高中数学定积分的简单应用测试题(附答案)

高中数学定积分试题一．选择题（共32小题）1．＝（）A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π2．的值为（）A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣13．|1﹣x2|dx＝（）A．B．4C．D．4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）A．B．C．1D．5．计算的值为（）A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1 6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数，则定积分的值为（）A．B．C．D．8．定积分（x+e x）的值为（）A．e B．e+C．e﹣D．e+19．定积分（+x）dx＝（）A．+B．C．+1D．10．若a＝（x+1）dx，b＝cos xdx，c＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 11．计算：＝（）A．﹣1B．1C．﹣8D．812．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜014．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．102415．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．816．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x＝围成的封闭图形，则其面积是（）A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e17．直线y＝x与曲线y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．18．若函数f（x）＝A sin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A．﹣1+B．C．1﹣D．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A．B．C．D．20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）A．e2﹣1B．e2﹣C．e2﹣D．e2﹣21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）A．B．C．D．﹣1 22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）A．B．C．D．24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）A．B．C．D．25．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B．C．D．026．如图，阴影部分的面积为（）A．2B．2﹣C．D．27．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）A．B．C．D．828．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）A．B．C．D．929．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）A．（a+）dyB．2（a+）dyC．dxD．2dx31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）A．（x2﹣4）dxB．|（x2﹣4）dx|C．|x2﹣4|dxD．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．二．填空题（共18小题）33．cos xdx+dx＝．34．计算定积分＝．35．（e x+2x）dx＝．36．计算：dx＝．37．若，则a＝．38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是40．计算定积分sin xdx＝．41．定积分＝．42．的值为．43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为．44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为．46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．48．由函数y＝e x，y＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为．49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝．50．计算2xdx＝．参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．＝（）A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π【分析】对2和分别积分，结合定积分的几何意义求解即可．【解答】解：＝+，而表示以原点为圆心，2为半径的上半个圆在[0，2]部分的面积，故＝+＝2x+＝4+π，故选：A．【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．2．的值为（）A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣1【分析】根据定积分的计算方法直接求解即可．【解答】解：＝（x﹣lnx）＝（e﹣1）﹣（1﹣0）＝e﹣2，故选：A．【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．3．|1﹣x2|dx＝（）A．B．4C．D．【分析】根据函数|1﹣x2|为偶函数，将原式转化为[0，2]上的定积分，再分别转化为[0，1]和[1，2]上分别积分即可．【解答】解：∵函数|1﹣x2|为偶函数，∴|1﹣x2|dx＝2＝2+2＝2（x﹣）|+2（）|＝4．故选：B．【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）A．B．C．1D．【分析】画出图象，利用定积分求出即可．【解答】解：＝b﹣＝，b＝1，故b＝1，把b＝1代入f（x）＝x2（x＞0），得a＝1，故选：C．【点评】考查定积分的应用，基础题．5．计算的值为（）A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1【分析】由定积分公式，求解．【解答】解：，故选：D．【点评】本题考查定积分，属于基础题．6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用定积分求出阴影面积，再求出概率．【解答】解：阴影部分的面积m＝，矩形的面积为n＝3，故阴影部分概率为，故选：B．【点评】考查了几何概型和用定积分求面积，基础题．7．已知函数，则定积分的值为（）A．B．C．D．【分析】依题意，＝（﹣x+2）dx+，根据定积分的几何意义，表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，计算即可．【解答】解：依题意，＝（﹣x+2）dx+其中表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，如图，所以＝（﹣x+2）dx+＝（2x﹣）|+＝，故选：C．【点评】本题考查了定积分的计算，定积分的几何意义，属于基础题．8．定积分（x+e x）的值为（）A．e B．e +C．e ﹣D．e+1【分析】直接利用定积分的应用求出结果．【解答】解：＝＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：利用定积分的关系式的应用求出结果，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9．定积分（+x）dx＝（）A ．+B ．C ．+1D ．【分析】直接利用定积分的运算和几何意义的应用求出结果．【解答】解：＝＝．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．若a ＝（x+1）dx，b ＝cos xdx，c ＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【分析】直接利用定积分和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：a ＝（x+1）dx ＝．b ＝cos xdx ＝，c ＝e x dx ＝所以：c＞a＞b故选：C．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．计算：＝（）A．﹣1B．1C．﹣8D．8【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（x2+2x ），进而计算可得答案．11【解答】解：根据题意，＝（x2+2x ）＝（4+4）﹣（4﹣4）＝8；故选：D．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式，属于基础题．12．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意分析，封闭图形面积即为（x+3）﹣（x2+1）在x＝﹣1到x＝2上定积分的值．【解答】解：令x+3＝x2+1，得x1＝﹣1，x2＝2，则S ＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查定积分的基本定理，涉及定积分的计算，属于基础题．13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x ）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜0【分析】由定积分，微积分基本定理可得：f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，得解．【解答】解：如图，g（x ）＝f（t）dt ＝﹣，因为x∈（﹣1，0），12所以t∈（﹣1，0），故f（t）＞0，故f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，故选：B．【点评】本题考查了定积分，微积分基本定理，属中档题．14．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．1024【分析】由定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数得a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，得解【解答】解：因为a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，故选：C．【点评】本题考查了定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数，属基础题．15．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．8【分析】联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），解得A（2，4），B（2，﹣4），由曲线，以及直线l：x＝2围成的封闭图形面积S，即可判断出正误．【解答】解：联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），所以曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为：S ＝＝＝2x2＝2×22﹣2×02＝8，13故选：D．【点评】本题主要考查积分的应用，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．16．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x ＝围成的封闭图形，则其面积是（）A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e【分析】直接利用定积分的应用求出结果．【解答】解：根据封闭图形的组成，所以：＝＝．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17．直线y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．【分析】利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可．【解答】解：y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积S ＝＝＝．14故选：D．【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属基础题．18．若函数f（x）＝A sin（ωx ﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A．﹣1+B ．C．1﹣D ．【分析】先求出f（x）的解析式，以及对应的零点，积分即可．【解答】解：依题意A＝1，＝＝π，∴T＝2π，ω＝＝1，∴f（x）＝sin（x ﹣），故当x ＝时，f（x）＝0．∴阴影面积为＝＝cos（x ﹣）|＝1﹣．故选：C．【点评】本题考查了正弦型函数的图象，定积分，主要考查计算能力，属于基础题．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A ．B ．C ．D ．15【分析】由题意利用积分法求出由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积．【解答】解：由题意，令S ＝x2dx ＝x 3＝×（1﹣0）＝，∴由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S ＝．故选：B．【点评】本题考查了定积分的几何意义与应用问题，是基础题．20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）A ．e2﹣1B ．e2﹣C ．e2﹣D．e2﹣【分析】先求出曲线与直线的交点，设围成的平面图形面积为S，利用定积分求出S 即可．【解答】解：由题意，曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形如图所示∴S ＝＝（）＝﹣＝故选：A．【点评】本题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．﹣1【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．16【解答】解：由，解得或，则曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为S ＝（﹣x2）dx ＝（﹣x3）＝（﹣）﹣0＝，故选：C．【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【分析】根据题意，由定积分定理，可得汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt ＝（+t ）＝5.5；故选：C．【点评】本题考查了微积分基本定理，关键是理解定积分的几何意义．23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】先计算出曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积，然后求出曲线y＝﹣x2﹣x与直线y＝kx的交点坐标，然后利用定积分计算直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x围17成区域的面积，等于曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积的一半，列方程求出k 的值．【解答】解：曲线y＝﹣x2﹣x与x轴交于（﹣1，0）和原点，所以，曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成的平面区域的面积为，联立，解得或，即直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x交于点（﹣k﹣1，﹣k2﹣k）和坐标原点，所以，曲线y＝﹣x2﹣x位于直线y＝kx上方区域的面积为＝＝，解得，故选：D．【点评】本题考察利用定积分计算曲边三角形的面积，关键在于积分函数与积分区间，属于中等题、24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，画出图象确定所求区域，结合定积分的几何性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，如图所示，阴影部分为曲线y＝x2与y＝x所围成的图形，其面积S＝S△ABO﹣S曲边梯形ABO ＝（x﹣x2）dx；故选：A．【点评】本题考查定积分的几何意义，要注意明确被积函数和积分区间．1825．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B ．C ．D．0【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为﹣1的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：联立方程可得，解得x＝﹣1，0，1，∴直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积S＝2（x﹣x3）dx＝2（）＝2（﹣）＝，故选：C．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．26．如图，阴影部分的面积为（）A．2B．2﹣C ．D ．【分析】确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．【解答】解：由题意阴影部分的面积等于（3﹣x2﹣2x）dx＝（3x ﹣x3﹣x2）＝（3﹣﹣1）﹣（﹣9+9﹣9）＝，故选：C．19【点评】本题考查定积分求面积，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．27．由曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）A ．B ．C ．D．8【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2与直线y＝6x围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由解得，∴曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积S ＝﹣（x ﹣2）dx ＝﹣（）＝﹣2＝．故选：A．【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．28．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）A ．B ．C ．D．9【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的面积，即可求得结论．【解答】解：由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3联立，解得y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是S ＝（﹣x2﹣2x+3）dx ＝（﹣x3﹣x2+3x ）＝．故选：B．【点评】本题给出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3，求它们围成的图形的面积，着重考查了20定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题．29．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【分析】由物理学知识知，变力F（x）所作的功对应“位移﹣力”只要求W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx，进而计算可得答案．【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx＝∫12（5﹣x2）dx＝（5x﹣x3）|12＝故选：C．【点评】本题属于物理学科的题，体现了数理结合的思想方法，属于基础题．30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）A．（a+）dyB．2（a+）dyC．dxD．2dx【分析】由圆的方程求得y关于x的解析式，再求出x的取值范围，根据圆的对称性和定积分的几何意义，写出圆的面积表达式．【解答】解：由圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0），得y＝±，由（x﹣a）2≤r2，解得a﹣r≤x≤a+r；根据圆的对称性和定积分的几何意义，计算圆的面积为S圆＝2dx．故选：D．【点评】本题考查了圆的方程与定积分的应用问题，是基础题．31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）A．（x2﹣4）dxB．|（x2﹣4）dx|C．|x2﹣4|dxD．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx【分析】由题意结合定积分的几何意义整理计算即可求得最终结果．【解答】解：定积分表示曲边梯形的面积，位于x轴上方为正面积，位于x轴下方为负面积，据此可得：由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积是．故选：C．【点评】本题考查定积分的几何意义及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．【分析】首先确定所给数据中唯一曲边三角形的点的个数，然后利用频率近似概率，结合几何概型求解曲边三角形的面积即可．【解答】解：由表可知，向矩形区域{（x，y）|1⩽x⩽e，0⩽y⩽1}内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其横坐标分别为2.5，1.22，2.52，2.17，1.89，2.22其频率为．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为．故选：D．【点评】本题考查了蒙特卡洛模拟的方法，频率值近似为概率值，将古典概型与几何概型联系起来即可，属于常考题目．二．填空题（共18小题）33．cos xdx+dx＝1+．【分析】cos xdx可以直接积分，dx根据几何意义积分即可．【解答】解：dx表示单位圆在[0，1]上的部分的面积，即个单位圆的面积，∴cos xdx+dx＝sin x+＝1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．34．计算定积分＝．【分析】＝dx﹣dx，前式根据定积分的几何意义求解，后式直接积分即可得到所求．【解答】解：＝dx﹣dx，dx表示半圆y＝在[0，1]上部分的面积，即个单位圆的面积，∴＝dx﹣dx＝﹣x＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的求法，定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．35．（e x+2x）dx＝e2+3．【分析】直接利用定积分运算法则求解即可【解答】解：（e x+2x）dx＝e2﹣1+（22﹣0）＝e2+3，故答案为：e2+3【点评】题考查定积分的运算法则的应用，考查计算能力36．计算：dx＝π﹣．【分析】根据定积分的几何意义，结合圆的知识求解即可．【解答】解：依题意，dx表示半圆y＝，在x＝1和x＝2之间的部分与x轴围成的区域的面积，如图中阴影所示，依题意，△AOB为等边三角形，故B的纵坐标为∴dx＝π×22﹣＝π﹣，故答案为：π﹣．【点评】本题考查了定积分的求法，考查定积分的几何意义，主要考查计算能力和直观想象，属于中档题．37．若，则a＝2．【分析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a的值．【解答】解：若，则，即，所以a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2+2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：将直线方程与曲线方程联立可得，所以正直线y＝x和抛物线y＝﹣x2+2x交点坐标为（0，0），（1，1），结合图象可知围成的封闭图形的面积为．故答案为：．【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．本题属于基础题．39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是【分析】根据定积分的几何意义和积分法则求解即可．【解答】解：根据定积分的几何意义，由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是：S＝＝＝﹣0＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了定积分的几何意义与计算问题，是基础题．40．计算定积分sin xdx＝2．【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得sin xdx＝（﹣cos x），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，sin xdx＝（﹣cos x）＝cos0﹣cosπ＝2；故答案为：2．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式．41．定积分＝+e．【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（+e x），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，＝（+e x）＝（+e）﹣（0+1）＝+e，故答案为：+e．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式．42．的值为8π．【分析】利用定积分性质和圆的面积求出即可．【解答】解：根据定积分的性质，y＝sin3x为奇函数，在[﹣4，4]图象关于原点对称，定积分为0，y＝在x∈[﹣4，4]的面积为以（0，0）为圆心，半径为4的圆的面积的一半，故为8π，故答案为：8π．【点评】本题考查定积分的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为3﹣2ln2．【分析】求出曲线，直线y＝2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．【解答】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为＝（x2﹣2lnx）＝3﹣2ln2．故答案为：3﹣2n2．【点评】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．【分析】联立直线和抛物线，可得交点坐标，对y积分即可求得面积．【解答】解：联立y2＝x与y＝x﹣2可得，直线与抛物线的交点为（1，﹣1），（4，2），根据定积分的意义，图象所围成的阴影部分面积：S＝＝（）＝，故答案为：．【点评】本题考查了定积分的应用，定积分的几何意义，属于基础题．45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为1．【分析】根据定积分的几何意义求解即可．【解答】解：依题意，令e+1＝e x+1，得x＝1，所以直线x＝0，y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的区域的面积为S＝＝＝（ex﹣e x）|＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了定积分的几何意义，定积分的计算，属于基础题．46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．【分析】计算出阴影面积，圆的面积，代入几何概型的概率计算公式即可．【解答】解：依题意，图中阴影面积为S＝2＝﹣2cos x|＝4，而圆的面积为S'＝π×π2＝π3，所以圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的求法，圆的方程与面积，几何概型的概率计算，属于基础题．47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．【分析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积【解答】解：由曲线y＝与直线y＝2x﹣1构成方程组，解得，由直线y＝2x﹣1与y＝0构成方程组，解得；∴曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为：S＝dx﹣（2x﹣1）dx＝﹣（x2﹣x）＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的计算问题，关键是求出积分的上下限，是基础题．48．由函数y＝e x，y＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为e e﹣2e．【分析】运用定积分知识计算围城曲边梯形的面积可得结果．【解答】解：根据题意得，联立得；∴S＝＝e e﹣e﹣e（lne﹣ln1）＝e e﹣2e故答案为e e﹣2e．【点评】本题考查由定积分计算围成图形的面积．49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝±6．【分析】求出直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）的两个交点，确定被积函数和被积区间，利用定积分可求出围成的封闭区域的面积，即可求出k的值．【解答】解：当k＞0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1上方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为＝k，得k ＝6；当k＜0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1下方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为，得k＝﹣6．故答案为：±6．【点评】本题考查利用定积分来计算面积，解决本题的关键是确定被积函数和被积区间，属于中等题．50．计算2xdx＝8．【分析】直接根据定积分的计算法则即可．【解答】解：2xdx＝x2＝32﹣12＝8，故答案为：8【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题。

