分数拆分(巧算)

拆分法妙算分数的四种方法
拆分法是一种用于计算分数的方法，可以将一个分数拆分成更简单的形式，方便计算。

以下是拆分法的四种常见方法：
一、公因式法：
公因式法是指将分子和分母中的公因式提取出来，然后进行约分。

例如，对于分数3/6，可以发现3和6的最大公因数是3，因此可以将分数拆分成1/2
二、分子和分母相乘法：
这种方法是将分子和分母进行分解，并且将各个因子相乘。

例如，对于分数4/9，可以将分子4拆分成2*2，分母9拆分成3*3，然后将拆分后的因子相乘得到2*2/3*3，进一步化简为4/9
三、化简法：
这种方法适用于分子和分母中含有相同因子的情况。

例如，对于分数36/48，可以发现分子36和分母48都可以被4整除，因此可以将分数化简为9/12，再进一步化简为3/4
四、最大公约数法：
最大公约数法是指找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母分别除以最大公约数得到新的分数。

例如，对于分数15/25，可以发现15和25的最大公约数是5，因此可以将分数化简为3/5
这四种拆分法可以根据实际情况灵活应用，能够帮助我们更方便地计算分数。

在计算过程中，我们可以根据分子和分母的因式结构来选择最合适的方法，以达到简化分数的目的。

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思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。

分数裂项求和方法总结（一） 用裂项法求1(1)n n +型分数求和分析:因为 111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数) 所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960)+++⨯⨯⨯的和。

111111()()......()101111125960111060112=-+-++-=-= （二） 用裂项法求1()n n k +型分数求和:分析：1()n n k +型。

（n ，k 均为自然数）因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++所以1111()()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111*********()()()()()25727929112111321315=-+-+-+-+- 11111111111[()()()()()]2577991111131315=-+-+-+-+- 111[]2515115=-= （三） 用裂项法求()k n n k +型分数求和:分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数）11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】 求2222 (1335579799)++++⨯⨯⨯⨯的和 1111111(1)()()......()33557979911999899=-+-+-++-=-= （四） 用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和: 分析：2()(2)k n n k n k ++ （n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++【例4】 计算：4444 (135357939597959799)++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111()()......()()1335355793959597959797991113979932009603=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯= （五） 用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3)n n k n k n k +++(n ，k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例5】 计算：111......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111[()()......()]3123234234345171819181920111[]3123181920113920520=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--⨯⨯⨯⨯=（六） 用裂项法求3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和: 分析：3()(2)(3)k n n k n k n k +++（n ，k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3)k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例6】 计算:333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111()()......()1232342343451718191819201112318192011396840=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--⨯⨯⨯⨯= 【例7】计算：71＋83＋367＋5629＋6337＋7241＋7753＋8429＋883 【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把5629、6337、7241、7753这四个分数，可以拆成是两个分数的和。

分数拆分的几个基本公式分数拆分是数学中一个很重要的概念，它指的是将一个分数拆成多个小分数的和的形式。

分数拆分在数学中有很多重要的应用，而分数拆分的公式也是非常重要的。

首先，我们来看一下分数拆分的基础公式：1. 分数拆分为两个基本分式的形式：若分式 f(x) 的分母可以拆分为两个一次式 ax + b 和 cx + d 的乘积，则 f(x) 可以拆分为两个基本分式，即f(x) = A/(ax+b) + B/(cx+d)其中 A 和 B 是待定系数，可通过高斯消元法求出。

2. 分数拆分为多个基本分式的形式：若分式 f(x) 的分母可以拆分为多个一次式的乘积，即f(x) = P(x)/[a1(x-b1)(x-c1)...(x-n1)+a2(x-b2)(x-c2) (x)n2)...+...+ak(x-bk)(x- ck)...(x-nk)]则 f(x) 可以拆分为多个基本分式的和，即f(x) = A1/(x-b1) + A2/(x-c1) + ... + An1/(x-n1) + B1/(x-b2) + B2/(x-c2) + ... + Bn2/(x-n2) + ... + K1/(x-bk) + K2/(x-ck) + ... + Knk/(x-nk)其中 A1、A2、...、An1、B1、B2、...、Bn2、...、K1、K2、...、Knk 是待定系数。

3. 分数拆分为一些特殊的基本分式的形式：一些特殊的基本分式包括线性分式 x/(ax+b)、二次分式x/(ax²+bx+c)、指数分式 x/(a^x-b^x) 等。

