第3讲数学归纳法

《数学归纳法》课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第五单元《数学归纳法》。

本节课主要介绍了数学归纳法的概念、步骤以及应用。

具体内容包括：1. 数学归纳法的定义：给出一个关于自然数的命题，然后证明当n取任意一个自然数时，这个命题都成立。

2. 数学归纳法的步骤：(1) 验证当n=1时，命题是否成立；(2) 假设当n=k时，命题成立；(3) 证明当n=k+1时，命题也成立。

3. 数学归纳法的应用：通过具体例题，让学生学会如何运用数学归纳法证明命题。

二、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤。

2. 培养学生运用数学归纳法证明命题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

三、教学难点与重点重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。

难点：如何运用数学归纳法证明命题。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

学具：笔记本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生举例说明生活中遇到的可以运用数学归纳法解决的问题。

2. 讲解数学归纳法的概念和步骤：通过PPT展示数学归纳法的定义和步骤，并进行解释。

3. 例题讲解：选取一道具有代表性的例题，引导学生运用数学归纳法进行证明。

4. 随堂练习：让学生尝试运用数学归纳法证明一些简单的命题。

5. 板书设计：将数学归纳法的步骤和关键点进行板书，以便学生理解和记忆。

6. 作业设计：题目1：用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2。

答案：略。

题目2：用数学归纳法证明：对于任意自然数n，n^2+n+41是一个质数。

答案：略。

七、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对数学归纳法的理解和运用情况，以及教学过程中的不足之处。

2. 拓展延伸：引导学生思考如何将数学归纳法应用于解决更复杂的问题，以及数学归纳法在数学发展史上的应用。

重点和难点解析一、教学内容重点和难点解析：本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第五单元《数学归纳法》。

数学归纳法一、基本知识概要：1.数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1+=k n 的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.探究1．数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）2．数学归纳法公理：（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确； （2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。

推理与证明第3讲数学归纳法一、选择题（共6小题；共30分）1. 利用数学归纳法证明“”时，在验证成立时，左边应该是A. B. C. D.2. 用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，能被整除”，在第二步时，正确的证法是A. 假设，证明命题成立B. 假设（是正奇数），证明命题成立C. 假设，证明命题成立D. 假设（是正奇数），证明命题成立3. 用数学归纳法证明＋，则当时，左端应在的基础上加上A. B. C. D.4. 对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当时，，不等式成立．（2）假设当（且）时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立，则上述证法A. 过程全部正确B. 验得不正确C. 归纳假设不正确D. 从到的推理不正确5. 下列代数式（其中）能被整除的是A. B. C. D.6. 已知对一切都成立，则、、的值为A. ，B.C. ，D. 不存在这样的、、二、填空题（共4小题；共20分）7. 用数学归纳法证明不等式的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是．8. 用数学归纳法证明：；当推证当等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是．9. 已知整数对的序列如下：，，，，，，，，，，，，，则第个数对是．10. 在数列中，且，通过计算，，，猜想的表达式是．三、解答题（共4小题；共52分）11. 已知，求证：．12. 已知数列：，，，，与数列：，，，，．记．（1）若，求的值；（2）求证：．13. 设数列满足，，．（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式（不需证明）；（2）记为数列的前项和，试求使得成立的最小正整数，并给出证明．14. 数列满足，．（1）证明：是递减数列的充分必要条件是；（2）求的取值范围，使是递增数列．答案第一部分1. C 【解析】当时，左边．2. D3. C 【解析】因为当时，左侧，当时，左侧．4. D 【解析】在时，没有应用时的假设，故推理错误．5. D【解析】（）当时，显然只有能被整除；（）假设当时，命题成立，即能被整除，那么，这就是说，时命题也成立．由（）（）可知，命题对任何都成立．6. A 【解析】因为等式对一切均成立，所以，，时等式成立，即整理得解得，．用数学归纳法可以证明等式对一切均成立．第二部分7.【解析】不等式的左边增加的式子是，故填．8.【解析】当时，故只需证明即可．＋9.【解析】本题规律：；；；；；一个整数所拥有数对为对．，，所以第个数对为．10.【解析】当时，，即；当时，，即；当时，，即．所以，，，，故猜想．第三部分11. （）当时，，即时命题成立；（）假设当时命题成立，即，则当时，故当时，命题成立．由（）和（）可知，对，．不等式都成立．12. （1）因为，所以．（2）用数学归纳法证明：当时，．①当时，，故等式成立．②假设时等式成立，即，那么当时，等式也成立．根据①和②可以断定：当时，．13. （1），，，猜想．（2），使得成立的最小正整数．下证：时都有．①时，，即成立；②假设时，成立，那么，即时，不等式成立；由①，②可得，对于所有的都有成立．14. （1）先证充分性，若，由于，故是递减数列；再证必要性，若是递减数列，则由可得．（2）假设是递增数列．由，得，．由，得．由知，对任意都有注意到由式和式可得，即．由式和还可得，对任意都有反复运用式，得，和两式相加，知对任意成立．根据指数函数的性质，得，，故．若，要证数列为递增数列，即，即证对任意成立．下面用数学归纳法证明当时，对任意成立．（i）当时，，结论成立；（ii）假设当时，结论成立，即，因为函数在区间内单调递增，所以，这就是说当时，结论也成立．故对任意成立．因此，，即是递增数列．由知，使得数列单调递增的的范围是．。

