数学建模,商品地包装问题

2023年mathorcup数学建模b题
一、题目背景与分析
2023年MathorCup数学建模B题要求解决一个关于物流配送中心选址的问题。

题目给出了一个物流配送中心的货物需求量与各候选地址的距离，要求我们建立一个数学模型，确定最佳选址方案。

为了完成这个任务，我们可以采用以下数学建模方法。

二、数学建模方法
1.成本分析法：根据货物需求量、运输成本和距离等因素，计算各个候选地址的总成本，以此作为评价选址优劣的依据。

2.启发式算法：利用启发式算法，如模拟退火、遗传算法等，搜索最优选址方案。

3.数据挖掘与机器学习：通过历史数据挖掘和机器学习方法，预测未来需求，进一步优化选址方案。

三、模型求解与结果分析
1.利用成本分析法，计算各候选地址的总成本，筛选出成本最低的选址方案。

2.使用启发式算法，对筛选出的选址方案进行进一步优化，得到更加精确的结果。

3.通过数据挖掘与机器学习方法，对未来需求进行预测，为选址方案提供更多依据。

四、模型验证与优化
1.验证所选选址方案在实际运营中的效果，通过实际运营数据对模型进行修正和优化。

2.对比不同选址方案的优缺点，为物流配送中心提供更具说服力的建议。

五、结论与启示
通过对2023年MathorCup数学建模B题的求解，我们得出了一个相对最优的选址方案。

这个过程让我们认识到数学建模在解决实际问题中的重要性和实用性。

在今后的学习和工作中，我们可以继续探索更多数学建模方法，提高解决实际问题的能力。

【注意】
以上内容仅为示例，实际参赛者需要根据题目详细描述和要求，进行详细的数学建模和分析。

B题箱子的摆放策略
某省内知名企业生产的产品用形状为长方体的箱子包装，使用叉车将这些箱子从生产车间运输至仓库。

这些箱子叠放在叉车的正方形底板上，如下图所示，叉车置放箱子的底板是一个边长为1.1米的正方形。

箱子的规格是统一的（所有箱子的长方形底面的尺寸相同）。

通常在一次运输中，箱子像下图中这样横着放，或者竖着放。

下图所示的便是一种可行的摆放方法，但不一定是最优的。

现在这家企业需要你们帮助建立一个通用的优化模型，使得给定长方形箱子的长和宽之后，利用这个模型就能算出该如何摆放箱子（不需考虑箱子的高度，即只考虑摆放一层箱子），才能使得一次摆放的箱子数量最多。

问题1 如果不允许箱子超出叉车底板（如上图所示情形），也不允许箱子相互重叠，建立一个优化模型，考虑如何摆放这些箱子，才能使摆放的箱子数量最多?
利用你们构建的模型，分别计算出对于下表中型号1、型号2和型号3的箱子，最多可以摆放多少个？该如何摆放？如果你们能画出摆放示意图，那么将有助于这家企业更快地理解你们的方法。

问题2 假设箱子的密度都是均匀的，允许箱子在正方形底板的上方，左边，右边部分超出底板（下方紧靠叉车壁，不能超出），但不至于掉落出叉车底板。

对于这种情况，重新建立优化模型,并针对上表中三种型号的箱子, 分别计算最多可以摆放多少个箱子？该如何摆放?画出摆放示意图。

包饺子问题分析摘要在日常生活中我们经常会遇到：同样的产品，不同大小的包装的时候，应该选择哪一种较为划算；包饺子，包馄饨的时候，皮多了或者馅多的问题，这个时候应该把饺子或者馄饨包大一些还是包小一些才能把多余的皮或馅用完。

这些问题在直观上不容易判断出结果，因此需要建立模型来来观察，以做出最佳选择。

关键词包饺子数学模型实际问题的抽象化￥正文一、问题提出设在包饺子的时通常1kg面和1kg馅包100个饺子，有一次馅多了，问能否将饺子包大一些或小一些将这些馅仍用1kg面用完二、问题分析这是一个日常生活中常见的问题，问题的本质就是里用同样面积的饺子皮包更多的饺子馅。

