川沙中学学年度第一学期高三数学第次月考试卷.ZYB

上海市川沙中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知集合()()4,,1,31A B =-=，则A B = 2．不等式|1|2x -<的解集是.3．已知11i z =+，223i z =+（其中i 为虚数单位），则__12z z +=.4．已知二项式()5x a +展开式中，2x 项的系数为80，则a =.5．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是.6．若数列{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，则6S =．7．某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30 方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距海里．（精确到0.1海里）8．已知函数2()|1|f x ax x a =+++为偶函数，则不等式()0f x >的解集为.9．在ABC V 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC V 的面积ABC S = 6a b +=，cos cos 2cos a B b AC c+=，则c =.10．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF △周长的最小值为8，则双曲线的离心率为．11．已知,,a b c 是平面向量，a 与c是单位向量，且,2a c π= ，若28150b bc -+= ，则a b-r r 的最小值为．12．已知定义在R 上的函数()f x 存在导数，对任意的实数x ，都有()()2f x f x x --=，且当(0,)x ∈+∞时，()1f x '>恒成立，若不等式()(1)21f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是.二、单选题13．若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是（）A ．a b +>B ．a b +<C ．22ab +>D ．22ab +<14．设a ∈R ，则“1a =”是“直线20ax y +=与直线(1)20x a y +++=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．设{}是等差数列.下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->16．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别是线段111,AB A C 上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点P ，均存在点Q ，使得1PQ CD ⊥；②存在点P ，对任意的Q ，均有1PQ DB ⊥，则（）A ．①②均正确B ．①②均不正确C ．①正确，②不正确D ．①不正确，②正确三、解答题17．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面,,BCD AB AD O =为BD 的中点.(1)求证：AO CD ⊥；(2)若,,BD DC BD DC AO BO ⊥==，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小.18．设x R ∈，函数()cos sin f x x x =+，()cos sin g x x x =-．（1）求函数()()()()2F x f x g x f x =⋅+的最小正周期和单调递增区间；（2）若()()2f x g x =，求221sin cos sin cos xx x x+-的值．19．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.20．设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l ：x=t ，曲线Γ：()280,0y x x t y =≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP △的面积；（3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数()1ln ,R f x x a x a =--∈.(1)当1a =时，求()f x 的严格增区间;(2)若()0f x ≥恒成立，求a 的值；(3)对于任意正整数n ，是否存在整数m ，使得不等式2111(1)(1)(1)222n m +++< 成立?若存在，请求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.。

2025届上海市川沙中学高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6iB ．6i -C ．6-D ．62．tan570°=（ ） A ．33B ．-33C ．3D ．323．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为354．已知向量()34OA =-，，()15OA OB +=-，，则向量OA 在向量OB 上的投影是（ ）A ．25B 25C ．25-D ．255．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸6．设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A ．B ．C ．D ．7．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=9．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i + B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --10．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．611．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③12．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．247-B ．1731-C ．247D ．1731二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是( )A. a+b>2abB. a+b<2abC. a2+2b>2ab D. a2+2b<2ab2.设a∈R，则“a=1”是“直线ax+2y=0与直线x+(a+1)y+2=0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是( )A. 若a1+a2>0，则a2+a3>0B. 若a1+a3<0，则a1+a2<0C. 若a1<0，则(a2−a1)(a2−a3)>0D. 若0<a1<a2，则a2>a1a34.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P，Q分别是线段AB1，A1C1上的点(不为端点)，给出如下两个命题：①对任意点P，均存在点Q，使得PQ⊥CD1；②存在点P，对任意的Q，均有PQ⊥DB1则( )A. ①②均正确B. ①②均不正确C. ①正确，②不正确D. ①不正确，②正确二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.已知集合A=(−1,3)，B=(1,4)，则A∩B=______．6.不等式|x−1|<2的解集为______．7.已知z1=1+i，z2=2+3i(其中i为虚数单位)，则z1+−z2=______．8.已知二项式(x+a)5展开式中，x2的系数为80，则a=______．9.已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是______．10.