苏教版2018年高考数学一轮复习 专题5.4 平面向量应用(练)

专题5.4 平面向量的综合应用一、考情分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.二、经验分享考点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。

考点二 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体。

考点三 向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题。

三、题型分析重难点题型突破1 平行与垂直例1、.已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【答案】22【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 故答案为：22． 【变式训练1-1】、（山东省德州一中2018-2019学年期中）若，且，则实数的值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-2【答案】D 【解析】由得，，∴，故．【变式训练1-2】、（河北省示范性高中2019届联考）已知向量a ，b 满足2(1,2)a b m +=，(1,)b m =，且a 在b 25，则实数m =（ ） A 5B ．5±C ．2 D ．2±【答案】D【解析】向量a ，b 满足()21,2a b m +=，()1,b m =，所以0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22m a b ⋅=，()2225cos 152m b a m θ=+=，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=， 解得2m =±.重难点题型突破2 平面向量与三角形例2、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C【解析】由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.【变式训练2-1】、在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形．( ) A . 等边 B . 等腰 C . 直角 D . 等腰直角 【答案】C .【解析】 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形． 【变式训练2-2】、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 内心B . 外心C . 重心D . 垂心 【答案】C .【解析】 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD(D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，∴点P 的轨迹必过△ABC 的重心．【变式训练2-3】、如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O . 若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是___________．【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC= 重难点题型突破3 平面向量与三角函数结合例3．（河北省保定市2018-2019学年期末调研）过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心【答案】B【解析】因为过ABC ∆内一点M 任作一条直线，可将此直线特殊为过点A ，则0AD =，有0BE CF +=. 如图：则有直线AM 经过BC 的中点，同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点， 所以点M 是ABC ∆的重心，故选B 。

专题5.4 平面向量应用一、填空题：1.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==u u u r u u u r，()()AP AQ AB AC +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r的值为 .【答案】-16 【解析】2.已知,,a b c r r r 是同一平面内的三个向量，其中,a b r r是互相垂直的单位向量，且()(3)1a c b c -•-=r r r ，则||c r的最大值为 . 2+1 【解析】试题分析：由,a b r r 是互相垂直的单位向量得|3|132a b =+=r ，因此由()3)1a c b c -•-=r r r得222||(3)1||2||cos 1||2||10||21c a c c c c c c θ-⋅=⇒-⋅=⇒-⋅≤⇒≤≤r r r r r r r r.3. 如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P Λ，记i i AB M ⋅=2（10,,2,1Λ=i ），则=+++1021M M M Λ .【答案】1804. 在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数24()x f x x += (x>0)的图象上任意一点，过M 点向直线y=x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA MB ⋅=u u u r u u u r ▲ ． 【答案】2- 【解析】试题分析：设(,),(,)M x y A m m ，则(0,)B y ，因此2(,)(,0)MA MB m x m y x x mx ⋅=--⋅-=-u u u r u u u r，又22411222MAy m x k y x m x m x mx x m x-+=-⇒=-⇒=-+⇒=-+⇒-=--，因此2.MA MB ⋅=-u u u r u u u r5. 设二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)2,(t C ，且与x 轴交于B A ,两点，若ACB ∠是钝角，则实数a 的取值范围是 ．【答案】1(,)2-∞-．【解析】由题意22=++c bt at ，设02=++c bx ax 的两根为21,x x ，则)0,(),0,(21x B x A ，yx向量6.如图，在梯形ABCD 中，AB //DC ，AD AB ⊥，122AD DC AB ===，点N 是CD 边上一动点，则AN AB ⋅u u u r u u u r的最大值为 ．DCBA【答案】8【解析】由平面向量数量积知识得，||||cos |||||'|||248AN AB AN AB NAB AM AB AM AB ⋅=⋅⋅∠=⋅≤⋅=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r7.已知向量)0,2(=OB ，向量)2,2(=OC ，向量)sin 2,cos 2(αα=CA ，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是 .【答案】]125,12[ππ 【解析】如图，以O 为原点建立平面直角坐标系，则由题意可知)0,0(O ，)0,2(B ，)2,2(C ，又由(2cos ,2sin )CA αα=u u u r可知A 在以C 为圆心，2为半径的圆上，若直线OA 与圆相切，由图可知1264621222sin ππππ=-=∠⇒=∠⇒===∠AOB COA OC AC COA ，即OA uu u r 与OB uuu r 夹角的最小值为12π，同理可得OA uu u r 与OB uuu r 夹角的最大值为125π，即OA uu u r 与OB uuu r 夹角的取值范围为]125,12[ππ.8.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC u u u r ＝λDE u u u r ＋μAP u u u r，则λ＋μ的最小值为________．【答案】12所以当α＝0时，f (α)min ＝f (0)＝12，所以(λ＋μ)min ＝12.．9.直线1x =与抛物线C :24y x =交于,M N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记(,)OP aOM bON a b =+∈R u u u r u u u u r u u u r，其中O 为抛物线C 的顶点.给出下列命题：①,a b ∀∈R ，PMN ∆不是等边三角形；②∃0a <且0b <，使得OP u u u r 与ON u u u r垂直；③无论点P 在准线上如何运动，1a b +=-总成立. 其中，所有正确命题的序号是___. 【答案】①②③10.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设AP u u u r ＝λAD u u u r ＋μAB u u u r(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ________．