2020年4.2 黄金分割(含答案)-

2020届中考复习--黄金分割专题训练一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

法逐渐流行起来…。
观察 欣赏
应用 黄金分割
你知道芭蕾舞演员跳 舞时为什么要掂起脚 尖吗?
芭蕾舞演员的身段是苗条 的，但下半身与身高的比 值也只有0.58左右，演员 在表演时掂起脚尖，身高 就可以增加6-8cm.这时比 值就接近0.618了,给人以 更为优美的艺术形象.
∵ AC2 BC• AB ∴C点为AB的黄金分割点
∴BC= 15 5 5
试一试
应用 黄金分割
利用黄金分割求值：
问题3
A
B
DC
把窗台看成线段AB，现把原放置在窗台上点A处的一 盆花，移到该线段的黄金分割点上，若AB=2a米，试 计算这盆花移动后应离A点几米？
注意：一条线段有两个黄金分割点 分两种情况：
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果 AC = BC
AB AC
或
AC2=AB ∙ BC
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section), 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点, AC 与 AB 的比叫做黄金比.
思考：黄金比是多少?
议一议
领悟 黄金分割
说一说
应用 黄金分割
判断黄金分割点：
作法:1、经过点B作BD⊥AB, 1
使BD=2 AB 2、连在接DAAD上, 截取 3、在ABD上E截=D取BAC=AE.
根据上述作图点C是线段AB的黄金分割点吗？
试一试
应用 黄金分割
判断黄金分割点：
作法:1、经过点B作BD⊥AB, 1
使BD=2 AB 2、连在接DAAD上, 截取
E
D
∟
A
CB
3、在ABD上E截=D取BAC=AE.

初中数学黄金分割基础训练含答案一、选择题1．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm2．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm3．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C 黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是（）A．B．C．D．4．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到0.01m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）是（）A．0.62m B．0.76m C．1.24m D．1.62m5．如果线段上一点P把线段分割为两条线段P A，PB，当P A2＝PB•AB，即P A≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现已知线段AB＝10，点P是线段AB的黄金分割点，如图所示，那么线段PB的长约为（）A．6.18B．0.382C．0.618D．3.82二、填空题6．如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝4，则DE＝_____．7．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB＝10cm，则AC的长约为_____cm（结果精确到0.1cm）．8．黄金分割比是＝＝0.61803398…，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001的近似数是_____．9．校团委举办“五•四手抄报比赛”．手抄报规格统一设计成：长是0.8米的黄金矩形（黄金矩形的长与宽的比是1.6：1），则宽为_____米．10．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC＝_____cm，DC＝_____cm．11．如图，已知线段AB，点C在AB上，且有，则的数值为_____；若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_____位置最好．三、解答题12．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？（精确到1cm）参考数据：黄金分割比为，＝2.236．13．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．14．宽与长之比为：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．（1）求∠CDB的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求弦CE的长；③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．16．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．17．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ADB＝108°．求证：（1）AD＝BD＝BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．初中数学黄金分割基础训练含答案参考答案与试题解析选择题1．解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20＝20：x，解得x＝12.36cm．方法2：书的宽为20×0.618＝12.36cm．故选：A．2．解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，解得：y≈8cm．故选：C．3．解：设AB＝1，AC＝x，根据已知条件中的比例式得，则x2＝1﹣x，x2﹣1+x＝0，x＝（负值舍去）．则比值是．故选：A．4．解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2﹣x）m．依题意，得，解得x1＝﹣1+≈1.24，x2＝﹣1﹣（不合题意，舍去）．经检验，x＝﹣1+是原方程的根．故选：C．5．解：根据题意得：AP≈0.618×10＝6.18，则PB＝AB﹣AP＝10﹣6.18＝3.82．故选：D．填空题6．解：根据题意可知，BC＝AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD＝36°，BC＝BD，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝36°＝∠A，∴BD＝AD，同理可证DE＝DC，∴DE＝DC＝AC﹣AD＝AB﹣BC＝AB﹣AB＝6﹣2．故答案为：6﹣2．7．解：由题意知AC：AB＝BC：AC，∴AC：AB≈0.618，∴AC＝0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）故答案为：6.2．8．解：0.61803398在四舍五入后，精确到0.001的近似值为0.618．9．解：设宽为x米，则，解得：x＝0.5．故本题答案为：0.5．10．解：由题意得：则AC＝BD＝AB＝80×＝40﹣40；AD＝AB﹣BD＝80﹣（40﹣40）＝120﹣40；DC＝AB﹣2AD＝80﹣160．故答案为：40﹣40，80﹣160．11．解：设AC＝x，则BC＝AB﹣x，∴x：AB＝（AB﹣x）：x，解得：AC＝x＝，∴的数值为，∴点C是线段AB的黄金分割点，故主持人应站在点C位置最好．故答案为：；C．解答题12．解：设应穿xcm高的鞋子，根据题意，得．解得x＝10cm．13．证明：在正方形ABCD中，取AB＝2a，∵N为BC的中点，∴NC＝BC＝a．在Rt△DNC中，．又∵NE＝ND，∴CE＝NE﹣NC＝（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．14．解：留下的矩形CDFE是黄金矩形．证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点，∴，即，∴矩形CDFE是黄金矩形．15．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE＝AB，∴OA＝OC＝OE＝DE，则∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，设∠CDB＝x，则∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，又∠BOC＝108°，∴∠CDB+∠OCD＝108°，∴x+2x＝108，x＝36°．∴∠CDB＝36°．（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．∵OE＝DE，∠CDB＝36°，∴△DOE是黄金三角形；∵OC＝OE，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝36°．∴△COE是黄金三角形；∵∠COB＝108°，∴∠COD＝72°；又∠OCD＝2x＝72°，∴∠OCD＝∠COD．∴OD＝CD，∴△COD是黄金三角形；②∵△COD是黄金三角形，∴，∵OD＝2，∴OC＝﹣1，∵CD＝OD＝2，DE＝OC＝﹣1，∴CE＝CD﹣DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣；③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，如图所示，ⅰ以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；ⅱ以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．16．解：（1）如图．（2）探究：四边形EBCF是矩形，而且是黄金矩形．∵四边形AEFD是正方形，∴∠AEF＝90°∴∠BEF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°∴∠BEF＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形EBCF是矩形．【方法1】设∴∴矩形EBCF是黄金矩形．【方法2】设，∴∴矩形EBCF是黄金矩形．（3）归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形．17．证明：（1）∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵∠ADB＝108°，∴∠ABD＝180°﹣36°﹣108°＝36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣108°＝72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD＝BD＝BC．（2）∵∠DBC＝∠A＝36°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC＝CD：BC，∴BC2＝AC•DC，∵BC＝AD，∴AD2＝AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．。

根据上述作图回答下列问题: (1)若AB=2, 那么BD、AD、AC、BC分别等于什么？ (2)点C是线段AB的黄金分割点吗？
答 : (1) BD = 1，AD = 5， AC = 5 1，BC = 3 5． AC BC (2)点C是AB的黄金分割点 ,因为通过计算可以发现 = . AB AC
C
B
5 1 黄金比：AC : AB = : 1 0.618 2
建筑与黄金分割 艺术与黄金分割 胡夫金字塔 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小 上海东方明珠塔， 各异。但这些金字塔底面的边长与高之比都接 是亚洲第一，世Байду номын сангаас 近于0.618. 第三，它的上球体 选在295米之间的 位置，这个位置恰 好在塔身5:8的地方， 这是0.618的比值， 使塔身显得非常协 调、美观． 芭蕾舞演员在翩翩起舞时，不时地踮起脚
第四章 相似图形
第二节 黄金分割
这四面国旗中有相同的图案吗？
中国
朝鲜
新加坡
新西兰
五角星是我们常见的图形，度量点C到点A，B的距离，
AC BC 与 相等吗？ AB AC
黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 AC BC = , 那么称线段AB被点C黄 AB AC 金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与 AB的比称为黄金比. A
1.知道了什么是黄金分割、黄金比、黄金 矩形、奇妙的0.618 2.了解了自然界 及社会生活中广泛存在 的黄金分割现象. 3.会运用黄金分割知识解决简单的计算和 作图问题.
习题4.3 1，2
尖，使腿长与身高的比值接近0.618．
1.经过点B作BD⊥AB,使
1 BD = AB . 2 E
D