数学归纳法教案含答案金锄头文库一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》的第三章“数学归纳法”。

具体内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。

详细内容如下：1. 数学归纳法的概念：介绍数学归纳法的基本思想和步骤。

2. 数学归纳法的原理：阐述数学归纳法的基本原理，包括基础步骤和归纳步骤。

3. 数学归纳法的应用：通过实例讲解数学归纳法在数学问题解决中的应用。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的基本步骤。

2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：数学归纳法的基本原理和证明方法。

2. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：教材、《数学归纳法学习指导》。

五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景（如：数列求和问题）引入数学归纳法的概念。

2. 新课导入：（1）介绍数学归纳法的概念和基本思想。

（2）讲解数学归纳法的基础步骤和归纳步骤。

3. 例题讲解：（1）讲解数学归纳法在数列求和中的应用。

（2）分析归纳假设在解题中的作用。

4. 随堂练习：（1）让学生独立完成数学归纳法的证明题。

（2）针对学生的解答进行点评，指出错误和不足。

六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念与步骤（2）数学归纳法的原理（3）数学归纳法的应用实例七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。

2. 答案：（1）证明：① 当n=1时，1=1(1+1)/2，等式成立。

② 假设当n=k时，1+2+3++k = k(k+1)/2，等式成立。

则当n=k+1时，1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2，等式也成立。

（2）证明：① 当n=1时，2^1 > 1，不等式成立。

23 数学归纳法课件一、教学内容本节课将深入探讨数学归纳法，该部分内容位于高中数学教材第三章第二节。

详细内容包括数学归纳法的定义、原理以及应用；重点讲解如何使用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念、原理及应用范围。

2. 学会运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。

3. 能够分析并解决实际问题，运用数学归纳法进行逻辑推理。

三、教学难点与重点难点：理解数学归纳法的原理，并能灵活运用。

重点：掌握数学归纳法的证明步骤，能够熟练运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。

四、教具与学具准备1. 教师准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学生准备：笔记本、教材、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）展示一个与自然数有关的实际问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立。

2. 例题讲解（15分钟）讲解数学归纳法的定义、原理以及应用。

通过讲解例题，让学生了解数学归纳法的证明步骤。

3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成一道与自然数有关的数学命题证明，巩固所学知识。

5. 答疑环节（5分钟）针对学生在练习中遇到的问题进行解答，巩固知识点。

6. 课堂小结（5分钟）对本节课所学内容进行回顾，强调数学归纳法的重要性。

七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：对于任意自然数n，下列等式成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6。

