专题14概率问题易错点-名师揭秘2019年高考数学(文)命题热点全覆盖

2019年高考数学“概率与统计”专题复习(名师精选重点试题+实战真题演练+答案，建议下载保存) (总计65页，涵盖所有知识点，价值很高，可以达到事半功倍的复习效果，值得下载打印练习)1 随机事件的概率基础自测1.下列说法正确的是（ ）A.某事件发生的频率为P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 答案 B2.在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为n m ，当n 很大时，P(A)与n m的关系是 （ ）n mB. P(A)＜nm＞n mD. P(A)=nm答案3.给出下列三个命题，其中正确命题有 ( )①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是73；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 个B.1个C.2个D.3个答案4.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为 ， . 答案 0.97 0.035.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是21,乙获胜的概率是31，则乙不输的概率是 . 答案656.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P （A ）=21，P （B ） =61，则出现奇数点或2点的概率之和为答案32例1 盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ （2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解 （1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0. （2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是94. （3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1. 例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：（1）计算表中击中10环的各个频率；（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解 （1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906. （2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.例3 （12分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次（1）射中9环或10环的概率； （2）至少命中8环的概率； （3）命中不足8环的概率.解 记事件“射击一次，命中k 环”为A k （k ∈N ，k≤10），则事件A k 彼此互斥.2分（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得P （A ）=P （A 9）+P （A 10）=0.32+0.28=0.60.5分（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生.由互斥事件概率的加法公式得P （B ）=P （A 8）+P （A 9）+P （A 10） =0.18+0.28+0.32=0.78.9分（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即B 表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 P （）=1-P （B ）=1-0.78=0.22.12分1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件. （1）“3件都是二级品”是什么事件？ （2）“3件都是一级品”是什么事件？ （3）“至少有一件是一级品”是什么事件？解 （1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. （2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品. 2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：（1）计算表中乒乓球优等品的频率；（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位） 解 （1）依据公式p=nm，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.（2）由（1）知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950. 3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球. 求：（1）红或黑的概率； （2）红或黑或白的概率.解 方法一 记事件A 1：从12只球中任取1球得红球； A 2：从12只球中任取1球得黑球； A 3：从12只球中任取1球得白球； A 4：从12只球中任取1球得绿球，则 P （A 1）=125，P （A 2）=124，P （A 3）=122，P （A 4）=121. 根据题意，A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥， 由互斥事件概率加法公式得 （1）取出红球或黑球的概率为 P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=125+124=43. （2）取出红或黑或白球的概率为P （A 1+A 2+A 3）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3） =125+124+122=1211. 方法二 （1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A 1+A 2的对立事件为A 3+A 4， ∴取出红球或黑球的概率为P （A 1+A 2）=1-P （A 3+A 4）=1-P （A 3）-P （A 4） =1-122-121=129=43.（2）A 1+A 2+A 3的对立事件为A 4. P （A 1+A 2+A 3）=1-P （A 4）=1-121=1211.一、选择题1.已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（ ）合格产品少于9件 合格产品多于9件 合格产品正好是9件D.合格产品可能是9件答案2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（ ）至多有1次中靶 B.2次都中靶 次都不中靶D.只有1次中靶答案3.甲:A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么（ ）.甲是乙的充分条件但不是必要条件甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件答案4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）A.2165 B.21625C.21631D.21691答案 D5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是（ ）D.0.答案6.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为（ ）B.0.60答案 二、填空题7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为73，乙夺得冠军的概率为41，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 答案2819 8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 . 答案 50% 三、解答题9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率； （2）不够7环的概率.解 （1）设“射中10环”为事件A ，“射中9环”为事件B ，由于A ，B 互斥，则 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=0.21+0.23=0.44. （2）设“少于7环”为事件C ，则P （C ）=1-P （C ）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：求：（1）派出医生至多2人的概率； （2）派出医生至少2人的概率. 解 记事件A ：“不派出医生”， 事件B ：“派出1名医生”， 事件C ：“派出2名医生”， 事件D ：“派出3名医生”， 事件E ：“派出4名医生”， 事件F ：“派出不少于5名医生”. ∵事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥， 且P （A ）=0.1，P （B ）=0.16，P （C ）=0.3， P （D ）=0.2，P （E ）=0.2，P （F ）=0.04. （1）“派出医生至多2人”的概率为P （A+B+C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ） =0.1+0.16+0.3=0.56.（2）“派出医生至少2人”的概率为P （C+D+E+F ）=P （C ）+P （D ）+P （E ）+P （F ） =0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. 或1-P （A+B ）=1-0.1-0.16=0.74.11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P （A+B ）.解 方法一 因为A+B 的意义是事件A 发生或事件B 发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时，A+B 就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P （A+B ）=64=32. 方法二 记事件C 为“朝上一面的数为2”，则A+B=A+C ，且A 与C 互斥. 又因为P （C ）=61，P （A ）=21，所以P （A+B ）=P （A+C ）=P （A ）+P （C ）=21+61=32. 方法三 记事件D 为“朝上一面的数为4或6”，则事件D 发生时，事件A 和事件B 都不发生，即事件A+B 不发生.又事件A+B 发生即事件A 发生或事件B 发生时，事件D 不发生，所以事件A+B 与事件D 为对立事件.因为P （D ）=62=31， 所以P （A+B ）=1-P （D ）=1-31=32. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为41，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率是21，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ 解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D.