我们可以利用各种分式的分子和通分的方法，将一个分式拆分为这些特殊的基本分式的和。

4. 常见公式：分解因式：例如，x^2+2x+1=(x+1)^2，可以利用分解因式的方法将分母进行分解。

配方法：例如，1/(1-x)=1+[x/(1-x)]，可以将原式化为一个基本分式和一个线性分式的和的形式。

拆分法分数简便计算的公式拆分法是一种用于简便计算分数的方法，旨在将分数拆分为更简单的形式进行计算。

在拆分法中，我们将分数拆分成为整数与真分数的和，并且利用整数与真分数之间的运算规则进行计算。

拆分法的公式如下：假设我们需要计算一个分数a/b（其中a为分子，b为分母），那么我们可以将分数拆分成为整数和真分数的和：a/b = c + d/e其中c为整数部分，d为真分数的分子，e为真分数的分母。

此时，我们可以通过拆分后的整数部分和真分数部分进行独立的计算，即：a/b = c + d/e = c + f/g其中f为真分数部分的分子，g为真分数部分的分母。

在拆分之后，我们可以将分数转化为更简单的形式进行计算。

比如，我们可以将整数部分与真分数部分进行相加，即：a/b = c + f/g = (c*g + f)/g此时，分子为c*g + f，分母为g。

通过将分数拆分成为整数与真分数的和，我们可以依次对整数和真分数进行计算，进而得到最终结果。

这种方法不仅能够简化计算过程，还能够更好地掌握分数的运算规则。

拆分法的参考内容主要包括：1. 整数与真分数的运算规则：介绍整数与真分数之间的加减乘除法规则，以及拆分法在计算中的应用。

2. 分数化简法则：介绍分数化简的方法和步骤，以及如何将分数化简为最简形式。

3. 分数的四则运算规则：包括分数的加法、减法、乘法、除法规则，以及如何将分数进行通分等。

4. 例题解析：通过具体的例题，解析拆分法在分数计算中的应用，帮助读者更好地理解和掌握这种计算方法。

5. 练习题：提供一定数量的练习题，让读者进行实际操作和拆分法计算的练习，以巩固所学知识。

总之，拆分法是一种有效简便的计算分数的方法，通过将分数拆分成为整数与真分数的和，能够在计算中更好地掌握分数的运算规则。

通过参考相关内容，我们可以更好地理解和应用拆分法，提高分数计算的准确性和效率。

分数拆分法在很多数学问题中，我们需要将一个数拆分成若干个较小的数的和，这时候就可以使用分数拆分法。

分数拆分法的基本思路分数拆分法的基本思路是将一个数拆分成若干个较小的数的和，通常这些数都是分数或整数。

我们可以将一个分数拆分成若干个分数的和，或者将一个整数拆分成若干个整数的和，这样的拆分称为“分数拆分”或“整数拆分”。

比如，将数字4拆分成两个整数的和的方案有：1. 1 + 32. 2 + 23. 3 + 1我们可以用分数拆分法来解决很多问题。

比如，我们可以将一个正整数表示成若干个平方和的和，或表示成若干个数字的乘积。

分数拆分法的应用实例将一个正整数表示成若干个平方和的和基本思路将一个正整数表示成若干个平方和的和，通常采用递归的方法。

我们先从最简单的情形开始考虑。

如果一个正整数n是平方数，那么n本身就可以表示成一个平方数的和。

否则，我们可以将n拆分成两个较小的正整数m和k的平方和的和，即：n = m^2 + k^2这个式子是勾股定理的一个变形。

对于m和k，我们可以递归地重复上述过程，直到拆分成一些平方数的和。

例子比如，将数字5表示成平方和的和的方案可以是：5 = 1^2 + 2^2= 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2这里的第一行中，我们将5拆分成1和2的平方和的和。

这里的第二行中，我们将5拆分成5个1的平方和的和。

更一般地，我们可以将任何一个正整数表示成若干个平方数的和。

比如，将数字7表示成平方和的和的方案可以是：7 = 1^2 + 2^2 + 2^2= 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2将一个正整数表示成若干个数字的乘积基本思路将一个正整数表示成若干个数字的乘积，通常采用因式分解的方法。