高三数学积分试题答案及解析1.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，这是一个几何概型概率的计算问题.正方形的面积为，阴影部分的面积为，故选．【考点】1.定积分的应用；2.几何概型.2.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.【答案】【解析】由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同..所以落到阴影部分的概率为.【考点】1.几何概型.2.定积分.3.二项式()的展开式的第二项的系数为，则的值为( ) A．B．C．或D．或【答案】A【解析】∵展开式的第二项的系数为，∴，∴，∵，∴，当时，.【考点】二项式定理、积分的运算.4. [2013·江西高考]若S1＝，S2＝，S3＝，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S1【答案】B【解析】S1＝＝x3＝，S2＝＝lnx＝ln2，S3＝＝e x＝e2－e＝e(e－1)>e>，所以S2<S1<S3，故选B.5. [2014·琼海模拟]如图所示，则由两条曲线y＝－x2，x2＝－4y及直线y＝－1所围成图形的面积为________．【答案】【解析】由图形的对称性，知所求图形的面积是位于y轴右侧图形面积的2倍．由得C(1，－1)．同理，得D(2，－1)．故所求图形的面积S＝2{[－－(－x2)]dx＋[－－(－1)]dx}＝2[－]＝2[－(－x)]＝.6.如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】根据余弦函数的对称性可得，曲线从到与x轴围成的面积与从到与轴围成的面积相等，∴由函数的一段图象与轴围成的封闭图形的面积，，故选B．【考点】定积分求面积。

高三数学积分试题答案及解析1.．【答案】【解析】=.考点:定积分2.由直线y＝2与函数y＝2cos2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．【答案】2π【解析】y＝2cos2＝cos x＋1，则所求面积为S＝dx＝(x－sin x)＝2π．3.（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e2+1【答案】C1=e+1﹣1=e【解析】（e x+2x）dx=（e x+x2）|故选C．4.设．若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______．【答案】【解析】．5.已知通过点(1，2)，与有一个交点，交点横坐标为，且．如图所示:设与所围成的面积为S，则S取得最小值为．【答案】【解析】由通过点(1，2)可得，即，由与联立方程组，解得．则与所围成的面积S为．∵由得，由得或，所以当时，S取得极小值，即最小值．此时，最小值．6.设函数，若，则x的值为______．【答案】【解析】，又，∴．7.下列结论中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）.①积分的值为2；②若，则与的夹角为钝角；③若，则不等式成立的概率是；④函数的最小值为2．【答案】①③【解析】，①正确；时，与的夹角为钝角或为，②不正确；由几何概型概率的计算公式得，时，不等式成立的概率是，③正确；，令在是减函数，在是增函数，所以，函数的无最小值，④不正确；综上知，答案为①③.【考点】定积分，平面向量的数量积，几何概型，指数函数的性质.8.已知，若，则= ( )A．1B．-2C．-2或4D．4【答案】D【解析】，即，解得，（因为），故选D.【考点】定积分基本定理9.．给出下列命题：①已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；②在进制计算中，；③若，且，则；④ “”是“函数的最小正周期为4”的充要条件；⑤设函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m=4027，其中正确命题的个数是个。