若数列{a n}为首项为3，公比为2的等比数列，则S6=______．11.某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C 处，这时灯塔B与船相距______海里(精确到0.1海里)12.已知函数f(x)=ax2+|x+a+1|为偶函数，则不等式f(x)>0的解集为______．13.在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积S△ABC=23，a+b=6，acosB+bcosAc=2cosC，则c=．14.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F1(22,0)，点A的坐标为(0,1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF1周长的最小值为8，则双曲线的离心率为______．15.已知a ，b ，c 是平面向量，a 与c 是单位向量，且<a ，c >=π2，若b 2−8b ⋅c +15=0，则|a−b |的最小值为 ．16.已知定义在R 上的函数f(x)存在导数，对任意的实数x ，都有f(x)−f(−x)=2x ，且当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>1恒成立，若不等式f(a)−f(1−a)≥2a−1恒成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：本题共5小题，共78分。

1川沙中学2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知全集U R =，集合(,1)[2,)A =−∞+∞，则A =________． 2．函数()sin2f x x =的最小正周期是________．3．在等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a =________．4．参考数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分）依次如下：56、70、91、98、79、80、81、83、84、86、88、90、72、94、78，则15人成绩的第80百分位数是________． 5．在△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为________．6．已知3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数之和为256，则访二项展开式中的常数项为_____． 7．双曲线222:1y C x b−=的渐近线与直线1x =交于A ，B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为________．8．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6b =，2a c =，πB 3=，则△ABC 的面积为________．9．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是45，感冒发作的概率是67，鼻炎发作且感冒发作的概率是35，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是________． 10．已知函数1()lg f x x x =−，则不等式111f x ⎛⎫−< ⎪⎝⎭的解集为________． 11．已知函数()(1)x f x x e =−，若关于x 的不等式()1f x ax <−有且仅有一个正整数解，则实数a 的取值范围是________．212．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231(,1)n n S a n N n =−∈≥，函数()f x 定义域为R ，对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=−，若()21f =−2025()f a 的值为 .二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13．下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥− C．a b +≥ D．a b +≥−14．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若0(2)(2)1lim22h f h f h →+−=，则(2)f '=（ ）A ．1−B ．14− C ．1 D ．1415．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知实数1x 、1y 、2x 、2y 、3x 、3y 同时满足：①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③11332220x y x y x y +=>，则下列选项中恒成立的是（ ）A ．2132x x x <+B ．2132x x x >+C ．2213x x x <D ．2213x x x >三、解答题（本大题共5题，共141414181878++++=分）17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，∥AB CD ，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥． （1）求证：BC ⊥平面1D DB ；（2）求点D 到平面1BCD 的距离．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)设函数2()f x x x a=+−，a为常数．（1）若()f x为偶函数，求a的值；（2）设0a>，()()f xg xx=，(]0,x a∈为严格减函数，求实数a的取值范围．19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活。

上海市川沙中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题一、填空题1．双曲线2214x y -=的渐近线方程． 2．在()52x y +的展开式中，含32x y 项的系数为.3．已知函数()cos f x x =，则022lim x f x f x ππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∆． 4．函数()2f x x =在区间[]2,4上的平均变化率等于．5．函数3e xx y =-的驻点为. 6．若一个圆锥的底面面积为4π，母线长为3，则它的侧面积为.7．函数()()1sin cos 2x f x e x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为. 8．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是．9．若函数()2ln f x x m x =-在(]0,1上为减函数，则实数m 的取值范围是．10．已知2012(2)n n n x a a x a x a x -=++++L ，已知展开式中的奇数项的二项式系数和为256，则0123n a a a a a +++++=L ． 11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是（结果用最简分数表示）．12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，且当0x <时，()2()0f x xf x '+<，则不等式()22023(2023)(1)0x f x f ---->的解集为．二、单选题13．命题1：“0x x =为函数()f x 的极值点”是“0x x =为函数()f x 的驻点”的充分不必要条件；命题2：“可导函数()f x 为奇函数”是“导函数()f x '为偶函数”的充分不必要条件（ ）A ．命题1命题2都正确B ．命题1正确，命题2错误C ．命题1错误，命题2正确D ．命题1命题2都错误14．