我们可以先找出正整数n的最小质因子p，然后将n用p除，得到一个较小的正整数。

接着，我们递归地找出这个较小的正整数的因子，直到无法分解为止。

这样，我们就可以得到一个正整数的因子序列。

2016巧算分数计算题在上一节课中，我们研究了一些分数加减法的巧算方法。

在本节课中，我们将继续研究相关知识。

一）拆分的概念1.什么是拆分？拆分是将一个分数写成几个分数的和或差的形式。

例如：xxxxxxxx学会拆分后，有时就可以不需要通分，也能较简便地解决问题。

2.观察思考当一个分数的分母是两个数的乘积，分子是这两个数的差时，可以将其拆分成这两个数分别作为分母，1作为分子的分数的差。

即：d/(n(n+d)) = 1/n - 1/(n+d) (n≠0.d≠0)例如：xxxxxxxx62××434xxxxxxxx204××656-311426××53547-311213×737二）拆分的方法1.拆数加减在分数加减法运算中，将一个分数拆成两个分数相减或相加，使其中的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可以地简化运算。

1）拆成两个分数相减例如：计算11111×2×3×4×99×1002）拆成两个分数相加例如：求下面所有分数的和xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx三）练1.计算：2.计算：3.计算：4.计算：5.计算：1×3×5×7×9×1997×1999×20011×3×5×7×9×11×13×15×17×19×211988×1989×1990×1991×1992×1993 3333xxxxxxxxxxxxxxxx42学会了分数的拆分，有时可以不用通分，也能解决问题。

分数拆分法
分数拆分法是一种数学求解方法，通过将一个分数拆分为更简单的分数或整数的和来进行计算。

这种方法常用于求解分数的运算和简化。

对于一个分数，分数拆分法的思想是将其分解为分子和分母的和或差的形式，使得计算更加简便。

具体步骤如下：
1. 首先，观察分数的分子和分母是否存在可以公约的因子。

如果存在公约因子，可以先进行约分操作，将分子和分母分别除以最大公约数，使其变为最简分数。

2. 若分数的分子大于分母，可以先通过整除法将其拆分为整数部分和真分数。

整数部分即是分子与分母相除的商，而真分数部分即是余数与分母构成的分数。

3. 对于真分数，可以进一步拆分为分子和分母的和或差的形式。

常用的拆分方法有相差1的两个分数相加、分子可以被分母整除的两个分数相加、相差2的两个分数相加等。

通过反复应用上述拆分法，可以将复杂的分数拆分为简单的分数或整数的和，从而方便进行计算和简化。

需要注意的是，使用分数拆分法计算时，应注意保持等式两边的值相等，避免出现计算错误。

同时，应根据具体问题选择合适的拆分方法，以得到最简洁的结果。

分数拆分法是数学中常用的求解方法之一，通过灵活运用这种方法，可以简化复杂问题的求解过程，提高计算效率。

分数的拆分求和的技巧
1. 嘿，你知道吗？分数的拆分求和有个超棒的技巧就是先找最小公倍数呀！比如说咱算 1/3 和 1/4 的和，那 3 和 4 的最小公倍数是 12，把它们都变成分母 12 的分数，不就好算了嘛！哇塞，这多简单易懂呀！
2. 还有哦，有时候可以把一个分数拆分成两个分数的差呀！像 1/2 可以拆
分成 1/1 - 1/2 呀！这样计算有时候更容易呢，你说神奇不神奇？
3. 哎呀，别忘了可以把一个复杂的分数拆分成几个简单分数的组合呀！比如说 7/10 可以拆成 3/10 + 4/10 嘛，这能让求和变得超轻松的，不是吗？
4. 嘿，你试过把带分数变成假分数进行拆分求和吗？比如 2 又 1/3 变成
7/3，然后再去计算，哇，一下子就清楚多了呀！
5. 哇哦，要善于利用约分呀！比如计算 2/6 + 3/6，约分后就是 1/3 + 1/2，这样多简洁明了呀，你还不赶紧试试？
6. 你想呀，如果遇到分数相加但分母不一样，那就要赶紧找共同的“小伙伴”呀！就像给它们牵线搭桥一样，让求和顺利进行呀！
7. 哈哈，有时候可以把整数也拆分开呀！就像 3 可以变成 1+1+1，再和分数进行求和，这不是很有意思吗？
8. 哎哟喂，计算分数的拆分求和一定要细心哟！就像走钢丝一样，一个不小心就会出错呢！可不能马虎呀！
9. 总之呀，掌握了这些分数的拆分求和技巧，那计算起来可就游刃有余啦！能省好多力气呢！。

分数的巧算——裂项前面我们介绍了运用定律和性质以及数字的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法)进行分数的简便运算。

运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。

一般地，形如)1(1+⨯a a 可以拆成111+-a a ；形如)n (1+⨯a a 的分数可以拆成)11(1n a a n +-⨯形如b a b a ⨯+的分数可以拆成b 11+a ；等等。