【解析】①由线性回归方程的意义可得结论正确；②，正确③由正态分布函数的性质可知正确；④由定积分的知识得：a=，所以根据周期公式知T=4，正确；⑤根据函数f（x）在单调递增和是一个奇函数，然后进行整体运算.【考点】（1）线性回归方程；（2）正态分布函数；（3）定积分；（4）函数的性质.10.由曲线，直线所围成封闭的平面图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，由曲线与直线的交点为.方法一：则封闭的平面图形的面积为.方法二：.【考点】定积分的简单应用11.已知函数与的图象所围成的阴影部分（如图所示）的面积为，则_____.【答案】【解析】，解得.【考点】定积分的几何意义.12.由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为()A．B．2－ln 3C．4＋ln 3D．4－ln 3【解析】如图所示，所求面积为S＝3－d x－＝8－ln x－4＝4－ln 3，故选D.13.d x＝________.【答案】π【解析】设y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知d x的值等于半径为2的圆的面积的.∴d x＝×4π＝π.14.________．【答案】1【解析】.【考点】定积分的应用.15.设a＝，b＝，c＝，则下列关系式成立的是()．A．<<B．< <C．D．【答案】C【解析】a＝＝ln x＝ln 2，b＝＝ln x＝ln3，c＝＝ln x＝ln5，所以，，，因为，()6＝32＝9，所以，()10＝25＝32，()10＝52＝25，所以<，即<<，所以16.把函数的图像向左平移后,得到的图像,则与的图像所围成的图形的面积为( )A．4B．C．D．2【答案】D【解析】函数的图像向左平移后，得到，得交点为，，则与的图像所围成的图形的面积为．【考点】三角函数平移变化，定积分．17.若，则f（2016）等于（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】，选D.【考点】1、分段函数及函数的周期性；2、定积分.18.= .【答案】0．【解析】因为是奇函数，所以=0．【考点】定积分的计算．19.由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【答案】【解析】.【考点】1.积分的运算；2.利用积分求面积.20.已知，，记则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】由已知，联想到定积分的几何意义得：为在上的定积分，即为曲边梯形的面积，而梯形的面积（如图），，故选C．【考点】定积分的几何意义．21.已知为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是 ( )A．B．C．D．【答案】C．【解析】由已知及牛顿-莱布尼茨公式得．由已知要求选项能推出，但不能推出选项．，但不能推出，故选C．【考点】1．定积分的计算；2充分、必要、充要条件的判断．22.在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y ＝kx（k＞0）所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为__________．【答案】【解析】根据题意画出图象如图，则,，则区域的面积，区域的面积为，由题意知，化简得，解得.【考点】定积分的计算.23.已知，直线交圆于两点，则．【答案】．【解析】由定积分的几何意义可知，，圆心到直线的距离．【考点】1．定积分的计算；2．直线与圆（相交弦长公式）．24.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为_______．【答案】【解析】曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形如图所示，故：=.【考点】定积分的计算25.曲线，所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】曲线，的交点为，所求封闭图形面积为.【考点】曲边梯形面积.26.若，，，则从小到大的顺序为 .【答案】【解析】，，，故.【考点】微积分基本定理.27.＝．【答案】3【解析】，或画出函数的图象，可以求出它在区间与轴围成的面积是3，由定积分的几何意义知答案为3.【考点】定积分的计算、定积分的几何意义.28.曲线和曲线围成的图形面积是．【答案】【解析】解得，或，则所求面积为 .【考点】定积分29.设，则二项式展开式中的第四项为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，选A.【考点】微积分基本定理，二项式定理.30.在的展开式中的常数项为p，则 .【答案】11【解析】，令，即，，则.【考点】二项展开式的通项、定积分的运算.31.设函数，其中则的展开式中的系数为（）A．-360B．360C．-60D．60【答案】D【解析】令的系数为【考点】定积分函数导数与二项式定理点评：本题中涉及到的知识点较多，主要有定积分的计算（首要找到被积函数的原函数）函数求导数及二项式定理：的展开式中通项为32.设的展开式中的常数项等于 .【答案】-160【解析】所以常数项为-160.【考点】定积分；二项式定理。

《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。

解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。

（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1-21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。