（2）证明：对于任意自然数n，下列等式成立：1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2。

2. 答案：（1）见教材P68。

（2）见教材P69。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，学生是否掌握了数学归纳法的证明步骤，能否独立完成课后作业？2. 拓展延伸：引导学生思考数学归纳法在解决实际问题中的应用，如：在计算机科学、数论等领域。

重点和难点解析1. 教学内容的数学归纳法证明步骤。

第3讲数学归纳法一、选择题1. 利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1，n∈N*)”时，在验证n＝1成立时，左边应该是( )A 1B 1＋aC 1＋a＋a2D 1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案 D3．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()．A.12k＋2B．－12k＋2C.12k＋1－12k＋2D.12k＋1＋12k＋2解析∵当n＝k时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，当n＝k＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2.答案 C4．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，故推理错误．答案 D5．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)解析 (1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．答案 D6．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()．A．a＝12，b＝c＝14B．a＝b＝c＝14C．a＝0，b＝c＝14D．不存在这样的a、b、c解析∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即⎩⎨⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，整理得⎩⎨⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14. 答案 A 二、填空题7．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)，故填1(2k ＋1)(2k ＋2).答案1(2k ＋1)(2k ＋2)8. 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) 故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)即可.答案k(k＋1)2(2k＋1)＋(k＋1)2(2k＋1)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)2(2k＋3)9．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴(n－1)n2＝60，∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．答案(5,7)10．在数列{a n}中，a1＝13且S n＝n(2n－1)a n，通过计算a2，a3，a4，猜想a n的表达式是________．解析当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝15a1＝115；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，即a3＝114(a1＋a2)＝135；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，即a4＝127(a1＋a2＋a3)＝163.∴a1＝13＝11×3，a2＝115＝13×5，a3＝135＝15×7，a4＝17×9，故猜想a n＝12n－12n＋1.答案a n＝12n－12n＋1三、解答题11．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝S 4＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立； (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k 2， 则当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12， 故当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，对n ≥2，n ∈N *.不等式S 2n >1＋n2都成立．12．已知数列{a n }：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝r ，a n ＋3＝a n ＋2(n ∈N *)，与数列{b n }：b 1＝1，b 2＝0，b 3＝－1，b 4＝0，b n ＋4＝b n (n ∈N *)．记T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n a n .(1)若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝64，求r 的值； (2)求证：T 12n ＝－4n (n ∈N *)．(1)解 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝1＋2＋r ＋3＋4＋(r ＋2)＋5＋6＋(r ＋4)＋7＋8＋(r ＋6)＝48＋4r . ∵48＋4r ＝64，∴r ＝4.(2)证明 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .①当n ＝1时，T 12＝a 1－a 3＋a 5－a 7＋a 9－a 11＝－4，故等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立，即T 12k ＝－4k ，那么当n ＝k ＋1时，T 12(k ＋1)＝T 12k ＋a 12k ＋1－a 12k ＋3＋a 12k ＋5－a 12k ＋7＋a 12k ＋9－a 12k ＋11＝－4k ＋(8k ＋1)－(8k ＋r )＋(8k ＋4)－(8k ＋5)＋(8k ＋r ＋4)－(8k ＋8)＝－4k －4＝－4(k ＋1)，等式也成立．根据①和②可以断定：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .13．设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2n －2na n ＋2，n ＝1,2,3，…(1)求a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式(不需证明)；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，试求使得S n <2n 成立的最小正整数n ，并给出证明．解(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想a n＝2n＋1.(2)S n＝n(3＋2n＋1)2＝n2＋2n，使得S n<2n成立的最小正整数n＝6.下证：n≥6(n∈N*)时都有2n>n2＋2n.①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)都有2n>n2＋2n成立．。