/8 = 5/4。

4. 题目：若向量a = (1, 2)，向量b = (2, -3)，求向量a与向量b的点积。

答案：向量a与向量b的点积为a·b = 1×2 + 2×(-3) = 2 - 6 = -4。

5. 题目：若函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求g'(x)的值。

答案：对g(x)求导得g'(x) = 3x^2 - 6x + 4。

二、填空题6. 题目：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f'(x)的值。

答案：对f(x)求导得f'(x) = 6x^2 - 6x + 2。

7. 题目：在等比数列{bn}中，b1 = 3，q = 2，求第5项bn的值。

答案：根据等比数列的通项公式bn = b1·q^(n-1)，代入b1 = 3，q = 2，n = 5，得bn = 3×2^(5-1) = 48。

8. 题目：若函数h(x) = e^x - x，求h''(x)的值。

2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（3）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．[2024届·安徽马鞍山·模拟考试]已知S 是全体复数集C 的一个非空子集，如果,x y S ∀∈，总有x y +，x y -，x y S ⋅∈，则称S 是数环.设F 是数环，如果①F 内含有一个非零复数；②,x y F ∀∈，且0y ≠，有xF y∈，则称F 是数域.由定义知有理数集Q是数域.（1）求元素个数最小的数环 S ；（2）证明：记{}|,Qa ab =+∈Q ，证明：Q是数域；（3）若1F ，2F 是数域，判断12F F 是否是数域，请说明理由.答案：（1）{}0；（2）证明见详解；（3）12F F 不一定是数域，证明见详解解析：（1）因为 S为数环，可知 S 不是空集，即 S 中至少有一个元素a ∈C ，若0a =，则0000000S +=-=⨯=∈，可知{}0为数环；若0a ≠，则0a a -=，可知 S中不止一个元素，不是元素个数最小的数环；综上所述：元素个数最小的数环为{}˜0S =.（2）设x a =+，y c =+，,,,a b c d ∈Q ，可知,x y Q∈，则有：()()())x y a c a c b d +=+++=+++，()()())x y a c a c b d -=+-+=-+-，()()())3x y a c ac bd ad bc ⋅=++=+++，因为,,,Q a b c d ∈，则a c +，b d +，a c -，b d -，ac bd +，ad bc +∈Q ，可知x y +，x y -，x y Q⋅∈，所以Q 是数环；若220c d +≠，可知0y ≠，满足①；若0y ≠，则2233a c x ac bd y c d +--==+-因为,,,Q a b c d ∈，则22223,33ac bd bc adc d c d--∈--Q ，可知x Qy∈，满足②；综上所述：Q是数域.（3）不一定是数域，理由如下：①若1F =Q ，2F=R ，显然1F ，2F 均为数域，且12FF =R 是数域；②设x a =+，y c =+，,,,a b cd ∈Q，可知,x y Q∈，则有：()()())x ya c a c bd +=+++=+++，()()())x y ac a c b d-=+-+=-+-，()()())2x y a c ac bd ad bc ⋅=++=+++，因为,,,Q a b c d ∈，则a c +，b d +，a c -，b d -，acbd +，ad bc +∈Q ，可知x y +，x y -，x y Q⋅∈，所以Q 是数环；若220c d +≠，可知0y ≠，满足①；若0y ≠，则2222a c x ac bdy c d --==-，因为,,,Q a b c d ∈，则2222ac bd c d --，222bc adc d-∈-Q，可知xQy∈，满足②；综上所述：Q是数域.例如：1F Q =，2F Q =，例如1Q+，1Q，但12112F F = ，所以12F F 不是数域；综上所述：12F F 不一定是数域.2．在平面直角坐标系中，两点()11,P x y ，()22,Q x y 的“曼哈顿距离”定义为1212x x y y -+-，记为PQ ‖‖，如点(1,2)P -，(2,4)Q --的“曼哈顿距离”为5，记为5PQ =‖‖.（1）若点(0,2)P ，M 是满足2PQ ≤‖‖的动点Q 的集合，求点集M 所占区域的面积.（2）若动点P 在直线2y x =-上，动点Q 在函数e x y =的图像上，求PQ ‖‖的最小值.（3）设点(,)P a b ，动点Q 在函数22([2,2])y x x =∈-的图像上，PQ ‖‖的最大值记为(,)M a b ，求(,)M a b 的最小值.答案：（1）8（2）3（3）8116解析：（1）设点(,)Q x y .由2PQ ≤‖‖，得|||2|2x y +-≤.||||2x y +=的图像是以原点为中心，顺次连接四点(2,0)，(0,2)，(2,0)-，(0,2)-所形成的正方形.将其上移2个单位长度即得|||2|2x y +-=的图像.所以点集M 所占区域是以四点(2,2)，(0,4)，(2,2)-，(0,0)为顶点的正方形及其内部，面积为8.（2）设()11,2P x x -，()22,e x Q x ，则21212e x PQ x x x =-+--‖‖.将PQ ‖‖看成关于1x 的函数，则PQ ‖‖在12x x =或21e 2x x =+时取得最小值，即2min 2e2x PQ x =-+‖‖.令()e 2x f x x =-+，则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，则min ()(0)3f x f ==，此时20x =.