将问题抽象为数学问题时，可以做出两个合理的假设: ①饺子皮的厚度一样，也即是饺子皮的总面积不变；②饺子馅的形状都一样，可以都看成球体，因为同样表面积下球体的体积最大，可以包更多的馅。

那么饺子包大一些时，饺子的个数就会减少，饺子包小一些时，饺子的个数就会增多。

也就是可以问题转化为：总表面积一定的n（n=1，2，3……）个球体，当n取多少的时候可以使得所有球体的总体积最大。

这里忽略了饺子皮的厚度。

"在解决这个问题的时候，可以把问题进一步抽象到把得到的总体积与1n 是情况比较，这样问题就可以的得到很大程度的简化。

并且可以先定性的分析问题，判断是将饺子包大还是包小才能达到题目要求，然后可以设计一个函数来模拟这个过程，通过函数来观察这个问题。

三、基本假设从上面的分析我们可以看到在实建立模型的时候，需要做出一些基本假设： ⒈ 饺子都是标准的球形的；⒉ 饺子皮的厚度都一样，也就是饺子皮的总面积是常数； ⒊ ；⒋每个饺子都是皮刚好把馅包起来，不多也不少；四、问题处理1n =时对应的情况是:表面积为S ，体积为V 的一个球体；在一般情况下对应的情况则为：表面积为s ，体积为v 的n 个球体。

）—n =1时的大球体，此时有：22S R π=， 343V R π=n 个小球体时，此时有：22s r π=， 343v r π=此时则有：`22S R n s r ==， 33V R v r=n =1时，大球体，表面积S 体积Vn 个小球体，表面积s 体积v⇒ 32V n v =)nv =nv ≥由上式可以得到结论，球体个数少，即n 值越小，所有球体的体积和最大。