一名工人维护甲乙两台机床，在一小时内，甲需维护和乙需维护相互独立，它们的概率分别是0.4，0.3，则至少有一台需要维护的概率为（ ）A ．0.58B ．0.46C ．0.42D ．0.1215．已知函数()2ln f x x x =-，则函数()f x （ ）A ．既有极大值也有极小值B ．有极大值无极小值C ．有极小值无极大值D ．既无极大值也无极小值16．若函数()ln f x x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),e -∞-B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题17．已知函数()2ln f x x m x =-，()2g x x x a =-+，m 、a ∈R ．(1)若5a =，点()()1,1P f ，求过点P 与函数()g x 的图象相切的直线方程；(2)若0a =，在区间()1,∞+上()f x 的图象始终在()g x 的上方，求实数m 的取值范围． 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，E ，F 分别是11AC ，BC 的中点．(1)求证：AB ⊥平面11B BCC ；(2)当12AB BC BB ===，求异面直线AE 与1FC 所成角．19．某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD ，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设AD 的长为2x 毫米．(1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）y 关于x 的函数关系式；(2)如何设计AD 与AB 的长度，使得y 最大？20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(3,1)P ，椭圆C 离心率为e 别为1F ，2F ，上下顶点为1B ，2B .(1)求椭圆C 的方程；(2)点Q 是椭圆C 上的一个动点，求12FQB V 面积的最大值；(3)若M ，N 为椭圆C 上相异两点（均不同于点1B ），1B M ，1B N 的斜率分别是1k ，2k ，若121k k ?-.求证：直线MN 必过定点，并求出定点坐标.21．已知函数2()e 1)(x f x ax x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程；(2)若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围；(3)若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围.。

2020-2021上海川沙中学华夏西校高中必修三数学上期末第一次模拟试卷带答案一、选择题1．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A．14B．13C．12D．232．日本数学家角谷静夫发现的“31x+猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的6N=，则输出i值为（）A．6B．7C．8D．93．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个 ②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月的空气质量最差 A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．-25．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn6．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ．22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.757．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A ．华为的全年销量最大B ．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C ．华为销量最大的是第四季度D ．三星销量最小的是第四季度8．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ） A ．12.68万元B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元9．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <10．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D 为BE 中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．17B ．14C ．13D ．41311．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12C．1D．3 212．执行如图所示的程序框图，若输入2x=-，则输出的y=（）A．8-B．4-C．4D．8二、填空题13．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．14．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．15．某程序框图如图所示，若输入的4t=，则输出的k=______．16．某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23，那么这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为______．17．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为____．18．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程20x x a -+=无实根的概率为______．19．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为____．20．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为 __________．三、解答题21．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中20181Q 表示2018年第一季度，以此类推）： 季度 20181Q 20182Q 20183Q 20184Q 20191Q季度编号x 1 2345销售额y （百万元）4656 67 86 96（1）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司20193Q 的销售额.附：线性回归方程：y bx a =+$$$其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$$a y bx=-$ 参考数据：511183i ii x y==∑.22．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱. （1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？23．随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争.吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务.在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示.（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收人薪资高于8000元的城市的概率；（2）若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1000元的城市中随机选择2座城市，求这2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元的概率.24．