由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+++21)()(125)()(1)()()(41D P C P C P B P D P C P B P 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===31)(61)(41)(D P C P B P . ∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是41，61，31. §2 古典概型1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ）A.21 B.31 C.32答案 C2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为（ ）A.31 B.41 C.21D.32答案 C3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A.43 B.65 C.61 D.31答案 B4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 ( )A.321 B.641 C.323D.643答案 D5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上” ；事件N ：“至少一次正面朝上” .则下列结果正确的是（ ）A.P(M)=31,P(N)=21B.P(M)=21,P(N)=21C.P(M)=31,P(N)=43D.P(M)=21,P(N)=43答案例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x ，y ）表示结果，其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：基础自测（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”； （3）事件“出现点数相等”.解 （1）这个试验的基本事件为： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3）， （3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）. （3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件： （1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙 两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9=90种，即基本事件总数是90.（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数： 甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4=24. ∴P （A ）=n m =9024=154. （2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 含基本事件数为4×3= ∴由古典概型概率公式，得P （B ）=9012=152, 由对立事件的性质可得 P （C ）=1-P （B ）=1-152=1513. 例3 （12分）同时抛掷两枚骰子.（1）求“点数之和为6”的概率； （2）求“至少有一个5点或6点”的概率. 解 同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：共有36个不同的结果.6分 （1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率p=365.9分（2）方法一 从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率p=3620=95. 12分方法二 至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率p=3616=94， 所以至少有一个5点或6点的概率为1-94=95. 12分1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. （1）共有多少个基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解 （1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5)，(3,4), (3,5),(4,5).因此，共有10个基本事件.（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A ）， 即（1，2），（1，3），（2，3），故P （A ）=103.故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为103. 2.（2008·山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组. （1）求A 1被选中的概率； （2）求B 1和C 1不全被选中的概率.解 （1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2, B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 2,B 3,C 1),(A 2,B 3,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2),(A 3,B 3,C 1),(A 3,B 3,C 2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等 可能的.用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而P （M ）=186=31. （2）用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ={（A 1,B 1,C 1）,(A 2,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 1)}，事件N 有3个基本事件组成，所以P （N ）=183=61，由对立事件的概率公式得 P （N ）=1-P （N ）=1-61=65. 3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率: （1）A:取出的两球都是白球；（2）B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球.解 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.∴取出的两个球全是白球的概率为P （A ）=156=52. （2）从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6）， （2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个. ∴取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率 P （B ）=158.一、选择题1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则（ ）10=101P 1B.P 10=91P 1 10=010=P 1答案2.采用简单随机抽样从含有n 个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a 前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a 未被抽到的概率的31倍，则个体a 被抽到的概率为 （ ）A.21B.31C.41D.61 答案3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为（ ）A.101B.103 C.51 D.53 答案4.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为（ ）A.31B.61 C.81D.41 答案5.设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P （a ，b ），记“点P （a,b ）落在直线x+y=n 上”为事件C n （2≤n≤5，n ∈N ），若事件C n 的概率最大，则n 的所 有可能值为 （ ）C.2和D.3和答案6.（2008·温州模拟）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x+y=5下方的概率是（ ）A.31B.41C.61D.121 答案二、填空题7.（2008·江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 . 答案121 8.（2008·上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A （0，0）、B （2，0）、C （1，1）、D （0，2）、 E （2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 答案54三、解答题9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求： （1）甲中奖的概率P （A ）； （2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率； （4）乙中奖的概率.解 （1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P 1=52. （2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5×4=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P 2=202=101. （3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有3×2=6种基本事件，∴P 3=206=103. （4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P 4=52. 10.箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率解 （1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b 个产品中不放回抽样3次共有A 3b a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有A 3a种方法，可以抽出3个正品的概率p=33A A ba a +.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a+b 个产品中不放回抽样3次共有C 3b a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有C 3a 种方法，可以取出3个正品的概率p=33C C ba a +.两种方法结果一致（2）从a+b 个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b 种方法，所以共有(a+b)3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a 3种，所以3个全是正品的概率p=333)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a a b a a . 11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的个数； （2）求取球2次终止的概率； （3）求甲取到白球的概率.解 （1）设袋中有n 个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是2)1(-n n . 从袋中任取2个球的所有可能的结果数为276⨯=21. 