【答案】 [1,2]二、解答题：11.如图，在xoy 平面上，点)0,1(A ，点B 在单位圆上，θ=∠AOB （πθ<<0）（1）若点)54,53(-B ，求)42tan(πθ+的值；（2）若OC OB OA =+，四边形OACB 的面积用θS 表示，求OC OA S ⋅+θ的取值范围.【答案】（1）-3，（2）120+≤⋅+<OC OA S θ.【解析】（1）由于)54,53(-B ，θ=∠AOB ，所以53cos -=θ，54sin =θ253154cos 1sin 2tan =-=+=θθθ ，于是)42tan(πθ+321212tan12tan1-=-+=-+=θθ. （2）θS θθsin sin 11=⨯⨯=，由于)0,1(=,)sin ,(cos θθ=，所以)sin ,cos 1(θθ+=+=OB OA OC ，θθθcos 1sin 0)cos 1(1+=⨯++⨯=⋅OC OA ，则 OC OA S ⋅+θ1)4sin(21cos sin ++=++=πθθθ（πθ<<0）， 由于4544ππθπ<+<，所以1)4sin(22≤+<-πθ，所以120+≤⋅+<OC OA S θ. 12．已知点(1,0),(0,1)A B -，点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点. （1）求证：APB ∠恒为锐角；（2）若四边形ABPQ 为菱形，求BQ AQ ⋅u u u r u u u r的值.【答案】（1）证明见解析;（2）2.∴||||AB BP =u u u r u u u r222(2)x x =+-化简得到2210x x -+=， ∴1x =， ∴(1,0)P ,设(,)Q a b ，∵PQ BA =u u u r u u u r，∴(1,)(1,1)a b -=--，∴01a b =⎧⎨=-⎩,∴(0,2)(1,1)2BQ AQ ⋅=-⋅-=u u u r u u u r.13.如图，平面直角坐标系xOy 中，已知向量(6,1)AB =u u u r ，(,),(2,3)BC x y CD ==--u u u r u u u r，且//BC AD u u u r u u u r 。

１．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB 就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤１80°θ＝0°或θ＝１80°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b２．平面向量的数量积设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b.３．向量数量积的运算律（１）a·b＝b·a.（２）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）．（３）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.４．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝错误!|a|＝错误!夹角cos θ＝错误!cos θ＝错误!a⊥b的充要条件a·b＝0x１x２＋y１y２＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x１x２＋y１y２|≤错误![小题体验]１．已知|a|＝２，|b|＝6，a·b＝—6错误!，则a与b的夹角θ为________．答案：错误!２．已知向量a＝（—１,３），b＝（１，t），若（a—２b）⊥a，则|b|＝________.解析：因为a＝（—１,３），b＝（１，t），所以a—２b＝（—３,３—２t）．因为（a—２b）⊥a，所以（a—２b）·a＝0，即（—１）×（—３）＋３（３—２t）＝0，即t＝２，所以b＝（１,２），所以|b|＝错误!＝错误!.答案：错误!３．已知两个单位向量e１，e２的夹角为错误!，若向量b１＝e１—２e２，b２＝３e１＋４e２，则b１·b＝________.２解析：由b１＝e１—２e２，b２＝３e１＋４e２，得b１·b２＝（e１—２e２）·（３e１＋４e２）＝３e错误!—２e１·e２—8e错误!.因为e１，e２为单位向量，〈e１，e２〉＝错误!，所以b１·b２＝３—２×错误!—8＝—6．答案：—6１．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c（a≠0）不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．２．两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立．３．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.４．在用|a|＝错误!求向量的模时，一定要把求出的a２再进行开方．[小题纠偏]１．给出下列说法：１向量b在向量a方向上的投影是向量；２若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角；３（a·b）c＝a（b·c）；４若a·b＝0，则a＝0或b＝0.其中正确的说法有________个．答案：0２．已知向量错误!＝错误!，错误!＝错误!，则∠ABC＝________.解析：因为错误!＝错误!，错误!＝错误!，所以错误!·错误!＝错误!＋错误!＝错误!.所以cos∠ABC＝错误!＝错误!，又0°≤∠ABC≤１80°，所以∠ABC＝３0°.答案：３0°３．已知平面向量a与b的夹角为错误!，a＝（１，错误!），|a—２b|＝２错误!，则|b|＝________.解析：因为a＝（１，错误!），所以|a|＝２，又|a—２b|＝２错误!，即|a|２—４a·b＋４|b|２＝１２，故２２—４×２×|b|×cos 错误!＋４|b|２＝１２，化简得|b|２—|b|—２＝0，所以|b|＝２．答案：２错误!错误![题组练透]１．设a＝（１，—２），b＝（—３,４），c＝（３,２），则（a＋２b）·c＝________.解析：因为a＋２b＝（１，—２）＋２（—３,４）＝（—５,6），所以（a＋２b）·c＝（—５,6）·（３,２）＝—３．答案：—３２．（２0１8·南京高三年级学情调研）在△ABC中，AB＝３，AC＝２，∠BAC＝１２0°，错误!＝λ错误!.若错误!·错误!＝—错误!，则实数λ＝________.解析：因为错误!＝错误!—错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋λ错误!＝错误!＋λ（错误!—错误!）＝（１—λ）错误!＋λ错误!，错误!·错误!＝２×３×cos １２0°＝—３．所以错误!·错误!＝（λ—１）错误!２＋λ错误!２＋（１—２λ）错误!·错误!＝１9λ—１２＝—错误!，所以λ＝错误!.答案：错误!３．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝（—２，—6），|b|＝错误!，则a·b＝________.解析：因为a＝（—２，—6），所以|a|＝错误!＝２错误!，又|b|＝错误!，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝２错误!×错误!×错误!＝１0．答案：１0４．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝２，D为BC的中点，则错误!·错误!＝________.解析：法一：由题意知，AC＝BC＝２，AB＝２错误!，所以错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝|错误!|·|错误!|cos ４５°＋|错误!|·|错误!|cos ４５°＝２错误!×２×错误!＋２错误!×１×错误!＝6．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A（0,２），B（—２,0），D（—１,0），所以错误!＝（—２,0）—（0,２）＝（—２，—２），错误!＝（—１,0）—（0,２）＝（—１，—２），所以错误!·错误!＝—２×（—１）＋（—２）×（—２）＝6．答案：6[谨记通法]向量数量积的２种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题法求解，即若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a·b ＝x１x２＋y１y２错误!错误![锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题．常见的命题角度有：（１）平面向量的模；（２）平面向量的夹角；（３）平面向量的垂直．[题点全练]角度一：平面向量的模１．（２0１8·苏州高三暑假测试）已知平面向量a＝（２,１），a·b＝１0，若|a＋b|＝５错误!，则|b|＝________.解析：因为a＝（２,１），所以|a|＝错误!，又|a＋b|＝５错误!，所以a２＋２a·b＋b２＝５0，所以b ２＝２５，所以|b|＝５．