为了解贵州省某州2020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，，将他们的化学成绩（满分为100分）分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）记A 表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A 发生的概率；（3）在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在[60,80)内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在[60,70)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.25．某地区为了了解本年度数学竞赛成绩情况，从中随机抽取了n 个学生的分数作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示，已知得分在[)70,80的频数为20，且分数在70分及以上的频数为27.(1)求样本容量n以及x，y的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生，求所80,90内的概率.抽取的2名学生中恰有一人得分在[)26．一个盒子中有5只同型号的灯泡，其中有3只一等品，2只二等品，现在从中依次取出2只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题：（Ⅰ）求第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品的概率；（Ⅱ）求至少有一次取到二等品的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．2．D解析：D【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结论.详解：模拟程序的运行，可得6,1n i ==，不满足条件n 是奇数，3,2n i ==，不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，10,3n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，可得5,4n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，满足条件n 是奇数，16,5n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，8,6n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，4,7n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，2,8n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，1,9n i ==， 满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为9，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.3．A解析：A 【解析】在A 中，1月至8月空气合格天数超过20谈的月份有：1月，2月，6月，7月，8月， 共5个，故A 正确；在B 中，第一季度合格天数的比重为2226190.8462312931++≈++；第二季度合格天气的比重为1913250.6263303130++≈++，所以第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，所以B 是正确的；在C 中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的； 在D 中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以是错误的， 综上，故选A .4．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合流程图运行程序，考查5i >是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】结合流程图可知程序运行过程如下： 首先初始化数据：1,2i S ==， 此时不满足5i >，执行循环：111,122S i i S =-==+=；此时不满足5i >，执行循环：111,13S i i S=-=-=+=； 此时不满足5i >，执行循环：112,14S i i S=-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,152S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,16S i i S=-=-=+=； 此时满足5i >，输出1S =-. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.5．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 6．C解析：C 【解析】 【分析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B ，C ，D 都错误． 【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大； 每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ∴，C ，D 都错误，故选A ． 【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．8．A解析：A 【解析】 【分析】由已知求得 x ， y ，进一步求得$ a，得到线性回归方程，取16x =求得y 值即可． 【详解】8.38.69.911.1512.1 10x +++=+=， 5.97.88.18.49.858y ++++==．又 0.78b =$，∴$ 80.78100.2a y bx --⨯===$． ∴$ 0.780.2y x =+．取16x =，得$ 0.78160.212.68y ⨯+==万元，故选A ．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．9．C解析：C 【解析】由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2; a=4a+1=5,k=k+1=3; a=4a+1=21,k=k+1=4; a=4a+1=85,k=k+1=5; a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.10．A解析：A 【解析】 【分析】根据几何概型的概率计算公式，求出中间小三角形的面积与大三角形的面积的比值即可 【详解】设DE x =，因为D 为BE 中点，且图形是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形 所以2BE x =，CE x =，120CEB ∠=︒所以由余弦定理得：2222cos BC BE CE BE CE CEB =+-⋅⋅∠222142272x x x x x ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭即BC =，设DEF V 的面积为1S ，ABC V 的面积为2S因为DEF V 与ABC V 相似所以21217 S DEPS BC⎛⎫===⎪⎝⎭故选：A 11．D 解析：D 【解析】【分析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a ab a bSb a a b⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，由此计算可得结论.