由题意知71=212)1(-n n =42)1(-n n ， ∴n （n-1）=6，解得n=3(舍去n=-2). 故袋中原有3个白球.（2）记“取球2次终止”为事件A ，则P （A ）=6734⨯⨯=72. （3）记“甲取到白球”的事件为B ， “第i 次取到白球”为A i ，i=1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球. 所以P （B ）=P （A 1+A 3+A 5）. 因此A 1，A 3，A 5两两互斥，∴P （B ）=P （A 1）+P （A 3）+P （A 5）=73+567334⨯⨯⨯⨯+3456731234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =73+356+351=3522. （2008·海南、宁夏文，19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解 (1)总体平均数为61(5+6+7+8+9+10)=7.5. (2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”. 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A 包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以所求的概率为P （A ）=157. §3 几何概型基础自测1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间 ［0，1］上的概率为（ ）4131C.21D.以上都不对答案2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 （ ）A.π2 B.π1C.32D.31答案3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 ( )A.53B.54 C.52 D.51答案4.设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P （A ）= . 答案315.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ， 则射线OA 落在∠yOT 内的概率为 . 答案 61例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A ，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件， 所以P （A ）=103310--=104=0.4. 例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小 圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问： （1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ （2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 （1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内，所以概率为22979-=8132. （2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的41圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为819ππ=. 例3 （12分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病 种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？ 解 1升=1 000毫升，2分记事件A ：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 4分 则P （A ）=000110=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 7分记事件B ：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.9分 则P （B ）=000130=0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.12分 例4 在Rt △ABC 中，∠A=30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM|＞|AC|的概率. 解 设事件D“作射线CM ，使|AM|＞|AC|”.在AB 上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形， 所以∠ACC′=230180-=75°, A μ=90-75=15，Ωμ=90，所以，P （D ）=9015=61. 例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去.求两人能会面的概率.解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y ）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：P （A ）=S S A =222604560-=600302526003-=167.所以，两人能会面的概率是167.1.如图所示，A 、B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？解 记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10（米），∴P （E ）=3010=31. 2.（2008·江苏，6）在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为 .答案16π 3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵A μ=0.1升，Ωμ=2升， ∴由几何概型求概率的公式， 得P （A ）=ΩA μμ=21.0=201=0.05. 4.在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.解 如图所示，把圆弧 三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就落在∠EOF 内， ∴P （A ）=9030=31. 5.将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解 设A=“3段构成三角形”，x,y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合Ω={（x ，y ）|0＜x ＜l,0＜y ＜l,0＜x+y ＜l},要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y>l-x-y ⇒x+y ＞2l,x+l-x-y ＞y⇒y ＜2l ,y+l-x-y ＞x ⇒x ＜2l . 故所求结果构成集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<>+2,2,2|),(l x l y l y x y x . 由图可知，所求概率为P （A ）=的面积的面积ΩA =22212l l ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙=41.一、选择题1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a ＜20的概率是（ ）A.31 B.21 C.103 D.107答案2.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )A.259 B.2516C.103D.51答案3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.121B.83C.161D.65答案4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为()A.π2B.π1 C.21 D.1-π2答案5.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是 ( ) A.41 B.21 C.43 D.32答案6.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O,则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A.4πB.8πC.6πD.12π答案二、填空题7.已知下图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .答案 338.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 . 答案2517 三、解答题9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色， 金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm ，靶心直径2 cm,运动员在70米 外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率. 解 记“射中黄心”为事件A ，由于中靶点随机的落在面积为π41×1222 cm 2的大圆 内，而当中靶点在面积为π41×22 cm 2的黄心时，事件A 发生，于是事件A 发生 的概率P （A ）=2212242.1241⨯⨯ππ=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？解 设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x 和y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A μ=12-21×21×21=87，Ωμ =1， 所以P （A ）=ΩμμA =87. 11.已知等腰Rt △ABC 中，∠C=90°.（1）在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM ＜30°的概率； （2）在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM ＜30°的概率. 解 （1）设CM=x ，则0＜x ＜a.（不妨设BC=a ）. 若∠CAM ＜30°，则0＜x ＜33a ， 故∠CAM ＜30°的概率为P （A ）=的长度区间的长度区间),0(33,0a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33. （2）设∠CAM=θ，则0°＜θ＜45°. 若∠CAM ＜30°，则0°＜θ＜30°， 故∠CAM ＜30°的概率为 P （B ）=的长度的长度)45,0()30,0( =32.设关于x 的一元二次方程x 2+2ax+b 2=0.（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a 是从区间［0，3］任取的一个数，b 是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解 设事件A 为“方程x 2+2ax+b 2=0有实根”.当a≥0,b≥0时，方程x 2+2ax+b 2=0有实根的充要条件为a≥b. （1）基本事件共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1）， （3，2）.其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.。