解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。

抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32，3 ）。

故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。

《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。

解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。

（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。

解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。

抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32，3 ）。

故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 曲线y=sin x与x轴在区间[0, 2π]上所围成阴影部分的面积为（）A.−4B.−2C.2D.42. 由直线x=0，x=2，y=0和抛物线x=√1−y所围成的平面图形绕x轴旋转所得几何体的体积为（）A.46 15πB.43π C.1615π D.83π3. 由直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为（）A.1 3B.53C.73D.1134. 由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A.5 6B.1C.53D.25. 曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A.3π10B.π2C.π5D.7π106. 函数y=sin x，y=cos x在区间(π4，5π4)内围成图形的面积为（）A.√2B.2√2C.3√2D.4√27. 一物体在力F(x)=3+e2x(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=1处，力F(x)所做的功为（）A.(3+e2)JB.(3+12e2)J C.(52+12e2)J D.(2+e2)J8. 由曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积是()A.4B.103C.163D.1549. 下列表示图中f(x)在区间[a, b]上的图象与x 轴围成的面积总和的式子中，正确的是（ ）A.∫f ba (x)dx B.|∫f ba (x)dx|C.∫f c 1a (x)dx +∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc 2(x)dxD.∫f c 1a (x)dx −∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc2(x)dx10. 直线y =x 与曲线y =√x 3围成的平面图形的面积是．（ ） A.14 B.2 C.1D.1211. 设函数f(x)=ax 2+c(a ≠0)，若∫f 10(x)dx =f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．12. y =cos x 与直线x =0，x =π及x 轴围成平面区域面积为________．13. 由曲线y =|x|，y =−|x|，x =2，x =−2合成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V =________．14. 两曲线x −y =0，y =x 2−2x 所围成的图形的面积是________．15. 由曲线y =x 2和直线x =0，x =1，以及y =0所围成的图形面积是________． 16.若在平面直角坐标系xOy 中将直线y =x 2与直线x =1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的体积V 圆锥=∫π10(x 2)2dx =π12x 3|10=π12据此类比：将曲线y =x 2与直线y =9所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积V =________．17. 在直角坐标平面内，由直线x=1，x=2，y=0和曲线y=1所围成的平面区域的x面积是________．18. 在xOy平面上，将抛物线弧y=1−x2(0≤x≤1)、x轴、y轴围成的封闭图形记为D，如图中曲边三角形OAB及内部．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过点(0, y)(0≤y≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为(1−y)π，试构造一个平放的直三棱柱，利用祖暅原理得出Ω的体积值为________．19. 函数f(x)=x3−x2+x+1在点(1, 2)处的切线与函数g(x)=x2−x围成的图形的面积等于________．2ax2−a2x)dx，则f(a)的最大值为________．20. 已知f(a)=∫(1x2在第一象限内的交点为P.21. 已知曲线C1：y2=2x与C2：y=12(1)求曲线C2在点P处的切线方程；(2)求两条曲线所围成图形的面积S.22. 求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．23. 已知曲线C:y=x2(x≥0)，直线l为曲线C在点A(1, 1)处的切线．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与曲线C以及x轴所围成的图形的面积．24. 如图一是火力发电厂烟囱示意图．它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体，烟囱最细处的直径为10m，最下端的直径为12m，最细处离地面6m，烟囱高14m，试求该烟囱占有空间的大小．（精确到0.1m3）25.(1)已知复数z的共轭复数是z¯，且z⋅z¯−3iz=10，求z；1−3ix所围成的平面图形的面积．(2)求曲线y=√x与直线x+y=2，y=−1326.（1）已知(√x +2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列．求n ．（2）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），求所投的点落在叶形图内部的概率．27. 求由下列给出的边界所围成的区域的面积： （1）y ＝sin x(π4≤x ≤π)，x =π4，y ＝0；（2）y ＝x 2，y ＝2x 2，x ＝1；（3）y ＝x 2，y =√x ．28. 求由y =4−x 2与直线y =2x −4所围成图形的面积．29. 已知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0． （1）求S 0．（2）求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积．30. 已知函数y =f(x)的图形如图所示，给出y =f(x)与x =10和x 轴所围成图形的面积估计值；要想得到误差不超过1的面积估计值，可以怎么做？31. 已知曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0由C 与围成封闭图形记为M ． （1）求M 的面积；（2）若M 绕x 轴旋转一周，求由M 围成的体积．32. 已知f(x)为一次函数，且f(x)=x ∫f 20(t)dt +1， （1）求函数f(x)的解析式；（2）若g(x)=x ⋅f(x)，求曲线y =g(x)与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．33. 已知圆锥的高为ℎ，底半径为r ，用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路，推导圆锥体积的计算公式． [提示：（1）用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n 块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn ，2r n，3r n…，(n−1)r n，r ；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n 2)×πr 2n 2，当n 越来越大时所趋向的值．]．34. 求曲线y =√x(0≤x ≤4)上的一条切线，使此切线与直线x =0，x =4以及曲线y =√x 所围成的平面图形的面积最小．35. 过点(0, 1)作曲线L:y =ln x 的切线，切点为A ．又L 与x 轴交于B 点，区城D 由L 、x 轴与直线AB 围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．36. 求曲线y =2x −x 2，y =2x 2−4x 所围成图形的面积．37. 已知∫(103ax +1)(x +b)dx =0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．38. 求下列曲线所围成图形的面积：曲线y=cos x，x=π2，x=3π2，y=0．39. 求曲线y=sin x与直线x=−π2，x=5π4，y=0所围成的平面图形的面积．40. 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x−x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．参考答案与试题解析数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 D【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx ，即可得出结论． 【解答】解：由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx =(−cos x)|0π=4． 故选：D ． 2.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】由题意此几何体的体积可以看作是∫π20(1−x 2)2dx ，求出积分即得所求体积． 【解答】解：由题意几何体的体积； ∫π20(1−x 2)2dx=π(x −23x 3+15x 5)|02=π(2−23×23+15×25) =4615π 故选A ． 3. 【答案】 C【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可． 【解答】解：直线x =1，x =2，y =0与抛物线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为S =∫x 221dx =13x 3|12=83−13=73，故选：C ．4.【答案】 A【考点】定积分的简单应用 【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解，然后求出曲线y =x 2+2与y =3x 的交点坐标，然后利用定积分表示所围成的平面图形的面积，根据定积分的定义解之即可． 【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x =[13X 3+2X −32X 2]01=56 故选：A 5.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】欲求曲线y =x 2和y 2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y =π(x −x 4)在0→1上的积分即可． 【解答】解：设旋转体的体积为V ，则v =∫π10(x −x 4)dx =π(12x 2−15x 5)|01=3π10．故旋转体的体积为：3π10． 故选A ． 6. 【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】根据定积分的几何意义，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx ，然后利用公式求出sin x −cos x 的原函数F(x)，算出F(5π4)−F(π4)的值，即为所求图形的面积． 【解答】解：根据题意，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx =(−cos x −sin x +C)|π45π4 （其中C 为常数） ∴ S =(−cos 5π4−sin5π4+C)−(−cos π4−sin π4+C)=(√22+√22+C)−(−√22−√22+C)=2√2 故选B 7.【答案】 C【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据题意建立关系式∫(103+e 2x )dx ，然后根据定积分的计算法则求出定积分的值即可． 【解答】解：根据题意可知F(x)所做的功为∫(103+e 2x )dx =(3x +12e 2x )|01=3+12e 2−12=52+12e 2故选C ．8.【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积 【解答】解：联立直线y =x −2，曲线y =√x 构成方程组，解得{x =4,y =2,联立直线y =x −2，y =0构成方程组，解得{x =2,y =0,如图所示：∴曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积S=∫√x40dx−∫(42x−2)dx=2x32|04 −(1x2−2x)|24=163−2=103．故选B．9.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用定积分定积分的简单应用【解析】先根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段，然后利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积，从而求出所求．【解答】解：根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积S=∫fc1a (x)dx−∫fc2c1(x)dx+∫fcc2(x)dx故选：D10.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先画出画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形，然后求出交点横坐标得到积分上下限，然后利用定积分表示出图形的面积，根据定积分的运算法则进行求解即可．【解答】解：画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形图形关于原点对称，交点的横坐标为−1，1∴直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形的面积是∫(1−1√x3−x)dx=2∫(1√x3−x)dx=2(34x43−12x2)|01=2(34−12−0)=12故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11.【答案】 √33【考点】定积分的简单应用 【解析】求出定积分∫f 10(x)dx ，根据方程ax 02+c =∫f 10(x)dx 即可求解．【解答】解：∵ f(x)=ax 2+c(a ≠0)，∴ f(x 0)=∫f 10(x)dx =[ax 33+cx]01=a3+c ．又∵f(x 0)=ax 02+c ．∴ x 02=13，∵ x 0∈[0, 1]∴ x 0=√33． 12.【答案】2【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍，最后结合定积分计算面积即可． 【解答】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍， ∴ S =2∫cos π20xdx =2 故答案为2．13.【答案】323π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）用定积分求简单几何体的体积【解析】作出曲线围成的封闭图象，根据旋转得到旋转体的结构即可得到结论．【解答】解：曲线y=|x|，y=−|x|，x=2，x=−2合成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体为底面半径为2，高为4的圆柱，去掉2个底面半径为2，高为2的圆锥，则对应的体积为π×42−2×13π×22×2=16π−16π3=323π，故答案为：323π14.【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为3，积分下限为0，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为3，积分下限为0；两曲线x−y=0，y=x2−2x所围成的图形的面积是∫(33x−x2)dx而∫(303x−x2)dx=(32x2−13x3)|03=272−9=92∴曲边梯形的面积是92故答案为92．15. 【答案】13【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y =x 2在区间[0, 1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案． 【解答】解：∵ 曲线y =x 2和直线L:x =1的交点为A(1, 1)，∴ 曲线C:y =x 2、直线L:x =1与x 轴所围成的图形面积为 S =∫x 210dx =13x 3|01=13．故答案为：13．16. 【答案】81π2【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积． 【解答】解：根据类比推理得体积V =∫π90(√y)2dy =∫π90ydy =12πy 2|09=81π2，故答案为：81π2.17.【答案】 ln 2【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先根据所围成图形的面积利用定积分表示出来，然后根据定积分的定义求出面积即可． 【解答】解：由题意，S =∫1x 21dx =ln x|12=ln 2．故答案为：ln 2． 18. 【答案】√34π 【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即可得出结论． 【解答】解：(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的， 根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等， 即Ω的体积为π⋅√34=√34π． 故答案为√34π． 19. 【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积． 【解答】解：函数的导数为f′(x)=3x 2−2x +1，则在(1, 2)处的切线斜率k =f′(1)=3−2+1=2， 则对应的切线方程为y −2=2(x −1)，即y =2x ， 由{y =x 2−x y =2x，解得x =3或x =0，则由积分的几何意义可得阴影部分的面积S =∫(302x −x 2+x)dx =(32x 2−13x 3)| 30 =92，故答案为：92．20. 【答案】29【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据定积分的运算公式求出f(a)的解析式，然后利用二次函数的图象和性质即可求出f(a)的最大值． 【解答】解：f(a)=∫(102ax 2−a 2x)dx =(23ax 3−12a 2x 2)|01=23a −12a 2∴ 当a =23时，f(a)取最大值，最大值为29 故答案为：29三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.【答案】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43.【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43. 22. 【答案】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1【考点】定积分的简单应用 【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解． 【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1 23. 【答案】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积． 【解答】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．24.【答案】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)，所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 3【考点】用定积分求简单几何体的体积 双曲线的特性【解析】由题意建立坐标系，得到如图的双曲线，烟囱最细处的直径为10m 即2a =10，最下端的直径为12m ，最细处离地面6m ，即双曲线经过(−6, 6)，烟囱高14m ，即自变量范围为−6到8，由此利用定积分的值得到体积． 【解答】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)， 所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 325.【答案】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )， 则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)， 同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)，直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．【考点】 复数的运算 共轭复数复数代数形式的混合运算 定积分在求面积中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )， 则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)， 同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)， 直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．26. 【答案】解：（1）∵ (√x 2x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴ 1+n(n−1)2×14=n ，整理得n 2−9n +8=0，n 1=1（舍） n 2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A ，由几何概型的概率公式得： P(A)=叶形图面积AOBC 的面积=∫(10√x−x 2)dx1=(23x 32−13x 3)|01=13…【考点】二项式定理的应用定积分在求面积中的应用 等差数列的性质几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】（1）由题意可得，C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12，解关于n 的方程即可；（2）由几何概型的概率公式可知，需求叶形图的面积，利用定积分∫(10√x −x 2)dx 可求叶形图的面积，从而使问题解决． 【解答】解：（1）∵ (√x 2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴1+n(n−1)2×14=n，整理得n2−9n+8=0，n1=1（舍）n2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A，由几何概型的概率公式得：P(A)=叶形图面积AOBC的面积=∫(1√x−x2)dx1=(23x32−13x3)|01=13…27.【答案】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．【考点】定积分的简单应用【解析】首先求出被积函数的原函数，进一步利用定积分知识求出结果．【解答】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．28.【答案】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x3−x2+8x)|−42=36．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x 3−x 2+8x)|−42=36．29. 【答案】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx =π[x2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π22【考点】用定积分求简单几何体的体积 定积分在求面积中的应用【解析】（1）根据题意可知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0=∫sin π0xdx ，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为V =π∫sin 2π0xdx ，根据定积分的定义解之即可． 【解答】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx=π[x 2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π2230.【答案】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ， 由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx =(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5． 若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，利用待定系数法确定函数关系式，利用定积分求出面积估计值；若要误差小可分段求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 【解答】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx=(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5． 若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 31. 【答案】解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43；（2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx =π(x 22−x 312)|04=8π3．【考点】用定积分求简单几何体的体积 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】（1）求得交点坐标，可得积分区间，即可求M 的面积； （2）旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．【解答】 解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43； （2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx=π(x 22−x 312)|04=8π3．32.【答案】 解：（1）设f(x)=kx +b ， ∵ f(x)=x ∫f 20(t)dt +1， ∴ kx +b =x •(kt 22+bt)|02+1，∴ kx +b =(2k +2b)x +1，∴ k =−2，b =1， ∴ f(x)=−2x +1，；2)g(x)=xf(x)=−2x 2+x ， ∴ V =π∫[120xf(x)]2dx =π240． 【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分【解析】（1）利用待定系数法，结合定积分的定义求函数f(x)的解析式；（2）求出g(x)，应用定积分来求旋转体的体积．【解答】解：（1）设f(x)=kx+b，∵f(x)=x∫f2(t)dt+1，∴kx+b=x•(kt22+bt)|02+1，∴kx+b=(2k+2b)x+1，∴k=−2，b=1，∴f(x)=−2x+1，；2)g(x)=xf(x)=−2x2+x，∴V=π∫[120xf(x)]2dx=π240．33.【答案】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎn⋅16n(n+1)(2n+1)⋅πr2n2=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】利用极限的定义进行分割、近似代换和求极限的方法，进行推到【解答】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎ⋅1n(n+1)(2n+1)⋅πr22=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积34.【答案】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2√x −x0)即y=y02+2√x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022x√x)dx=2y0+x−163=2√x0x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=22+√22．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据导数的几何意义求出曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．【解答】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2x −x0)即y=y02+2x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022√x√x)dx=2y0+√x−163=2√x0√x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=2√2+√22．35.【答案】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)， 则{k =1aka +1=b ln a =b ，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx =8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】求出A 的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示． 【解答】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)， 则{k =1aka +1=b ln a =b，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx=8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．36. 【答案】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4． 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先求出两曲线的交点坐标，利用定积分的应用即可求出对应图形的面积． 【解答】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4． 37. 【答案】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设ab =t 则a +b =−3t+12，再利用构造法构造a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根，然后利用判别式可求出a ．b 的取值范围． 【解答】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 38.【答案】解：根据对称性，得： 曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍，最后结合定积分计算面积即可． 【解答】解：根据对称性，得： 曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．39. 【答案】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22． 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】求曲线y =sin x 与直线x =−π2，x =5π4，y =0所围成的平面图形的面积【解答】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22． 40.【答案】 由 {y =kx y =x −x2 得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)． 由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112 ∴ (1−k)3=12 ∴ k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ． 故k 的值为：k =1−√432．【考点】定积分的简单应用 【解析】先由 {y =kx y =x −x 2 得 {x =1−k y =k −k 2 ，根据直线y ＝kx 分抛物线y ＝x −x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 下面利用定积分的计算公式即可求得k 值． 【解答】由 {y =kx y =x −x 2得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)．由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112试卷第31页，总31页 ∴ (1−k)3=12 ∴k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ． 故k 的值为：k =1−√432．。

