2012年高考真题——文科数学(北京卷)解析版(2)

2012年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合B，然后直接求解A∩B．解答：解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故选：D．点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．2．（5分）（2012•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，3）B．（3，1）C．（﹣1，3）D．（3，﹣1）考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：由==1+3i，能求出在复平面内，复数对应的点的坐标．解答：解：∵===1+3i，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（1，3），故选A．点评：本题考查复数的代数形式的乘积运算，是基础题．解题时要认真审题，注意复数的几何意义的求法．3．（5分）（2012•北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．专题：概率与统计．分析：本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．解答：解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4﹣π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选：D．点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．4．（5分）（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．4C．8D．16考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．5．（5分）（2012•北京）函数f（x）=的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点解答：解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）∵y=在定义域上为增函数，y=﹣在定义域上为增函数∴函数f（x）=在定义域上为增函数而f（0）=﹣1＜0，f（1）=＞0故函数f（x）=的零点个数为1个故选B点评：本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题6．（5分）（2012•北京）已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1=a3，则a1=a2D．若a3＞a1，则a4＞a2考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论．解答：解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；，∴，故B正确；若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确故选B．点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．7．（5分）（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．8．（5分）（2012•北京）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5B．7C．9D．11考点：函数的图象与图象变化；函数的表示方法．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．解答：解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选C点评：本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2012•北京）直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．解答：解：圆x2+（y﹣2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2∵圆心到直线y=x的距离为∴直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2=故答案为：点评：本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长．10．（5分）（2012•北京）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2= 1，S n=．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的前n项和．解答：解：根据{a n}为等差数列，S2=a1+a2=a3=+a2；∴d=a3﹣a2=∴a2=+=1S n==故答案为：1，点评：本题主要考查了等差数列的前n项和，以及等差数列的通项公式，属于容易题．11．（5分）（2012•北京）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理=，可求得∠B，从而可得∠C的大小．解答：解：∵△ABC中，a=3，b=，，∴由正弦定理=得：=，∴sin∠B=．又b＜a，∴∠B＜∠A=．∴∠B=．∴∠C=π﹣﹣=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理，求得∠B是关键，易错点在于忽视“△中大变对大角，小边对小角”结论的应用，属于基础题．12．（5分）（2012•北京）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg（ab）．由此能求出结果．解答：解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=lg（ab）2=2lg（ab）=2．故答案为：2．点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量转化，求出数量积即可．解答：解：因为====1．故答案为：1点评：本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．14．（5分）（2012•北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2．若∀x∈R，f （x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是（﹣4，0）．考点：复合命题的真假；全称命题．专题：简易逻辑．分析：由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x ＞1时成立，根据二次函数的性质可求解答：解：∵g（x）=2x﹣2，当x≥1时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴此时f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0故答案为：（﹣4，0）点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由sinx≠0可得x≠kπ（k∈Z），将f（x）化为f（x）=sin（2x﹣）﹣1即可求其最小正周期；（2）由（1）得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，再由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）即可求f（x）的单调递减区间．解答：解：（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵f（x）==2cosx（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1∴f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）得kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z）∴f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性，注重辅助角公式的考察应用，求得f（x=sin（2x﹣）﹣1是关键，属于中档题．16．（14分）（2012•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE∥平面A1CB；（2）由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；（3）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．解答：解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．17．（13分）（2012•北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）； “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100可回收物 30 240 30其他垃圾 20 20 60（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ＞0，a+b+c=600．当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明），并求此时s 2的值．（求：S 2=[++…+]，其中为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数）考点：模拟方法估计概率；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析： （1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率； （2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得=，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000．解答： 解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为；（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a ，b ，c 的平均数为200 ∴=，∵（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ≥a 2+b 2+c 2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000． 点评：本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题．18．（13分）（2012•北京）已知函数f （x ）=ax 2+1（a ＞0），g （x ）=x 3+bx ．（1）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28；﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．解答：解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1则h′（x）=3x2+6x﹣9，令h'（x）=0，解得：x1=﹣3，x2=1；∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．19．（14分）（2012•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．20．（13分）（2012•北京）设A是如下形式的2行3列的数表，a b cd e f满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[﹣1，1]，且a+b+c+d+e+f=0．记r i（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），C j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值．（1）对如下数表A，求k（A）的值1 1 ﹣0.80.1 ﹣0.3 ﹣1（2）设数表A形如1 1 ﹣1﹣2dd d ﹣1其中﹣1≤d≤0．求k（A）的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值．考点：进行简单的演绎推理．专题：推理和证明．分析：（1）根据r i（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），C j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可求出所求；（2）k（A）的定义可求出k（A）=1+d，然后根据d的取值范围可求出所求；（III）任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，然后利用不等式的性质可知3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A），从而求出k（A）的最大值．解答：解：（1）因为r1（A）=1.2，r2（A）=﹣1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=﹣1.8，所以k（A）=0.7（2）r1（A）=1﹣2d，r2（A）=﹣1+2d，c1（A）=c2（A）=1+d，c3（A）=﹣2﹣2d 因为﹣1≤d≤0，所以|r1（A）|=|r2（A）|≥1+d≥0，|c3（A）|≥1+d≥0所以k（A）=1+d≤1当d=0时，k（A）取得最大值1（III）任给满足性质P的数表A（如下所示）a b cd e f任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，由k（A）的定义知，k（A）≤r1（A），k（A）≤c1（A），k（A）≤c2（A），从而3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A）=（a+b+c）+（a+d）+（b+e）=（a+b+c+d+e+f）+（a+b﹣f）=a+b﹣f≤3所以k（A）≤1由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k（A）=1，故k（A）的最大值为1．点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，同时分析问题的能力以及不等式性质的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．。