【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a ab a bSb a a b⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，可得2tan cos43ππ⎛⎫⎛⎫⊗⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗-⎪⎝⎭，因为112 >-，所以，113 111222⎛⎫⎛⎫⊗-=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.12．C解析：C【解析】【分析】执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数32,0,0x xyx x⎧>=⎨≤⎩的值，从而计算得解.【详解】执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数32,0,0x xyx x⎧>=⎨≤⎩的值，由于20x =-<，可得2(2)4y =-=，则输出的y 等于4，故选C. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有读取程序框图的输出的结果，在解题的过程中，需要明确框图的功能，从而求得结果.二、填空题13．【解析】14．1【解析】【分析】设这10个数为则这组数据的方差为：由此能求出这组数据的标准差【详解】现有10个数其平均数为3且这10个数的平方和是100设这10个数为则这组数据的方差为：这组数据的标准差故答案为1解析：1 【解析】 【分析】设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ，则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())69101010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯ ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，由此能求出这组数据的标准差． 【详解】现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100， 设这10个数为1x ，2x ，3x ，⋯，10x ， 则12310310x x x x +++⋯+=，222212310100x x x x +++⋯+=，∴这组数据的方差为：()()22222222212310123101231011[()()())691011010S x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎤⎤⎡=-+-+-+⋯+-=+++⋯+-+++⋯++⨯= ⎥⎥⎢⎦⎣⎝⎦，∴这组数据的标准差1S =．故答案为1． 【点睛】本题考查一组数据的标准差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．【解析】【分析】根据题意执行循环结构的程序框图逐次计算即可得到答案【详解】由题意执行程序框图：可得；第一循环不满足条件；第二次循环不满足条件；第三次循环不满足条件；第四次循环不满足条件；第五次循环不解析：【解析】根据题意，执行循环结构的程序框图，逐次计算，即可得到答案． 【详解】由题意执行程序框图：可得0S =， 8k =； 第一循环，不满足条件，8S =，7k =； 第二次循环，不满足条件，1S =，6k =； 第三次循环，不满足条件，5S =，5k =； 第四次循环，不满足条件0S =，4k =； 第五次循环，不满足条件4S =，3k =， 第六次循环，满足条件，输出3k =． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次循环，逐次计算，注意把握判定条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解【详解】某篮球运动员在赛场上罚球命中率为这名运动员在赛场上的2次罚球中至少有一次命中的概率为故答案为【点睛】本题考查概率的求法考查对立事件概率计算公式解析：89【解析】 【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解． 【详解】某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23， ∴这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为022181()39p C =-=． 故答案为89． 【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．900【解析】【分析】利用频率分布直方图中频率和为1求a 值根据7080）的频率求出在此区间的人数即可【详解】由1﹣005﹣035﹣02﹣01＝03故a ＝003故阅读的时间在7080）（单位：分钟）内 解析：【解析】利用频率分布直方图中频率和为1求a值，根据[70，80）的频率求出在此区间的人数即可．【详解】由1﹣0.05﹣0.35﹣0.2﹣0.1＝0.3，故a＝0.03，故阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：0.3×3000＝900，故答案为：900．【点睛】本题考查频率分布直方图中的有关性质的应用，考查直方图中频率和频数的求法. 18．【解析】∵方程无实根∴Δ＝1－4a<0∴即所求概率为故填：解析：3 4【解析】∵方程无实根，∴Δ＝1－4a<0，∴14a>，即所求概率为34.故填：3419．38【解析】【分析】根据几何槪型的概率意义即可得到结论【详解】正方形的面积S＝1设阴影部分的面积为S∵随机撒1000粒豆子有380粒落到阴影部分∴由几何槪型的概率公式进行估计得即S＝038故答案为：解析：38【解析】【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．【详解】正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，∴由几何槪型的概率公式进行估计得380 11000S=，即S＝0.38，故答案为：0.38．【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．20．【解析】分析：设爸爸到家时间为快递员到达时间为则可以看作平面中的点分析可得全部结果所构成的区域及其面积所求事件所构成的区域及其面积由几何概型公式计算可得答案详解：设爸爸到家时间为快递员到达时间为以横解析：1 8分析：设爸爸到家时间为x ，快递员到达时间为y ，则(,)x y 可以看作平面中的点，分析可得全部结果所构成的区域及其面积，所求事件所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案.详解：设爸爸到家时间为x ，快递员到达时间为y ，以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图：根据题意，所有基本事件构成的平面区域为 5.5 6.5(,)|67x x y y ⎧⎫≤≤⎧⎨⎨⎬≤≤⎩⎩⎭，面积=1S ，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为 5.5 6.5(,)|670x x y y x y ⎧⎫≤≤⎧⎪⎪⎪≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭，直线=0x y -与直线=6.5x 和y=6交点坐标分别为(6,6)和(6.5,6.5)，2111==228S ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭阴影由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：1=8S P S =阴影.故答案为18. 点睛：本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出x 、y ，将(,)x y 基本事件和所求事件在平面直角坐标系中表示出来.三、解答题21．