北京大学2012年保送生考试数学试题解析

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷带解析1．已知集合={x R|3x+2>0}A ∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B =（ ） A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3-D ．(3,)+∞ 2．设不等式0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的是（ ）A ．4π B．22π- C ．6π D ．44π- 3．设,a b R∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．如图，090ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( )A. CE CB AD DB ∙=∙B. CE CB AD AB ∙=∙C. 2AD AB CD ∙= D. 2CE EB CD ∙=6．从0,2中选一个数字.从 1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．28+．30+ C ．56+．60+8．某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11A DBCE第3页共4页◎第4页共4页第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）9．直线21x ty t=+⎧⎨=--⎩(t为参数)与曲线3cos3sinxyαα=⎧⎨=⎩(“为多α数)的交点个数为10．已知{}na为等差数列，nS为其前n项和，若112a=，23S a=，则2a=nS=11．在△ABC中，若2,7a b c=+=,1cos4B=-，则b=12．在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。

1． 已知数列{}n a 为正项等比数列，且34125a a a a +--=，求56a a +的最小值．2．已知()f x 为二次函数，且()()()()()(),,,a f a ff a f f f a 成正项等比数列，求证：()f a a =．3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形ABC 的三边满足a b c >>，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B+．4．从O 点发出两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于,A B 两点，且OAB S c ∆=（c 为定值），记AB 中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线．5．已知()1,2,,10i a i =满足1210121030,21a a a a a a +++=<，求证：()1,2,,10i a i ∃=，使1i a <．X参考解答2． 已知数列{}n a 为正项等比数列，且34125a a a a +--=，求56a a +的最小值．解：设数列{}n a 的公比为()0q q >，则231115a q a q a a q +--=，12351a q q q ∴=+--()251(1)q q =+-．由10a >知1q >．()454556111a a a q a q a q q ∴+=+=+()()44225511(1)1q q q q q q =⋅+=+-- 222211515122011q q q q ⎛⎫⎛⎫=++=-++≥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当22111q q -=-即q =56a a +有最小值20． 2．已知()f x 为二次函数，且()()()()()(),,,a f a ff a f f f a 成正项等比数列，求证：()f a a =．证法一：设()()20f x mx nx t m =++≠，数列()()()()()(),,,a f a ff a f f f a 的公比为()0q q >，则()()()()()()()()223,,f a aq ff a f aq aq f f f a f aq aq=====，2ma na t aq∴++=①22()m aq naq t aq ++=②2223()m aq naq t aq ++=③①-②得()()()22111ma q na q aq q ∴-+-=-， ②-③得()()()2222111ma q qnaq q aq q ∴-+-=-．若1q =，则()f a a =； 若1q ≠，则()21ma q na aq++=与()21ma q q na aq ++=矛盾．()f a a ∴=．证法二：由()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成等比数列得()()()()()()()()()f f f a f f a f a a f a f f a ==， ()()()()()()()()()()()()f f f a f f a f f a f a f a af f a f a --∴=--．∴三点()()()()()()()()()()()(),,,,,A a f a B f a f a Cf a f a 满足ABBC kk =，,,A B C ∴三点共线，与,,A B C 三点在抛物线上矛盾，()f a a ∴=．3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形ABC 的三边满足a b c >>，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B+． 解：如图所示，设正方形MNPQ 的边长为x ，AE MNAD BC=， sin sin c B x x c B a -∴=，sin sin 2ac B abcx a c B Ra bc∴==++． 同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为,22abc abcRb ac Rc ab++． ()()()2220Rb ac Ra bc b a R c +-+=--<，()()()2220Rc ab Ra bc c a R b +-+=--<，∴这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B+．4．从O 点发出两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于,A B 两点，且OAB S c ∆=（c 为定值），记AB 中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线．解：以12,l l 的角平分线所在直线为x 设AOx BOx α∠=∠=，,OA a OB b ==，(),X x y 则1sin 22OAB S ab c α∆==，2sin 2c ab α=．()()cos ,sin ,cos ,sin A a a B b b αααα-，cos cos ,2sin sin ,2a b x a b y αααα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩cos 2(2)sin 2xa b y a b αα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩22(1)(2)-得D Q EPNMCBAX22222cos sin sin 2x y cab ααα-==，∴X 的轨迹为双曲线． 5．已知()1,2,,10i a i =满足1210121030,21a a a a a a +++=<，求证：()1,2,,10i a i ∃=，使1i a <．证明：用反证法，假设()1,2,,10i a i ∀=， 1i a ≥．令()11,2,,10i i a b i =+=，则0i b ≥，且121020b b b +++=．()()()12101210111a a a b b b ∴=+++121012231b b b b b b b =+++++++12232121b b b b =+++≥与121021a a a <矛盾，()1,2,,10i a i ∴∃=，使1i a <．。