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数学(文）(北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x ∈R|3x+2＞0} B=｛x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1)B （-1，-23）C (—23,3）D （3,+∞)2 在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为A (1 ，3）B (3,1) C(—1，3） D (3 ，—1）（3）设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）4π （B ）22π- （C ）6π(D ）44π-（4）执行如图所示的程序框图，输出S 值为 （A ）2 （B)4 (C ）8 (D ）16（5)函数f（x）＝x121x2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（A）0 （B）1（C）2 （D）3（6）已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若a1=a3,则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2（7）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（A)28+5B)30+65C)56+5）60+5（8）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A)5（B）7（C）9(D)11第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

20XX 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}320A x x =∈+>R ，()(){}130B x x x =∈+->R ，则A B =（ ）.A.(),1-∞-B.21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.()3,+∞ 2.在复平面内，复数10i3i+对应的点的坐标为（）. A.()1,3B.()3,1C.()1,3- D.()3,1- 3. 设不等式组0202x y⎧⎨⎩剟剟，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）. A.π4B.π22- C.π6D.4π4- 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）.A.2B.4C.8D.165. 函数121()2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（）.A.0B.1C.2D.36. 已知{}n a 为等比数列. 下面结论中正确的是（）.A.1322a a a +…B.2221322a a a +…C.若13a a =，则12a a =D.若31a a >，则42a a > 7. 某三棱锥的三视图如图所所示，该三棱锥的表面积是（）.A.28+30+C.56+60+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（）.A.5B.7C.9D.11第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.09.直线y x =被圆()2224x y +-=截得的弦长为. 10. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则2a =； n S =.11.在△ABC 中，若3a =，b =π3A ∠=，则C ∠的大小为. 12.已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则()()22f a f b +=.13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为；DE DC ⋅的最大值为.14.已知()()()23f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <，则m的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题共13分）已知函数()sin cos sin 2()sin x x x f x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间.16.（本小题共14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点. 将△ADE 沿DE折起到△1A DE 的位置，使1A F CD ⊥. 如图2. （1）求证：DE ∥平面1A CB ； （2）求证：1A F BE ⊥；（3）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ17.（本小题共13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物与其他垃圾 三类分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类 （1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率； （3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中0a >，600a b c ++=，当数据a ，b ，c 的方差2s 最大时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明）. 并求此时2s 的值.（求：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦， 其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均数）.18.（本小题共13分）已知函数()2()10f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当3a =，9b =-时，求函数()()f x g x +在区间[],2k 上的最大值为28.求k 的取值范围.19.（本小题共14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()2,0A ，离心率为. 直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N .（1）求椭圆C 的方程； （2）当△AMN的面积为3时，求k 的值. .20.（本小题共13分）设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f []1,1∈-，且0a b c d e f +++++=.记()i r A 为A 的第i 行各数之和（1,2i =），()j c A 为A 的第j 列各数之和（1,2,3j =）；记()k A 为1()r A ，2()r A ，1()c A ，2()c A ，3()c A 中的最小值.（1）对如下数表A ，求()k A 的值；（2）设数表形如其中10d -剟. 求()k A 的最大值；（3）对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求()k A 的最大值.