2019年高考数学思维导图必考知识点大全

高考数学复习资料高中数学知识的框架思维导图第一部分集合、算法语言、简易逻辑、复数、推理与证明、排列组合第二部分函数、导数及微积分第三部分 三角函数与平面向量第四部分数列与不等式第五部分解析几何、坐标系与参数方程第七部分统计与概率第八部分 数学思想方法常见题型的解题规律或方法集锦1.求多面体外接球半径的常见模型：（掌握了常见模型，就不一定要画外接球与多面体的直观图） （1）截面圆的半径、大圆半径可由正弦定理r =a 2sin A求出；（2）必要时可将多面体补形为共外接球的特殊几何体. （3）多面体内切球的半径一般用等体积法求.2.同构不等式：若F (x )≥0能等价变形为f ,g (x )->f,ℎ(x )-g (x )≥ℎ(x)，这种方法就称为同构不等式，简称同构法.a 2+b 2+c 2=(2R )2. ABCDB 1C 1D 1A 1abcd =R −r .OEBCDr 1 O 2O 1Ar 2Rr 13. 极点与极线的性质：关于二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的“四线一方程”4. 伸缩变换中椭圆与圆的对应关系5. 成立与恒成立问题，即函数有无零点，方程有解、无解，不等式成立、恒成立，求参数取值范围，一般优先考虑分离参数法：①若λ≥f(x)恒成立，则λ≥,f(x)-max；②若λ≤f(x)恒成立，则λ≤,f(x)-min；③若λ=f(x)有解，则λ∈*y|y=f(x)+；④若λ=f(x)无解，则λ∈ U*y|y=f(x)+；⑤若λ≥f(x)成立，则λ≥,f(x)-min；⑥若λ≤f(x)成立，则λ≤,f(x)-max．解决含参数问题的常用方法：⑴分离参数法；⑵分离函数法；⑶含参转化法．6. 洛必达法则，一个很实用的法则，主要用于求分式函数f (x )g(x)在x →a 时，00型或∞∞型的极限，可反复循环使用.用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现0或∞∞时，就必须用洛必达法则！7．函数凹凸性定义及性质：设f(x)在区间I 上连续，如果对I 上任意两点x 1，x 2， （1）凹函数：f (x 1+x 22)≤f (x 1)+f (x 2)2 f(x)在I 上的图形是（向上）凹的 f ′′(x )≥0（即切线的斜率递增）．如图1． （2）凸函数：f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2f(x)在I 上的图形是（向上）凸的 f ′′(x )≤0（即切线的斜率递减）．如图2．其中的不等式又叫琴生不等式.若f(x)在x =x 0处取得极值(f ′(x 0)=0)，且f ′′(x 0)>0，则f(x 0)为极小值； 若f(x)在x =x 0处取得极值(f ′(x 0)=0)，且f ′′(x 0)<0，则f(x 0)为极大值．函数凹凸性的快速判断与函数单调性的快速判断方法极为类似（对数形结合时准确作图很有帮助）．归纳：根据曲线、切线、单调性、凹凸性关系，可以得出以下结论 （1）对于ax ≤f(x)(x ≥0)恒成立，求实数a 的取值范围.如果f (0)=0，f ′(x )≥0（增函数），f ′′(x )≥0（凹函数），则实数a 的取值范围为a ≤f′(0). （2）对于ax ≥f(x)(x ≥0)恒成立，求实数a 的取值范围.如果f (0)=0，f ′(x )≥0（增函数），f ′′(x )≤0（凸函数），则实数a 的取值范围为a ≥f′(0).8．拉格朗日中值定理：若函数f(x)在区间(a ，b)内可导，在区间,a ，b-上连续，则∃x 0∈(a ，b)，使得f ′(x 0)=f (b )−f(a)b−a．9．两个重要极限公式：⑴limx→0sinx x=1； ⑵lim x→+∞(1+1x)x =e ．10．渐近线：有很多函数图象或曲线有渐近线（铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线），作图时就需要注意！ (1)渐近线：若∃x 0∈R ，使得f (x 0)=0，则x =x 0为y =1f (x )图象的渐近线．你能作出y =1lnx，y =1sinx等函数的图象吗？高中数学中有渐近线的曲线：①y =kx，②y =x +kx(k ≠0)，③y =a x ，④y =log a x ，⑤y =tan x ，⑥x 2a2−y 2b 2=1．(2)斜渐近线：对于y =f (x )，若limx→∞yx=k ，且lim x→∞(y −kx)=b ，则y =f (x )有斜渐近线y =kx +b ．11．⑴如何解超越型不等式f (x )>0？所谓超越型不等式，就是不能通过等价变形，变成一元一次不等式或一元二次不等式，或变成可解的特殊的三角函数不等式．由ln x ，e x ，x α ，ax 2+bx +c ，kx +b ，kx ，sin x ，cos x 等其中几个组合成的不等式，可称为超越型不等式．一般来说，解超越型不等式，主要注意以下两个方面：①确定函数f(x)的定义域，并观察出函数f(x)的零点，常见零点有x =0，±1，±e 等； ②确定f(x)的单调性，结合①，即可求出f (x )>0的解集．⑵如何解超越型方程f (x )=0？如果在研究函数问题中出现了超越型方程f (x )=0，而通过观察又可以找到一个满足这个方程的根，那么这个根极有可能是方程的唯一根，然后要做的工作就是研究函数y =f(x)的单调性.满足f ′′(x 0)=0的实数x 0， 叫做函数f(x)的拐点.。