定积分测试题及答案班级： 姓名： 分数：一、选择题：（每小题 5 分）1 1-x 2dx （）1.A.0B.1C.D 42(2010 ·山东日照模考 )a ＝ 2xdx ，b ＝ 2e xdx ，c ＝2sinxdx ，则 a 、b 、c的大小关系是 ()A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b3.(2010 山·东理， 由曲线y ＝ 2，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为 ()7) x1 11 7 A. 12B.4C.3D.124．由三条直线 x ＝0、x ＝2、y ＝0 和曲线 y ＝ x 3所围成的图形的面积为()418A ．4B.3C. 5D ．65.(2010 湖·南师大附中 )设点 P 在曲线 y ＝ x 2 上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线 OP ，直线 y ＝x 2 及直线 x ＝2 所围成的面积分别记作 S 1，S 2.如图所示，当 S 1＝S 2 时，点 P 的坐标是 ()4 164 16 4 15 4 13 A.3，9B.5，9C.3，7D.5，76．(2010 ·湖南省考试院调研 )1 -1(sinx ＋1)dx 的值为 ( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos17．曲线 y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线 y ＝1 所围成的图形面积是 ()3πA ．2πB ． 3πC. 2D ．π8．函数 F(x)＝ xt(t －4)dt 在[－1,5]上 ()A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0 和最小值－ 32332C ．有最小值－ 3 ，无最大值D．既无最大值也无最小值S n ＝2n 2＋n ，函数 f(x)＝ x1 9．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 t dt ，若13，则 x 的取值范围是 ()f(x)<a3－A. 6 ，＋∞B ．(0，e 21)C ．(e 11，e)D ．(0，e 11)10．(2010 ·福建厦门一中 )如图所示，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y ＝sinx(0≤x ≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点 (该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的 )，则所投的点落在阴影部分的概率是 ()123πA. D.4．·吉林质检 函数x ＋2 －2≤x<0的图象与 x 轴所围 ) f(x) ＝π 11 (20102cosx 0≤x ≤2成的图形面积 S 为()31A. 2B ．1C ．4D.212．(2010 ·吉林省调研 )已知正方形四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)， B(1,1)，C(0,1)，曲线 y ＝x 2(x ≥0)与 x 轴，直线 x ＝1 构成区域 M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域 M 内的概率是 () 11 1 2A. 2B. 4C.3D.5二、填空题：（每小题 5 分）13.sinxdx= ______________14.物体在力 F(x)=3x+4 的作用下，沿着与 F 相同的方向，从 x=0 处运动到 x=4 处，力 F 所做的功为 ______________21x )dx15. (x______________116. 1e x )dx(e x ______________17.(2010 芜·湖十二中 )已知函数 f(x)＝3x 2 1＋2x ＋1，若 -1 f(x)dx ＝2f(a)成立，则 a ＝________.18．(2010 ·安徽合肥质检 )抛物线 y2＝ax(a>0)与直线 x＝1 围成的封闭4图形的面积为3，若直线 l 与抛物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0，则 l 的方程为 ______．19．(2010 ·福建福州市 )已知函数 f(x)＝－ x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与 x 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域 (图1中阴影部分 )的面积为12，则 a 的值为 ________．20．如图所示，在区间 [0,1] 上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定 t 的值，使图中阴影部分的面积 S1＋S2最小为 ________．答案1.D 2D 3A 4A 5A 6B 7A 8B 9D 10A 11C 12 C 13.2 14.40 15 23 + ln 2 16.e- 1e 17.-1 或31 18.16x-8y+1=0 19.-1 20. 41。

高考定积分应用常见题型大全（含答案）一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）A．B．C．D．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln25．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A．1B．C．D．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2B．4C．5D．8 8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0 10．的值是（）A．B．C．D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.513．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5 14．积分=（）A．B．C．πa2D．2πa215．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2A．4B．C．D．2π17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．2219．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=高考定积分应用常见题型大全（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积．解答：解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选C点评：本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题．解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2考点：定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．解答：解：=（x2+lnx）|12=（22+ln2）﹣（12+ln1）=3+ln2故选B．点评：本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题．5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）考点：定积分；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=故选：C点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．4考点：微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于F（x）=x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．解答：解：∵（x2++sinx）′=x+cosx，∴（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2．故答案为：2．点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题．7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）考点：定积分的简单应用．分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．解答：解：由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）⇒表示的平面区域如图所示：故选B．点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x或y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．解答：解：∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图∵当0＜x＜1时，e x x＞e x，故有：∫01e x dx＞∫01e x dx点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°．解答：解：∵a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°，∴b＞a．故选A．点评：本题考查定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．的值是（）A．B．C．D．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积即可．解答：解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．故答案选A点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论．解答：解：===故选C．点评：本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题意，，由此可求定积分的值．解答：解：由题意，=+=2﹣+4﹣2=3.5故选C．点评：本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和．13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx，将∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx转化成∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解答：解：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx=∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx=（2x+x2）|﹣21+（4x﹣x2）|12=7 故选A．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．积分=（）考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆．解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，故==．故选B．点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f（x）的积分，求出所求即可．解答：解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为=（﹣）|01+sinx=+1=故选D．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要．16．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（）考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：由题意可知函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求∫0（1﹣cosx）dx即可．然后根据积分的运算公式进行求解即可．解答：解：由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积，就是：∫0（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）|0=．故选B．点评：本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分．17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．解答：解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选B．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．22考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：A1=∫02[]dx=2 dx=，A2=∫28[]dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2==18故选B．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力．19．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为0曲线与坐标轴围成的面积是：S=∫0（﹣）dx+∫dx=∴围成的面积是故选D．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．解答：解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2=10π解得：r=2．∵点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点．∴3a2=k且=r∴a2=×（2）2=4．∴k=3×4=12，则反比例函数的解析式是：y=．故选C．点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．。

第六章 定积分的应用（A ）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y =与822=+y x （两部分都要计算）2）xy 1=与直线x y =及2=x3）xe y =，xe y -=与直线1=x4）θρcos 2a =5）t a x 3cos =，t a y 3sin =１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线θρae=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -=333上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力(B)1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 23=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122-=x y 所围成图形的面积6、求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a8、由曲线()16522=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线()32132-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度(C)1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H V π2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值3、求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章 定积分应用 习 题 答 案（A ）1、1）342+π，346-π 2）2ln 23- 3）21-+ee 4）2a π 5）283a π2、23a π 3、()ππ2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，564π 6、3334R 7、3432- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3732727a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2211t a aGmu F y 22t a a Gmu F x +-=λ(B)1、1）⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=pp p dy p y y p S 322316223 或()⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+-++=20229231622322pp p p dx px x p dx px px S2）⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=pp p p p dy p y dy y p V 33322215272223πππ 2、()⎰=-=10231dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=10222103dx x x V3、()()⎰⎰-=-+-=244222cos sin sin cos πππdx x x dx x x A()()()()()()⎰⎰=-+-=24224022cos sin sin cos πππππdx x x dx x x V4、抛物线在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A = 5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122-=x y 的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,23，()2,3- ⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122491224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan由()a x y -=αtan ，ax y 42=得两交点纵坐标为()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα所以()()dy a y yctg a A y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2142αα ()()32222csc 34csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=()()3232csc 34csc 4ααa a -=()32csc 38αa =因为πα<<0 当2πα=时 ()3csc α取得最小值为1所以 当2πα=时 过焦点的弦与抛物线ax y 42=所围成的图形面积()32csc 382απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小7、1）()()πθθθθπππ45cos 321cos 1212232302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A2）()()[]⎰⎰-=++=ππππθθθθθ22220241cos sin 21sin 21a d a d a A 8、()()⎰⎰------+=44442222165165dx xdx xV ππ()()⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+=4422222160165165ππdx xx9、解法同题810、提示：()32132-=x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,2 所求弧长()⎰+=212'12dx y s由()32132-=x y 得()yx y 2'1-=于是()()()()()1231321134222'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y于是得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰12598123122321221dx x S(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成所以()⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy x V 222ππR HR R HR y yR ---=332ππ()[]()[]3323H R R H R R R -----=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H π2、解：()⎰-=tdx x t S 11sin sin ()⎰-=22sin sin πtdx t x S()()⎰-=tdx x t t S 1sin sin +()⎰-2sin sin πtdx t x=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛-+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t S π，得驻点2421ππ==t t易知()()002''1''<>t S t S122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭⎫⎝⎛=πS S3、解：设()00,y x 为曲线x y =()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：()00021x x x y y -=- 即0022x x y y +=得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围的平面图形面积为：3164222004000-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S3164200-+=x x 问题即求31642-+=xx S ()40≤≤x 的最小值 令022321=+=--xxS 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值所以 当2=x 时，S 最小 即所求切线即为：2222+=x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面上提升时，做功微元为()()dx x r x r g dW +-=22π()()g r dx x r x r g dW W r r r r 42234ππ⎰⎰--=+-==。