优异当先翱翔梦想第 4 课时黄金切割一、目标导航1．黄金切割定义 :点 C 把线段 AB 分红两条线段AC 和 BC，假如 AC:AB=BC:AC，那么称线段 AB 被点C 黄金切割．点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比．AC 5 10.618 ．2．2AB二、基础过关1．若点 P 是 AB 的黄金切割点，则线段AP、 PB、 AB 知足关系式2．黄金矩形的宽与长的比大概为________（精准到0．001）．3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金切割点处最自然得体，若舞台AB 长为 20m，试计算主持人应走到离 A 点起码 m 处？，假如他向 B 点再走m，也处在比较得体的地点．（结果精准到 0． 1m）三、能力提高4．有以下命题：①假如线段 d 是线段 a， b， c 的第四比率项，则有．a c；②假如点 C 是线段 AB b d的中点，那么AC 是 AB、 BC 的比率中项；③假如点 C 是线段 AB 的黄金切割点，且AC>BC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比率中项；④假如点 C 是线段 AB 的黄金切割点， AC>BC ，且 AB=2，则 AC= 5－1．此中正确的判断有（）A． 1个B．2 个C．3 个D．4 个5．已知点M将线段AB黄金切割 ( AM＞BM) ，则以下各式中不正确的选项是 ( )A． AM∶ BM=AB∶ AM B．AM=5 1AB 2． = 51AB．≈0． 618ABC BMD AM2优异当先翱翔梦想6．已知 C 是线段AB 的黄金切割点(AC＞ BC），则AC∶BC = () A．( 5 －1)∶2B．（5+1）∶ 2C．（ 3－5）∶2D．（3+ 5 ）∶ 2 7．在长度为１的线段上找到两个黄金切割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（）51C．5235A ．B．35 D ．2 28．已知线段 MN = 1 ，在 MN 上有一点 A，假如 AN =35．求证：点 A 是 MN 的黄金切割点．2四、聚沙成塔9．如图，以长为2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD ，取 AB 的中点 P，连接 PD，在 BA 的延伸线上取点 F，使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF ，点 M 在 AD 上．（1）求 AM 、DM 的长．（2）求证： AM2=AD ·DM ．（3）依据（ 2）的结论你能找出图中的黄金切割点吗？10．假如一个矩形( ＜)中，AB5 1ABCDAB BC≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形BC2给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形 CDEF，获得一个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．优异当先翱翔梦想参照答案1． AP 2或 PB2；4． C；5． C；6． B；7． C；=BP·AB=AP·AB； 2． 0.618； 3． 7.6， 4.88 证得25 ；⑵略；⑶点M 是线段 AD 的黄金切割点；AM =AN·MN 即可； 9．⑴ AM = 5－ 1； DM =3 －10．经过计算可得AE 5 1，因此矩形 ABFE 是黄金矩形．AB2。

zxxkw
七、小结
谈谈你对黄金分割的收获与体会。
1.一条线段，一个矩形 2 两个分点，两个数字
3.三个等量，三步作出线段的黄金分 割点
八、作业
1.帮你的妈妈选一双魔力高跟鞋。 2.自主探究黄金分割在绘画、摄影、 生物、军事以及科学实验等方面的 应用 。
谢 谢 大 家!
□
zxxkw
五、合作演练，巩固新知
这是古希腊的巴台农神庙， 如果把图中用蓝线表示的矩 形画成矩形ABCD，并以矩形 ABCD的宽为边在内部作正方 形AEFD，那么我们可以惊奇 地发现 BC AB 。
zxxkw
A
E
B
BE
BC
1.点E是AB的黄金分割点吗?
D
F
C
2.矩形ABCD宽与长的比是黄金比吗?
叶子中的黄金分割
图中主叶 脉与叶柄 和主叶脉 的长度之 和比约为 0.618
美丽的蝴蝶
0.618随处 可见!
人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化 身型，有时还是医疗效果黄金点， 许多民间名医在肚脐上贴药治好 了某些疾病。人体最感舒适的温 度是 23℃( 体温 ) ，也是正常人体 温 （ 37℃ ） 的 黄 金 点 （ 23=37×0.618 ）。这说明医学 与 0.618 有千丝万缕联系 , 尚待开 拓研究。人体还有几个黄金点： 肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚 脐以下部分的黄金点在膝盖，上 肢的黄金点在肘关节。上肢与下 肢长度之比均近似0.618.
1.点E是AB的黄金分割点吗?
2.矩形ABCD宽与长的比是黄金比吗?
BC ABBC=AE AE AB 推证 BE BC BE AE
AE BE AB AE
A E B
D
F

2024年新课标中考数学二轮专题黄金分割及其应用1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm5人们把5-12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a=5-12，b=5+12得ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，⋯，S10=11+a10+11+b10，则S1+S2+⋯+S10=．6黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB=BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长．7两千多年前，古希数学家欧多克索斯(Eudoxus，约公元前400年一公元前347年)发现；将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即PBAP=APAB，则点P叫做线段AB的黄金分割点．如图，在△ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且AD< CD，AB=CD．(1)求证：∠ABC=∠ADB；(2)若BC=4cm，求BD的长．8以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，(1)求AM，DM的长，(2)试说明AM2=AD·DM(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？2024年新课标中考数学二轮专题黄金分割及其应用1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．【答案】(805-160)cm【解析】【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为5-12，由此即可求解．【详解】解：弦AB=80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC=x，则AC=80-x，∴80-x80=5-12，解方程得，x=120-405，点D是靠近点A的黄金分割点，设AD=y，则BD=80-y，∴80-y80=5-12，解方程得，y=120-405，∴C,D之间的距离为80-x-y=80-120+405-120+405=805-160，故答案为：(805-160)cm．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．【答案】(5-1)或者-1+5【解析】根据点E是AB的黄金分割点，可得AEBE=BEAB=5-12，代入数值得出答案．∵点E是AB的黄金分割点，∴AE BE =BEAB=5-12．∵AB=2米，∴BE=(5-1)米．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m 【答案】B 【解析】设雕像的下部高为x m ，由黄金分割的定义得x 2=5-12,求解即可．设雕像的下部高为x m ，则上部长为(2-x )m ，∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m ，∴x 2=5-12, ∴x =5-1≈1.24，即该雕像的下部设计高度约是1.24m ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm ，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm【答案】B 【解析】设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm ，则26x≈0.618，解得x ≈42.072，设某人的肚脐至足底的长度为ycm ，则26+42.072y≈0.618，解得y ≈110.149，∴其身高可能是110.149÷0.618≈178(cm)。

大路中学数学讲学稿1、掌握黄金分割的含义.2、能通过作图找到一条线段的黄金分割点.学习重点能通过作图找到一条线段的黄金分割点.学习难点掌握黄金分割的含义并能进行简单运用.一、学前准备1.填空（1）四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =（或a:b=c:d ）那么这四条线段a,b,c,d 叫做，简称.反过来，如果四条线段a,b,c,d 成比例线段，则可以记作.（2）已知a=2,b=4,c=6；若a ，b ，c ，x 是成比例线段，则x=；若a ，x ，b ，c 是成比例线段，则x=.（3）若=y x 25则=x y ；=+y y x ；=-yy x ； （4）小明的身高为1.6m ，测得他的影长为1m ，在同一时刻，旗杆的影长为5m ，则旗杆的实际高度是. 2．选择（1）已知cd ab =，则把它改写成比例式后错误的是 （ ） Ab dc a = Bd a b c = C d c b a = D ad c b = （2）一个矩形的长为2cm ，宽为1cm ，则它的长、宽及对角线的比为 （ ） A 4：2：5 B 4：2：10 C 2：1：5 D 2：1：25 3.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +2b －4c =24.求2a －3b +c 的值4.已知：d c b a ==f e=3（b +d +f ≠0），求f d b e c a 3232+-+-的值二、探究活动1、自主探究·解决问题五角星是我们常见的图形.在下图中，度量点C 到点A ，B 的距离，AB AC 和ACBC相等吗？2、师生探究·合作交流如图，在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的，AC 与AB 的比叫做.其中ABAC =≈，=2AC . 3、学以致用·牛刀小试作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB . （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.你知道为什么吗？线段AB 有没有除点C 以外的黄金分割点呢？如果有应满足怎样的条件？三、自我测验1、选择（1）已知线段AB 的黄金分割点是C ，且AC ＞BC ，则下列各式正确的是 （ ）A . AB 2=AC ·CB B . CB 2=AC ·AB C . AC 2=CB ·ABD . AC 2=2AB ·BC（2）若AB=a ，C 点是AB 上的黄金分割点，且AC ＞BC ，则BC 等于 （ ）A.a 215- B.a 253- C. 1 D. 无法判断 ACB（3）若点C 为线段AB 的黄金分割点，则ABAC等于 （ ） A.215- B.215+ C.215-或253- D.253-2、填空（1）已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AB AC =215-，则ACCB 的近似值为（2）点C 是线段AB 上的一个黄金分割点，且AC>BC ，若AB ＝5cm ，则AC ＝_____，BC=____. （3）若点C 是线段AB 上一点，AB ＝1，AC ＝215- ，则AC ：BC ＝______. （4）把长为10cm 的线段黄金分割，则较长的线段长为；较短的线段长为.（结果精确到0.01）四、学习收获1、通过今天的学习，你有何收获？2、预习中遇到困惑解决了吗？3、你还有哪些疑惑？五、应用与拓展1、如图，点C,D 是线段AB 的两个黄金分割点，已知AB=1，试求CD 的长2、作图（1）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形.设法做出一个黄金矩形（2）底边与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形，设法做出一个黄金三角形3、收集一些有关黄金分割的数学知识，例如黄金分割的由来、黄金分割在实际生活中的运用等等，介绍给你的同伴.北师大版八年级数学第四章相似图形第二节黄金分割教案1、课题§4.2 黄金分割2、教学目标：知识技能目标：(1)掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法；(2)会进行黄金分割的有关计算。