第一章集合与常用逻辑用语集合的概念集合间的基本关系全称量词与存在量词集合的基本运算充分条件与必要条件定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.集合的表示方法：列举法、描述法空集：∅，空集是任何集合的子集子集：集合A为集合B的子集，记作或真子集：集合A是集合B的真子集，记作或或且且若则是的充分条件是的必要条件若则是的充要条件，也是的充要条件全称量词命题：存在量词命题：否定：否定：集合与元素的字母表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素元素与集合的关系：第二章 一元二次函数、方程和不等式等式性质与不等式性质基本不等式二次函数与一元二次方程、不等式等式的基本性质如果，那么如果，，那么如果，，那么如果，那么如果，那么不等式的性质，如果，那么如果，，那么如果，，那么如果，那么，，当且仅当时，等号成立一元二次不等式的一般形式是或，其中，，均为常数，一元二次不等式的解法：借助二次函数的图象三个“二次”的关系如果，，那么；如果，，那么基本事实第三章函数的概念与性质函数的概念及其表示函数：，定义域：的取值范围值域：闭区间，，开区间，，半开半闭区间，，，函数的表示法：解析法、列表法、图象法分段函数函数的基本性质单调性：一般地，设函数的定义域为，区间：如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数最值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：，都有；，使得则称是函数的最大值，都有；，使得则称是函数的最小值奇偶性：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数图象关于轴对称，那么函数就叫做奇函数图象关于原点成中心对称幂函数函数的应用（一）定义：，其中是自变量，是常数性质在上都有定义，定义域与的取值有关图象过点和点在上是增函数在上都有定义，定义域与的取值有关在上是减函数图象过点一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型步骤：审题、建模、求模、还原第四章指数函数与对数函数指数指数函数函数的应用（二）对数对数函数次方根根式一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数性质当为奇数时，当为偶数时，实数指数幂的运算性质分数指数幂正分数指数幂：负分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义图象及性质定义域值域过定点，即时，时为减函数，时为增函数定义一般地，如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作叫做对数的底数，叫做真数以为底的对数叫做常用对数，把记为以为底的对数叫做自然对数，把记为对数与指数间的关系当，时，性质负数和没有对数，运算性质如果，且，，，那么对数换底公式：且且定义：一般地，函数且叫做指数函数，其中指数是自变量定义：一般地，函数且叫做对数函数，其中是自变量图象及性质定义域过定点，即时，时为减函数，时为增函数函数的零点定义：使的实数叫做函数的零点方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点二分法求函数零点的近似值确定零点的初始区间验证求区间的中点计算并进一步确定零点所在的区间：判断是否达到精确度若则得到零点近似值或；否则重复步骤（）若此时则就是函数的零点（）若此时则令（）若此时则令函数模型的应用建立函数模型值域第五章 三角函数三角函数的应用函数y=Asin(ωx+φ)三角恒等变换三角函数的图象与性质诱导公式三角函数的概念任意角和弧度制任意角正角 负角零角逆时针旋转形成的角顺时针旋转形成的角没有做任何旋转终边相同的角与终边相同的角可表示为角度与弧度的换算弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，其中为圆的半径，弧长为的弧所对的圆心角为正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0半径为，圆心角为的扇形弧长公式面积公式三角函数正弦函数：余弦函数：正切函数：同角三角函数的基本关系公式一公式二公式三公式四公式五公式六五点“画图”法性质正弦函数余弦函数正切函数定义域值域定义域值域最小正周期奇函数单调增区间单调减区间最小正周期偶函数单调增区间单调减区间定义域值域最小正周期奇函数在每一个区间上都单调递增当时当时当时当时对称中心为对称轴为直线对称中心为对称轴为直线对称中心为两角和与差的三角函数公式二倍角公式画出的图象向左右平移个单位长度，得到的图象横坐标变为原来的倍，得到的图象纵坐标变为原来的倍，得到的图象简谐运动振幅周期频率：相位初相。

第六章计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案在第类方案中有种不同的方法在第类方案中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤做第步有种不同的方法做第步有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法排列与组合排列与排列数排列：一般地从个不同元素中取出个元素并按照一定的顺序排成一列叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列排列数：把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数用符号表示排列数公式：这里并且排列数公式还可以写成全排列：特别地把个不同的元素全部取出的一个排列叫做个元素的一个全排列正整数到的连乘积叫做的阶乘用表示于是个元素的全排列数公式可以写成规定组合与组合数组合：一般地从个不同元素中取出个元素作为一组叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示组合数公式：这里并且这个公式叫做组合数公式因为所以上面的