2 0 1 2 年 保 送 生 招 录 考 试数学试题参考答案及评分说明说明：1．如果考生的解答正确，思路与本参考答案不同，可参照本评分说明制定相应的评分细则评分． 2．每题都要评阅完毕，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这道题的内容和难度，则可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．3．为阅卷方便，解答题的解题步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理地省略非关键性的步骤．4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 5．每题评分时只给整数分数．一．精心选一选（每小题3分，本大题满分24分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A D CBCD B C二．细心填一填（每小题3分，本大题满分24分）9．14 10．－21 11．48% 12．1413．15° 14． 3 15． x ＞－671216．2三．专心解一解（本大题满分72分） 17．解：加减消去x 得，(2a －b )y =2a －3∵2a －b ≠0， ∴y = 2a －3 2a －b ，代入求得x = 6－2b2a －b.∴方程组的解为 ·········································································· 4分由已知得 即 或 ·························· 8分由a 、b 均为不超过4的正整数可得 或 ··················· 10分18．解：（1）图中相等线段有BE =EA =EC ，DE =DA ．证明：Rt △CED 中，∵∠CDE =60° ∴∠ECD =30°，∴DE = 12 CD =DA ．∴∠DAE =∠DEA=∠ECD =30°，∴EC =EA ． 又∵∠BAC =45°，∠BDC =60°，∠DAE =30°，∴∠DBA =∠EAB =15°． ∴BE =EA =EC ． ············································································································· 4分 （2）△ADE ∽△AEC ，△ABC ∽△BDC .证明：在△ADE 与△AEC 中，∠DAE =∠CAE ，∠AED =∠ACE ． ∴△ADE ∽△AEC . ······································································································ 6分 Rt △CEB 中，∵BE = EC ，∴∠EBC =∠ECB =45°， 又∵∠DBA =15°，∴∠ABC =∠BDC =60°.在△ABC 与△BDC 中，∠ABC =∠BDC ，∠ACB =∠BCD ∴△ABC ∽△BDC . ······································································································ 8分 （3）过点A 作AF ⊥BD 交BD 的延长线于点F ，∵S △CEB =12 BE ·CE ，S △BEA =12BE ·AF ，∴S △BEC ∶S △BEA = CE ∶AF ．∵CE ∶AF =CD ∶DA =2：1 ， ∴S △BEC ∶S △BEA =2：1 ·········································· 12分19．解：（1）证明：在△ABC 中，∠CAB =∠CBA ，在△EDC 中，∠CDE =∠E ，∵∠CAB =∠CDB ，∠CDE =∠CBA ，∴∠CDB =∠E . 又∵∠CAE =∠CBD ，AC =BC ∴△CAE ≌△CBD ，∴AE =BD . ··································································· 6分 （说明：用其他方法证明△CAE ≌△CBD 可比照给分）（2）若AC ⊥BC ，∵△CAE ≌△CBD ，∴∠ACB =∠ECD =90°，∴∠CDE =∠CED =45°，∴DE = 2 CD 又∵AD ＋BD = AD ＋EA =DE ，∴AD ＋BD = 2 CD ···················································· 12分20．解：（1）△ABC 是直角三角形.∵a 、b 、是关于x 的方程x 2－(4＋c )x ＋4c ＋8 =0的两个实数根， ∴a ＋b = 4＋c ，ab =4c ＋8.∵a 2＋b 2 =(a ＋b )2－2ab =(4＋c )2－2(4c ＋8)= c 2. 即a 2＋b 2 = c 2，∵a 、b 、c 是△ABC 的三边， ∴△ABC 是直角三角形. ····························································································· 6分（2）∵25a ·sin A =9c ，Rt △ABC 中，sin A = ac∴25a ·a c =9c ，∴a c = 35y = 2a －3 2a －b . x = 6－2b2a －b， 2a －3 2a －b ＞0.6－2b2a －b ＞0， 2a －b ＞0， a ＞32 ， b ＜3. 2a －b ＜0， a ＜32 ， b ＞3.a = 2，3，4，b = 1，2， a = 1， b = 4. C ABE D C AD B OE （第19题）设a =3k ，c =5k ，则b =c 2－a 2 =25k 2－9k 2 =4k .将a =3k ，b =4k ，c =5k 代入a ＋b =4＋c 得3k ＋4k =4＋5k 可得k =2∴a =6，b =8，c =10. ···································································································· 12分 21．解：（1）∵OC =3OB ，点B 的坐标为(1，0)，∴点C 的坐标为(0，－3).把B 、C 两点的坐标代入y =ax 2＋3ax ＋c 可求得a = 34，c =－3，∴抛物线的解析式为y =34 x 2＋94x －3 ·········································································· 3分（2）由34 x 2＋94x －3=0解得x 1=－4，x 1=1，∵点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标为(－4，0)连接DB （如图1），则S 四边形ABCD =S △AOD ＋S △COD ＋S △COB∵点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设点D 的坐标为（x ，34 x 2＋94x －3）则x ＜0，且34 x 2＋94 x －3＜0，∴S △AOD = 12 OA ·|34 x 2＋94 x －3|=－32 x 2－92x ＋6， S △COD = 12 OC ·|x |=－32 x ，S △COB = 12 OC ·OB =32， ∴S 四边形ABCD =－32 x 2－92 x ＋6－32 x ＋32 =－32 ( x ＋2) 2＋272，∴当x =－2时，四边形ABCD 的面积有最大值272····················································· 7分（3）①如图2，当CP 是平行四边形的一边即CP ∥AE 时，点P 与点C 关于抛物线 的对称轴x =－2对称，点P 的横坐标为x = －3，把x = －3 代入y =34 x 2＋94x －3 可求得y =－3∴此时点P 坐标为(－3，－3). ··················································································· 9分 ②如图3、图4当CP 是平行四边形的对角线即PE ∥AC 时，点P 、C 到x 轴距离相等.即点P 的纵坐标为y = 3，把y = 3代入y =34 x 2＋94x －3 可求得x 1 = －3－41 2 ，x 2= －3＋41 2.此时点P 坐标为(－3－412， 3)（如图3）或(－3＋41 2 ， 3)（如图4） ··············································································· 12分22．解：设这些数中，﹣1的个数x 个，0的个数y 个，1的个数z 个，2的个数w 个. 则已知的两个等式可化为即 ①＋②得z ＋3w =1056 ③，则w = 1056－z 3，∴0≤w ≤352，且w 是整数. ······················································· 4分设a 15＋a 25＋…＋a 20125=A ， 则A =(﹣1)5·x ＋05·y ＋15·z ＋25·w =﹣x ＋z ＋32w =100﹣2 w ＋32w =100＋30w . ∵0≤w ≤352，∴100≤A ≤10560.∴A 的最小值为100，最大值为10560. ······································································ 8分 当A 取得最小值100时，w =0，由①，②可求得x =956，z =1056，进而可求得y =0. ∴当A 取得最小值时，﹣1的个数956，0的个数是0，1的个数是1056，2的个数是0. ······················· 11分 当A 取得最大值10560时，w =352，由①，②可求得x =604，z =0，进而可求得y =1056. ∴当A 取得最小值时，﹣1的个数是604，0的个数是1056，1的个数是0，2的个数是352. ·················· 14分D x （图1） B C y A Ox x （图2） B C y A O P E （图3） B C y A O E x （图4） B C yA O P E P﹣1·x ＋0·y ＋1·z ＋2·w =100， (﹣1)2·x ＋02·y ＋12·z ＋22·w =2012.﹣x ＋z ＋2w =100，① x ＋z ＋4w =2012. ②。