名师揭秘2019年高考数学（文理）命题热点全覆盖（33份）专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题；6．子集中忽视空集问题；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题；9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。

二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A ，B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅；(2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ； (3)A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；【点评】：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合，集合,则图中的阴影部分表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为，所以先求出集合A,B 后可得结论．【解析】由题意得，所以，即图中阴影部分表示的集合为．故选C ．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算，解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征，属于基础题．（四）代表元变化问题【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x，x>1}，B=,则（) 例4．A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x，x>1}={y|y>0}，B=，∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合，的元素只有1个，则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出的范围.【解析】联立即，是单元素集，分两种情况考虑:，方程有两个相等的实数根，即，可得,解得，方程只有一个根，符合题意，综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.练习2.同时满足：①M ⊆{1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件，故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的判定与应用，其中熟记元素与集合的关系，以及集合与集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B，由得，转化为不式等组求解，可得所求范围．【解析】（1）①当时，原不等式成立．②当时，原不等式等价于，解得.，综上可得原不等式的解集为，∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴，∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合，，若，求实数a的取值范围；若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A．B．C．D．【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。

专题14 概率与统计（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，所以，若{}n a 10d =610n a n =+()n *∈N ，解得，不合题意；若，解得，不合题意；若，8610n =+15n =200610n =+19.4n =616610n =+则，符合题意；若，则，不合题意．故选C ．61n =815610n =+80.9n =3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．B ．2335C ．D ．2515【答案】B【分析】首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式即可求解．【解析】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，,,a b c ,A B 则从这5只中任取3只的所有取法有，{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，共10种．{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B 其中恰有2只做过测试的取法有，共6种，{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B 所以恰有2只做过测试的概率为，故选B ．63105【名师点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．4．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A ．30%+28%=58%>50%5．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A ．B ．0.60.5C ．D ．0.40.3【答案】D【解析】设2名男同学为，3名女同学为，A 1,A 2B 1,B 2,B 3从以上5名同学中任选2人总共有，共10种可能，选A 1A 2,A 1B 1,A 1B 2,A 1B 3,A 2B 1,A 2B 2,A 2B 3,B 1B 2,B 1B 3,B 2B 3中的2人都是女同学的情况共有，共3种可能，B 1B 2,B 1B 3,B 2B 3则选中的2人都是女同学的概率为，故选D ．P =310=0.3【名师点睛】应用古典概型求概率的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；A 第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式n A m P(A)=mn求出事件的概率．A 6．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．B ．14π8C ．D ．12π4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为，由图形的对称性可知，太极图中黑、白部分面积相等，即各占圆面积a 的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为，选B ．221π()π228a a ⨯⨯=【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．7．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B ．【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．8．【2017年高考山东卷文数】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，7【答案】A【解析】由题意，甲组数据为56，62，65，，74，乙组数据为59，61，67，，78．70x +60y +要使两组数据的中位数相等，则，所以，6560y =+5y =又平均数相同，则，解得．故选A ．566265(70)74596167657855x +++++++++=3x =【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示．缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．利用茎叶图对样本进行估计时，要注意区分茎与叶，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．9．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图，可知每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，A 错误；折线图整体呈现出增长的趋势，年接待游客量逐年增加，B 正确；每年的接待游客量7，8月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，C 正确；每年1月至6月的月折线图平稳，月接待游客量波动性更小，7月至12月折线图不平稳，月接待游客量波动性大，D 正确．所以选A ．【名师点睛】用样本估计总体时统计图表主要有：（1）频率分布直方图，特点：频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应区间的频率，所有小长方形的面积之和为1；（2）频率分布折线图，连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图；（3）茎叶图，对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼出有用的信息和数据．10．【2017年高考天津卷文数】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．B ．4535C ．D ．2515【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率．故选C ．42105P ==【名师点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，然后找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，代入公式即可得解．()()n A P n Ω=11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A ．B ．11015C ．D ．31025【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：123451（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）总计有25种情况，满足条件的有10种．所以所求概率为．102255=【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．12．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为．10201040++=39.20.9840=【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是______________．【答案】分层抽样【解析】由于从不同年龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样．14．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为，678891086+++++=所以该组数据的方差是．22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=15．【2018年高考江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，89，89，90，91，91故平均数为．8989909191905++++=16．【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________．【答案】310【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为．31017．【2017年高考江苏卷】记函数．在区间上随机取一个数，则()f x =D [4,5]-x 的概率是______________．x D ∈【答案】59【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得260x x +-≥260x x --≤23x -≤≤x D∈的概率是．3(2)55(4)9--=--【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解．18．【2017年高考江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______________件．【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．30060181000⨯=【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．。