一、选择题1．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78542．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．23．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；②()3sin F x x x =+， ()23cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．的是（ ） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数4．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 5．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（ ） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-6．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 7．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（ ）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+8．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．2310．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A ．3B ．23-C ．π23-D ．π33-11．1204x dx -=⎰（ ）A ．4B ．1C ．4πD ．332π+12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．232319x x dx -⎫-=⎪⎪⎭⎰____________________.14．已知曲线与直线所围图形的面积______.15．424(16)x x dx --+=⎰__________．16．已知曲线y x =，2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S =__________．17．定积分()102xx e dx +=⎰__________．18．已知()12111,a x dx -=+-⎰则932a x x π⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________19．若，则的值是__________．20．定积分120124x x dx π⎫--⎪⎭⎰的值______. 三、解答题21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由. 22．已知函数()ln 3mf x x x x=++. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的[]0,2m ∈，不等式()()1f x k x ≤+，对[]1,x e ∈恒成立，求实数k 的取值范围.23．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 24．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．25．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-.①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 26．计算由直线4,y x =-曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S 。

定积分及其应用题一 题面：求由曲线2(2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323．变式训练一题面：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)，2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.52 B ．2 C ．3D ．4答案：D. 详解：画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4.变式训练二 题面：由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 3 B ．9－2 3 C.353D.323答案： 详解：注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1－3＝3×1－13×13－12－⎣⎢⎡3×－3－13×－33]－－32＝323，选D.题二 题面：如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )．A ．14B ．15C ．16D ．17变式训练一题面：函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________． 答案：π4.详解：设A (x 0,0)，则ωx 0＋φ＝π2，∴x 0＝π2ω－φω. 又y ＝ωcos(ωx ＋φ)的周期为2πω， ∴|AC |＝πω，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－φω＋πω，0.依题意曲线段ABC 与x 轴围成的面积为 S ＝－∫π2ω－φω＋πωπ2ω－φωωcos(ωx ＋φ)d x ＝2. ∵|AC |＝πω，|y B |＝ω，∴S △ABC ＝π2. ∴满足条件的概率为π4.变式训练二 题面：（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C. 详解：根据题意，正方形OABC 的面积为1×1=1， 而阴影部分由函数y=x 与y=围成，其面积为∫01（﹣x ）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC 中任取一点P ，点P 取自阴影部分的概率为=； 故选C ．金题精讲 题一 题面：（识图求积分，二星）已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )．A ．2π5B ．43C ．32D ．π2答案：变式训练一题面：如图求由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．答案：43. 详解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎨⎧y ＝－14x2，y ＝－1，得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．∴所求面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤∫10⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝43.变式训练二 题面：例1求在[0,2]π上，由x 轴及正弦曲线sin y x =围成的图形的面积. 答案：4. 详解：作出sin y x =在[0,2]π上的图象如右 sin y x =与x 轴交于0、π、2π，所 求积2200sin |sin |(cos )|(cos )|4s xdx xdx x x ππππππ=+=---=⎰⎰题二 题面：（作图求积分，四星）求曲线36y x x =-与曲线2y x =所围成的图形的面积． 交点的横坐标分别为2,0,3-，12112S =．变式训练一题面：求曲线2y x =，y x =及2y x =所围成的平面图形的面积. 答案：76. 详解：作出2y x =，y x =及2y x =的图如右 解方程组22y x y x=⎧⎨=⎩ 得24x y =⎧⎨=⎩0x y =⎧⎨=⎩ 解方程组2y x y x =⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩ 00x y =⎧⎨=⎩∴所求面积12201(2)(2)s x x dx x x dx =-+-⎰⎰ 12201(2)xdx x x dx =+-⎰⎰212320111|()|23x x x =+- 76=答：此平面图形的面积为76变式训练二 题面：求由抛物线28(0)y x y =>与直线6x y +=及0y =所围成图形的面积. 答案：403. 详解：作出28(0)y x y =>及6x y +=的图形如右：解方程组2860y x x y ⎧=⎨+-=⎩得24x y =⎧⎨=⎩解方程组600x y y +-=⎧⎨=⎩ 得60x y =⎧⎨=⎩∴所求图形的面积62(6)s x dx =+-⎰⎰32262022140|(6)|323x x x +-= 题三x题面： （1）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为_______．（2）由曲线2y x =与直线2y x =-所围成的封闭图形的面积为_______． 答案：（1）163；（2）92．变式训练一题面： 设f （x ）=，函数图象与x 轴围成封闭区域的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C.详解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选C变式训练二 题面：已知函数的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A．1/2 B．1C．2D．3/2答案：D.详解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为102(1)cosx dx xdxπ--++⎰⎰21021()|sin|2x x xπ-=-++112=+32=.故选D．题四题面：（导数与积分结合，二星）设函数()mf x x ax=+的导函数为()21f x x'=+，则21()f x dx-⎰的值等于______．答案：56．变式训练一题面：设函数f(x)＝x m＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则⎠⎛12f(－x)d x的值等于()A.56B.12C.23D.16答案：A. 详解：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是∫21f (－x )d x＝∫21(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪21＝56.变式训练二 题面：设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.16答案：A. 详解：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12 (x 2－x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 221＝56.题五 题面：（化简后求积分，四星）（1）求21sin 2xdx π-20sin cos x x dxπ=-⎰原式4204(cos sin )(sin cos )x x dx x x dx πππ=-+-⎰⎰22 2.=（2）440(sin cos )22x xdx π+⎰变式训练一题面：与定积分∫3π01－cos x d x 相等的是( ) A.2∫3π0sin x 2d x B.2∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π0sin x 2d x D ．以上结论都不对答案：B. 详解：∵1－cos x ＝2sin 2x2，∴∫3π01－cos x d x ＝∫3π02 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x ＝2∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x .变式训练二题面：40cos xdx π=⎰________.答案：22.详解：因为40cos xdx π=⎰sin x ⎪⎪⎪⎪π40＝sin π4＝22，所以∫π40cos x d x ＝22. 题六 题面：（定积分的运用，三星）函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．(1)若φ＝π6，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，332，则ω＝________；(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．[解析] (1)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)求导得，f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，把φ＝π6和点⎝⎛⎭⎫0，332代入得ωcos ⎝⎛⎭⎫0＋π6＝332解得ω＝3．(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数f ′(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，求得A ⎝⎛⎭⎫π9，0， B ⎝⎛⎭⎫5π18，－3，C ⎝⎛⎭⎫4π9，0，故△ABC 的面积为S △ABC ＝12×3π9×3＝π2，曲线段与x 轴所围成的区域的面积S ＝－⎪⎪⎪f (x ) 4π9π9＝－sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π9＋π6＝2，所以该点在△ABC 内的概率为P ＝S △ABC S ＝π4. 同类题一题面：设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．答案：(1) f (x )＝x 2－2x ＋1.(2) 13.详解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎛01(x 2－2x ＋1)d x ＝(13x 3－x 2＋x )|10＝13.同类题二题面：设y =f （x ）是二次函数,方程f （x ）=0有两个相等的实根，且f ′（x ）=2x +2.（1）求y =f （x ）的表达式；（2）求y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x =－t （0＜t ＜1＝把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.答案：（1）f （x ）=x 2+2x +1.（2）13. （3）t =1－321. 详解： （1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ，又已知f ′（x ）=2x +2∴a =1，b =2.∴f （x ）=x 2+2x +c又方程f （x ）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1.故f （x ）=x 2+2x +1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201=++=++--⎰x x x dx x x . （3）依题意，有x x x x x x t t d )12(d )12(2021++=++⎰⎰---， ∴023123|)31(|)31(t t x x x x x x ---++=++，－31t 3+t 2－t +31=31t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0，∴2（t －1）3=－1，于是t =1－321.思维拓展题一题面：（几何法求积分，四星）（1）计算0⎰，121sin x xdx -⎰；（2）求椭圆22221x y a b +=的面积．0044b S a ==⎰⎰，转化为圆的面积．同类题一题面：求定积分11dx -⎰的值. 答案：2π． 详解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积． 因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π．同类题二题面：20)ax dx -⎰的值是（ ） A. 143π- B. 143π+ C. 123π- D. 12π- 答案：A.详解：积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x 2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x 轴和直线x=1围成的图形的面积之差．即20)ax dx-⎰ 1231001|443x dx x ππ=-=-⎰ 143π=-.故答案选A。