组合数公式还可以写成规定二项式定理二项式定理公式叫做二项式定理右边的多项式叫做的二项展开式其中各项的系数叫做二项式系数式中的叫做二项展开式的通项用表示即通项为展开式的第项在二项式定理中若设则得到公式二项式系数的性质对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等增减性与最大值因为即所以当时即时随的增加而增大由对称性知当时随的增加而减小当是偶数时中间的一项取得最大值当是奇数时中间的两项和相等且同时取得最大值各项式系数的和：已知令得即的展开式的各二项式系数的和等于第七章随机变量及其分布条件概率与全概率公式离散型随机变量及其分布列正态分布离散型随机变量的数字特征二项分布与超几何分布条件概率：一般地设为两个随机事件且就称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率简称条件概率条件概率与事件相互独立性的关系：当时当且仅当事件与相互独立时有概率的乘法公式：由条件概率的定义对任意两个事件与若则概率的性质：设则如果和是两个互斥事件则设和互为对立事件则全概率公式：一般地设是一组两两互斥的事件且则对任意的事件有随机变量：一般地对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应称为随机变量离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称之为离散型随机变量分布列的概念：一般地设离散型随机变量的可能取值为称取每一个值的概率为的概率分布列简称分布列离散型随机变量分布列的性质：；两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验用表示成功表示失败定义发生发生如果则则称服从两点分布或分布离散型随机变量的均值：一般地若离散型随机变量的分布列为则称为随机变量的均值或数学期望简称期望两点分布的均值：一般地如果随机变量服从两点分布那么均值的性质：一般地有离散型随机变量的方差：一般地若离散型随机变量的分布列为则称为随机变量的方差也记为并称为随机变量的标准差记为方差的性质：一般地，有二项分布超几何分布伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验重伯努利试验具有如下共同特征（）同一个伯努利试验重复做次（）各次试验的结果相互独立二项分布：一般地在重伯努利试验中设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数则的分布列为则称随机变量服从二项分布记作超几何分布：若随机变量的分布列为其中则称随机变量服从超几何分布超几何分布的均值：二项分布的均值与方差：一般地如果那么正态密度函数其中为参数其图象为正态密度曲线简称正态曲线如图所示若随机变量的概率分布密度函数为则称随机变量服从正态分布记为特别地当时称随机变量服从标准正态分布若则如图所示取值不超过的概率为图中区域的面积而为区域的面积正态曲线的特点：曲线是单峰的它关于直线对称曲线在处达到峰值当无限增大时曲线无限接近轴正态分布的均值与方差：若则原则：假设则对给定的是一个只与有关的定值在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值第八章成对数据的统计分析成对数据的统计相关性一元线性回归模型及其应用列联表与独立性检验变量的相关关系一元线性回归模型一元线性回归模型参数的最小二乘估计分类变量与列联表独立性检验变量的相关关系：两个变量有关系但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度这种关系称为相关关系线性相关：一般地如果两个变量的取值呈现正相关或负相关而且散点落在一条直线附近就称这两个变量线性相关非线性相关：一般地如果两个变量具有相关性但不是线性相关就称这两个变量非线性相关或曲线相关正、负相关：如果从整体上看当一个变量的值增加时另一个变量的相应值也呈现增加的趋势就称这两个变量正相关如果当一个变量的值增加时另一个变量的相应值呈现减少的趋势则称这两个变量负相关样本相关系数样本相关系数对于变量和变量设经过随机抽样获得的成对样本数据为其中和的均值分别为和则称为变量和变量的样本相关系数样本相关系数与正、负相关的关系：当时，称成对样本数据正相关当时，称成对样本数据负相关样本相关系数的取值范围为样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度：当越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近时，成对样本数据的线性相关程度越弱称为关于的一元线性回归模型其中称为因变量或响应变量称为自变量或解释变量和为模型的末知参数称为截距参数称为斜率参数是与之间的随机误差经验回归方程：记当的取值为时，将称为关于的经验回归方程也称经验回归函数或经验回归公式其图形称为经验回归直线这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法求得的叫做的最小二乘估计误差分析对于响应变量通过观测得到的数据称为观测值通过经验回归方程得到的称为预测值观测值减去预测值称为残差残差是随机误差的估计结果通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等这方面工作称为残差分析用比较模型的拟合效果的计算公式为越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小残差平方和越大即模型的拟合效果越差分类变量：用一种特殊的随机变量以区别不同的现象或性质这类随机变量称为分类变量2×2列联表：零假设：分类变量和独立独立性检验的统计量：临界值：对于任何小概率值可以找到相应的正实数使得下面关系成立则称为的临界值概率值越小临界值越大。