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试北京文科1.已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x ﹣3)>0}，则A ∩B ＝( ). A.(﹣∞，﹣1)B.21,-3⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.(3，＋∞)D 由题意得，A ＝2|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，B ＝{x |x <﹣1或x >3}，所以A ∩B ＝(3，＋∞).2.在复平面内，复数10i 3i+对应的点的坐标为( ).A.(1，3)B.(3，1)C.(﹣1，3)D.(3，﹣1)A ∵10i 3i +＝10i(3i)(3i)(3i)-+-＝1030i 10+＝1＋3i ，∴10i 3i+对应的点的坐标为(1，3).3.设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ).A.π4B.π22-C.π6D.4π4-D 由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A ，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A 的是阴影部分区域μA ，故由几何概型的概率公式得P (A )＝22212π242-⨯⨯＝4π4-. 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ).A.2B.4C.8D.16C 初始：k ＝0，S ＝1，第一次循环：由0<3，得S ＝1×20＝1，k ＝1;第二次循环：由1<3得，S ＝1×21＝2，k ＝2; 第三次循环：由2<3得，S ＝2×22＝8，k ＝3. 经判断此时要跳出循环.因此输出的S 值为8. 5.函数f (x )＝12x ﹣12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数为( ).A.0B.1C.2D.3B 函数f (x )＝12x ﹣12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数即为方程12x ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的根的个数，因此可以利用数形结合，在同一坐标系内画出函数y ＝12x 和函数y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，两图象的交点个数即为f (x )＝12x ﹣12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点个数，如图所示，其零点个数为1.6.已知{a n }为等比数列.下面结论中正确的是( ). A.a 1＋a 3≥2a 2B.21a ＋23a ≥222aC.若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D.若a 3>a 1，则a 4>a 2B A 中当a 1，a 3为负数，a 2为正数时，a 1＋a 3≥2a 2不成立;B 中根据等比数列的性质及均值不等式得，21a＋23a ≥222a ;C 中取a 1＝a 3＝1，a 2＝﹣1，显然a 1≠a 2;D 中取a 1＝1，a 2＝﹣2，a 3＝4，a 4＝﹣8，可知a 4>a 2不一定成立.综上可知仅有B 正确.7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ).A.28＋B.30＋C.56＋D.60＋B 根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为：此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S ＝12×(2＋3)×4＋12×4×5＋12×4×(2＋3)＋1230＋8.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( ).A.5B.7C.9D.11C 结合S n 与n 的关系图象可知，前2年产量均为0，显然22S ＝0为最小，在第3年~第9年期间，S n 的增长呈现持续稳定性.但在第9年之后，S n 的增长骤然降低，因为当n ＝9时，99S 的值为最大，故m 的值为9.9.直线y ＝x 被圆x 2＋(y ﹣2)2＝4截得的弦长为__________.由题意得，圆x 2＋(y ﹣2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，圆心到直线x ﹣y ＝0的距离d.设截得的弦长为l ，则由22l ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2＝22，得l ＝10.已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝__________，S n ＝__________.1 14(n 2＋n ) 由a 1＝12，S 2＝a 3得，a 1＋a 2＝a 3，即a 3﹣a 2＝12，∴{a n }是一个以a 1＝12为首项，以12为公差的等差数列.∴a n ＝12＋(n ﹣1)×12＝12n ，∴a 2＝1，S n ＝11n 222n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝14n 2＋14n ＝14(n 2＋n ).11.在△ABC 中，若a ＝3，bA ＝π3，则∠C 的大小为__________.π2 由正弦定理得，sin a A ∠＝sin b B ∠sin ∠B ＝12， ∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°﹣60°﹣30°＝90°.12.已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________.2 由已知可得，lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2.13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为__________;DE ·DC 的最大值为__________.1 1 DE ·CB ＝(DA ＋AE )·CB＝(CB ＋AE )·CB ＝|CB |2＋AE ·CB ， ∵AE CB ⊥， ∴AE ·CB ＝0.∴DE ·CB ＝12＋0＝1.DE ·DC ＝(DA ＋AE )·DC＝DA ·DC ＋AE ·DC ＝λ|DC |2(0≤λ≤1)， ∴DE ·DC 的最大值为1.14.已知f (x )＝m (x ﹣2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x ﹣2.若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是__________. (﹣4，0) 由题意可知，m ≥0时不能保证对∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0成立.(1)当m ＝﹣1时，f (x )＝﹣(x ＋2)2，g (x )＝2x ﹣2，画出图象①，显然满足条件;(2)当﹣1<m <0时，2m >﹣(m ＋3)，要使其满足条件，则需10,21,m m -<<⎧⎨<⎩解得﹣1<m <0，如图②; (3)当m <﹣1时，﹣(m ＋3)>2m ，要使其满足条件，则需1,-(3)1,m m <-⎧⎨+<⎩解得﹣4<m <﹣1，如图②.图① 图②综上可知，m 的取值范围为(﹣4，0). 