C BA CBAC BA4.2 黄金分割一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比;D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BCAC; D.不能确定3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( ) A.12 B.12 C.12D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.12,12 B.12,12; C.12,12; D.12,126.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( ) A.12 B.1211 二、填空题:1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB ,那么ACCB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.CBA2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB的黄金分割点.AB3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C为AB的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C、D两点都是AB的黄金分割点,AB=1,求CD的长.AD C B七、已知C、D是线段AB上的两点,且不难证明当AB=1时,C、D是线段AB的黄金分割点,试探究当AB任意长时,C、D是否是线段AB的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1.AC BCAB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-3.12黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP==12,AP=12×AB=12×2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB=12,因为AB=1,所以AC=12BC=AB-AC=1-12= 32-,•所以AC-BC=12-32-六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得ACAB ,BD AB因为AB=1,所以,所以AD=AB-BD=1-12=32,因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。

优异当先翱翔梦想
第 4 课时黄金切割
1、若点 C 是线段 AB 的黄金切割点，AB=8 cm ， AC>BC, 求 AC 的值。

A C B
2、已知点 P 是线段 MN 的黄金切割点，MP>NP, 且 MP= ( 5 1) cm,求MN的值。

M P N
3、点 C 是线段 AB 的黄金切割点，AC>BC, 求BC
的值。

AB
A C B
4、若把长为10cm 的线段黄金切割后，求此中较短的线段长度是多少？
A C B
5、已知线段 AB=6 ，点（1） AC－BC;C 为线段 AB 的黄金切割点，
(2) AC BC
(AC>BC)，求以下各式的值：
A C B
6、已知线段 AB ，请利用尺规作图画出线段的黄金切割点。

（只画出一个即可）
A B
优异当先 翱翔梦想 7、如图：在
AD AE ABC 中， D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点，且
,
BD
EC
BD
EC
(1) 你能说明
吗 ?
(2)若 AB=12 ，AE=6 ， EC=4 ，求出 AD 的长。

AB AC
AD AE
DE 3 ABC 的周长为 30，求出
ADE 的周长。

(3) 若
AC
BC
,且
AB 5
A
D E
B C
AB BD 8、已知：如图，
ABC 中， D 是 BC 上的一点，
,且 AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm,
AC
DC
求 BD,DC 的长。

A
B D C。

AC BABC D= 《4.1线段的比、4.2黄金分割》复习导学案 姓名学习目标：1掌握线段的比、成比例线段、黄金分割的定义 2会计算两线段的比，利用比例性质、黄金分割解题重点：利用两线段的比、比例性质解题、理解黄金分割的定义 难点：比例性质应用，找黄金分割点一、知识梳理： （1）两条线段的比：线段AB=m 厘米、线段CD=n 厘米，则AB ：CD= 或 （2）四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a=（或a:b=c:d ）那么这四条线段a,b,c,d 叫做 ，简称 .反过来，如果四条线段a,b,c,d 成比例线段，则可以记作 . （3）比例的基本性质:若a ,b ,c ,d 满足dc b a =,那么ad =bc ；若ad=bc （a ,b ,c ,d ≠0）,那么 （4）合比性质:若dc b a =,则 ; 等比性质：若dc ba ==…=nm(b +d +…+n ≠0),则（5）黄金分割:，C 是线段AB 上一点，若 或=2AC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割, 点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 . 其中ABAC = ≈ 。

二、巩固练习1.已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度(单位：cm)，判断它们是否成比例？(1).a =1 ,b =2 ,c =3 ,d =4 (2).a =8 ,b =5 ,c =6 ,d =10 (3).a =16 ,b =8 ,c =5, d =102.四条线段a 、c 、b 、d 成比例，其中b=3cm ，c=2cm ，d=6cm ，则线段a 的长为 cm.3．把mn=pq(mn ≠0)写成比例式,写错的是（ ）A.m qpn =B.pnmq=C.qnmp=D.m pnq=4.(1)已知ba =23，则=+bb a ，bb a -= .(2)若fe dc ba===2（ ),则5.如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>PB ，则下列说法正确的是______（仅填序号）。

2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

4.2黄金分割 05.3.MPG.MPG
巴台农神庙 胡夫金字塔 巴黎圣母院
维纳斯
活动一:探索身边的”黄金分割”
为什么翩翩起舞 的芭蕾舞演员要掂 起脚尖? 为什么身 材苗条的时装模特 还要穿高跟鞋?为什 么她们会给人感到 和谐、平衡、舒适， 美的感觉?
黄金身材比例
活动一:探索身边的”黄金分割”
2.进一步理解线段的比、成比例线 段等相关内容。
3.通过作图找到一条线段的黄金 分割点，并利用已学知识给予了 说明。
1. p113习题4.3/1.2. 2.预习 p114-117 做、练 。
§4.2 黄金分割
学习目标：
1.知道黄金分割的定义.
2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金 分割点.
自学指导：看课本109-111页内容，思考并解决 下列问题。 1、什么叫做黄金分割，黄金比例？ 2、做一做中的点c是黄金分割点吗？如何找到一 条线段的黄金分割点？ 3、黄金比例的比的关系有什么特点？
A
DC
B
如图,乐器上的一根弦AB=80cm，两 个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点 C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是 靠近点A的黄金分割点.试确定支撑点C到 端点B的距离以及支撑点D到端点A的距 离。
A
D
C
B
矩形的宽与长的比为0.618， 这样的矩形称之为黄金矩形.
请欣赏古建筑巴特农神庙中 的黄金矩形.
A
CB
如图,点C把线段AB分成两条线段AC
和BC,如果 AC BC ,那么称线段AB AB AC
被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄
金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
A
C