答案：５角度二：平面向量的夹角２．（２0１8·太湖高级中学检测）已知|a|＝１，|b|＝错误!，且a⊥（a—b），则向量a与向量b的夹角为________．解析：因为a⊥（a—b），所以a·（a—b）＝a２—a·b＝１—错误!cos a，b＝0，所以cos a，b＝错误!，所以a，b＝错误!.答案：错误!３．（２0１9·启东中学检测）已知平面向量α，β满足|β|＝１，且α与β—α的夹角为１２0°，则α的模的取值范围是________．解析：如图，在△ABC中，设错误!＝β，错误!＝α，则错误!＝错误!—错误!＝β—α.因为α与β—α的夹角为１２0°，所以A＝60°.由正弦定理得错误!＝错误!，则BA＝错误!sin C．又0＜sin C≤１，所以0＜BA≤错误!，故α的模的取值范围是错误!.答案：错误!角度三：平面向量的垂直４．在平面直角坐标系xOy中，已知向量错误!＝（6,１），错误!＝（x，y），错误!＝（—２，—３），且错误!∥错误!.（１）求x与y之间的关系式；（２）若错误!⊥错误!，求四边形ABCD的面积．解：（１）由题意得错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝（x＋４，y—２），错误!＝（x，y）．因为错误!∥错误!，所以（x＋４）y—（y—２）x＝0，即x＋２y＝0．（２）由题意得错误!＝错误!＋错误!＝（x＋6，y＋１），错误!＝错误!＋错误!＝（x—２，y—３）．因为错误!⊥错误!，所以（x＋6）（x—２）＋（y＋１）（y—３）＝0，即x２＋y２＋４x—２y—１５＝0，联立错误!解得错误!或错误!当错误!时，错误!＝（8,0），错误!＝（0，—４），S四边形ABCD＝错误!AC·BD＝１6；当错误!时，错误!＝（0,４），错误!＝（—8,0），S四边形ABCD＝错误!AC·BD＝１6．所以四边形ABCD的面积为１6．[通法在握]平面向量数量积求解问题的策略（１）求两向量的夹角：cos θ＝错误!，要注意θ∈[0，π]．（２）求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：１a２＝a·a＝|a|２或|a|＝错误!.２|a±b|＝错误!＝错误!.３若a＝（x，y），则|a|＝错误!.（３）两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a—b|＝|a＋b|.[演练冲关]１．（２0１9·海安模拟）已知平面向量a与b的夹角等于错误!，若|a|＝２，|b|＝３，则|２a—３b|＝________.解析：由题意可得a·b＝|a|·|b|cos 错误!＝３，所以|２a—３b|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．已知向量a，b满足a＝（４，—３），|b|＝１，|a—b|＝错误!，则向量a，b的夹角为________．解析：易知|b|＝１，|a|＝５，对|a—b|＝错误!两边平方，整理得２a·b＝５，即２|a||b|cos θ＝５，解得cos θ＝错误!，则向量a，b的夹角为错误!.答案：错误!３．已知向量错误!与错误!的夹角为１２0°，且|错误!|＝３，|错误!|＝２．若错误!＝λ错误!＋错误!，且错误!⊥错误!，则实数λ的值为________．解析：错误!＝错误!—错误!，由于错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0，即（λ错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝—λ错误!２＋错误!２＋（λ—１）错误!·错误!＝—9λ＋４＋（λ—１）×３×２×错误!＝0，解得λ＝错误!.答案：错误!错误!错误![典例引领]（２0１8·启东高三期中）已知向量a＝（sin x,２），b＝（cos x，１），函数f（x）＝a·b.（１）若a∥b，求tan错误!的值；（２）求函数y＝f错误!，x∈错误!的最小值和最大值．解：（１）由a∥b，得sin x＝２cos x．所以tan x＝２．所以tan错误!＝错误!＝—３．（２）因为f（x）＝a·b＝sin x·cos x＋２＝错误!sin ２x＋２，所以y＝f错误!＝错误!sin错误!＋２．因为x∈错误!，所以２x—错误!∈错误!，从而—错误!≤sin错误!≤１．于是，当２x—错误!＝—错误!，即x＝0时，函数y＝f错误!有最小值错误!，当２x—错误!＝错误!，即x＝错误!时，函数y＝f错误!有最大值错误!.[由题悟法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路（１）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．（２）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．[即时应用]已知向量m＝（错误!cos x，—１），n＝（sin x，cos２x）．（１）当x＝错误!时，求m·n的值；（２）若x∈错误!，且m·n＝错误!—错误!，求cos ２x的值．解：（１）当x＝错误!时，m＝错误!，n＝错误!，所以m·n＝错误!—错误!＝错误!.（２）m·n＝错误!cos x sin x—cos２x＝错误!sin ２x—错误!cos ２x—错误!＝sin错误!—错误!.若m·n＝错误!—错误!，则sin错误!—错误!＝错误!—错误!，即sin错误!＝错误!.因为x∈错误!，所以—错误!≤２x—错误!≤错误!，所以cos错误!＝错误!，则cos ２x＝cos错误!＝cos错误!cos错误!—sin错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·海门模拟）向量a＝（３,４）在向量b＝（１，—１）方向上的投影为________．解析：∵向量a＝（３,４），b＝（１，—１），∴向量a在向量b方向上的投影为|a|cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１8·江苏百校联盟联考）已知平面向量a，b的夹角为错误!，且a·（a—b）＝8，|a|＝２，则|b|＝________.解析：因为a·（a—b）＝8，所以a·a—a·b＝8，即|a|２—|a||b|cos a，b＝8，所以４＋２|b|×错误!＝8，解得|b|＝４．答案：４３．（２0１8·苏州期末）已知a＝（m,２），b＝（１，n），m＞0，n＞0，且|a|＝４，|b|＝２，则向量a与b的夹角是________．解析：设向量a与b的夹角是θ，θ∈[0，π]，∵a＝（m,２），b＝（１，n），m＞0，n＞0，且|a|＝４，|b|＝２，∴m２＋４＝１6,１＋n２＝４，解得m＝２错误!，n＝错误!.∴a·b＝m＋２n＝４错误!＝４×２×cos θ，∴cos θ＝错误!，则向量a与b的夹角是错误!.答案：错误!４．（２0１8·滨海期末）已知向量a＝（—１,３），b＝（３，t），若a⊥b，则|２a＋b|＝________.解析：∵向量a＝（—１,３），b＝（３，t），a⊥b，∴a·b＝—３＋３t＝0，解得t＝１，∴b＝（３,１），２a＋b＝（１,7），故|２a＋b|＝错误!＝５错误!.答案：５错误!５．（２0１8·淮安高三期中）在平行四边形ABCD中，AB＝２，AD＝１，∠ABC＝60°，则错误!·错误!＝________.解析：由题意得错误!＝错误!＋错误!，所以错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝错误!２＋错误!·错误!＝４＋２×１×cos １２0°＝３．答案：３6．（２0１8·南通一调）已知边长为6的正三角形ABC，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，AD 与BE交于点P，则错误!·错误!的值为________．解析：如图，以D为原点，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则B（—３,0），C（３,0），D（0,0），A（0，３错误!），E（１, ２错误!），P错误!，所以错误!·错误!＝|错误!|２＝错误!２＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·淮安调研）已知向量a＝（１，x），b＝（—１，x），若２a—b与b垂直，则|a|＝________.解析：由已知得２a—b＝（３，x），而（２a—b）·b＝0⇒—３＋x２＝0⇒x２＝３，所以|a|＝错误!＝错误!＝２．答案：２２．（２0１9·如皋模拟）已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝（３,４），|b|＝１，则|a—２b|＝________.解析：∵a＝（３,４），∴|a|＝错误!＝５，又|b|＝１，∴a·b ＝|a|·|b|cos 60°＝５×１×错误!＝错误!，∴|a—２b|２＝a２＋４b２—４a·b＝２５＋４—１0＝１9，则|a—２b|＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·苏北四市期末）已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与２a—b夹角的余弦值为________．