15.已知函数f (x )＝(sin cos )sin2sin x x x x-.(1)求f (x )的定义域及最小正周期; (2)求f (x )的单调递减区间.解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z)，故f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠k π，k ∈Z}.因为f (x )＝(sin cos )sin2sin x x x x-＝2cos x (sin x ﹣cos x ) ＝sin2x ﹣cos2x ﹣1π24x⎛⎫-⎪⎝⎭﹣1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sin x的单调递减区间为π3π2π,2kπ22k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k∈Z).由2kπ＋π2≤2x﹣π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z).所以f(x)的单调递减区间为3π7ππ,kπ88k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k∈Z).16.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点.将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB;(2)求证：A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ?说明理由.图1图2解：(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.17.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值.(注：s2＝1n[(x1﹣x)2＋(x2﹣x)2＋…＋(x n﹣x)2]，其中x为数据x1，x2，…，x n的平均数)解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“”厨余垃圾箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400100100++＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确.事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为400240601?000++＝0.7，所以P(A)约为1﹣0.7＝0.3.(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值.因为x＝13(a＋b＋c)＝200，所以s2＝13×[(600﹣200)2＋(0﹣200)2＋(0﹣200)2]＝80000.18.已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值;(2)当a＝3，b＝﹣9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围.解：(1)f'(x)＝2ax，g'(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f'(1)＝g'(1).即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝﹣9时，h(x)＝x3＋3x2﹣9x＋1，h'(x)＝3x2＋6x﹣9.令h'(x)＝0，得x1＝﹣3，x2＝1.h(x)与h'(x)在(﹣∞，2]由此可知：当k≤﹣3时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值为h(﹣3)＝28;当﹣3<k <2时，函数h (x )在区间[k ，2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(﹣∞，﹣3].19.已知椭圆C ：22x a＋22y b ＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)直线y ＝k (x ﹣1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程;(2)当△AMN时，求k 的值.解：(1)由题意得2222,,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b所以椭圆C 的方程为24x ＋22y ＝1. (2)由22(1),1,42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得(1＋2k 2)x 2﹣4k 2x ＋2k 2﹣4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1﹣1)，y 2＝k (x 2﹣1)，x 1＋x 2＝22412k k+，x 1x 2＝222412k k -+. 所以|MN |又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x ﹣1)的距离d所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d，解得k ＝±1. 20.设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f ∈[﹣1，1]，且a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f ＝0.记r i (A )为A 的第i 行各数之和(i ＝1，2)，c j (A )为A 的第j 列各数之和(j ＝1，2，3);记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，|c 3(A )|中的最小值. (1)对如下数表A ，求k (A)的值;(2)设数表A 形如其中﹣1≤d≤0.求k(A)的最大值;(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值.解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝﹣1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝﹣1.8，所以k(A)＝0.7.(2)r1(A)＝1﹣2d，r2(A)＝﹣1＋2d，c1(A)＝c2(A)＝1＋d，c3(A)＝﹣2﹣2d.因为﹣1≤d≤0，所以|r1(A)|＝|r2(A)|≥1＋d≥0，|c3(A)|≥1＋d≥0.所以k(A)＝1＋d≤1.当d＝0时，k(A)取得最大值1.(3)任给满足性质P的数表A(如下所示).任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k(A)＝k(A*).因此，不妨设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0.由k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤c1(A)，k(A)≤c2(A).从而3k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)＝(a＋b＋c)＋(a＋d)＋(b＋e)＝(a＋b＋c＋d＋e＋f)＋(a＋b﹣f)＝a＋b ﹣f≤3.所以k(A)≤1.由(2)知，存在满足性质P的数表A使k(A)＝1.故k(A)的最大值为1.。