数学在生活中的应用范围非常广，特别是在包装行业中，数学更是一个不可或缺的工具。

包装需要精确的量取体积，掌握数学工具是必不可少的。

下面，我将详细介绍如何使用数学工具量取包装体积。

一、包装体积的定义包装体积是指包装内部的立方体空间，通常我们用体积大小来衡量包装容量的大小。

包装体积的计算公式为V=长*宽*高，其中长、宽、高都是包装内部的三个边长。

二、几何形体的体积计算几何形体是数学中的一类重要对象，包含了各种各样的形状，如矩形、圆形、三角形等。

在包装行业中，常见的几何形体有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。

下面，我们来一一介绍这些几何形体的体积计算方法。

1、长方体的体积计算长方体是指各面都是矩形的立体图形。

假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的体积为V=abc。

例：一个长方体的长是3cm，宽是4cm，高是5cm，求它的体积。

解：将长、宽、高带入公式，得V=3*4*5=60cm³。

2、正方体的体积计算正方体是指所有面都是正方形的立体图形。

假设正方体的边长为a，则它的体积为V=a³。

例：一个正方体的边长为4cm，求它的体积。

解：将边长带入公式，得V=4³=64cm³。

3、圆柱体的体积计算圆柱体是由平行且等大小的圆的底部和顶部所包围的一个长方形区域所围成的立体图形。

假设圆柱体的底部半径为r，高为h，则它的体积为V=πr²h。

例：一个圆柱体的底部半径为2cm，高为6cm，求它的体积。

解：将底部半径和高带入公式，得V=π*2²*6=24π≈75.4cm³。

4、圆锥体的体积计算圆锥体是由一个圆锥面和圆锥的底面所围成的立体图形。

假设圆锥体的底部半径为r，高为h，则它的体积为V=1/3πr²h。

例：一个圆锥体的底部半径为3cm，高为4cm，求它的体积。

解：将底部半径和高带入公式，得V=1/3π*3²*4=12π≈37.7cm³。

两辆铁路平板车的装货问题摘要本文针对包装箱的运输问题，建立了关于使得平板车空间浪费最小的一般数学模型与方法。

即使得空间浪费最小的最优解，属于优化类模型。

利用线性规划原理对问题进行分析求解，建立数学模型。

首先，将7种包装箱的厚度和重量分别设成相应的未知数，方便在题中的代入求解。

由此再进一步的研究。

对于问题，假设出各辆铁路平板车所载的7种包装箱的数目。

并考虑到铁路平板车，对所载包装箱的高度、重量等要求，利用所设未知数和已知的条件限制建立约束条件。

再对铁路平板车得空间浪费最少建立目标函数。

由此，可建立线性规划数学模型，对本文问题进行求解。

利用LINGO编程进行求得最优解,即得到最优设计方案：第一辆平板车载C1种类型的包装箱0件，C2种类型的包装箱5件，C3类型的包装箱2件，C4种类型的包装箱5件，C5种类型的包装箱2件，C6种类型的包装箱1件，C7种类型的包装箱2件；另一辆平板车载C1种类型的包装箱6件，C2种类型的包装箱2件，C3种类型的包装箱6件，C4种类型的包装箱0件，C5种类型的包装箱0件，C6种类型的包装箱0件，C7种类型的包装箱4件；这样的装载能使得两辆平板车的使用高度达到20.4米，空间利用率达到100%。

关键词：最小浪费空间、长度、重量、数量。

一、问题重述有 7 种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。

包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（ω，以kg 计）是不同的。

下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。

每辆平板车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（象面包片那样），问:应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小？试建立此问题的数学模型。

二、模型假设2、包装箱之间不存在间隙，即包装箱所铺成的总高度没有影响。

3、将每个包装箱装入平板车都具有可行性。

4、各个货物装在车上的概率相同，相互之间的排放不存在关联性；5、在该平板车装载的过程中不考虑各个货物的厚度及重量的误差性，均为题中所给的准确数值；6、装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序及各个货物的重量密度，排除因局部过重而造成的平板车不能行驶的情况；三、符号定义说明i a : 表示第i 类包装箱的厚度 i b ：表示第i 类包装箱的重量 i c ：表示第i 类包装箱i x ：表示在其中一辆车上装第i 类包装箱x 件 i y ：表示在另一辆车上装第i 类包装箱y 件 （i=1,2,3,4,5,6,7）四、问题分析七种包装箱的重量和W= =89t ，而两辆平板车只能载240=80t ，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。

数学模型在食品包装材料成分迁移中的应用研究史和娣（江苏农林职业技术学院，江苏句容 21 2400）常用的食品包装材料主要有以下几种： 第一种是纸质包装材料，用纸和纸板组成的 包装材料生产成本较低、对环境污染小切易于回收，其材料的主要组成化学物质是草浆，随着科学技术的不断进步和发展，新型的纸包装技术将推动食品行业生产力的发展。

第二种是塑料类型的食品包装，它主要采用聚氯乙烯制作，其主要特点是直观透明、防水性好，可以有效保障食品的安全和卫生。

第三种是金属包装材料，由于环保、抗冲击且方便印刷成为最古老的包装材料。

第四种是玻璃包装材料，此种玻璃材质主要是氧化物玻璃材质。

第五种食品包装材料是陶瓷材料，此材料吸水性较低，主要用来盛放酱菜等腌制食品。

多种材料在食品包装中的广泛应用也产生了一些列新的问题，食品包装上的油墨印刷字体、食品包装中的添加剂、塑料助剂以及粘合剂等都会通过对食品的迁移转移到食品中去，从而对食品的安全建设造成危害，进而直接影响人体的健康发展，在此形势下，相关的食品工作人员应加强对食品安全问题的重视，通过树立严谨的数学思维、建 立相应的数学模型对食品包装材料的成分迁 移展开研究。

食品包装材料成分的迁移主要是指食品 和食品包装两者之间化学浓度较高的物质向 浓度较低的物质进行转移的现象，其迁移的 主要流程可以具体划分为以下几种类型：迁 移物质的快速扩散、迁移物质的被化解和吸 收、迁移物质的吸附等，最终的物质迁移结 果主要受迁移物质本身的性质、浓度以及包 装材料的成分和种类等因素的影响，因此， 研究人员在进行材料成分迁移的实验时理应 合理考虑上述几种因素的影响。