一．【学习目标】1．了解互斥事件，相互独立事件和条件概率的意义及其运算公式．2．理解独立重复试验的模型，会计算事件在n次独立重复试验中发生k次的概率．二．【知识要点】1．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B 在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：．(2)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝＝(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪An)＝或P(A1＋A2＋…＋An)＝．(A1，A2，…，An互斥)．③对立事件的概率：＝．3．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为．(2)条件概率具有的性质：①；②如果B和C是两个互斥事件，则4．相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(AB)＝．(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．5．独立重复试验与二项分布(1)两个相互独立事件A，B同时发生的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)，此公式可推广到n个相互独立事件，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．(2)n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．三．概率十大易错点典例分析1.频率与概率2.事件的关系与运算3.互斥事件解题策略4.对立事件解题方法5.古典概型解题步骤6.几何概型题型7.概率综合8.条件概率9.独立事件10.独立重复试验（一）频率与概率例1．设某厂产品的次品率为3%，估计该厂8000件产品中次品的件数为()A．3B．160C．240D．7480练习1．下列说法正确的是()A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%练习2．下列说法正确的有()①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；③任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1；④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.A．0个B．1个C．2个D．3个（二）事件的关系与运算例2．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一个点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B)＝()A．B．C．D．练习1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D练习2．下列说法正确的有()①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．③任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1.④若事件A的概率为0，则事件A是不可能事件．A．0个B．1个C．2个D．3个（三）互斥事件解题策略例3.依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.练习1．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是（）A．B．C．D．练习2．从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少2个白球，都是红球B．至少1个白球，至少1个红球C．至少2个白球，至多1个白球D．恰好1个白球，恰好2个红球练习3．学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为A．B．C．D．（四）.对立事件解题方法例4.在最强大脑的舞台上，为了与国际X战队PK，假设某季Dr.魏要从三名擅长速算的选手A1,A2,A3，三名擅长数独的选手B1,B2,B3，两名擅长魔方的选手C1,C2中各选一名组成中国战队.假定两名魔方选手中更擅长盲拧的选手C1已确定入选，而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等.(Ⅰ)求A1被选中的概率；(Ⅱ)求A1,B1不全被选中的概率.练习1．一批排球中正品有个，次品有个，，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，表示抽到的次品个数.若，从这批排球中随机抽取两个，则至少有一个正品的概率（）A．B．C．D．练习2．一道数学选择题共有4个选项,其中有且只有一个选项为正确选项.已知某同学在数学测试中遇到两道完全不会的选择题(即该同学在其中任何一题选A,B,C,D 的可能性均一样),则该同学这两题能够得分的可能性是()A ．B ．C ．D ．练习3．某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为，现有甲、乙两人同时从站点上车，且他们中的每个人在站点下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为A ．B ．C ．D ．(五).古典概型解题步骤例5.交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为，早高峰时段，基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵，从某市交通指挥中心随机选取了二环以内个交通路段，依据交通指数数据绘制直方图如图所示．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，求选中路段中恰有一个路段的交通指数的概率．练习1．如下的茎叶图表示甲乙两人在5次测评中的成绩，已知甲的中位数是90，则从乙的5次测评成绩中随机抽取一次成绩，其分数高于甲的平均成绩的概率为A ．B ．C ．D ．练习2．齐王有上等,中等,下等马各一匹；田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为（）A．B．C．D．练习3．袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：232321230023123021132220011203331100 231130133231031320122103233221020132由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．B．C．D．（六）.几何概型题型例6．甲、乙两名同学决定在今年的寒假每天上午9：00—10：00在图书馆见面，一起做寒假作业，他们每次到图书馆的时间都是随机的。