2020年全国中考数学试题分类（14）——图形的相似一．黄金分割（共1小题） 1．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MM MM=MM MM=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ）A ．10﹣4√5B ．3√5−5C ．5−2√52D ．20﹣8√5 二．平行线分线段成比例（共4小题）2．（2020•营口）如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且MM MM=32，则MM MM的值为（ ）A ．35B ．23C ．45D ．323．（2020•成都）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．1034．（2020•宜宾）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，连结CD 交BE 于点O ．若AC ＝8，BC ＝6，则OE 的长是 ．5．（2020•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB ＝2AD ，AE ＝3EC ，连接BE ，CD ，相交于点O ，则△ABO 面积最大值为 ．三．相似三角形的判定（共3小题）6．（2020•昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个7．（2020•攀枝花）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：①AF⊥DE；②DG=85；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．其中正确的结论有．（请填上所有正确结论的序号）8．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，MMMM=M′M′M′M′．（1）当MMM′M′=MMM′M′=MMM′M′时，求证△ABC∽△A'B'C'．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当MMM′M′=MM M′M′=MMM′M′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由．四．相似三角形的判定与性质（共29小题） 9．（2020•贵港）如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，若BC ＝3，BD ＝2，且∠BCD ＝∠A ，则线段AD 的长为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．9210．（2020•海南）如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，若BG ＝8，则△CEF 的周长为（ ）A ．16B ．17C ．24D ．25 11．（2020•牡丹江）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝10，点E 在BC 边上，DF ⊥AE ，垂足为F ．若DF ＝6，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 12．（2020•遂宁）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接AE 、DE ，分别交BD 、AC 于点P 、Q ，过点P 作PF ⊥AE 交CB 的延长线于F ，下列结论： ①∠AED +∠EAC +∠EDB ＝90°， ②AP ＝FP ， ③AE =√102AO ，④若四边形OPEQ 的面积为4，则该正方形ABCD 的面积为36， ⑤CE •EF ＝EQ •DE ．其中正确的结论有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个13．（2020•遵义）如图，△ABO的顶点A在函数y=MM（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A．9 B．12 C．15 D．1814．（2020•眉山）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③2AE2＝AH•AC；④DG⊥AC．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．（2020•海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF=12AD，则图中阴影部分的面积为（）A．25 B．30 C．35 D．4016．（2020•益阳）如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（）A ．∠DAE ＝30°B ．∠BAC ＝45° C ．MM MM=12D ．MM MM=√3217．（2020•云南）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点．则△DEO 与△BCD 的面积的比等于（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1818．（2020•潍坊）如图，点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点，且MM MM=12，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若DE ＝3，DF ＝4，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．21B ．28C ．34D ．42 19．（2020•哈尔滨）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F ，过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．MM MM=MM MMB ．MM MM=MM MMC ．MM MM=MM MMD ．MM MM=MM MM20．（2020•柳州）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰好落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰好落在线段BF 上的H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②2S △BFG ＝5S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④4CE ＝5ED ．其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）21．（2020•锦州）如图，在△ABC 中，D 是AB 中点，DE ∥BC ，若△ADE 的周长为6，则△ABC 的周长为 ．22．（2020•鞍山）如图，在菱形ABCD 中，∠ADC ＝60°，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且AE ＝DF ，AF 与CE 相交于点G ，BG 与AC 相交于点H ．下列结论：①△ACF ≌△CDE ；②CG 2＝GH •BG ；③若DF ＝2CF ，则CE＝7GF；④S四边形ABCG=√34BG2．其中正确的结论有．（只填序号即可）23．（2020•东营）如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为P A、PD上的点，且P A＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△P AB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝．24．（2020•随州）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜15 4；③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；④若DF=13DC，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是．（写出所有正确判断的序号）25．（2020•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．则下列结论中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE=√2ME；④DE2+DF2＝2DM2；⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF=√2：1；⑥CF•DM＝BM•DE，正确的有．（只填序号）26．（2020•黑龙江）如图，直线AM 的解析式为y ＝x +1与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为（1，1）．过点B 作EO 1⊥MA 交MA 于点E ，交x 轴于点O 1，过点O 1作x 轴的垂线交MA 于点A 1，以O 1A 1为边作正方形O 1A 1B 1C 1，点B 1的坐标为（5，3）．过点B 1作E 1O 2⊥MA 交MA 于E 1，交x 轴于点O 2，过点O 2作x 轴的垂线交MA 于点A 2．以O 2A 2为边作正方形O 2A 2B 2C 2．…．则点B 2020的坐标 ．27．（2020•长沙）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M ，N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F ． （1）MM MM+MM MM= ．（2）若PN 2＝PM •MN ，则MM MM= ．28．（2020•临沂）如图，在△ABC 中，D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝ ．29．（2020•咸宁）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ，交CD 于点G ，连接AF ，有下列结论： ①△ABE ∽△ECG ； ②AE ＝EF ；③∠DAF ＝∠CFE ；④△CEF 的面积的最大值为1． 其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）30．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为．31．（2020•黑龙江）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x 轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标．32．（2020•兰州）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝2，点E在AB的延长线上，且AE＝AC，EF⊥AC于点F，连接BF并延长交CD于点G，则DG＝．33．（2020•西宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC和DE．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若CD＝1，BE＝2，求⊙O的半径．34．（2020•朝阳）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，过点O作OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使∠DEC＝∠BDC．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是3，DG •DB ＝9，求CE 的长．35．（2020•黄冈）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为⊙O 上一点，点D 是MM̂上一点，连接AE 并延长至点C ，使∠CBE ＝∠BDE ，BD 与AE 交于点F ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若BD 平分∠ABE ，求证：AD 2＝DF •DB ．36．（2020•杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，DE ∥AC ，EF ∥AB ． （1）求证：△BDE ∽△EFC ． （2）设MM MM=12，①若BC ＝12，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20，求△ABC 的面积．37．（2020•杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设MM MM=λ（λ＞0）．（1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG ⊥AF ， ①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．五．相似三角形的应用（共4小题） 38．（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm ，100cm ，120cm ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm 和120cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）A．一种B．两种C．三种D．四种39．（2020•山西）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似40．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm41．（2020•温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C 点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为米，BC为米．六．作图-相似变换（共1小题）42．（2020•济宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．（1）求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若∠APC＝2∠ABC．求证：PD∥AB．七．位似变换（共4小题）43．（2020•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：544．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，2），B （1，1），C （3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（ ）A ．√5B ．2C ．4D ．2√545．（2020•兰州）如图，四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′位似，位似中心为点O ，OC ＝6，CC ′＝4，AB ＝3，则A ′B ′＝ ．46．（2020•盘锦）如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为A （5，0），O （0，0），B （3，6），以点O 为位似中心，相似比为23，将△AOB 缩小，则点B 的对应点B '的坐标是 ． 八．作图-位似变换（共2小题）47．（2020•朝阳）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣3，2），B （﹣1，3），C （﹣1，1），请按如下要求画图：（1）以坐标原点O 为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）以坐标原点O 为位似中心，在x 轴下方，画出△ABC 的位似图形△A 2B 2C 2，使它与△ABC 的位似比为2：1．48．（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （1，3），B （4，1），C （1，1）．（1）画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 以点O 为位似中心，位似比为1：2的△A 2B 2C 2．九．相似形综合题（共2小题）49．（2020•荆州）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝20，点E 是BC 边上的一点，将△ABE 沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上点G 处；点F 在DG 上，将△ADF 沿着AF 折叠，点D 刚好落在AG 上点H 处，此时S △GFH ：S △AFH ＝2：3，（1）求证：△EGC ∽△GFH ；（2）求AD 的长；（3）求tan ∠GFH 的值．50．（2020•福建）如图，△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．（1）求∠BDE 的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠CDF ＝∠DAC ．①判断DF 和PF 的数量关系，并证明；②求证：MM MM =MM MM ．2020年全国中考数学试题分类（14）——图形的相似参考答案与试题解析一．黄金分割（共1小题）1．【解答】解：作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =12BC ＝2，在Rt △ABH 中，AH =√32−22=√5，∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴BE =√5−12BC ＝2（√5−1）＝2√5−2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝2√5−2﹣2＝2√5−4，∴DE ＝2HE ＝4√5−8∴S △ADE =12×（4√5−8）×√5=10﹣4√5．故选：A ．二．平行线分线段成比例（共4小题）2．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴MM MM =MM MM =32， ∴MM MM 的值为35，故选：A ．3．【解答】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴MM MM=MM MM ， ∵AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4， ∴56=MM 4，∴DE =103， 故选：D ．4．