所以PQ ‖‖的最小值为3.（3）设点()2,2Q x x ，[2,2]x ∈-，则2||2PQ a x b x =-+-‖‖，[2,2]x ∈-.若存在实数a ，b ，使(,)M a b t =，则2||2PQ a x b x t =-+-≤‖‖对任意的[2,2]x ∈-成立.令14x =-，则1148a b t ++-≤.令2x =，则|2||8|a b t -+-≤.所以1111963812|2||8|2|8|4848488t a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫≥++-+-+-=++-+-+-≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8116t ≥.令0a =，7916b =，则279||216PQ x x =+-‖‖是[2,2]-上的偶函数.当[0,2]x ∈时，若279216x ≤，即27932x ≤，则227918181221641616PQ x x x ⎛⎫=+-=--+≤ ⎪⎝⎭‖‖，当且仅当14x =时等号成立；若279432x ≤≤，则2798121616PQ x x =+-≤‖‖，当且仅当2x =时等号成立.所以存在实数a ，b 且0a =，7916b =，使得(,)M a b 的最小值为8116.3．已知定义域为[0,2]的函数()f x 满足如下条件：①对任意的[0,2]x ∈，总有0()4f x <≤；②(2)3f =；③当10x ≥，20x ≥，122x x +≤时，()()()12124f x x f x f x +≤+-恒成立.已知正项数列{}n a满足=，且1min 1()3a f x =，28a =，令1n b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n c =，求证：()()()3411145(2)2n n f c f c f c n n +-+++≥-+≥ .答案：（1）{}n a 的通项公式()2121,1411,2n n k k n a n -==⎧⎪=⎨⎡⎤--≥⎪⎢⎥⎣⎦⎩∏；{}n b 的通项公式4nnb =（2）证明见解析解析：（1）不妨设12x x <，则21(0,2]x x -∈，()2104f x x ∴<-≤，()()()()121211f x f x f x f x x x ∴-=--+()()()()121121440f x f x x f x f x x ≥--+-=--≥⎡⎤⎣⎦，若()2140f x x --=，即()214f x x -=，此时(2)4f =，这与(2)3f =矛盾，()2140f x x ∴--≠，故()2140f x x -->，()()12f x f x ∴>，()f x ∴在区间[0,2]上单调递减，min ()(2)3f x f ∴==，11a ∴=.=，141⎫=⎪⎪⎭，即14n n b b +=，{}n b ∴是以114b ==为首项，4为公比的等比数列，4n n b ∴=.又1n b =，()21411n n n a a +⎡⎤∴=--⎢⎥⎣⎦，∴当2n ≥时，()()()()22221121122411411411411nn n n k n n n k a a a ------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=----==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∏ .又当1n =时，11a =，故()2121,1411,2n n k k n a n -==⎧⎪=⎨⎡⎤--≥⎪⎢⎥⎣⎦⎩∏.（2）由（1）可得82n n c ==.∴当2n ≥时，12n n c c +=，且02n c <≤，()4n f c ∴≤，()2(2)3f c f ==，又()()()()1111224n n n n n f c f c f c c f c ++++==+≤-，()()1424n n c f c f +∴-≤-⎡⎤⎣⎦，即()()1424n n f c f c +-≥-⎡⎤⎣⎦，()()()1211144422n n n f c f c f c +-∴-≤-≤≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，()11142n n f c +-∴-≤，即()11142n n f c +-≥-，()()()34211142142142n n f c f c f c +-⎧≥-⎪⎪⎪≥-⎪∴⎨⎪⎪⎪≥-⎪⎩ ，()()()134111112214(1)451212n n n c f c f c n n f -+-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴+++≥--=-+- .5．我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”.已知椭圆2:12E y +=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D .（1）若椭圆22:12x y F s +=与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，求常数s 的值；（2）设椭圆22:(01)2x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 有且只有一个公共点，过D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求当λ为何值时，12k k +取得最小值，并求其最小值；（3）若椭圆22:1(2)2x y H t t+=>与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，椭圆H 上的任意一点记为00)(,C x y ，求证：ABC △的垂心M 必在椭圆E 上.