（1）310；（2）y 关于x 的线性回归方程为$13312．x y =+，预测该公司20193Q 的销售额为122.2百万元. 【解析】 【分析】（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“这2个季度的销售额都超过6千万元”然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）计算出x 和y 的值，然后将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出b$和$a 的值，可得出y 关于x 的线性回归方程，然后将7x =代入回归直线方程即可得出该公司20193Q 的销售额的估计值.【详解】（1）从5个季度的数据中任选2个季度，这2个季度的销售额有10种情况：()4656,、()4667,、()4686,、()4696,、()5667,、()5686,、()5696,、()6786,、()6796,、()8696,设“这2个季度的销售额都超过6千万元”为事件A ，事件A 包含()6786,、()6796,、()8696,，3种情况，所以()310P A =； （2）1234535x ++++==，()1465667869670.25y =++++=，2222221462563674865965370.213013123455312b⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===++++-⨯$，$$31.2a y bx∴=-=$. 所以y 关于x 的线性回归方程为$13312．x y =+， 令7x =，得$137312122.2．y =⨯+=（百万元） 所以预测该公司20193Q 的销售额为122.2百万元． 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了回归直线方程的应用，考查计算能力，属于中等题. 22．（1）0．05；（2）0．45；（3）1200. 【解析】 【分析】（1）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法；（2）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为1个黄球2个白球从前面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率；（3）先列举出所有的事件共有20种结果，根据摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果. 【详解】把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个. (1)事件E={摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P （E ）=120=0．05. (2)事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F 包含的基本事件有9个，P （F ）=920=0．45. （3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P （G ）=220=0．1，假定一天中有100人次摸奖， 由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G 发生有10次，不发生90次． 则一天可赚，每月可赚1200元．考点：1．互斥事件的概率加法公式；2．概率的意义 23．（1）715（2）25【解析】 【分析】（1）记事件A 为该生选中月平均收入薪资高于8000元的城市，利用古典概型可得概率()P A ；（2）记2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元为事件B ，利用古典概型可得概率()P B . 【详解】（1）设该生选中月平均收入薪资高于8000元的城市为事件A ， 15座城市中月平均收入薪资高于8000元的有7个， 所以7()15P A =. （2）月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高于1000元的城市有6个， 其中月平均期望薪资高于8000元的有3个，记为1A ，2A ，3A ； 月平均期望薪资低于8000元的有3个，记为1B ，2B ，3B ，选取两座城市所有的可能为：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B 23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，12B B ，13B B ，23B B ，共15种，设2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元为事件B ， 所以62()155P B ==. 【点睛】本题考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于基础题. 24．（1）0.025a =（2）0.65（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据所有的小矩形的面积之和为1得到方程，解得.（2）根据频率分布直方图，计算概率.（3）按分层抽样的规则分别计算出成绩在[60,70)，[70,80)内的人数，在列出分布列，计算出数学期望. 【详解】解：（1）(0.0050.0100.0200.0300.010)101a +++++⨯=Q ，0.025a ∴=，（2）Q 成绩不低于70分的频率为(0.0300.0250.010)100.65++⨯=，∴事件A 发生的概率约为0.65.（3）抽取的100名理科生中，成绩在[60,70)内的有1000.0201020⨯⨯=人， 成绩在[70,80)内的有1000.0301030⨯⨯=人，故采用分层抽样抽取的10名理科生中， 成绩在[60,70)内的有4人，在[70,80)内的有6人， 由题可知，X 的可能取值为0，1，2，3，4，46410151(0),21014C P X C ====6441031C C 8(1)C 2101802P X ====，2264410903(2),2107C C P X C ====6441013C C (3)C 21244350P X ====，444101(4)210C P X C ===X ∴的分布列为0123414217352105EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的数据的处理，分层抽样，离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，属于中档题.25．(1)50n =，0.030x =，0.004y =，(2) 1021【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图以及得分在[)70,80的频数为20求出n 值，再根据分数在70分及以上的频数为27，求出y 值，然后利用频率分布直方图面积和为1，求出x 即可. (2)由(1)可知，得分在[)80,90的频数为5，得分在[]90,100的频数为2，根据古典概型，求解即可. 【详解】(1)由频率分布直方图可知，得分在[)70,80的频率为200.04010n=⨯，即50n =， 则得分在[)80,90的频数为0.01010505⨯⨯= 又因为分数在70分及以上的频数为27所以得分在[]90,100的频数为2720510502y --=⨯⨯= 即0.004y =由题意可知()0.0160.0400.0100.004101x ++++⨯= 所以0.030x =(2)由(1)可知，得分在[)80,90的频数为5，得分在[]90,100的频数为2 设“所抽取的2名学生中恰有一人得分在[)80,90内”为事件A则()11522752102121C C P A C ⋅⨯=== 【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型，属于中档题. 26．（Ⅰ）310；（Ⅱ）710. 