解析：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a２＝b２＝a２＋２a·b＋b２，a·b＝—错误!a２＝—错误!b２，所以a·（２a—b）＝２a２—a·b＝错误!a２，|２a—b|＝错误!＝错误!＝错误!|a|，cos〈a,２a—b〉＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!４．（２0１8·泰州中学高三学情调研）矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA ＝３，PC＝４，矩形对角线AC＝6，则错误!·错误!＝________.解析：由题意可得错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝错误!２＋错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＝9＋错误!·（错误!＋错误!）＋0＝9＋错误!·错误!＝9＋３×6×cos（π—∠PAC）＝9—１8×错误!＝9—１8×错误!＝—错误!.答案：—错误!５．（２0１8·苏锡常镇调研）已知菱形ABCD边长为２，∠B＝错误!，点P满足错误!＝λ错误!，λ∈R，若错误!·错误!＝—３，则λ＝________.解析：法一：由题意可得错误!·错误!＝２×２cos 错误!＝２，错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝（错误!＋错误!）·[（错误!—错误!）—错误!]＝（错误!＋错误!）·[（λ—１）·错误!—错误!]＝（１—λ）错误!２—错误!·错误!＋（１—λ）错误!·错误!—错误!２＝（１—λ）·４—２＋２（１—λ）—４＝—6λ＝—３，所以λ＝错误!.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B（２,0），C（１，错误!），D（—１，错误!）．令P（x,0），由错误!·错误!＝（—３，错误!）·（x—１，—错误!）＝—３x＋３—３＝—３x＝—３得x＝１．因为错误!＝λ错误!，所以λ＝错误!.答案：错误!6．（２0１8·苏北四市调研）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝３，OC＝５．若错误!·错误!＝—7，则错误!·错误!＝________.解析：错误!·错误!＝（错误!—错误!）·（错误!—错误!）＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!２—错误!２，同理，错误!·错误!＝错误!２—错误!２＝—7，所以错误!·错误!＝错误!２—错误!２＝错误!２—错误!２—7＝9．答案：97．（２0１9·崇川一模）若非零向量a与b满足|a|＝|a ＋b|＝２，|b|＝１，则向量a与b夹角的余弦值为________．解析：∵非零向量a与b满足|a|＝|a＋b|＝２，|b|＝１，∴|a|２＝|a＋b|２＝|a|２＋|b|２＋２a·b，即a·b＝—错误!|b|２＝—错误!×１２＝—错误!，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!，∴向量a与b夹角的余弦值为—错误!.答案：—错误!8．（２0１8·盐城期中）如图，在四边形ABCD中，A＝错误!，AB＝２，AD＝３，分别延长CB，CD至点E，F，使得错误!＝λ错误!，错误!＝λ错误!，其中λ＞0，若错误!·错误!＝１５，则λ的值为________．解析：∵错误!＝错误!—错误!＝λ错误!—λ错误!＝λ错误!＝λ（错误!—错误!），∴错误!·错误!＝λ（错误!—错误!）·错误!＝λ（错误!２—错误!·错误!）＝λ（9—３）＝１５，∴λ＝错误!.答案：错误!9．（２0１9·通州调研）设两个向量a，b不共线．（１）若错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），求证：A，B，D三点共线；（２）若|a|＝２，|b|＝３，a，b的夹角为60°，求使向量k a＋b与a＋k b垂直的实数k的值．解：（１）证明：∵错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝（a＋b）＋（２a＋8b）＋３（a—b）＝6（a＋b）＝6错误!，∴错误!与错误!共线，且有公共点A，∴A，B，D三点共线．（２）∵k a＋b与a＋k b垂直，∴（k a＋b）·（a＋k b）＝0，∴k a２＋（k２＋１）|a||b|·cos 60°＋k b２＝0，即３k２＋１３k＋３＝0，解得k＝错误!.１0．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，错误!＝２错误!.（１）若四边形ABCD是矩形，求错误!·错误!的值；（２）若四边形ABCD是平行四边形，且错误!·错误!＝6，求错误!与错误!夹角的余弦值．解：（１）因为四边形ABCD是矩形，所以错误!⊥错误!，即错误!·错误!＝0，又AB＝9，BC＝6，错误!＝２错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!２—错误!错误!·错误!—错误!错误!２＝6２—错误!×9２＝１8．（２）设错误!与错误!的夹角为θ，由（１）得，错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!２—错误!错误!·错误!—错误!错误!２＝6２—错误!×9×6×cos θ—错误!×9２＝6，所以cos θ＝错误!.故错误!与错误!夹角的余弦值为错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·徐州高三年级期中考试）如图，在半径为２的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P为AB上的一点，若错误!·错误!＝２，则错误!·错误!＝________.解析：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（２,0），B（0,２），设P（x，y），由错误!·错误!＝２，可得２x＝２，x＝１，P为A错误!上的一点，所以|错误!|＝２，所以P（１，错误!），错误!＝（１，错误!），又错误!＝（—２,２），所以错误!·错误!＝—２＋２错误!.答案：—２＋２错误!２．（２0１8·南通、扬州、泰州、淮安调研）如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若错误!＝３，错误!＝５，则（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）的值为________．解析：法一：因为错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＝２错误!＋错误!，而错误!—错误!＝错误!，由于错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0，所以（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝（２错误!＋错误!）·错误!＝２错误!·错误!，又因为Q是BC的中点，所以２错误!＝错误!＋错误!，故２错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!２—错误!２＝9—２５＝—１6．法二：由题意得△ABC是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB⊥BC，从而P为AC的中点．又|错误!|＝３，|错误!|＝５，所以|错误!|＝４，cos∠BAC＝错误!，故错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!，从而（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!·（错误!—错误!）＝错误!错误!２＋错误!错误!·错误!—错误!２＝错误!×9＋错误!×３×５×错误!—２５＝—１6．答案：—１6３．（２0１9·姜堰中学调研）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝（cos （A—B），sin（A—B）），n＝（cos B，—sin B），且m·n＝错误!.（１）求sin A的值；（２）若a＝４错误!，b＝５，AD⊥BC于D，求错误!·错误!的值．解：（１）由m·n＝错误!，得cos（A—B）cos B—sin（A—B）·sin B＝错误!，所以cos A＝错误!.因为0＜A＜错误!，所以sin A＝错误!＝错误!.（２）由正弦定理，得错误!＝错误!，则sin B＝错误!＝错误!＝错误!.因为0＜B＜错误!，所以B＝错误!，所以sin C＝sin（A＋B）＝错误!（sin A＋cos A）＝错误!.又|错误!|＝|错误!|sin C＝５×错误!＝错误!，所以错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·错误!＝—错误!２＝—|错误!|２＝—错误!.命题点一平面向量基本定理１．