【解答】解：在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得：AB ＝10， 过A 作AF ∥BC ，交BE 延长线于F ，∵AF ∥BC ，∴∠F ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠F ＝∠ABE ，∴AB ＝AF ＝10，∵AF ∥BC ，∴△AEF ∽△CEB ，∴MM MM =MM MM ， ∴106=MM 8−MM，解得：AE ＝5，CE ＝8﹣5＝3，在Rt △ECB 中，由勾股定理得：BE =√62+32=3√5，过D 作DM ∥AC ，交BC 于M ，交BE 于N ，∵D 为AB 的中点，DM ∥AC ，∴M 为BC 的中点，N 为BE 的中点，∴DN =12AE =12×5=2.5，BN ＝NE =12BE =3√52，∵DM ∥AC ，∴△DNO ∽△CEO ，∴MM MM =MM MM ， ∴2.53=3√52−MM MM ， 解得：OE =9√511， 故答案为：9√511．5．【解答】解：如图，过点D 作DF ∥AE ， 则MM MM =MM MM =23， ∵MM MM =13，∴DF ＝2EC ，∴DO ＝2OC ，∴DO =23DC ，∴S △ADO =23S △ADC ，S △BDO =23S △BDC ，∴S △ABO =23S △ABC ， ∵∠ACB ＝90°，∴C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为G ，当CG ⊥AB 时，△ABC 的面积最大为：12×4×2＝4，此时△ABO 的面积最大为：23×4=83．故答案为：83．三．相似三角形的判定（共3小题）6．【解答】解：如图，所以使得△ADE ∽△ABC 的格点三角形一共有6个．故选：C ．7．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AD ＝CD ，∵E 和F 分别为BC 和CD 中点，∴DF ＝EC ＝2，∴△ADF ≌△DCE （SAS ），∴∠AFD ＝∠DEC ，∠F AD ＝∠EDC ，∵∠EDC +∠DEC ＝90°，∴∠EDC +∠AFD ＝90°，∴∠DGF ＝90°，即DE ⊥AF ，故①正确；∵AD ＝4，DF =12CD ＝2，∴AF =√42+22=2√5，∴DG ＝AD ×DF ÷AF =4√55，故②错误；∵H 为AF 中点，∴HD ＝HF =12AF =√5， ∴∠HDF ＝∠HFD ，∵AB ∥DC ，∴∠HDF ＝∠HFD ＝∠BAG ，∵AG =√MM 2−MM 2=8√55，AB ＝4， ∴MM MM =MM MM =4√55=MM MM ，∴△ABG ～△DHF ，故④正确；∴∠ABG ＝∠DHF ，而AB ≠AG ，则∠ABG 和∠AGB 不相等，故∠AGB ≠∠DHF ，故HD 与BG 不平行，故③错误；故答案为：①④．8．【解答】（1）证明：∵MM MM =M′M′M′M′， ∴MM M′M′=MM M′M′， ∵MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′， ∴MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′， ∴△ADC ∽△A ′D ′C '， ∴∠A ＝∠A ′， ∵MM M′M′=MM M′M′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′． 故答案为：MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′，∠A ＝∠A ′．（2）如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于E ，D ′E ′交A ′C ′于E ′．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴MM MM =MM MM =MM MM ， 同理，M′M′M′M′=M′M′M′M′=M′M′M′M′， ∵MM MM =M′M′M′M′， ∴MM MM =M′M′M′M′，∴MM M′M′=MM M′M′， 同理，MM MM =M′M′M′M′， ∴MM −MM MM =M′M′−M′M′M′M′，即MM MM =M′M′M′M′， ∴MM M′M′=MM M′M′， ∵MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′， ∴MM M′M′=MM M′M′=MM M′M′，∴△DCE ∽△D ′C ′E ′，∴∠CED ＝∠C ′E ′D ′，∴∠CED +∠ACB ＝180°，同理，∠C ′E ′D ′+∠A ′C ′B ′＝180°，∴∠ACB ＝∠A ′C ′B ′，∵MM M′M′=MM M′M′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．四．相似三角形的判定与性质（共29小题）9．【解答】解：∵∠BCD ＝∠A ，∠B ＝∠B ，∴△BCD ∽△BAC ，∴MM MM=MM MM ， ∵BC ＝3，BD ＝2， ∴3MM =23， ∴BA =92， ∴AD ＝BA ﹣BD =92−2=52．故选：B ．10．【解答】解：∵在▱ABCD 中，CD ＝AB ＝10，BC ＝AD ＝15，∠BAD 的平分线交BC 于点E ， ∴AB ∥DC ，∠BAF ＝∠DAF ，∴∠BAF ＝∠F ，∴∠DAF ＝∠F ，∴DF ＝AD ＝15，同理BE ＝AB ＝10，∴CF ＝DF ﹣CD ＝15﹣10＝5；∴在△ABG 中，BG ⊥AE ，AB ＝10，BG ＝8，在Rt △ABG 中，AG =√MM 2−MM 2=√102−82=6，∴AE ＝2AG ＝12，∴△ABE 的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CF ，∴△CEF ∽△BEA ，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF 的周长为16．故选：A ．11．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝10，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAF ，∴△AFD ∽△EBA ，∴MM MM =MM MM =MM MM ，∵DF ＝6，∴AF =√MM 2−MM 2=√102−62=8，∴8MM =10MM =63，∴EF ＝AF ﹣AE ＝8﹣5＝3．故选：B ．12．【解答】解：如图，连接OE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴∠BOC ＝90°，∵BE ＝EC ，∴∠EOB ＝∠EOC ＝45°，∵∠EOB ＝∠EDB +∠OED ，∠EOC ＝∠EAC +∠AEO ，∴∠AED +∠EAC +∠EDO ＝∠EAC +∠AEO +∠OED +∠EDB ＝90°，故①正确， 连接AF ．∵PF ⊥AE ，∴∠APF ＝∠ABF ＝90°，∴A ，P ，B ，F 四点共圆，∴∠AFP ＝∠ABP ＝45°，∴∠P AF ＝∠PF A ＝45°，∴P A ＝PF ，故②正确，设BE ＝EC ＝a ，则AE =√5a ，OA ＝OC ＝OB ＝OD =√2a ，∴MM MM =√5M √2M =√102，即AE =√102AO ，故③正确， 根据对称性可知，△OPE ≌△OQE ，∴S △OEQ =12S 四边形OPEQ ＝2，∵OB ＝OD ，BE ＝EC ，∴CD ＝2OE ，OE ∥CD ，∴MMMM =MMMM =12，△OEQ ∽△CDQ ， ∴S △ODQ ＝4，S △CDQ ＝8，∴S △CDO ＝12，∴S 正方形ABCD ＝48，故④错误，∵∠EPF ＝∠DCE ＝90°，∠PEF ＝∠DEC ，∴△EPF ∽△ECD ，∴MMMM =MMMM ，∵EQ ＝PE ，∴CE •EF ＝EQ •DE ，故⑤正确，故选：B ．13．【解答】解：∵NQ ∥MP ∥OB ，∴△ANQ ∽△AMP ∽△AOB ，∵M 、N 是OA 的三等分点，∴MM MM =12，MM MM =13， ∴M △MMMM △MMM =14，∵四边形MNQP 的面积为3， ∴M △MMM3+M △MMM=14， ∴S △ANQ ＝1， ∵1M △MMM =（MM MM ）2=19，∴S △AOB ＝9，∴k ＝2S △AOB ＝18，故选：D ．14．【解答】解：∵四边形ABCD ，四边形AEFG 都是正方形，∴∠EAG ＝∠BAD ＝90°，∠F AG ＝∠AFG ＝∠DAC ＝∠ACB ＝45°，AF =√2AG ，AC =√2AD ， ∴∠EAG ﹣∠BAG ＝∠BAD ﹣∠BAG ，∴∠EAB ＝∠DAG ，故①正确；∵AF =√2AG ，AC =√2AD ，∴MM MM =√2=MM MM ， ∵∠F AG ＝∠CAD ＝45°，∴∠F AC ＝∠DAG ，∴△F AC ∽△DAG ，故②正确，∴∠ADG ＝∠ACB ＝45°，延长DG 交AC 于N ，∵∠CAD ＝45°，∠ADG ＝45°，∴∠AND ＝90°，∴DG ⊥AC ，故④正确，∵∠F AC ＝∠F AH ，∠AFG ＝∠ACF ＝45°，∴△AFH ∽△ACF ，∴MM MM =MM MM ，∴AF 2＝AH •AC ，∴2AE 2＝AH •AC ，故③正确，故选：D ．15．【解答】解：过点G 作GN ⊥AD 于N ，延长NG 交BC 于M ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵EF =12AD ， ∴EF =12BC ，∵AD ∥BC ，NG ⊥AD ，∴△EFG ∽△CBG ，GM ⊥BC ，∴GN ：GM ＝EF ：BC ＝1：2，又∵MN ＝AB ＝6，∴GN ＝2，GM ＝4，∴S △BCG =12×10×4＝20，∴S △EFG =12×5×2＝5，S 矩形ABCD ＝6×10＝60，∴S 阴影＝60﹣20﹣5＝35．故选：C ．16．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，△ABE 是等边三角形，∴AB ＝AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝60°，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴∠DAE ＝∠CBE ＝30°，故选项A 不合题意，∴cos ∠DAE =√32=MM MM =MM MM ，故选项D 不合题意，在△ADE 和△BCE 中，{MM =MM MMMM =MMMM MM =MM ，∴△ADE ≌△BCE （SAS ），∴DE ＝CE =12CD =12AB ，∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△CEF ，∴MM MM =MM MM =12，故选项C 不合题意， 故选：B ．17．【解答】解：∵平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴点O 为线段BD 的中点．又∵点E 是CD 的中点，∴线段OE 为△DBC 的中位线，∴OE ∥BC ，OE =12BC ， ∴△DOE ∽△DBC ，∴M △MMMM △MMM =（MM MM ）2=14． 故选：B ．18．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CF ，AB ＝CD ，∴△ABE ∽△DFE ，∴MM MM =MM MM =12，∵DE ＝3，DF ＝4，∴AE ＝6，AB ＝8，∴AD ＝AE +DE ＝6+3＝9，∴平行四边形ABCD 的周长为：（8+9）×2＝34．故选：C ．19．【解答】解：∵EF ∥BC ，∴MM MM=MM MM ， ∵EG ∥AB ， ∴MM MM =MM MM ， ∴MM MM =MM MM ，故选：C ．20．【解答】解：①由折叠的性质可知：∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∴∠EBG ＝∠GBH +∠EBF =12∠CBF +12∠ABF =12∠ABC ＝45°． 故①正确；②由折叠的性质可知：BF ＝BC ＝10，BH ＝AB ＝6，∴HF ＝BF ﹣BH ＝4，∴M △MMMM △MMM =MM MM =104=52， ∴2S △BFG ＝5S △FGH ；故②正确；③∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，在Rt △ABF 中，AF =√MM 2−MM 2=8，设GF ＝x ，即HG ＝AG ＝8﹣x ，在Rt △HGF 中，HG 2+HF 2＝GF 2，即（8﹣x ）2+42＝x 2，解得x ＝5，∴AG ＝3，∴FD ＝2；同理可得ED =83，∴MM MM =63=2， MM MM =832=43， ∴MM MM ≠MM MM ， ∴△ABG 与△DEF 不相似，故③错误；④∵CD ＝AB ＝6，ED =83，∴CE ＝CD ﹣ED =103，∴MM MM =54，∴4CE ＝5ED ．故④正确．综上所述，正确的结论的序号为①②④．21．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵D 是AB 的中点，∴MM MM =12， ∴△MMM 的周长△MMM 的周长=12 ∵△ADE 的周长为6，∴△ABC 的周长为12，故答案为：12．22．【解答】解：∵ABCD 为菱形，∴AD ＝CD ，∵AE ＝DF ，∴DE ＝CF ，∵∠ADC ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴∠D ＝∠ACD ＝60°，AC ＝CD ，∴△ACF ≌△CDE （SAS ），故①正确；过点F 作FP ∥AD ，交CE 于P 点．∵DF ＝2CF ，∴FP ：DE ＝CF ：CD ＝1：3，∵DE ＝CF ，AD ＝CD ，∴AE ＝2DE ，∴FP ：AE ＝1：6＝FG ：AG ，∴AG ＝6FG ，∴CE ＝AF ＝7GF ，故③正确；过点B 作BM ⊥AG 于M ，BN ⊥GC 于N ，∵∠AGE ＝∠ACG +∠CAF ＝∠ACG +∠GCF ＝60°＝∠ABC ， 即∠AGC +∠ABC ＝180°，∴点A 、B 、C 、G 四点共圆，∴∠AGB ＝∠ACB ＝60°，∠CGB ＝∠CAB ＝60°，∴∠AGB ＝∠CGB ＝60°，∴BM ＝BN ，又AB ＝BC ，∴△ABM ≌△CBN （HL ），∴S 四边形ABCG ＝S 四边形BMGN ，∵∠BGM ＝60°，∴GM =12BG ，BM =√32BG ，∴S 四边形BMGN ＝2S △BMG ＝2×12×12MM ×√32MM =√34BG 2，故④正确； ∵∠CGB ＝∠ACB ＝60°，∠CBG ＝∠HBC ，∴△BCH ∽△BGC ，∴MM MM =MM MM =MM MM ，则BG •BH ＝BC 2，则BG •（BG ﹣GH ）＝BC 2，则BG 2﹣BG •GH ＝BC 2，则GH •BG ＝BG 2﹣BC 2，当∠BCG ＝90°时，BG 2﹣BC 2＝CG 2，此时GH •BG ＝CG 2， 而题中∠BCG 未必等于90°，故②不成立，故正确的结论有①③④，故答案为：①③④．23．【解答】解：∵P A ＝3PE ，PD ＝3PF ，∴MM MM =MM MM =13， ∴EF ∥AD ，∴△PEF ∽△P AD ，∴M △MMMM △MMM =（13）2， ∵S △PEF ＝2，∴S △P AD ＝18，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S △P AD =12S 平行四边形ABCD ，∴S 1+S 2＝S △P AD ＝18，故答案为18．24．【解答】解：①如图1，由折叠可知BF ⊥MN ，∴∠BOM ＝90°，∵MH ⊥BC ，∴∠BHP ＝90°＝∠BOM ，∵∠BPH ＝∠OPM ，∴∠CBF ＝∠NMH ，∵∠MHN ＝∠C ＝90°，∴△MHN ∽△BCF ，故①正确；②当F 与C 重合时，MN ＝3，此时MN 最小，当F 与D 重合时，如图2，此时MN 最大，由勾股定理得：BD ＝5，∵OB ＝OD =52，∵tan ∠DBC =MM MM =MM MM ，即MM 52=34， ∴ON =158， ∵AD ∥BC ，∴∠MDO ＝∠OBN ，在△MOD 和△NOB 中，∵{∠MMM =∠MMMMM =MM MMMM =MMMM，∴△DOM ≌△BON （ASA ），∴OM ＝ON ，∴MN ＝2ON =154，∵点F 在线段CD 上（不与两端点重合），∴折痕MN 的长度的取值范围为3＜MN ＜154； 故②正确；③如图3，连接BM ，FM ，当四边形CDMH 为正方形时，MH ＝CH ＝CD ＝DM ＝3，∵AD ＝BC ＝4，∴AM ＝BH ＝1，由勾股定理得：BM =√32+12=√10，∴FM =√10，∴DF =√MM 2−MM 2=√(√10)2−32=1，∴CF ＝3﹣1＝2，设HN ＝x ，则BN ＝FN ＝x +1，在Rt △CNF 中，CN 2+CF 2＝FN 2，∴（3﹣x ）2+22＝（x +1）2，解得：x =32，∴HN =32，∵CH ＝3，∴CN ＝HN =32，∴N 为HC 的中点；故③正确；④如图4，连接FM ，∵DF =13DC ，CD ＝3，∴DF ＝1，CF ＝2， ∴BF =√22+42=2√5，∴OF =√5，设FN ＝a ，则BN ＝a ，CN ＝4﹣a ，由勾股定理得：FN 2＝CN 2+CF 2，∴a 2＝（4﹣a ）2+22，∴a =52，∴BN ＝FN =52，CN =32，∵∠NFE ＝∠CFN +∠DFQ ＝90°，∠CFN +∠CNF ＝90°，∴∠DFQ ＝∠CNF ，∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△QDF ∽△FCN ，∴MM MM =MM MM ，即MM 2=132，∴QD =43，∵tan ∠HMN ＝tan ∠CBF =MM MM =MM MM ，∴MM 3=24，∴HN =32，∴MN =√32+(32)2=3√52，∵CH ＝MD ＝HN +CN =32+32=3，∴MQ ＝3−43=53，∴折叠后重叠部分的面积为：S△MNF+S△MQF=12⋅MM⋅MM+12⋅MM⋅MM=12×3√52×√5+12×53×1=5512；法二：折叠后重叠部分的面积为：S△MNF+S△MQF＝S正方形CDMH﹣S△QDF﹣S△NFC﹣S△MNH＝3×3−12×43×1−12×32×2−12×32×3=5512；故④正确；所以本题正确的结论有：①②③④；故答案为：①②③④．25．