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件,共有20个, （I ）从中查出第一次取到二等品,且第二次取到的是一等品的基本事件数共有6个,利用古典概型的概率公式可得结果；（II ）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”,“取到的全是一等品”包括了6个事件，“至少有一次取到二等品”取法有14种, 利用古典概型的概率公式可得结果. 【详解】（I ）令3只一等品灯泡分别为,,a b c ；2只二等品灯泡分别为,X Y . 从中取出2只灯泡，所有的取法有20种，分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a X a Y b a b c b X b Y c a ，，(),c X ，(),c Y ，(),X a ，(),X b ，(),X c ，(),X Y ，(),Y a ，(),Y b ，(),Y c ，(),Y X第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品取法有6种， 分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,X a X b X c Y a Y b Y c ，故概率是632010=； （II ）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”， “取到的全是一等品”包括了6种分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c b a b c c a c b ， 故“至少有一次取到二等品”取法有14种,事件“至少有一次取到二等品”的概率是1472010=. 【点睛】。

2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合M ={a,b,c}中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形2.下列结论成立的是( )A. 若a >b ，c >d ，则a−c >b−dB. 若a >b ，c >d ，则a−d >b−cC. 若a >b ，则ac 2>bc 2D. 若a >b ，则a 2>b 23.设x ∈R ，则“|x−1|+|x−2|>3”是“x >3”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若正实数x 、y 、z 满足x 2+4y 2=z +3xy ，则当3xy z 最大时，1x +12y −1z 的最大值是( )A. 12B. 1C. 32D. 2二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

5.用适当符号填空：1 ______{1,2}．6.已知集合A ={x|1<x <2},B ={x|0<x <32}，则如图阴影部分表示的集合是______．7.已知a ，b 为正数，化简 a 5b 2⋅(a 2b )−1⋅ b 3= ______．8.已知p ：x ≤1，q ：x ≤a ，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是______．9.已知集合A ={x|(a−1)x 2+3x−2=0}有且仅有两个子集，则实数a = ．10.若A ={x|y = x +1},B ={y|y =−x 2+6}，则A ∩B = ______．11.若关于x 的不等式ax +4>1−2x 的解集为R ，则实数a = ______．12.不等式|x x−2|>xx−2的解为______．13.关于x 的不等式(k +1)x 2−(k +1)x +4>0对于任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是______．14.已知集合A ={x|x +1x−2≤0},B ={x|x <a}，若A ∩B ≠⌀，且A ∪B ≠B ，则实数a 的取值范围是______．+ 15.若关于x的不等式x2−4mx+m<0的解集为(x1,x2)若x1>0，x2>0，试探究x1+x2,x1x2,x21+x22,1x11的值，则4x1+x2的最小值为______．x216.设集合M={1,2,3,4,5,6,7}，现对M的任一非空子集A，令x A为A中最大数与最小数之和，则所有这样的x A的算术平均值为______．三、解答题：本题共5小题，共52分。

上海市浦东新区川沙中学2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+2．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．2313⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,B ．()1,3C ．2313⎛⎤⎥ ⎝⎦,D ．(1,3]3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 4．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．433B ．43C ．233D ．235．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

川沙中学2024学年第一学期高二年级数学月考2024.10一、填空（3×12）1．复数z 满足，则________．2．等比数列中，若，则________．3．已知空间中两条直线a 、b ，“a ⊥b ”是“a 与b 相交”的________条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”、“充要”）4．以下各项属于公理的是________．①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行．5．设数列是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2026项的和_________．6．水平放置的的斜二侧直观图如图所示，若，的面积为，则的长为________．7．已知在上的投影向量的坐标为________．8．空间四边形ABCD ，，M 、N 、P 分别为BD 、AC 、BC 的中点，若异面直线AB 和CD 成的角，则________．9．已知数列满足，则________．10．在中，，则面积为________．11．用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为，则平面与圆柱底面所形成的二面角的()1i 2i z +=Imz ={}()*N n a n ∈2511,162a a ==8a ={}n a 4a 2023a 24830x x -+={}n a 2026S =ABC △112A C =ABC△11BC (,2,a a b b =⋅=a 8AB CD ==60︒MN ={}n a 1111,1(1)4n n a a n a -=-=->2026a =ABC △222,4b c a bc AC AB +=+⋅=ABC△[]1.5,π,πy x x =+∈-正弦值是________．12．已知异面直线a 、b 所成角为，直线AB 与a 、b 均垂直，且垂足分别是点A 、B ，若动点．，则线段PQ 中点M 的轨迹围成的区域的面积是________．二、选择（3*4）13．下列说法正确的是（ ）A ．平行于同一直线的两个平面平行B ．平行于同一平面的两条直线平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一直线的两个平面平行14．若是关于x 的实系数方程的一个复数根，则（ ）A ．B ．C ．D ．15．如图，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两垂直，，点E 是CD 的中点，若直线AB 与平面ACD，则点B 到平面ACD 的距离为（ ）A B ．CD ．16．如图，设P 为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）个60︒,,2P a Q b PA QB ∈∈+=1+20x bx c ++=2,3b c ==2,1b c ==-2,1b c =-=-2,3b c =-=2BC BD ==2343A BCD -A ．