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）在△ABC中，错误!＝a，错误!＝b，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!＝________.（用a，b表示）解析：由题知错误!＝错误!＋错误!＝—错误!错误!＋错误!＝—错误!错误!＋错误!＝错误!错误!—错误!错误!＝错误!a—错误!b.答案：错误!a—错误!b２．（２0１8·全国卷Ⅲ）已知向量a＝（１,２），b＝（２，—２），c＝（１，λ）．若c∥（２a＋b），则λ＝________.解析：由题易得２a＋b＝（４,２），因为c∥（２a＋b），所以４λ＝２，解得λ＝错误!.答案：错误!３．（２0１7·江苏高考）如图，在同一个平面内，向量错误!，错误!，错误!的模分别为１,１，错误!，错误!与错误!的夹角为α，且tan α＝7，错误!与错误!的夹角为４５°.若错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R），则m＋n＝________.解析：如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（１，0），由tan α＝7，α∈错误!，得sin α＝错误!，cos α＝错误!，设C（x C，y C），B（x B，y B），则x C＝|错误!|cos α＝错误!×错误!＝错误!，y C＝|错误!|sin α＝错误!×错误!＝错误!，即C错误!.又cos（α＋４５°）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!，sin（α＋４５°）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，则x B＝|错误!|cos（α＋４５°）＝—错误!，y B＝|错误!|sin（α＋４５°）＝错误!，即B错误!.由错误!＝m错误!＋n错误!，可得错误!解得错误!所以m＋n＝错误!＋错误!＝３．答案：３４．（２0１５·江苏高考）已知向量a＝（２,１），b＝（１，—２），若m a＋n b＝（9，—8）（m，n ∈R），则m—n的值为________．解析：因为m a＋n b＝（２m＋n，m—２n）＝（9，—8），所以错误!所以错误!所以m—n＝２—５＝—３．答案：—３命题点二平面向量的数量积１．（２0１6·江苏高考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，错误!·错误!＝４，错误!·错误!＝—１，则错误!·错误!的值是________．解析：由题意，得错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋错误!）·（—错误!＋错误!）＝错误!２—错误!２＝|错误!|２—|错误!|２＝—１，１错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋３错误!）·（—错误!＋３错误!）＝9错误!２—错误!２＝9|错误!|２—|错误!|２＝４．２由１２得|错误!|２＝错误!，|错误!|２＝错误!.所以错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋２错误!）·（—错误!＋２错误!）＝４错误!２—错误!２＝４|错误!|２—|错误!|２＝４×错误!—错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１４·江苏高考）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝５，错误!＝３错误!，错误!·错误!＝２，则错误!·错误!的值是________．解析：因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝|错误!|２—错误!|错误!|２—错误!错误!·错误!＝２，将AB＝8，AD＝５代入解得错误!·错误!＝２２．答案：２２３．（２0１8·全国卷Ⅱ改编）已知向量a，b满足|a|＝１，a·b＝—１，则a·（２a—b）＝________.解析：a·（２a—b）＝２a２—a·b＝２|a|２—a·b.∵|a|＝１，a·b＝—１，∴原式＝２×１２＋１＝３．答案：３４．（２0１8·北京高考）设向量a＝（１,0），b＝（—１，m）．若a⊥（m a—b），则m＝________.解析：因为a＝（１,0），b＝（—１，m），所以m a—b＝（m＋１，—m）．由a⊥（m a—b），得a·（m a—b）＝0，即m＋１＝0，所以m＝—１．答案：—１５．（２0１8·天津高考改编）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝１２0°，AB＝AD＝１．若点E为边CD上的动点，则错误!·错误!的最小值为________．解析：如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝３0°，则D（0,0），A（１,0），B错误!，C（0，错误!）．设E（0，y）（0≤y≤错误!），则错误!＝（—１，y），错误!＝错误!，∴错误!·错误!＝错误!＋y２—错误!y＝错误!２＋错误!，∴当y＝错误!时，错误!·错误!有最小值错误!.答案：错误!6．（２0１7·北京高考）已知点P在圆x２＋y２＝１上，点A的坐标为（—２,0），O为原点，则错误!·错误!的最大值为________．解析：法一：由题意知，错误!＝（２,0），令P（cos α，sin α），则错误!＝（cos α＋２，sin α），错误!·错误!＝（２,0）·（cos α＋２，sin α）＝２cos α＋４≤6，当且仅当cos α＝１，即α＝0，P（１,0）时“＝”成立，故错误!·错误!的最大值为6．法二：由题意知，错误!＝（２,0），令P（x，y），—１≤x≤１，则错误!·错误!＝（２,0）·（x＋２，y）＝２x＋４≤6，当且仅当x＝１，P（１,0）时“＝”成立，故错误!·错误!的最大值为6．答案：67．（２0１6·全国卷Ⅰ）设向量a＝（m,１），b＝（１,２），且|a＋b|２＝|a|２＋|b|２，则m＝________.解析：因为|a＋b|２＝|a|２＋|b|２＋２a·b＝|a|２＋|b|２，所以a·b＝0．又a＝（m,１），b＝（１,２），所以m＋２＝0，所以m＝—２．答案：—２8．（２0１7·江苏高考）已知向量a＝（cos x，sin x），b＝（３，—错误!），x∈[0，π]．（１）若a∥b，求x的值；（２）记f（x）＝a·b，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．解：（１）因为a＝（cos x，sin x），b＝（３，—错误!），a∥b，所以—错误!cos x＝３sin x.则tan x＝—错误!.又x∈[0，π]，所以x＝错误!.（２）f（x）＝a·b＝（cos x，sin x）·（３，—错误!）＝３cos x—错误!sin x＝２错误!cos错误!.因为x∈[0，π]，所以x＋错误!∈错误!，从而—１≤cos错误!≤错误!.于是，当x＋错误!＝错误!，即x＝0时，f（x）取到最大值３；当x＋错误!＝π，即x＝错误!时，f（x）取到最小值—２错误!.。

高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。

5.4 平面向量的应用一、填空题1.如图,在△ABC 中,AD ⊥AB, BC 3 BD,AD 1,AD ΑC==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r则·等于________.解析AC AD AC AD cos DAC AC cos DAC AC sin BAC 1BC sinB BC BD 13BD 3.BD⋅=⋅∠=⋅∠=∠==⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r u u u ru u u r u u u r答案 32．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a·b＝b·c＝c·a, 则△ABC 的形状是____________．解析 由a·b＝b·c＝c·a，a ＋b ＋c ＝0，得AB ＝BC ＝CA ，所以△ABC 为等边三角形． 答案 等边三角形3．设O 为坐标原点，A (1，1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≥1，0≤x ≤1，0≤y ≤1.则OA →·OB →的最大值是________．解析 OA →·OB →＝(1,1)·(x ，y )＝x ＋y ，当B 取点A 时，(x ＋y )max ＝2. 答案 24．已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．解析 由已知得AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1，且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.答案 35．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝________.