2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1 000名新生的身体素 质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽 取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A . 8号学生B . 200号学生C .616号学生D .815号学生【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C . 2.（2019年全国卷1,文数17题,满分12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾 客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． ∵4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.3.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》 用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在 所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516 B . 1132 C . 2132D . 1116 【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A . 4.（2019年全国卷1,理数21题,满分12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 【答案解析】（1）X 的所有可能取值为1,0,1-.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-，，，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===.因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，即()114i i i i p p p p +--=-.又因为1010p p p -=≠，所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列． （ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+()()()88776101413p p p p p p p -=-+-++-=.由于8=1p ，故18341p =-，所以 ()()()()44433221101411.325 7p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.5.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标 的概率为A .23 B . 35 C . 25 D . 15【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .6.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术 先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有2 0个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车 所有车次的平均正点率的估计值为 . 【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=. 7.（2019年全国卷2,文数19题,满分12分）某行业主管部门为了解本行业中小。

2019年高考数学I卷文科命题趋势与备考指南系列（七）概率统计解答题命题趋势与备考指南高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2019年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，我们现一起分析研究2014-2018这5年的考题，以便发现规律，把握住高考命题的脉搏.一、数据统计与分析纵观2014-2018年这五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.下面我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.二、命题趋势与备考指南热点一：“统计”背景下的“概率”问题这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率.热点二：样本分析并通过样本分析作决策进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策.热点三：线性回归分析根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算.热点四：独立性检验寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.热点五：与函数相结合的概率统计题这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系式.针对以上这些题型并结合近几年的考点分布表，我们提出以下备考建议：1.加强概率模型的区分与训练，从概率模型入手，分模型训练.2增强从统计图表中读取信息的能力及处理信息的能力，特别是处理数据能力及运算能力3.注重回归教材，最后的复习过程中一定要加强对教材习题、重点例题的探究，注重对教材的挖掘和利用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以不变应万变.总之，概率统计题这部分内容“统计”的味道很浓，由于所学知识尚浅，不会有太难的题目，只要熟练掌握各统计图表，做好数据分析，你一定会拿下这道题的！还有请你不要忘了在预测2019年高考全国一卷的命题上，组合教育联合全国数百位一线名师和清华大学数学博士团队，我们站在新高度洞穿高考，我们强烈推荐由北京组合教育出品的2019年《高考数学黄金预测卷》，它会对你的数学备考做更加精准的复习，结合资料中的命题趋势分析和命题报告和原创试题以及拓展内容，对每一部分最可能出的题型做练习，达到精准把握高考数学命题脉络，祝愿2019年高考学子取得优异成绩，我们在清华等你来！。

2019高考备考高考数学易错点总结小编重点推荐：2019北京海淀高三适应性训练试题及答案解析汇总2019广东省适应性测试各科试题及答案汇总2019兰州高三一模试题及答案汇总2019高考作文预测汇总集合与简单逻辑1易错点遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合B，就有B=A，φ≠B，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。

尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。

空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。

2易错点忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。

3易错点四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若 A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。

这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。

在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。

另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a ，b都是奇数”。

4易错点充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果AB，则A，B互为充分必要条件。

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。

高中概率知识点高考考点易错点归纳随着高考的临近，各位高中生对于概率知识点的准备工作也进入到了最后的关键阶段。

为了帮助大家更好地掌握概率知识，本文将对高中概率知识点、高考考点以及易错点进行归纳总结，希望能够对大家的备考工作起到一定的指导作用。

一、基础概念在了解高中概率知识点之前，我们首先需要了解概率的基础概念。

概率是指某一事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数字表示，其中0表示不可能发生，1表示肯定发生。