第六章定积分的应用习题6-2 (A) 1．求下列函数与x 轴所围部分的面积：(1) y x 2 6x 8, [0, 3]( 2) y 2x x2 , [ 0, 3]2．求下列各图中阴影部分的面积：1.图 6-13．求由下列各曲线围成的图形的面积：(1) y e x , y e x与x1;( 2) y ln x 与 x 0, y ln a, y ln b (b a 0) ;(3) y 2x x2与 y x , y 0 ;( 4) y 2 2 x , y 2 (x 1) ;(5) y 2 4(1 x) 与 y 2 x , y 0 ;(6) y x2 与 y x , y 2x ;(7) y 2 sin x , y sin 2x (0 x ) ;(8) y x 2,x 2 y 2 （两部分都要计算）;2 84．求由曲线y ln x 与直线 y 0, x e 1 , x e 所围成的图形的面积。

5．求抛物线y x 2 4 x 3 及其在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。

6．求抛物线y 2 2 px 及其在点 ( p, p) 处的法线所围成的图形的面积。

27．求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图形的面积。

x 2 y 21 所围图形的面积。

8．求椭圆2 b 2a9．求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost ) 的一拱（0 t 2 ) 与横轴所围图形的面积。

10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。

11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积：(1) 2a sin (a 0) ;( 2) 2a (2 cos ) (a 0);(3) 2 2 cos 2 （双纽线） ;12. 把抛物线y2 4ax 及直线 x x( x 0 0) 所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。

13. 由 y x 3 , x 2 , y 0 所围成的图形，分别绕x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。

第六章 定积分的应用习题 6-2 (A)1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积：]3,0[,86)1(2+-=x x y ]3,0[,2)2(2x x y -=2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1.图 6-13．求由下列各曲线围成的图形的面积：;1,)1(===-x e y e y x x 与;)0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与;0,2)3(2==-=y x y x x y 与;)1(,2)4(22--==x y x y;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与;2,)6(2x y x y x y ===与;)0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y;8,2)8(222（两部分都要计算）=+=y x x y4．的图形的面积。

所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 15．的面积。

处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y6．的面积。

处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2(22p ppx y = 7．形的面积。

与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+8．所围图形的面积。

求椭圆12222=+by a x9．。

与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x10．轴之间的图形的面积。

的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x =11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ;)0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ;2cos 2)3(2（双纽线）θρ=抛物体的体积。

轴旋转，计算所得旋转所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>==体的体积。

旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133===14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x axcha y ====;,2sin )2(轴绕与x xy x y π== ;,)20(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π≤≤==;0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-=;,16)5()6(22轴绕y y x =+-。

第六章定积分的应用(A)1、求由下列各曲线所围成的图形的面积1)y = Lx2与F+)，2=8 (两部分都要计算)22)y = L与直线y = x及x = 2 X3)y = e x , y = e^x与直线x = 14)=2a cos5)x = «cos31 9 y = usin' t1、求由摆线x = d(/-sin/), y = 6/(l-cosr)的一拱(0<r<2 )与横轴所围成的图形的而积2、求对数螺线=(疋(- < < )及射线=所困成的图形的而积1/103求由曲线v = sinx和它在％ =—处的切线以及直线A-=所用成的图形的而积和它绕2 x轴旋转而成的旋转体的体积4.由y = x3 , x = 2, y = 0所用成的图形.分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两旋转体的体积5、计算底而是半径为R的圆，而垂直于底而上一条固左直径的所有截面都是等边三角形的立体体积6、计算曲线y = £(3 -0上对应于1 <A <3的一段弧的长度7、计算星形线x = a cos31, y = a sin31的全长8、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F（单位：N）与伸长量S（单位：cm）成正比，即：F = kS（k是比例常数）.如果把弹簧内原长拉伸6cm,计算所作的功9、一物体按规律x = cP作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x = 0 移到x= «时，克服介质阻力所作的功1 0、设一锥形储水池，深15m, 口径20m,盛满水，将水吸尽，问要作多少功?1 1、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm和6cm.高为20cm,较长的底边与水而相齐，计算闸门的一侧所受的水压力1 2、设有一长度为（,线密度为U的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为U单位处有一质量为m的质点M,试求这细棒对质点M的引力（B）31.设由抛物线r = 2/zv（/;>0）与直线x + y< P所围成的平而图形为D21）求D的而积S ;2）将D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线y-x2及尸=兀所困成图形的而积，并求该图形绕x轴旋转所成旋转体的体3、求由y = sin x , y =5,归，“尹御成的图形的面积，并求该图形绕X轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线y1 = 2px及英在点处的法线所囤成的图形的而积V2 ）5、求曲线$ = /-2^ + 4在点旳（0,4）处的切线MT与曲线y2 =2（x- 1）所围成图形的而积6、求由抛物线于=4似与过焦点的弦所羽成的图形而积的最小值7、求由下列曲线所带I成图形的公共部分的面积1）= 3 cos , = 1 + cos2) =a sin = "(cos + sin ), a>08、由曲线x2+(y-5)2=16所困成图形绕x轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在(0,»半径为a , (b>a> 0)的圆，绕x轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线y2=5(x-l)3被抛物线>'2 =二截得的一段弧的长度3 3166/10(01>用积分方法证明半径为R 的球的髙为H 的球缺的的体积为 v= ”⑴s = S1 + S2取最大值和最小值 3、求曲线y =（0<x<4）上的一条切线，使此切线与直线x = 0,人・=4以及曲线 y =仮所用成的平面图形的而积最小 4.半径为r 的球沉入水中，球的上部与水而相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出, 需作多少功？第六章定积分应用习题答案(A)4 43 111) 2 +6 - 2)_一 In 23) 0 + _- 23 32e4) a 182、3,3、,十） 4、—一 1, — 5、 128644)2 4 7 56、 37、 2,/3--38^ 6a9、 0.18H10（其中k 为比例常数）11. () 57697.5 kJ 12.皿）7GimiC伏取y 轴经过细直棒―叫，侖戶一 2^分别讨论函数y = sinx 0 <x<在取何值时，阴影部分的而积s, S 的和1 22、卩p I -p-y■3" I 2“孤显 v=jY ( z y-(x 2)2k=i 3 <A 丿 10A =『(cos A -sin x)dx +f (sin x-cos x)dx = 2、伍 - 2 4H = ])4 ((cos x)~ - (sin x)2 +『gsin x)~ - (cos x)2 )t/x44、 抛物线在点J处的法线方程为：x + y=3p ,以下解法同第一题A=l6p 2U )2 T 5、 MT ： y = 4 — 2x,切线MT 与曲线y 2 = 2(x- 1)的交点坐标为 J \(3-2)U 丿昇 4- y y 2 ) 9 A=( \ --------- _一_ 11心=_丄2( 2 2 ) 46、 提示：设过焦点3,0)的弦的倾角为则弦所在直线的方程为y = tan (x 一 «) 由y = tan (x- a) , y 2 = 4ax 得两交点纵坐标为=4a 2 esc =4/(esc因为0< v 当=一时(esc )3取得最小值为12所以当=—时过焦点的弦与抛物线y 2 =4ax 所围成的图形而积/ A Q 2 A ~ = a 2(esc 『最小 〔2丿32) V = 3、272 —p'15+ 4a 】(cfg )2 esc - ° i/L (csc )'3)_ 匕2 (esc )3 = er (esc $)=>22、A o223 2 X10、 提示：y =3(x-l) , y =3.所求弧长$ = 2『 Jl + (y)认由 y 2 =~ (x-1)' 得)；=° 一"3,>'条—i )2u 》c_i ) 于是(f $ 丿 ju-i)3 2(01、 证明：此处球缺可看作由如图阴影(图x 2 + f = R 2的一部分)绕y 轴旋转而成 所以V=匸〃 x ~dy=匸〃(&)')◎ = R'总〃 _ y|t//= R 2[R-(R-H )[--\R y -(R-H^]=H 2(R-~ '3 I 3 >2、 解：§ = [(sin t - sin x)clx S“ =『(sin x - sin t\lx7、 1) A = 2 1( 為 I+cos-1弋 I 3cos3?y2) A = [ — a sinJ ()2(—L a sin ff一 1------a 2 4+ cos9、 解法同题8)-(5-^16-x 2S0 ) = J (sin i - sin 心/x + f (sin x - sin t\lx = 2cos/ + ”2r - 'sin/ -1' (z ) = 2/- cos/ = 0 ・冯註点/ =s‘a)<o3、解：设(myo)为曲线y =低(03<4)上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为:yo得其与X = 0, X = 4的交点分别为a 2于是由此切线与直线x = 0, x = 4以及曲线y =低所圉的平而图形面积为:问题即求S = 2、/7 + ” 1*0 5X 5 4)的最小值J3令S =「亍+ 2x 0得唯一驻点X = 2 且为唯一极小值 所以当x = 2时，S 最小 即所求切线即为：),=_二+返2运 24、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意［x.x + dx ］段薄片在提升过程中在水中行程为r —x,而在水上的行程为2r — (r-x)=r+x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水而0<r<maxmin-1V2・・一1, s16 T上提升时，做功微元为dW=g（宀疋）（厂+讪VV =『dW = g f （r2 - X2+ x]dx = ~r^T T 311/10。