解析 AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →，因为OA ＝OB ，所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|，所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2，同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝92，故AO →·BC →＝92－2＝52.答案 526．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且AB →·CD →＝BC →·AE →，则a 2，b 2，c 2成________数列．解析 由AB →·CD →＝BC →·AE →，得(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)，即CB →2－CA →2＝AC →2－AB →2，所以a 2－b 2＝b 2－c 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列． 答案 等差7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.解析 由题知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →) ＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案28．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |→＝10，则点C 的坐标是________．解析 设C (x ，y )，则x 2＋y 2＝10，且C 在∠AOB 平分线上，OA →·OC→|OA →||OC →|＝OC →·OB→|OC →||OB →|，∴－y10＝－3x －4y 510，推出y ＝3x . 给合点的位置关系，取x ＝－1，y ＝－3，即(－1，－3)． 答案 (－1，－3)9．已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，则PA →·PB →的最小值为________．解析 设|PA →|＝|PB →|＝t ，∠APB ＝θ，则cos θ2＝t1＋t2，cos θ＝t 2－1t 2＋1， PA →·PB →＝t 2·t 2－1t 2＋1＝t 4－t 2t 2＋1＝t 2＋1＋2t 2＋1－3≥22－3. 当且仅当t 2＋1＝2， 即t 2＝2－1时等号成立，所以PA →·PB →的最小值为22－3.答案 22－310．设OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，ON →＝(0,1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝y －x 的最小值是________． 解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋12y ≤1，0≤y ≤1，所以可行域如图所示，所以当直线y －x ＝z 经过点A (1,0)时，z min ＝－1.答案 －111．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________．解析 如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA →＝(0,1)，CB →＝(2,0)，故2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1＝22⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝12时取得．答案 212．下列命题中：①若|a ·b |＝|a |·|b |，则a ∥b ；②a ＝(－1,1)在b ＝(3,4)方向上的投影为15；③若△ABC 中，a ＝5，b ＝8，c ＝7，则BC →·CA →＝20；④若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|b |，则|2b |>|a ＋2b |.真命题的序号是________．解析 ①由|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|＝|a ||b |，cos θ＝±1，θ＝0或π，所以a ∥b ，①正确．②a 在b 上的投影为a ·b |b |＝15，②正确． ③BC →·CA →＝－ab cos C ＝－12(a 2＋b 2－c 2)＝－12(52＋82－72)＝－20，③不正确．④由|a ＋b |＝|b |，得(a ＋b )2＝b 2，即a 2＋2a ·b ＝0，所以a 2＋4a ·b ＝2a ·b ＝－a 2<0，所以4b 2>a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(a ＋2b )2，即|2b |>|a ＋2b |，即④正确． 答案 ①②④13．直线l 与函数y ＝sin x (x ∈[0，π])的图象相切于点A ，且l ∥OP ，O 为坐标原点，P为图象的极值点，l 与x 轴交于B 点，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA →·BC ＝________. 解析 由条件，P 为⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，设切点A (x 0，y 0)，即A (x 0，sin x 0)，直线OP 斜率为2π，切线斜率为(sin x )′|x ＝x 0＝cos x 0＝2π，∴切线方程为：y －sin x 0＝2π(x －x 0)， 令y ＝0，x ＝x 0－πsin x 02，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－πsin x 02，0，C 为(x 0,0)， 从而BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x 0，sin x 0，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x 0，0. 则BA →·BC →＝π24sin 2x 0＝π24(1－cos 2x 0)＝π24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4π2＝π24－1.答案 π24－1二、解答题14．已知在锐角△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，定义向量m ＝(sin B ，－3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2B ，4cos 2B 2－2，且m ∥n . (1)求函数f (x )＝sin 2x cos B －cos 2x sin B 的单调递减区间； (2)若b ＝1，求△ABC 的面积的最大值．解析 (1)因为m ∥n ，所以⎝⎛⎭⎪⎫4cos 2B2－2sin B ＋3cos 2B ＝2sin B cos B ＋3cos 2B ＝sin 2B＋3cos 2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝0， 所以B ＝π3.所以f (x )＝sin(2x －B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 于是由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π，k ∈Z .(2)当b ＝1时，由余弦定理，得1＝a 2＋c 2－2ac cosπ3＝a 2＋c 2－ac ≥ac ， 所以S △ABC ＝12ac sin π3≤34，当且仅当a ＝c ＝1时等号成立，所以(S △ABC )max ＝34.15．已知向量m ＝(2cos x2，1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2，1(x ∈R )，设函数f (x )＝m ·n －1.(1)求函数f (x )的值域；(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f (A )＝513，f (B )＝35，求f (A ＋B )的值．解析 (1)f (x )＝m ·n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2，1－1＝2cos x 2sin x2＋1－1＝sin x .因为x ∈R ，所以函数f (x )的值域为[－1,1]．(2)因为f (A )＝513，f (B )＝35，所以sin A ＝513，sin B ＝35.因为A ，B 都是锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45， 故f (A ＋B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝513×45＋1213×35＝5665，即f (A ＋B )的值为5665. 