4B ．6C ．10D ．14三、解答（8+8+10+12+14）17．已知．（1）求；（2）若，求实数k 的值．18．如图，在长方体中，E 、F 分别是和的中点．（1）证明：E 、F 、D 、B 四点共面；（2）证明：BE 、DF 、三线共点．19．亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨乘凉．假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体Ω．一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为α，当时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米．π1,4a b a b ==⋅= a b +()()2ka b a b +⊥-1111ABCD A B C D -11B C 11C D 1CC 1P O -1OO 1P O -2035α︒<<︒（1）求几何体下半部分圆柱的体积；（2）如图，设E 为圆柱底面半圆弧CD 的上的点，求圆柱母线EF 和圆锥母线PR 所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求．20．如图，四边形ABCD 是矩形，平面．点F 为线段BE 的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求AC 和平面ABE 所成角的正弦值．21．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，已知是等边三角形．（1）求证：；（2）求二面角；（3）若点E 是线段AD 上的动点，问：点E 在何处时，真线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出最大角，并说明点E 此时所在的位置．参考答案一、填空题2,1,AD DC AB ==⊥,,1BCE BE EC EC ⊥=CE ⊥ABE DE ∥ACF 60,BAD PDB ∠=︒△AC PD ⊥P BC A --1．1； 2．4； 3．既非充分也非必要； 4．①②④； 5．2026； 6； 7．；8．4或9．； 10．； 111211．【解析】如图将下方几何体沿．展开，如图所示，由平面与圆柱侧面展开图中对应的函数表达式为周期，即圆柱底面圆的周长为面圆的半径，底面圆的直径，又由函数表达式为，可得，在中，．．12．【解析】设线段的中垂面为，则的轨迹在平面内，在平面内分别作直线的投影，则两直线的夹角为，设在平面的投影为，设在平面内的投影为，则为的中点，所以，12⎛⎝14-BF 1.5y x=+∴12122πT B B F F ===2π,∴1r =∴2EF AB == 1.5y x =+(1.5 1.5AC =+--=ABC ∠Rt ABC △2,sin AC AC AB BC ABC BC ==∴=∴∠===AB αM αα,a b ,a b ''60︒,A B αO ,P Q α,P Q ''M P Q '',OP PA OQ BQ =''=因为，所以，在直线上分别取点四点，使得，因为，所以，过作交于，则，所以的中点在上，同理可得在上，所以的轨迹是矩形，因为，所以．二、选择题13．D 14．D 15．D 16．C 15．【答案】D【解析】如图，四面体中，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，点是的终点，设，则设平面的法向量，则，取，得，直线AB 与平面，2PA QB +=2OP OQ +'=',a b '',,,E F G H 1212OE OF OG OH ====⨯=2OE OH OP OQ '+'+==P E HQ '='P 'P E EH '∥OQ 'R HR P E HQ '=='P Q ''M EH M ,,EF FG GH M EHGH 160,212EOH OE OF OG OH ∠=︒====⨯=1111sin 60211sin120222EFGH S =⨯⨯⨯︒⨯+⨯⨯⨯︒⨯=ABCD ,,AB BC BD B BC x BD y BA z 2BC BD ==E CD BA t =()()()()()0,0,,0,0,0,2,0,00,2,0,0,0,A t B C D AB t =-()()2,0,,2,2,0CA t CD =-=- ACD (),,n x y z =20220n CA x tz n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x =21,1,n t ⎫⎛= ⎪⎝⎭ ACD直线与平面所成角的正弦值为，，解得，（，舍），平面的法向量点到平面的距离为：．故选：D ．16．【答案】C【解析】符合条件的点有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有．故选：C ．三．解答题17．（1（2）18．（1）证明略 （2）证明略19．（1）15． （2）满足20．【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3【解析】（1）证明：如图，由平面，可得，又由，而平面平面，故平面；（2）证明：连结交于，连结，由点为线段的中点，可得，而平面平面，故平面；（3）由（1）知，平面即为和平面所成的角．由已知，，在直角三角形中，可得∴AB ACD 1313AB n AR n ⋅∴==⋅ 4t =4t =-∴ACD ()11,1,,0,0,42n AB ⎫⎛==- ⎪⎝⎭∴B ACD 43AB n d n ⋅=== P M P 4610+=3k =-125πAB ⊥BCE AB CE ⊥BE EC ⊥,AB BE B AB =⊂ ,ABE BE ⊂ABE CE ⊥ABE BD AC M FM F BE FM DE ∥FM ⊂,ACF DE ⊄ACF DE ∥ACF CE ⊥,ABE CAE ∠AC ABE 1AC CE ==ACE sin CE CAE AC ∠==即和平面．21．【答案】（1）见解析 （2） （3）当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角为．【解析】（1）证明：因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面，又平面，所以，因为四边形为菱形，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以．（2）过作于，连接，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，由题意知，是边长为2的等边三角形，所以，由，知，在中，，即，所以二面角的大小为．（3）因为，且平面平面，所以平面，所以到平面的距离即为到平面的距离，因为，所以，即，所以，即到平面的距离为，设直线与平面所成的角为，则AC ABE arctan2E AD D 14PE PBC 4arcsin 5P ABCD AC BD O PO ⊥ABCD AC ⊂ABCD PO AC ⊥ABCD BD AC ⊥,,PO BD O PO BD =⊂ PBD AC ⊥PBD PD ⊂PBD AC PD ⊥P PH BC ⊥H OH OP ⊥ABCD OH BC ⊥PHO ∠P BC A --PBD △PO =1122OBC S OC OB OH BC =⋅=⋅△OC OB OH BC ⋅===Rt POH △tan 2POPHO OH∠==arctan2PHO ∠=P BC A --arctan2AD BC ∥AD ⊄,PBC BC ⊂PBC AD ∥PBC E PBC D PBC h D PBC P BCD V V --=11,33PBC BCD h S OP S ⋅=⋅△△sin60h PH BC OP BC BD ⋅⋅=⋅⋅︒h ===E PBC h =PE PBC θsin h PE θ==要使最大，则需使最小，此时，由对称性知，所以，即，故当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角为．θPE PE AD ⊥PE PH ==114,sin 245DE AD θ======4arcsin 5θ=E AD D 14PE PBC 4arcsin5。