传统关于食 品包装材料成分迁移的实验研究，往往针对 常见的添加剂进行而无法利用开发并且创新 出一系列新的检测方法，将数学模型引入食 品包装材料成分迁移的研究中，在一定程度 上可以降低实验成本、创新迁移方法。

目前将数学模型引入食品包装材料成分 迁移中的研究还未十分普遍，数学模型在其 中的研究着重体现在塑料类型的食品包装材 料中，塑料是在食品包装中应用最广泛和最 普遍的材料，此种材料可以有效阻挡外界空 气中含有的二氧化碳、氧气以及其他微生物 成分对食品的腐蚀，塑料包装中残留的聚合 物、聚体、分解物、加工物等都会发生以上 所述的迁移反应，塑料食品包装中也包含很 多类型，关于塑料食品包装的数学模型主要 在Fick 定律的基础上建立而来，此定律主要 包含三条内容，第一个定律的主要内容是塑 料纸包装中的大多数化学添加物的浓度变化 与时间变化不产生任何关联，而是某一点位 置上的浓度随时间产生相应变化；第二条定 律的主要内容是包装材料的成分迁移主要发 生与包装材料的厚度有关系。

数学模型在包装装潢设计中的应用引言包装装潢设计是一门原创性和技术性很强的综合性学科，是提高产品品质和特色的重要手段，增加了产品包装装潢设计的科学、文化和艺术性。

应用合理的设计理念和方法能够使包装设计更具特色，并能形成独立的产品风格[1]。

在具体的设计中需依据产品特点结合包装的不同属性，将应用的具体结构和图形设计出来。

从哲学角度对此问题进行分析，设计中应用的学科都有其相应的属性，利用属性数学模型来设计包装装潢方案，可准确判断研究成果的基本特征。

因此，将其应用于包装装潢设计中是非常必要的。

本文以包装装潢及数学模的基本情况为起点，分析数学模型在包装装潢设计方案中的应用，为提高包装装潢的设计水品提供理论指导，现综述如下。

1包装装潢及数学模的基本情况1.1包装装潢包装装潢是指对商品包装的表面及造型的具体设计。

在确保设计的合理性和科学性的基础上，应用适宜的设计方法和理念对产品包装进行更深一步的美化和装饰，应用图案、色彩、文字、品牌和外形等相关因素将产品包装以艺术整体构造的形式体现出来，充分发挥包装的宣传性、美化性、特色性和信息性，为商品的销售提供有力支持。

在对商品进行包装中，依照目的分为运输包装和销售包装，运输包装以保证商品安全、便于运输、衔接生产和销售为主要目地。

而对商品的包装装潢，主要侧重于销售包装，是衔接消费和商品销售为主要目地。

包装装潢是对商品的宣传和促销，展示产品的特点和信息，有效提升商品在市场竞争中的竞争能力，是产品市场营销的有力推手。

合理产品销售包装，可显著提升商品的市场价格，增加产品的销售量，对消费者的购买判断存在重要作用。

有调查发现，在商品销售中，有半数以上的消费者通过商品的装潢和包装来选择购买的商品。

由此可知，对商品进行包装装潢成为影响商品市场竞争能力的重要因素[2]。

1.2属性数学属性数学是研究人员在了解掌握了自然持续变化、无限发展规律及整体运动这些问题后建立起来的一种数学学科。

是对于物质和事物之间的相互变化内涵、规律、发展趋势的分析和整体运动属性关系的表达。

数学建模习题题目11.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。

比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。

解答：（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s均无关的成本。

故商品的价格可表示α，β，γ为大于0的常数）。

（2）显然c是w的减函数。

说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。

函数图像如下图所示：题目22.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，β为价格)。

T解答：由题意得：总利润为在此约束条件下的最大值点为题目33.某商店要订购一批商品零售，订购费c(与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，与时间无关)。

问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。

为使这个平均加什么限制？利润为正值，需要对订购费c解答：设订购量为u，则平均利润为u为使这个利润为正值，应有题目44.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。

解答：雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸lv降落，题目55.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。

按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。

此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解答：（1）设投资证券A,B,C,D,E，按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。