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF＝CE，故①正确；由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，连接FM，CM，∵点M是AB中点，∴CM=12AB＝BM＝AM，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，∴∠DBF＝∠DCM，又BM＝CM，BF＝CE，∴△BFM≌△CEM（SAS），∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，∵∠BMC＝90°，∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，∴EF=√2EM＝AE﹣CE，故③正确，∠MEF＝∠MFE＝45°，∵∠AEC＝90°，∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，设AE与CM交于点N，连接DN，∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，∴△DFM≌△NEM（ASA），∴DF＝EN，DM＝MN，∴△DMN为等腰直角三角形，∴DN=√2DM，而∠DEA＝90°，∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故④正确；∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°，∵∠DEM＝45°，∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM，∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE，∴△ADE≌△ACE（ASA），∴DE＝CE，∵△MEF 为等腰直角三角形，∴EF =√2EM ，∴MM MM=MM MM =MM MM =√2MM MM =√2，故⑤正确； ∵∠CDM ＝∠ADE ，∠CMD ＝∠AED ＝90°， ∴△CDM ∽△ADE ， ∴MM MM=MM MM =MM MM ， ∵BM ＝CM ，AE ＝CF ， ∴MM MM =MM MM ，∴CF •DM ＝BM •DE ，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥．26．【解答】解：∵点B 坐标为（1，1），∴OA ＝AB ＝BC ＝CO ＝CO 1＝1，∵A 1（2，3），∴A 1O 1＝A 1B 1＝B 1C 1＝C 1O 2＝3，∴B 1（5，3），∴A 2（8，9），∴A 2O 2＝A 2B 2＝B 2C 2＝C 2O 3＝9，∴B 2（17，9），同理可得B 3（53，27），B 4（161，81），…由上可知，B n （2×3n ﹣1，3n ），∴当n ＝2020时，B n （2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．27．【解答】解：（1）∵MN 为⊙O 的直径，∴∠MPN ＝90°，∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN ＝∠MPN ＝90°，∵NE 平分∠PNM ，∴∠MNE ＝∠PNE ，∴△PEN ∽△QFN ，∴MM MM =MM MM ，即MM MM =MM MM ①，∵∠PNQ +∠NPQ ＝∠PNQ +∠PMQ ＝90°，∴∠NPQ ＝∠PMQ ，∵∠PQN ＝∠PQM ＝90°，∴△NPQ ∽△PMQ ，∴MM MM =MM MM ②， ∴①×②得MM MM =MM MM ， ∵QF ＝PQ ﹣PF ， ∴MM MM =MM MM =1−MM MM ， ∴MM MM +MM MM =1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPM ，∴△NPQ ∽△NMP ，∴MM MM =MM MM ，∴PN 2＝QN •MN ，∵PN 2＝PM •MN ，∴PM ＝QN ，∴MM MM =MM MM ， ∵cos ∠M =MM MM =MM MM ， ∴MM MM =MM MM ， ∴MM MM=MM MM +MM ， ∴NQ 2＝MQ 2+MQ •NQ ，即1=MM 2MM 2+MM MM ， 设MM MM=M ，则x 2+x ﹣1＝0， 解得，x =√5−12，或x =−√5+12＜0（舍去）， ∴MM MM =√5−12， 故答案为：√5−12．28．【解答】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ， ∴BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，∴AB ＝3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ， ∴△BEF ∽△BAC ， ∴MM MM =MM MM ，即MM 6=MM 3MM ，解得：EF ＝2， ∴DH =12EF =12×2＝1，故答案为：1．29．【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠ECG ＝90°，∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB +∠CEG ＝∠AEB +∠BAE ，∴∠BAE ＝∠CEG ，∴△ABE ∽△ECG ，故①正确；②在BA 上截取BM ＝BE ，如图1，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝90°，BA ＝BC ，∴△BEM 为等腰直角三角形，∴∠BME ＝45°，∴∠AME ＝135°，∵BA ﹣BM ＝BC ﹣BE ，∴AM ＝CE ，∵CF 为正方形外角平分线，∴∠DCF ＝45°，∴∠ECF ＝135°，∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB +∠FEC ＝90°，而∠AEB +∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠FEC ，在△AME 和△ECF 中{∠MMM =∠MMM MM =MM MMMM =MMMM，∴△AME ≌△ECF （ASA ），∴AE ＝EF ，故②正确；③∵AE ＝EF ，∠AEF ＝90°，∴∠EAF ＝45°，∴∠BAE +∠DAF ＝45°，∵∠BAE +∠CFE ＝∠CEF +∠CFE ＝45°， ∴∠DAF ＝∠CFE ，故③正确；④设BE ＝x ，则BM ＝x ，AM ＝AB ﹣BM ＝2﹣x ， S △ECF ＝S △AME =12•x •（2﹣x ）=−12（x ﹣1）2+12， 当x ＝1时，S △ECF 有最大值12，故④错误．故答案为：①②③． 30．【解答】解：延长CE 、DA 交于Q ，如图1， ∵四边形ABCD 是矩形，BC ＝6，∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝6，AD ∥BC ， ∵F 为AD 中点，∴AF ＝DF ＝3，在Rt △BAF 中，由勾股定理得：BF =√MM 2+MM 2=√42+32=5，∵AD ∥BC ，∴∠Q ＝∠ECB ，∵E 为AB 的中点，AB ＝4，∴AE ＝BE ＝2，在△QAE 和△CBE 中{∠MMM =∠MMM MM =MMMMMM =MM∴△QAE ≌△CBE （AAS ），∴AQ ＝BC ＝6，即QF ＝6+3＝9，∵AD ∥BC ，∴△QMF ∽△CMB ，∴MM MM =MM MM =96， ∵BF ＝5，∴BM ＝2，FM ＝3，延长BF 和CD ，交于W ，如图2，同理AB ＝DW ＝4，CW ＝8，BF ＝FW ＝5，∵AB ∥CD ，∴△BNE ∽△WND ，∴MM MM =MM MM ， ∴MM 5−MM +5=24， 解得：BN =103， ∴MN ＝BN ﹣BM =103−2=43， 故答案为：43．31．【解答】解：∵点B 坐标为（1，1），∴OA ＝AB ＝BC ＝CO ＝CO 1＝1，∵A 1（2，3），∴A 1O 1＝A 1B 1＝B 1C 1＝C 1O 2＝3，∴B 1（5，3），∴A 2（8，9），∴A 2O 2＝A 2B 2＝B 2C 2＝C 2O 3＝9，∴B 2（17，9），同理可得B 3（53，27），B 4（161，81），…由上可知，M M (2×3M −1，3M )，∴当n ＝2020时，M M (2×32020−1，32020)．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．32．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2，∠BDC ＝∠EAF ＝45°，AC ⊥BD ，BD ＝AC ＝2√2，∵AE ＝AC ＝2√2，∠EF A ＝∠CBA ，∠EAF ＝∠BAC ＝45°，∴△AEF ≌△ACB （AAS ），∴∠E ＝∠ACB ＝45°，EF ＝BC ＝2，AF ＝AB ＝2，∴∠E ＝∠BDG ，∵EF ⊥AC ，AC ⊥BD ，∴EF ∥BD ，∴∠EFB ＝∠DBG ，∴△EBF ∽△DGB ，∴MM MM =MM MM ， ∴2√2−2MM =2√2， ∴DG ＝4﹣2√2，故答案为：4﹣2√2，33．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴AF ⊥BC ．∵在△ABC 中 AB ＝AC ∴CE ＝BE （等腰三角形三线合一），∵AE ＝EF ．∴四边形ABFC 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．又∵AF ⊥BC ，∴▱ABFC 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．（2）解：∵圆内接四边形ABED ，∴∠ADE +∠ABC ＝180°（圆内接四边形的对角互补）．∵∠ADE +∠CDE ＝180°，∴∠ABC ＝∠CDE ．∵∠ACB ＝∠ECD （公共角）．∴△ECD ∽△ACB （两角分别对应相等的两个三角形相似）．∴MM MM =MMMM （相似三角形的对应边成比例）．∵四边形ABFC 是菱形，∴MM =MM =12MM =2．∴CE ＝2BC ＝4．∴2MM =14． ∴AC ＝8．∴AB ＝AC ＝8．∴⊙O 的半径为4．34．【解答】解：（1）证明：如图，连接OC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵OD ∥BC ，∴∠CFE ＝∠ACB ＝90°，∴∠DEC +∠FCE ＝90°，∵∠DEC ＝∠BDC ，∠BDC ＝∠A ，∴∠DEC ＝∠A ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠A ，∴∠OCA ＝∠DEC ，∵∠DEC +∠FCE ＝90°，∴∠OCA +∠FCE ＝90°，即∠OCE ＝90°，∴OC ⊥CE ，又∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 切线．（2）由（1）得∠CFE ＝90°，∴OF ⊥AC ，∵OA ＝OC ，∴∠COF ＝∠AOF ，∴MM̂=MM ̂， ∴∠ACD ＝∠DBC ，又∵∠BDC ＝∠BDC ，∴△DCG ∽△DBC ，∴MM MM =MM MM ，∴DC 2＝DG •DB ＝9，∴DC ＝3，∵OC ＝OD ＝3，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DOC ＝60°，在Rt △OCE 中MMM60°=MM MM， ∴√3=MM 3， ∴MM =3√3．35．【解答】证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠EAB +∠EBA ＝90°，∵∠CBE ＝∠BDE ，∠BDE ＝∠EAB ，∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠EBA +∠CBE ＝90°，即∠ABC ＝90°，∴CB ⊥AB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴BC 是⊙O 的切线；（2）证明：∵BD 平分∠ABE ，∴∠ABD ＝∠DBE ，∵∠DAF ＝∠DBE ，∴∠DAF ＝∠ABD ，∵∠ADB ＝∠ADF ，∴△ADF ∽△BDA ，∴MM MM =MM MM ，∴AD 2＝DF •DB ．36．【解答】（1）证明：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE ，∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC ，∴△BDE ∽△EFC ；（2）解：①∵EF ∥AB ，∴MM MM =MM MM =12， ∵EC ＝BC ﹣BE ＝12﹣BE ， ∴MM12−MM=12， 解得：BE ＝4； ②∵MM MM =12， ∴MM MM =23，∵EF ∥AB ，∴△EFC ∽△BAC ，∴M △MMMM △MMM =（MM MM ）2＝（23）2=49， ∴S △ABC =94S △EFC =94×20＝45． 37．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠F ，又∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAG ＝∠EAG ，∴∠EAG ＝∠F ，∴EA ＝EF ，∵AB ＝2，∠B ＝90°，点E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ＝1，∴AE =√MM 2+MM 2=√5，∴EF =√5，∴CF ＝EF ﹣EC =√5−1；（2）①证明：∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ，∴AG ＝FG ，在△ADG 和△FCG 中{∠M =∠MMM MMMM =MMMM MM =MM，∴△ADG ≌△FCG （AAS ），∴DG ＝CG ，即点G 为CD 的中点；②设CD ＝2a ，则CG ＝a ，由①知，CF ＝DA ＝2a ，∵EG ⊥AF ，∠GCF ＝90°，∴∠EGC +∠CGF ＝90°，∠F +∠CGF ＝90°，∠ECG ＝∠GCF ＝90°，∴∠EGC ＝∠F ，∴△EGC ∽△GFC ，∴MM MM=MM MM ， ∵GC ＝a ，FC ＝2a ， ∴MM MM =12， ∴MM MM =12， ∴EC =12a ，BE ＝BC ﹣EC ＝2a −12a =32a ，∴λ=MM MM =12M 32M=13．五．相似三角形的应用（共4小题）38．【解答】解：长120cm 的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120cm 的木条不能作为一边，设从120cm 的木条上截下两段长分别为xcm ，ycm （x +y ≤120），由于长60cm 的木条不能与75cm 的一边对应，否则x +y ＞120cm ，当长60cm 的木条与100cm 的一边对应，则M 75=M 120=60100， 解得：x ＝45，y ＝72； 当长60cm 的木条与120cm 的一边对应，则M 75=M 100=60120，解得：x ＝37.5，y ＝50．∴有两种不同的截法：把120cm 的木条截成45cm 、72cm 两段或把120cm 的木条截成37.5cm 、50cm 两段．故选：B ．39．【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，故选：D ．40．【解答】解：设投影三角尺的对应边长为xcm ，∵三角尺与投影三角尺相似，∴8：x ＝2：5，解得x ＝20．故选：A ．41．【解答】解：∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∵∠ANE ＝45°，∴△ANE 和△BNF 是等腰直角三角形，∴AE ＝EN ，BF ＝FN ，∴EF ＝15米，FM ＝2米，MN ＝8米，∴AE ＝EN ＝15+2+8＝25（米），BF ＝FN ＝2+8＝10（米），∴AN ＝25√2（米），BN ＝10√2（米），∴AB ＝AN ﹣BN ＝15√2（米）；过C 作CH ⊥l 于H ，过B 作PQ ∥l 交AE 于P ，交CH 于Q ，∴AE ∥CH ，∴四边形PEHQ 和四边形PEFB 是矩形，∴PE ＝BF ＝QH ＝10，PB ＝EF ＝15，BQ ＝FH ，∵∠1＝∠2，∠AEF ＝∠CHM ＝90°，∴△AEF ∽△CHM ，∴MM MM =MM MM =2515=53， ∴设MH ＝3x ，CH ＝5x ，∵CQ ＝5x ﹣10，BQ ＝FH ＝3x +2，∵∠APB ＝∠ABC ＝∠CQB ＝90°，∴∠ABP +∠P AB ＝∠ABP +∠CBQ ＝90°，∴∠P AB ＝∠CBQ ，∴△APB ∽△BQC ，∴MM MM =MM MM ，∴153M +2=155M −10，∴x ＝6，∴BQ ＝CQ ＝20，∴BC ＝20√2（米），方法二：∵∠ANE ＝45°，∴∠ABP ＝45°，∴∠CBQ ＝45°，∴CQ ＝BQ ，∵CQ ＝5x ﹣10，BQ ＝FH ＝3x +2，∴5x ﹣10＝3x +2，∴x ＝6，∴BQ ＝CQ ＝20，∴BC ＝20√2（米），故答案为：15√2，20√2．六．作图-相似变换（共1小题）42．【解答】解：（1）如图：作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP；（2）证明：如图，∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，∴∠DPC＝∠ABC∴PD∥AB．七．位似变换（共4小题）43．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．44．【解答】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF=√(2−6)2+(4−2)2=2√5．故选：D．45．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，其位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，∴MMMM′=610=35，∴MMM′M′=35，∵AB＝3，∴A′B′＝5．故答案为：5．46．【解答】解：如图，∵△OAB∽△OA′B′，相似比为3：2，B（3.6），∴B′（2，4），根据对称性可知，△OA″B″在第三象限时，B″（﹣2，﹣4），∴满足条件的点B′的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．故答案为（2，4）或（﹣2，﹣4）．八．作图-位似变换（共2小题）47．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．48．【解答】解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），连接各点，得△A2B2C2．因为在网格中作图，图中网格是有范围的，只能在网格中作图，所以位似放大只能画一个．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求．九．相似形综合题（共2小题）49．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH＝2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG＝AB＝GH+AH＝20，∴GH＝8，AH＝12，∴AD＝AH＝12．（3）解：在Rt△ADG中，DG=√MM2−MM2=√202−122=16，由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，∵GH2+HF2＝GF2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝6，∴HF＝6，在Rt△GFH中，tan∠GFH=MMMM=86=43．50．【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）①DF＝PF．证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，。