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋c )·BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值． 解析 (1)因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0， 所以(2a ＋c )ac cos B ＋abc cos C ＝0， 即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，所以(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0， 因为sin(B ＋C )＝sin A ≠0， 所以cos B ＝－12，所以B ＝2π3.(2)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4，所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，所以AB →·CB →的最小值为－2.17．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解析 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →(－1,1)则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210， |AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 即5t ＝－11，所以t ＝－115.18．已知向量OA →＝(2,0)，OC →＝AB →＝(0,1)，动点M 到定直线y ＝1的距离等于d ，并且满足OM →·AM →＝k (CM →·BM →－d 2)，其中O 为坐标原点，k 为参数．(1)求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型．(2)当k ＝12时，求|OM →＋2AM →|的最大值和最小值．解析 (1)设M (x ，y )，则由OA →＝(2,0)，OC →＝AB →＝(0,1)且O 为原点得，A (2,0)，B (2,1)，C (0,1)．从而OM →＝(x ，y )，AM →＝(x －2，y )，CM →＝(x ，y －1)，BM →＝(x －2，y －1)，d ＝|y －1|，代入OM →·AM →＝k (CM →·BM →－d 2)，得(1－k )x 2＋2(k －1)x ＋y 2＝0为所求的轨迹方程．当k ＝1时，所求轨迹是一条直线y ＝0；当k ≠1时，(x －1)2＋y 21－k ＝1，若k ＝0，则为圆；若0<k <1或k <0，则为椭圆；若k >1，则为双曲线． (2)由(1)知当k ＝12时，点M 的轨迹方程为(x －1)2＋2y 2＝1，则0≤x ≤2， ∴|OM →＋2AM →|＝ ＝3x －42＋9y 2＝3x －42＋92－92x －12＝92x 2－15x ＋16＝ 92⎝ ⎛⎭⎪⎫x －532＋72， ∴当x ＝53时，|OM →＋2AM →|min ＝72＝142； 当x ＝0时，|OM →＋2AM →|max ＝16＝4.。

专题5.3 平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝【解析】因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为 【解析】由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为【解析】如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC ＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________.【解析】由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－2＝8 2.8．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．【解析】∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3. 9．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．【解析】设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ·(AB －AC )＝18，求边c 的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA ·(AB －AC )＝18， ∴CA ·CB ＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.。

1.向量的有关概念2.向量的线性运算3.向量共线定理对于两个向量a (a ≠0)，b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ―――→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →).3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关.( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( √ )1.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是________. 答案 ①解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误.2.(教材改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______________. 答案 －BC →＋12BA →解析 如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.3.(教材改编)若2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________. 答案421a －17b ＋17c 解析 由2(y －13a )－12(c ＋b －3y )＋b ＝0，得2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，即72y －23a －12c ＋12b ＝0， 所以y ＝421a －17b ＋17c .4.(教材改编)已知实数m ，n 和向量a ，b ，给出下列命题： ①m (a －b )＝m a －m b ； ②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . 其中正确的命题是________. 答案 ①②④解析 若m ＝0，则m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故③不正确.5.(2016·江苏徐州四校联考)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝______. 答案 23解析 由AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.题型一 平面向量的概念 例1 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. ②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0. 上述命题中，假命题的个数是________. 答案 3解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝__________. (2)(2015·课标全国Ⅰ改编)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →＝____________. 答案 (1)23b ＋13c (2)－13AB →＋43AC →解析 (1)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋A B →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.命题点2 根据向量线性运算求参数例3 (1)(2017·江苏昆山中学月考)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是______________. 答案 (1)－2 (2)⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 (1)直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →) ＝AB →＋3AC →－3AD →， AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.