2012年北京高考数学（文）逐题详解2012年的北京数学高考是高中新课改后的第三次高考，试卷延续了近几年高考数学命题的风格，题干大气，内容丰富，难度客观讲适中，和以往一样，其中8,14,20三个题技巧性较高，侧重考查学生的数学思维和探索精神。

一、试题体现数学的人文教育功能拿到试卷的第一感觉是亲切，大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法,考查数学传统的主干知识，较好把握了传统知识的继承点和新增知识的起步点，但是有几个试题还是非常具有心意，难度不小，重点考察能力，给笔者留下了较深的印象：例如选择第3题，在不等式背景下考查了一个概率问题，还是非常具有综合性的。

选择第7题，常见的三视图问题，但是计算几何体的表面积，对空间想象力要求还是很高的。

填空题第13小题，难度虽然不大，但是综合性以及对于函数思想的要求都很高。

第16题，立体几何考查了一个折纸的问题，难度虽然不大，但是形式还是比较有亮点的，第三问又设计为探索型问题，体现了能力立意的考试要求，要求学生有较好的空间想象力和逻辑推理能力才能顺利解答. 再比如17题以生活背景为模型考查了一个概率统计的知识，题目难度仍然不大，但是第三问非常有创新思维的让学生大胆猜想方差最大的情况，还是非常考查能力的，另外，从生活的角度命题，让学生体验数学的建模思想和应用价值，激发学生学习数学的兴趣，拓展视野，开展研究性学习，实现数学的人文教育功能。

二、试题解析（一）、选择题：【解析】第（1）题和往年一样，依然是集合（交集）运算，本次考察的是一次和二次不等式的解法。

因为，利用二次不等式的解法可得，画出数轴图易得：，答案：D【解析】第（2）题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为，答案：A【解析】第（3）题是一道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式，概率。

题目中表示的区域如右图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方型面积减去四分之一圆的面积部分，因此，答案：D【解析】第（4）题考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算。