-记忆黄金比值0.618：学生应熟练记忆黄金比值，并能够运用到实际问题中。
-应用黄金分割的实例：通过实例分析，使学生了解黄金分割在自然界、艺术和建筑等领域的应用，培养学生的实际应用能力。
举例解释：在教学过程中，可以借助图形、实际物体（如树叶、建筑物）等，让学生直观感受黄金分割的美，并引导他们运用黄金比值进行计算和设计。
其次，在实践活动环节，我发现学生们在讨论与黄金分割相关的实际问题时，思维较为局限，不能充分展开。这可能是因为他们对黄金分割在实际生活中的应用还不够熟悉。在今后的教学中，我应增加一些关于黄金分割在各个领域应用的案例，激发学生的创新思维和想象力。
此外，小组讨论环节，部分学生在分享成果时，表达不够清晰，逻辑性不强。为了提高学生的表达能力和逻辑思维，我可以在教学中加入一些口语表达和逻辑训练，帮助他们更好地组织语言，阐述观点。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观和空间观念：通过黄金分割的学习，使学生能够运用几何知识分析并解决实际问题，提高对几何图形的观察、理解和创造能力。
2.提升学生的数据分析能力：引导学生通过实际案例，收集、整理和分析黄金分割在各个领域的应用，培养学生运用数据进行推理、论证和解决问题的能力。
3.增强学生的审美观念和创造力：让学生了解黄金分割在艺术和建筑领域的应用，激发学生对美的感知和创造潜能，提高审美素养。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了黄金分割的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对黄金分割的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和创作中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