北约”的数学题型为5道解答题，各20分，总分为100分，内容上每年都会考一到两题的平面几何，这个知识点是上海学生在初中就学过的，但在全国高考中是作为考核内容的。

此外，三角形和解析几何等也都是“北约”每年的考核重点，难度略高于本市实验性示范性高中平时做的题目。

“2012年“北约”自主招生选拔联合考试数学真题及答案北大联合自招，基本题型包括在阅读文本中选择正确或最好的表达形式、文言综合阅读、现代文学作品阅读、写作等几个部分。

文学作品阅读的选材广泛，因为作品时代差异和作家风格不同，对考生有很强的挑战性，王振宇老师建议：一要把握常见基础题型。

比如理解句子含义，分析段落内涵这类常见题目的答题技巧;二是以读促写，以写悟读，将阅读与写作有效结合起来，提高自我独立阅读能力、培养多角度、个性化思维素养。

三有良好阅读习惯，北约类试题文本阅读都是千字文，卷面试题量大、解题时间有限，考生应积极进行快速阅读训练，迅速理清作者的思想、意图、感受，体验作品的思想境界和作者对人、事、物的感情倾向等能力尤其重要。

关于写作，考生可看一下过去三年北约的作文题目：(北京大学2011)鲁迅曾说：“无尽的远方，无数的人们，都与我有关。

”你认为这是怎样的一种关联?你自己与“无尽的远方，无数的人们”是以什么方式相关联?试结合上述问题，以《无尽的远方，与无数的人们》为题写一篇作文。

(北京大学2010)今年是北京大学中文系林庚教授诞辰100周年，有人评价林庚“建安风骨，盛唐气象，少年精神，布衣情怀”。

请从中选择一个四字短语为题，写一篇要求在诗情画意中富含哲理的散文。

(北京大学2009)有腐败分子认为：腐败，是一种人人难免的“普遍本性”，它有助于刺激消费……请你写一篇800字文章、观点,要求至少有5处正确引用古诗文。

从过去三年北约的作文题目我们不难看出，命题者将学生表达能力和感悟能力结合起来，文章要写得有诗情画意，且要富有哲理，这就有一定的难度的。