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第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 2 在复平面内，复数103i i +对应的点的坐标为 A (1 ,3) B (3,1) C(-1,3) D (3 ,-1)（3）设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- （4）执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2（B ）4（C ）8（D ）16(5)函数f（x）＝x121x2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（A）0 （B）1（C）2 （D）3（6）已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+B）30+C）56+D）60+（8）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为。

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考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 2 在复平面内，复数103i i +对应的点的坐标为 A (1 ,3) B (3,1) C(-1,3) D (3 ,-1)（3）设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- （4）执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2（B ）4（C ）8（D ）16(5)函数f（x）＝x121x2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（A）0 （B）1（C）2 （D）3（6）已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+B）30+C）56+D）60+（8）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）直线y=x被圆x2+（y-2）2=4截得弦长为__________。

（10）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1= ，S2=a3，则a2=____________，S n=_________________。

（11）在△ABC中，若a=3，b=，，则的大小为_________。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A ．（-∞，-1） B ．（-1，-23） C ．（-23,3） D ． (3,+∞)【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ． 【答案】D2．在复平面内，复数103i i+对应的点的坐标为A ． (1 ,3)B ．(3,1)C ．(-1,3)D ．(3 ,-1)【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

i i ii i i i i i ii 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ． 【答案】A3．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

【答案】D4．执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

【答案】C5．函数x x x f )21()(21-=的零点个数为（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3【解析】x x x f )21()(21-=的零点，即令0)(=x f ，根据此题可得xx )21(21=，在平面直角坐标系中分别画出幂函数21x 和指数函数x)21(的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B 。

2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （文）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( )（A ）(,1)-∞-（B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞ 2.在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（ ） （A ） （1,3） （B ） （3,1） （C ）(1,3-） （D ）31-（，）3.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） （A ）4π（B ）22π-（C ）6π（D ）44π-4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）2（B ）4（C ）8（D ）165.函数121()()2xf x x =-的零点个数为（ ） （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 6.已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ）（A ）1322a a a +≥（B ）2221322a a a +≥（C ）若13a a =，则12a a =（D ）若31a a >，则42a a > 7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） （A ）2865+（B ）3065+ （C ）56125+（D ）60125+8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ） A ）5 （B ）（C ） 9 （D ）11第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为.{}n a 为等差数列，n S 为其前n 112a =，23S a =，则2a =；n S =. k=0,S=1k <3 开始 结束是否 k=k+1 输出S S=S ·2k（第4题图）△ABC 中，若3a =，3b =，3A π∠=，则C ∠的大小为.12.已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b +=. 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为.14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <，则m 的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间.16. （本小题14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D,E 分别是AC ，AB 上的中点，点F 为线段CD 上的一点.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2. （1）求证：DE ∥平面A 1CB; （2）求证：A 1F ⊥BE;（3）线段A 1B 上是否存在点Q,使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由. 17.（本小题13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值.（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,n x x x 的平均数）18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值；（2）当3,9a b ==-时，求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围. 19.（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当△AMN k 的值. 20.（本小题13分）设A 是如下形式的2行3列的数表，满足：性质P ：,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-，且0++++=a b c d e f +.记()i r A 为A 的第i 行各数之和1,2=i （），()j c A 为A 的第j 列各数之和1,2,3=j （）； 记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，3|()|c A 中的最小值. （1）对如下数表A,求()k A 的值；（2）设数表A 形如其中0-1d ≤≤.求()k A 的最大值；（3）对所以满足性质P 的2行3列的数表A,求()k A 的最大值.李国波录入参考答案1、D2、A3、D4、C5、B6、B7、B8、C9、;10、1，1(1)4n n +；11、2π；12、2； 13、1,1；14、(4,0)-； 15、解：（1）由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈，故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈. 因为(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos21x x --)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==.（2）函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈.由3222,()242k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈得37,()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以()f x 的单调递减区间为37[],()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈.16、解：（1）因为D,E 分别为AC,AB 的中点，所以DE ∥⊄平面A 1CB,所以DE ∥平面A 1CB.（2）由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC,所以DE ⊥AC.所以DE ⊥A 1D,DE ⊥⊥平面A 11F ⊂平面A 1DC, 所以DE ⊥A 1F.又因为A 1F ⊥CD,所以A 1F ⊥1F ⊥BE（3）线段A 1B 上存在点Q,使A 1C ⊥平面DEQ.理由如下：如图， 分别取A 1C,A 1B 的中点P,Q,则PQ ∥BC.又因为DE ∥BC,所以DE ∥PQ.所以平面DEQ 即为平面DEP. 由（2）知DE ⊥平面A 1DC,所以DE ⊥A 1C.又因为P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，所以A 1C ⊥DP,所以A 1C ⊥平面DEP,从而A 1C ⊥平面DEQ. 故线段A 1B 上存在点Q,使得A 1C ⊥平面DEQ. 17、（1）厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量=23=++400400100100（2）设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A 表示生活垃圾投放正确。