2013-02课堂内外模型思想是数学课程标准提出的核心关键词之一，它是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段.近几年来，各地市中考数学试卷中出现的一类包装型问题，由于其取材贴近生活，背景朴实而又为学生所熟悉，且题中蕴含许多重要的数学思想与方法，因此，正逐渐被命题老师所青睐.深入剖析这类包装问题，尝试进行数学建模，寻求问题解决方法，定能对紧张的中考复习起到较好的示范作用.一、直角三角形模型生活中对一些柱体进行外包装较为常见.在解决这类问题的过程中，往往需要将立体图形通过剪切展开成平面图形，将问题置于平面中来寻求解题思路.其中常通过现成的或构造而成的直角三角形，运用三角函数、勾股定理等相关知识解决问题.例1.如图1，是一个侧棱长为15cm的直三棱柱包装盒，它的底面是正三角形.现将宽为4cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕四圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.则在图2中，裁剪的角度∠BAD的正弦值是.评析：如何将平行四边形纸带ABCD包贴到三棱柱上？一种是将AD与三棱柱底边棱重合进行包贴；一种是将AB边与三棱柱底边棱重合进行包贴.前者无法将纸带“螺旋上升”以至包贴整个三棱柱侧面；后者可以按题目要求进行包贴.故AB长即为三棱柱的底边周长.求∠BAD可转化到直角三角形中求解.本题所涉及的知识点有：三棱柱侧面展开图，解直角三角形，平行四边形和平移等一些实践操作知识.解决本题，关键是能否在有限的时间里审清题意，能否理解“包贴”的方法和理解“侧面全部包贴满”等字眼，能否通过图2与图3找出解决此题的切入口.处理立体图形往往是要将立体图形展开成平面图形.同时平面图形与立体图形之间又有着密切的联系.图1图2图3二、方程模型胶带纸对学生来说是相当熟悉的，灵活利用它，同样可命制一类好题.解决过程中往往会涉及有关面积的知识，有时也不乏用到不等式等知识.其中常根据隐含的有关面积的等量关系，通过建立方程模型来解决问题.例2.小明买来一卷包装用胶带纸（如图4）.他突发奇想：这卷胶带纸拉开来到底有多长？他首先想到可以拉开来直接测量，显然这是不切实际的.思考后，他想到了用数学知识来解决.他从网上查得这种包装胶带纸的厚度约为0.005cm，他量得整卷胶带纸的内径为5cm，外径为10cm.请你帮助小明解决这个问题（结果精确到1米）.10cm5cm图4评析：利用学生熟悉的胶带纸，对此进行联想而编制成本题.解决该问题需要有思维的开放性和深刻性.一方面它提供了一个生活情境的再现，呈现“活生生”的数学知识应用场景，考查学生对现实问题的理解能力和解决问题的能力，即数学建模能力；另一方面，作为该试题，体现了命题的“公平性”原则，人人都接触过胶带纸，不会给学生带来陌生感.再者，还在于它解法的巧妙：以面积法求得胶带纸的长度.想象中把整卷胶带纸拉开，拉开后的胶带纸的截面可看做是长未知、宽为0.005cm的很扁很扁的矩形，若设全长为x cm，则圆环面积可表示为0.005x，利用面积建立等量关系，列出方程，从而求得x的值.显然，直接去求长度的难度要大得多，这需要思维的广阔性与发散性，没有较强的抽象思维能力与建模能力，要比较轻松地解决本题是有一定难度的.三、不等式模型建立不等式模型来解决生活中的包装问题，看似风马牛不相及，然通过巧设载体，将它们有机结合起来，运用不等式等相关知识，硬是解决了一些包装问题中的包装带长度问题，彰显数学的无穷魅力.例3.（1）比较大小：①3+523×5√②12+35212×35√③2+1222×12√④6+626×6√（2）通过（1）的判断，你可猜想：当a，b为正实数时，a+b与2ab√的大小关系为a+b2ab√.（3）利用上述猜想解决下列问题：如图5，有一等腰梯形的工件（厚度不计），其面积为1800cm2，，现要用包装带如图包扎（点E、例说包装问题的数学建模方略文/刘和珍摘要：近年来，各地市的中考数学卷中，常出现与包装有关的数学实际问题。