4.2 黄金分割◆基础训练一、选择题1．若3a=4b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是（ ）．A ．17B ．C ．-17D ．-7 2．已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB 等于（ ）．A ．7：5B ．5：2C ．2：7D ．5：73．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP>BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，•以PB 、AB 为边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）．A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1=S 2D ．S 1≥S 2二、填空题4．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ，则______,AB BC AC AB==_______． 5．等边△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=4，则高AD 与边长AB 的比是______．三、解答题6．求下列各式中的x ：（1）7：4=11：x ； （2）2：3=（5-x ）：x ．7．已知a b =112,a c c b a b c-+=-求证:．◆能力提高一、填空题8．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB=______，BC：PB=______．9．如图，已知3,(1)2AB AC BC CEAD AE DE AE===则:=______，（2）若BD=10cm，则AD=______；（3）若△ADE的周长为16cm，则△ABC的周长为_______．二、解答题10．已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，那么第三个数是多少？11．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午9点时，高为1.5m的测杆的影长为2.5m，此时一古塔在地面的影长是50m，求古塔的高．如果上午10点时，1.5m•高的测杆的影长为2m，中午12点时，1.5m高的测杆的影长为1m，求古塔的影长是20m的时刻．◆拓展训练12．用厘米作为长度单位量一下几何作业本，求出长与宽的比．•如果你来设计作业本的大小，你能利用所学的知识设计一种既美观又实用的“黄金作业本”吗？答案:1．A 2．A 3．C 4．1344,2 6.(1)227 （2）x=37．由已知得ac-ab=ab-bc ，∴ac+bc=2ab ，∴2112a bab c a b c +=+=即．8．1：4，4：3 9．（1）52 （2）4cm （3）24cm10．2或16或± 11．30m ，中午12点 12．略.。

浙教新版九年级上册《4.2由平行线截得比例线段》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共1小题，每小题3分，共3分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知，则等于()A.B.C.D.二、填空题：本题共14小题，每小题3分，共42分。

2.已知，则______；______.3.已知，则______.4.若，则k的值为______.5.若点C是线段AB的黄金分割点，，线段AC的长为2，则______保留根号6.已知点P在线段AB上，且满足，则的值等于______.7.如图中，，，且BD平分交AC于点D，若，则______.8.如图，在中，，，BD平分交AC于点D，则下列结论中①；②：：DC；③；④若，则，其中正确的结论的个数是______个．9.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且，AE与BD相交于点那么BF：FD的值为______.10.如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、已知，，，则______.11.已知线段，P、Q是线段AB的黄金分割点，则______.12.如图，AD是的中线，E是AD上一点，且AE：：2，BE的延长线交AC于F，则AF：______.13.黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，其比值等于如图，在正方形ABCD中，点G为边BC延长线上一动点，连接AG交对角线BD于点H，的面积记为，四边形DHCG的面积记为如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为______.14.如图，，AF与BE相交于点G，且，，，那么的值等于______.15.如图，在中，D在AC边上，AD：：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若，则EC的长为______.三、解答题：本题共4小题，共32分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。