数学试卷 第1页（共8页） 数学试卷 第2页（共8页）绝密★启用前江苏省苏州市2012年中考数学试卷数 学本试卷满分130分,考试时间120分钟.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的) 1.2的相反数是( )A .2-B .2C .12-D .122.,则x 的取值范围是 ( )A .2＜xB .2≤xC .2＞xD .2≥x3.一组数据2,4,5,5,6的众数是( )A .2B .4C .5D .74.如图,一个正六边形转盘被分成6个全等正三角形,任意转动这个转盘1次,当转盘停止时,指针指向阴影区域的概率是( )A .12B .13C .14D .165.如图,已知BD 是O 直径,点A ,C 在O 上,=AB BC ,60∠=AOB ,则∠BDC 的度数是( )A .20B .25C .30D .406.如图,矩形ABCD 的对角线AC ,BD ,相交于点O ,CE BD ∥,DE AC ∥若4=AC ,则四边形C O D E 的周长是 ( ) A .4 B .7 C .8D .107.若点(,)m n 在函数21=+y x 的图像上,则2-m n 的值是( )A .2B .-2C .1D .-1 8.若2139273⨯⨯=m m ,则m 的值是( )A .3B .4C .5D .79.如图,将AOB △绕点O 按逆时针方向旋转45后得到△''A OB ,若15∠=AOB ,则∠'AOB 的度数是 ( )A .25B .30C .35D .4010.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示),点1B 在y 轴上,点1C ,1E ,2E ,2C ,3E ,4E ,3C 在x 轴上.若正方形1111A B C D 的边长为1,1160∠=B C O ,112233∥∥B C B C B C ,则点3A 到x 轴的距离是( )A.318B.118C.36D.16二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.) 11.计算：32= .12.若2=a ,3+=a b ,则2+=a ab .13.已知太阳的半径约为696000000m ,696000000这个数用科学记数法可表示为 .14.已知扇形的圆心角为45,弧长等于π2,则该扇形的半径为 . 15.某初中学校共有学生720人,该校有关部门从全体学生中随机抽取了50人对其到校方式进行调查,并将调查结果制成了如图所示的条形统计图,由此可以估计全校坐公交车到校的学生有 人.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共8页） 数学试卷 第4页（共8页）16.已知点11()，A x y ,22()，B x y 在二次函数21()1y x =+-的图像上,若121＞＞x x ,则1y 2y (填“＞”“＜”“=”).17.如图,已知第一象限内的图像象是反比例函数1=y x 图像的一个分支,第二象限内的图像是反比例函数2=-y x图像的一个分支,在x 轴上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A ,B ,过点A ,B 作x 轴的垂线,垂足分别为C ,D .若四边形ACBD 的周长为8且＜AB AC ,则点A 的坐标是 .18.如图①,在梯形ABCD 中,∥AD BC ,60∠=A ,动点P 从点A 点出发,以1cm/s 的速度沿着→→→A B C D 的方向不停移动,直到点P 到达点D 后才停止.已知△PAD 的面积S (单位：2cm )与点P 移动的时间t (单位：s )的函数如图②所示,则点P 从开始移动到停止移动一共用了 s (结果保留根号).三、解答题(本大题共11小题,共76分.解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明) 19.(本题满5分)计算：01)|2|-+-.20.(本题满分5分)解不等式组：322,813(1).＜≥-+⎧⎨--⎩-x x x x.21.(本题满分5分)先化简,再求值：222441112a a aa a a -+++---,其中1a .22.(本题满分6分)解分式方程：231422+=++x x x x.23.(本题满分6分)如图,在梯形ABCD 中,已知AD BC ∥,AB CD =,延长线段CB 到E ,使=BE AD ,连接AE ,AC . (1)求证：ABE CDA ≌△△； (2)若40∠=DAC,求∠EAC 的度数.