同时，我们还需要了解概率的计算公式，即概率=有利结果的个数/样本空间的个数。

二、概率的计算1. 事件的互斥与对立：- 互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，例如抛一枚硬币的正面和反面。

- 对立事件指的是两个事件中一个发生另一个就不发生，例如抛一颗骰子的奇数点数和偶数点数。

这两个概念在概率计算中经常被用到，需要大家能够准确理解和应用。

2. 事件的独立与依赖：- 独立事件指的是两个事件的结果互不影响，例如连续抛掷两次硬币结果的概率。

- 依赖事件指的是两个事件的结果存在相关性，例如不放回抽球的概率计算。

对于独立事件的概率计算，我们只需要将各个事件的概率相乘即可；而对于依赖事件的概率计算，我们需要结合条件概率的概念进行计算。

3. 排列组合与概率：在概率计算中，排列组合也是一个非常重要的概念。

特别是当事件的发生次序与结果无关时，我们可以利用排列组合的知识简化计算过程，并得到更准确的概率结果。

三、高考考点1. 相对频率与概率：相对频率是指某个事件发生的次数与试验总次数之比，而概率是指某个事件发生的可能性大小。

在高考中，会出现相对频率与概率之间的换算或者比较，需要大家能够准确理解并进行运算。

2. 蒙特卡洛方法：蒙特卡洛方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，在概率问题中得到了广泛的应用。

在高考中，可能会以蒙特卡洛方法为基础出现一些试题，需要大家能够熟练运用这种方法进行解题。

四、易错点总结1. 理解概率计算的基本定义和方法非常重要，涉及到了互斥事件、对立事件、独立事件和依赖事件等概念。

高考数学概率知识点与陷阱全解高考数学中的概率问题，既是重点，也是难点。

对于许多同学来说，想要在这部分取得高分，不仅要熟练掌握相关知识点，还要小心避开各种陷阱。

下面，咱们就来详细梳理一下高考数学概率的知识点，并揭示那些容易让我们“掉坑”的陷阱。

一、概率的基本概念1、随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。

比如掷骰子，出现点数为 3 就是一个随机事件。

2、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件。

比如太阳从东方升起，就是必然事件。

3、不可能事件在一定条件下，不可能发生的事件。

例如月亮从西方升起，这就是不可能事件。

4、概率概率是用来描述随机事件发生可能性大小的量。

对于一个随机事件A，它发生的概率记为 P(A)，取值范围在 0 到 1 之间。

如果 P(A) ＝ 0，则 A 为不可能事件；如果 P(A) ＝ 1，则 A 为必然事件；如果 0 ＜ P(A) ＜ 1，则 A 为随机事件。

二、概率的计算方法1、古典概型如果一个试验具有以下两个特征：（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。

那么这样的概率模型称为古典概型。

其概率计算公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件总数。

例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。

基本事件总数为 8，取出红球的基本事件个数为 5，所以取出红球的概率为 5/8。

2、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。

其概率计算公式为：P(A)＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。

比如，在一个长为 10 米的线段上随机取一点，求该点落在 3 米到 7 米之间的概率。

试验的全部结果构成的区域长度为 10 米，构成事件的区域长度为 4 米，所以概率为 4/10 ＝ 04。

名师揭秘2019年高考数学（文理）命题热点全覆盖（33份）专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题；6．子集中忽视空集问题；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题；9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。

二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A ，B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅；(2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ； (3)A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；【点评】：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合，集合,则图中的阴影部分表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为，所以先求出集合A,B 后可得结论．【解析】由题意得，所以，即图中阴影部分表示的集合为．故选C ．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算，解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征，属于基础题． （四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x，x>1}，B=,则（)A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x，x>1}={y|y>0}，B=，∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合，的元素只有1个，则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出的范围.【解析】联立即，是单元素集，分两种情况考虑:，方程有两个相等的实数根，即，可得,解得，方程只有一个根，符合题意，综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.练习2.同时满足：①M ⊆{1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件，故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的判定与应用，其中熟记元素与集合的关系，以及集合与集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B，由得，转化为不式等组求解，可得所求范围．【解析】（1）①当时，原不等式成立．②当时，原不等式等价于，解得.，综上可得原不等式的解集为，∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴，∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合，，若，求实数a的取值范围；若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A．B．C．D．【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。