高中数学定积分的简单应用综合测试卷（有解析）选修2-2 1.7 定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为()A.abf(x)dxB.abg(x)dxC.ab[f(x)－g(x)]dxD.ab[g(x)－f(x)]dx[答案]C[解析]由题图易知，当x[a，b]时，f(x)g(x)，因此阴影部分的面积为ab[f(x)－g(x)]dx.2．如图所示，阴影部分的面积是()A．23 B．2－3C.323D.353[答案]C[解析]S＝1－3(3－x2－2x)dx即F(x)＝3x－13x3－x2，则F(1)＝3－1－13＝53，F(－3)＝－9－9＋9＝－9.S＝F(1)－F(－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.02(x2－1)dxB．|02(x2－1)dx|C.02|x2－1|dxD.01(x2－1)dx＋12(x2－1)dx[答案]C[解析]y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.4．设f(x)在[a，b]上连续，则曲线f(x)与直线x＝a，x＝b，y＝0围成图形的面积为()A.abf(x)dx B．|abf(x)dx|C.ab|f(x)|dx D．以上都不对[答案]C[解析]当f(x)在[a，b]上满足f(x)0时，abf(x)dx0，排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，abf(x)dx是两面积之差，排除B；不管什么情形C对，故应选C.5．曲线y＝1－1681x2与x轴所围图形的面积是()A．4 B．3C．2 D.52[答案]B[解析]曲线与x轴的交点为－94，0，94，0故应选B.6．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时刻段内的位移是A．31m B．36mC．38m D．40m[答案]B[解析]S＝03(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2021山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.112B.14C.13D.712[答案]A[解析]由y＝x2y＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．S＝01(x2－x3)dx＝13x3－14x410＝112.8．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为() A．8J B．10JC．12J D．14J[答案]D[解析]由变力做功公式有：W＝13(4x－1)dx＝(2x2－x)31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时刻t的函数，若已知产量的变化率为a＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为()A.12 B．3－322C．6＋32 D．6－32[答案]D[解析]3636tdt＝66t63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l的方程为()A．y＝ax B．y＝axC．y＝－ax D．y＝－5ax[答案]B[解析]设直线l的方程为y＝kx，由y＝kxy＝x2－2ax得交点坐标为(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2)图形面积S＝2a＋k0[kx－(x2－2ax)]dx＝k＋2a2x2－x332a＋k0＝(k＋2a)32－(2a＋k)33＝(2a＋k)36＝92a3k＝a，l的方程为y＝ax，故应选B.二、填空题11．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．[答案]18[解析]如图，为了确定图形的范畴，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组y2＝2xy＝x－4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S＝4－2(y＋4－y22)dy取F(y)＝12y2＋4y－y36，则F(y)＝y＋4－y22，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.12．一物体沿直线以v＝1＋tm/s的速度运动，该物体运动开始后10s 内所通过的路程是________．13．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是_ _______．[答案]43[解析]如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝x24交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(01x2dx＋12dx－0214x2dx)＝43.14．一变速运动物体的运动速度v(t)＝2t(01)at (12)bt (2e)则该物体在0e时刻段内运动的路程为(速度单位：m/s，时刻单位：s)_ _____________________．[答案]9－8ln2＋2ln2[解析]∵01时，v(t)＝2t，v(1)＝2；又12时，v(t)＝at，v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；又2e时，v(t)＝bt，v(2)＝b2＝4，b＝8.路程为S＝012tdt＋122tdt＋2e8tdt＝9－8ln2＋2ln2 .三、解答题15．运算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．[解析]由y＝x＋3y＝x2－2x＋3解得x＝0及x＝3.从而所求图形的面积S＝03(x＋3)dx－03(x2－2x＋3)dx＝03[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x230＝92.16．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)若直线x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)，则f(x)＝2ax＋b，又已知f(x)＝2x＋2，a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根．判别式＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依题意有－1－t(x2＋2x＋1)dx＝0－t(x2＋2x＋1)dx，13x3＋x2＋x－t－1＝13x3＋x2＋x0－t即－13t3＋t2－t＋13＝13t3－t2＋t.2t3－6t2＋6t－1＝0，2(t－1)3＝－1，t＝1－132 .17．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts 后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C 点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1. 2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时刻．[解析](1)设A到C通过t1s，由1.2t＝24得t1＝20(s)，因此AC＝2021.2tdt＝0.6t2200＝240(m)．(2)设从DB通过t2s，由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，因此DB＝200(24－1.2t)dt＝240(m)．(3)CD＝7200－2240＝6720(m)．从C到D的时刻为t3＝672024＝280(s)．因此所求时刻为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y＝x2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程．[解析]如图所示，设切点A(x0，y0)，由y＝2x，过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20.令y＝0得x＝x02，即Cx02，0.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，S＝S曲边△AOB－S△ABC.S曲边△AOB＝x00x2dx＝13x30，S△ABC＝12|BC||AB|＝12x0－x02x20＝14x30，即S＝13x30－14x30＝112x30＝112.教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。

滚动测试5定积分的简单应用（解析版）1．函数x x x y +=ln 2的一个原函数可以是( )A ．3ln 2+=x x yB ．x x y ln 2=C ．x x y ln 2=+x 2D ．12+=xy 【解析】B 由于x x x xx x x x x +=⋅+⋅=ln 21ln 2)ln (2'2，故x x x y +=ln 2的一个原函数可以是x x y ln 2=.2．下列积分值等于1的是( )A ．⎰10xdx B ．dx x ⎰+10)1( C ．⎰101dx D ．dx ⎰1021 【解析】C ⎰101dx ＝x|10＝1－0＝1，故选C . 3．下列图中阴影部分所示为由曲线x y sin =，直线2π=x 和0=y 所围图形的是( )【解析】D 结合函数的图象可知D 选项正确． 4．若2ln 3)12(1+=⎰+dx xx a ，则a 等于的值是 ( )A ．6B ．4C ．3D ．2【解析】D 由于2ln 31ln )|ln ()12(2121+=-+=+=⎰+a a x x dx xx aa ，所以2=a . 5．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,1)(2x x x x x f ，则dx x f ⎰2)(等于( ) A .83 B ．－83 C .73D ．2【解析】A 386|)2()21()1()(3102212120=++=⎰+⎰+=⎰x x x dx x dx x fdx x f故选A . 6．设)(x f 是一次函数，且617)(,5)(1010=⎰=⎰dx x xf dx x f ，则)(x f 的解析式为( ) A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋2 D ．－3x ＋4 【解析】A 设)0(,)(≠+=a b ax x f ，则521)()()(10101010=+⎰=+⎰=⎰+=⎰b a bdx dx ax dx b ax dx x f∴6172131)()()()(101021010=+=⎰⎰+=⎰⎰+=b a dx bx dx ax dx b ax x dx x xf 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+6172131521b a b a 解得a ＝4，b ＝3，故)(x f ＝4x ＋3.7．已知函数⎰=axdx a f 0sin )(，则=))2((πf f ( ) A ．1 B ．1－1cos C ．0 D ．1cos －1【解析】 B ,cos 1|)cos (sin )(00a x xdx a f a a -=⎰-== 1cos 1)1())2cos(1())2((-==-=f f f f ππ8.求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1]【解析】B 如图，作出y ＝e x ，x ＝2，y ＝1三个函数的图象，由三者围成的曲边梯形如图中阴影部分，若选择x 为积分变量，则积分区间应为[0,2]． 9．定积分⎰20cos sin πxdx x 的值为( )A .12B .14C ．－12D ．－14【解析】A 21|)2cos (41)2()2(sin 41)2(sin 21cos sin 20202020=-=⎰=⎰⎰=ππππx x d x dx x xdx x 10．抛物线y ＝x 2－x 与x 轴围成的图形面积为( )A .18B ．1C .16D .12 【解析】 C 所求面积为S ＝120x x dx ＝120x x dx x ＝(12x 2－13x 3)|10＝16.11．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3C .323D .353【解析】C 12-332x x dx ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323.故选C . 12．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A .103B ．4C .163D ．6 【解析】C 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为342422116+2=2323xx dx x x x13．dx x x )30(2423-+⎰等于 【解析】563 356|30|31|4130)30(42423424424224234223=-+⎰⎰=-+⎰=⎰-+x x x dx dx x dx x dx x x 14．定积分=⎰-dx x 20)sin(π【解析】－1 1|cos )sin ()sin(202020-==⎰-=⎰-πππx dx x dx x 15．计算定积分=⎰+-dx x 043【解析】5 5|)321(|)321()3()3(3032342033404=++--=⎰++⎰--=⎰+-------x x x x dx x dx x dx x16．定积分dx x ⎰+2112＝【解析】535－ 3 dx x ⎰+2112＝2123|)12(31+x ＝)3315(312323⨯-⨯＝535－ 3.17．右图中阴影部分的面积S ＝【解析】 163 由图知S ＝⎰20[(5－x 2)－1]d x ＝(4x －x 33)|20＝(8－83)－0＝163.18．由曲线y ＝e x ，x ＝2，x ＝4，y ＝0所围成的图形的面积等于【解析】24e e - S ＝244242|e e e dx e x x -==⎰.19．曲线)230(cos π≤≤=x x y 与坐标轴所围成的面积 【解析】3 由于当20π≤≤x 时，232,0cos ππ≤<≥x x 时，0cos ≤x ，故所求图形的面积为3|sin |sin )cos (cos cos 2322020232230=-=⎰⎰-+=⎰πππππππx dx x xdx dx x20．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝【解析】 14图形如图所示．所求图形的面积41|414341102210210102==⎰=⎰⎰-=x dx x dx x dx x S。