数学试卷 第5页（共8页） 数学试卷 第6页（共8页）24.(本题满分6分)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家,有关数据显示,中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15,中、美两国人均淡水资源占有量之和为313800m ,问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：3m )？25.(本题满分8分)在33⨯的方格纸中,点A ,B ,C ,D ,E ,F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上.(1)从A ,D ,E ,F 四个点中任意取一点,以所取的这一点及B ,C 为顶点画三角形,则所画三角形是等腰三角形的概率是 ；(2)从A ,D ,E ,F 四个点中先后任意取两个不同的点,以所取的这两点及B ,C 为顶点画四边形,求所画四边形是平行四边形的概率(用画树状图或列表法求解).26.(本题满分8分)如图,已知斜坡AB 长60m ,坡角(即∠BAC )为30,⊥BC AC ,现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE (请将下面2小题的结果都精确到0.1米,参考数据：1.732≈).(1)若修建的斜坡BE 的坡角(即∠BEF )不大于45,则平台DE 的长最多为 m ；(2)一座建筑物GH 距离坡角A 点27m (即27m =AG )远,小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM )为30.点B ,C ,A ,G ,H 在同一个平面内,点C ,A ,G 在同一条直线上,且⊥HG CG ,问建筑物GH 高为多少米？27.(本题满分8分)如图,已知半径为2的O 与直线l 相切于点A ,点P 是直径AB 左侧半圆上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为C ,PC 与O 交于点D ,连接PA PB ,,设PC 的长为4(2)＜＜x x . (1)当52=x 时,求弦PA ,PB 的长度； (2)当x 为何值时,PD CD 的值最大？最大值是多少？-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共8页） 数学试卷 第8页（共8页）28.(本题满分9分)如图,正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合,将正方形ABCD 以1cm/s 的速度沿FG 方向移动,移动开始前点A 与点F 重合.在移动过程中,边AD 始终与边FG 重合,连接CG ,过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ,连接PD .已知正方形ABCD 的边长为1cm ,矩形EFGH 的边FG ,GH 的长分别为4cm ,3cm .设正方形移动时间为(s)x ,线段GP 的长为(cm)y ,其中0 2.5≤≤x .(1)试求出y 关于x 的函数关系式,并求出3=y 时相应x 的值；(2)记DGP △的面积为1S ,△CDG 的面积为2S ,试说明12()-S S 是常数； (3)当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时,求线段PD 的长.29.(本小题满分10分)如图,已知抛物线2(11144)4=-++by x b x (b 是实数且2＞b )与x 轴的正半轴分别交于点A ,B (点A 位于点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C . (1)点B 的坐标为是 ,点C 的坐标为是 (用含b 的代数式表示)； (2)请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在,求出点P 的坐标；如果不存在,请说明理由；(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得QCO △,QOA △和QAB △中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)？如果存在,求出点Q 的坐标；如果不存在,请说明理由.。