同学们可以结合例题思考其中的规律。

王牌例题①形如)1(1+⨯a a 可以拆成111+-a a 100991431321211计算：⨯++⨯+⨯+⨯ 【思路导航】因为这个算式中的每个加数都可以分裂成两个数的差，如211211-=⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯，……，其中的部分分数可以相互抵消，这样计算就简便多了，1001991()4131()3121()211(-++-+-+-= 原式100199141313121211-++-+-+-= 1009910011=-=举一反三①403917616515411⨯++⨯+⨯+⨯ 、15141141311312112111111012⨯+⨯+⨯+⨯+⨯、42130120112161213+++++、72156********+++-、王牌例题②形如)n (1+⨯a a 的分数可以拆成)11(1n a a n +-⨯50481861641421计算：⨯++⨯+⨯+⨯ 【思路导航】因为4121422-=⨯，6141642-=⨯，8161862-=⨯，……，所以，将算式中的每一项先扩大2倍后，再分裂成两个数的差，求算式的和，最后把求得的和再乘21即可。

所以2150482862642422(⨯⨯++⨯+⨯+⨯= 原式21)501481()8161()6141()4121(⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+-= 21)50121(⨯-=215024⨯=256=举一反三②999719717515311⨯++⨯+⨯+⨯ 、10097110717414112⨯++⨯+⨯+⨯ 、3733113919515113⨯++⨯+⨯+⨯ 、20811301701281414++++、王牌例题③形如b a b a ⨯+的分数可以拆成b 11+a ；56154213301120912731计算：1-+-+-【思路导航】因为311311+=，41314343127+=⨯+=，51415454209+=⨯+=，615165653011+=⨯+=，716176764213+=⨯+=，817187875615+=⨯+=……所以)8171()7161()6151(5141()4131(311+-+++-+++-+=原式81717161615151414131311--++--++--+=87811=-=举一反三③301120912765211 1-+-+、561542133011209411 2+-+-、6599815499814399813299812119983⨯+⨯+⨯+⨯+⨯、6301162091276 4⨯-⨯+⨯、王牌例题④641321161814121计算：+++++【思路导航】解法一：这道题如果先通分再相加，就比较复杂；如果给原式先“借”来一个641，最后再“还”一个641，就可以通过口算得出结果。

五年级奥数分数的拆分介绍一下五年级奥数分数的拆分常用方法。

仅靠试数的方法不仅麻烦，而且很多情况下无法得到全部答案，所以必须掌握方法。

把一个分数单位拆分成两个分数单位的和的两种方法。

方法一：利用因数的比分数单位的分子是1，所以想拆分，必须先扩分(把分子扩大)，然后拆开，再约分。

因为要拆成两个分数单位的和，那么想要拆分成分数单位，那么拆分出的两个分数必须满足：分子是分母的因数。

例如把1/9拆分成两个不同分数单位的和9的因数：1,3,9。

这三个因数可以组成的最简比有1:1，1:3，1:9(用最简比来去掉重复，1:3=3:9，它们的结果是一样的)。

例如用1:3，把1/9的分子和分母同时乘以(1+3)，然后再拆成两个分数。

1/9=(1+3)/36=1/36 + 3/36=1/36 + 1/12同理利用1:1和1:9还可以得到其它两种方法。

拓展：如果想拆分成三个或更多个，可以先拆成2个，再把其中一个再拆分。

或者利用三个因数的连比，例如1：1：1，1：3：3等。

1/9=(1+3+3)/63 = 1/63 + 3/63+ 3/63 = 1/63 + 1/21 +1/21。

方法二：把分母的平方分解成2个数的乘积例如把1/A拆成两个分数单位的和，假设：1/A=1/x+1/y。

那么拆成的两个分数单位的分母肯定都大于A。

设拆分后的两个分母分别为A+m与A+n。

即：1/A=1/(A+m) + 1/(A+n)把右面通分，1/A=(2A+m+n)/((A+m)(A+n))(A+m)(A+n)=A(2A+m+n)A²+(m+n)A+mn=2A²+(m+n)A得到A²=mn。

所以把A²分解成2个数的乘积后，再分别加上分母即可。

用这种方法拆分1/9，由于9²=81，81=1×81=3×27=9×9，所以有三种不同的拆分方法:1/(9+1) + 1/(9+81)=1/10 + 1/901/(9+3) + 1/(9+27)=1/12 + 1/361/(9+9) + 1/(9+9)=1/18 + 1/18任意分数拆分成两个分数单位的和我们看一下任意一个分数是否可以拆成两个分数单位的和，上面的方法一中，我们可以想到把分子拆成分母的因数的和，这样可以约分得到分数单位。