答案：（1）4s =或1（2）当12λ=时，12k k +（3）证明见解析解析：（1）因为椭圆E 的离心率22e =，故由条件得，当2s >22=，解得4s =；当02s <<22=，解得1s =.综上，4s =或1.（2）易得(A ，(0,1)D ，所以直线1l ，2l的方程分别为1(y k x =，21y k x =+，由122(2y k x x y λ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222211112420k x x k λ+++-=，又直线1l 与椭圆G 相切，则10∆=，又01λ<<，即1k =.由22212y k x x y λ=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124220k x k x λ+++-=，又直线2l 与椭圆G 相切，则20∆=，又01λ<<，即2k =故1212k k =，12k k +≥=12k k =时取等号，此时12λ=.所以当12λ=时，12k k +.（3）显然椭圆22:124x y H +=.因为椭圆H 上的任意一点记为()00,C x y ，所以2200124x y +=.①设ABC △的垂心M 的坐标为(),M M x y ，连接CM ，AM，因为(A，B ，故由CM AB ⊥得0M x x =.又0M x x =≠，AM BC ⊥1=-，（*）将0M x x =代入（*），得202M x y y =-，②由①②得02M y y =.将0M x x =，02M y y =，代入①得2212M M x y +=，即ABC △的垂心M 在椭圆E 上.6．[2024春·高三·湖北武汉·月考]利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将0.31化为分数是这样计算的：设0.31x = ，则31.31100x = ，即31100x x +=，解得310.3199= .这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜m 局指的是一方比另一方多胜m 局.（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜()3,2,1,0,1,2,3i i =---局.设甲在净胜i 局时，继续比赛甲获胜的概率为i P ，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为i X ，期望为()i E X .①求甲获胜的概率0P ；②求()0E X .答案：（1）2081（2）①89；②()07E X =解析：（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜，概率为21221216C 33381⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭⨯；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜，概率为2122114C 33381⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以恰好4局结束比赛的概率16420818181+=.（2）①在甲在净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为1P -；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，根据全概率公式，2123P P --=，同理1022133P P P --=+，0112133P P P -=+，1202133P P P =+，212133P P =+，由1202133P P P =+，212133P P =+，得104377P P =+，与0112133P P P -=+联立消去1P ，得015817213P P -=+，又2123P P --=，1022133P P P --=+，即1067P P -=，因此089P =，所以甲获胜的概率为89.②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要()1E X -局，共进行了()11E X -+局；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，则2121()[()1]133E X E X --=++⨯，即212()()13E X E X --=+，同理10221()[()1][()1]33E X E X E X --=+++，即10221()()()133E X E X E X --=++，01121()[()1][()1]33E X E X E X -=+++，即01121()()()133E X E X E X -=++，12021()[()1][()1]33E X E X E X =+++，即12021()()()133E X E X E X =++，2121()1[()1]33E X E X =⨯++，即211()()13E X E X =+，联立12021()()()133E X E X E X =++与211()()13E X E X =+，得10315()()77E X E X =+，联立212()()13E X E X --=+与10221()()()133E X E X E X --=++，得10612()()77E X E X -=+，代入01121()()()133E X E X E X -=++，得000315612()()7721()[[13773E X X E X E ++=++，所以0()7E X =.。