(2)设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为________.答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29.题型三 共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线.又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线. (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.设两个向量a 与b 不共线.(1)试证：起点相同的三个向量a ，b,3a －2b 的终点在同一条直线上(a ≠b )； (2)求实数k ，使得k a ＋b 与2a ＋k b 共线. (1)证明 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝3a －2b . 因为AC →＝OC →－OA →＝(3a －2b )－a ＝2(a －b )，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，所以AC →＝－2AB →，故AC →，AB →共线.又AC →，AB →有公共起点A ，所以A ，B ，C 在同一条直线上. (2)解 因为k a ＋b 与2a ＋k b 共线，所以设k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，λ∈R ，即k a ＋b ＝2λa ＋kλb ，又a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2λ，1＝kλ，所以k ＝±2.4.容易忽视的零向量典例 下列叙述错误的是________. ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同. ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同.④向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . ⑤AB →＋BA →＝0. ⑥若λa ＝λb ，则a ＝b . 错解展示解析 ⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴AB →＋BA →＝0. 答案 ⑤ 现场纠错解析 对于①，当b ＝0时，a 不一定与c 平行.对于②，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都 不相同. 对于③，当a ，b 之一为零向量时结论不成立.对于④，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在. 对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量， 所以AB →＋BA →＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤⑥均错. 答案 ①②③④⑤⑥纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.1.(2016·徐州模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是________. ①a ＋b ＝0 ②a ＝b③a 与b 共线反向 ④存在正实数λ，使a ＝λb 答案 ④解析 因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确. 2.(教材改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的____________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分解析 由a ＋b ＝0，可得a ＝－b ，即得a ∥b ，但a ∥b ，不一定有a ＝－b ，所以“a ∥b ”是“a ＋b ＝0成立”的必要不充分条件.3.已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝________. 答案 0解析 依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.4.(教材改编)已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题： ①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ①②③④解析 AD →＝AC →＋CD →＝－CA →－DC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝－12a ＋12b ，所以AD →＋BE →＋CF →＝0.5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________.答案 2解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.6.设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，若cos ∠BAC ＝25，则k ＝________. 答案514解析 取BC 的中点D ，连结PD ，AD ， 则PD ⊥BC ，AB →＋AC →＝2AD →， ∵AP →＝k (AB →＋AC →)(k ∈R )，∴AP →＝2kAD →，∴A ，P ，D 三点共线， ∴AB ＝AC ，∴cos ∠BAC ＝cos ∠DPC ＝DP PC ＝DP P A ＝25，∴AP ＝57AD ，∴2k ＝57，解得k ＝514.7.(2016·江苏无锡一中质检)在△ABC 中，D 在线段BC 上，BD →＝2DC →.若AD →＝mAB →＋nAC →，则mn ＝________. 答案 12解析 因为AD →＝AB →＋BD →，AD →＝AC →＋CD →，BD →＝2DC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →＝mAB →＋nAC →，所以m ＝13，n ＝23，所以m n ＝12.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案 135解析 如图，取单位向量i ，j ，则：a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j .∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j )＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝4， ∴⎩⎨⎧ x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135. 9.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p的值是________.答案 －1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线.设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.*10.设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为________.答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C .根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.11.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________.答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 从而⎩⎨⎧ －m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m＝3. *12.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ).(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线.又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线.(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →).又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。