轴对称图形及其画法

A
C
B
B′
·
·C′
D
·D′
F
E
·E′
探究新知
说一说:你是如何根据对称轴，补全下面这个图形的?
A
C
B
B′
·
·C′
D
·D′
F
E
·E′
一“找”，找出图形 上每条线段的端点。
二“定”，根据对称 轴确定每一个端点的 对称点。 三“连”，依次连接 这些对称点，得到轴 对称图形的另一半。
课堂练习 根据对称轴画出图形的另一半。
课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？
轴对称图形中每组 对应点到对称轴的
B
距离相等。
A
2格 2格 B′ 每组对应点的连 线与对称轴垂直。
3格 3格 A′
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
C
B
B′
·
·C′
D
·D′
F
E
·E′
一“找”，找出图形 上每条线段的端点。
二“每定组”对应，点根的据连对称 轴确线定与每对一称轴个垂端直点。的 对称点。
三“连”，依次连接 这些对称点，得到轴 对称图形的另一半。
··· ··· ··· ···
课堂练习
画出下面这个轴对称图形的另一半。数学书83页做一做
B
·B′
A
D
C
·C′
课堂练习
你能画出下面图形的另一半吗？试一试。
（1）
B′
A
B C
错 C′
课堂练习 你能画出下面图形的另一半吗？试一试。
数学书85页第6题
课堂练习
数学书84页第4题
根据对称轴，分别画出下面两个轴对称图形的另一半。

13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
课• 件本说节明课内容属于“图形的变化”领域，
画轴对称图 形是继平移变换之后的又一种图形变换，
是利用轴 对称变换设计图案的基础．它是研究几
何问题、发 现几何结论的有效工具．
课件说明
▪ 学习目标： 1．理解图形轴对称变换的性质． 2．能按要求画出一个平面图形关于某直线对称的图 形．
（1）三角形关于直线l 的对称图
B
形是什么形状？
C
（2）三角形的轴对称图形可以由 A
l
哪几个点确定？
（3）如何作一个已知点关于直线
l 的对称点？
画l，画出与△ABC 关于直线l 对称的图形．
画法：（1）如图，过点A 画直
B
线l 的垂线，垂足为点O，在垂线上
由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l 对称 的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；
新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点；
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
画轴对称图形
如果有一个图形和一条直线，如何作出这个图形关 于这条直线对称的图形呢？
画轴对称图形
例1 如图，已知△ABC 和直线l，画出与△ABC 关于直线l 对称的图形．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
B
C
A
O
l
A′
C′
B′
画轴对称图形
如何验证画出的图形与△ABC 关于直线l 对称？
B
C
A
O
l
A′
C′
B′
画轴对称图形
已知一个几何图形和一条直线，说一说画一个与该 图形关于这条直线对称的图形的一般方法．

l
B′
A′
A (B ′) Bl
A′
B′ Bl
(图2)
(图3)
想一想：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形 关于这条直线对称的图形呢？
例3 如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l 对称的图形.
B C
lA
分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出 这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到 要画的图形.
问题1：如何画一个点的轴对称 图形？
画出点A关于直线l的对称点A′. 作法： （1）过点A作l的垂线，垂足为点O. （2）在垂线上截取OA′＝OA. 点A′就是点A关于直线l的对称点.
﹒A
O
l
﹒A′
问题2：如何画一条线段的对称图形？ 已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.
A
A′ (图1)
B
A
分析：增设的公共汽车站要
满足到两个小区的路程一样
长，应在线段AB的垂直平 分线上，又要在公路边上，
A 所以找到AB垂直平分线与 公路的交点便是.
B 公共汽车站
典例精析
例1 如图，已知点A、点B以及直线l. (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝ PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证： ∠MAP＝∠NPB.
刻度的直尺作出它们的对称轴.
解：延长BC、B'C'交于点P，延长 A
AC，A'C'交于点Q，连接PQ，则直
线PQ即为所要求作的直线l.
B
l A′
B′ C PC′
Q
方法总结：如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线） 相交，那么交点必定在对称轴上.

在纳兰性德的笔下，他将思乡之情寓于风雪之中，将这份不得不离，不得不别的牵挂写在这首长相思中。
配乐朗读。
小结
当一个人的身和他的内心相统一的时候，我们叫做“身心合一〞，而此时的纳兰性德，一生跟康熙皇帝出巡无数次，他早已厌倦了这样的征途，所以这种离别是不得不忍的离别，这种跋山涉水是不得不进行了山一程，水一程，这种听风沐雪也是他不得不的。那当他的身和心分开的时候，此时，纳兰性德的身在哪里？心在哪里？〔身在征途、心系故园〕
〔1〕先让学生用一张纸连续对折3次，再画出一个简单图形，剪出一个图案来，并在小组中互相说一说：剪出的是什么图案？是怎样剪出来的？
〔2〕让学生按照教材上的要求，动手折一折，画一画，剪一剪，再互相交流。
3.动手画一画，完成练习二十第4题，分别画出下面两个轴对称图形的另一半。
4.拓展题，教材85页第6题，试着画一画稍复杂的轴对称图形的另一半。
学生空间想象能力较弱：四年级学生的思维主要以形象思维为主，空间想象，几何直观能力较弱，在对称轴不是水平或竖直的情况下就容易找错对称点。
难点教学方法
1.通过直观的观察、思考、理解轴对称图形的性质。
2.通过课件演示在方格纸上画轴对称图形另一半的方法。
教学环节
教学过程
导入
引导学生观察图案，在小组中交流自己的发现。学生可能会发现这些都是轴对称图形。画出它们的对称轴
教学环节
教学过程
导入
1.如果用一个词表达你读完这首词的感受，你想到了哪个词？
〔艰难、悲壮、思乡、危险、豪迈、思念〕
2.指名学生朗读〔读出自己体会〕
知识讲解
〔难点突破〕
3.理解诗句。
〔1〕从哪一句词中读出了这种感受？
“山一程，水一程，身向榆关那畔行，夜深千帐灯。〞

4个方形轴对称图形画法步骤方形轴对称图形是指具有对称轴的正方形图形。

下面是四个常见的方形轴对称图形的画法步骤：1.十字花纹步骤一：在纸上画一个正方形，确定正方形的边长。

步骤二：从正方形的中心点画一条垂直线和一条水平线，将正方形分为四个小正方形。

步骤三：从每个小正方形的中心点向外画一条垂直线和一条水平线，与正方形的边相交。

步骤四：连接相交点，形成一个十字花纹的方形轴对称图形。

2.格子花纹步骤一：在纸上画一个正方形，确定正方形的边长。

步骤二：从正方形的中心点向四个方向分别画一条垂直线和一条水平线，将正方形分成四个小正方形。

步骤三：在每个小正方形的四个角上画一个小正方形。

步骤四：连接相邻小正方形的对角线，形成一个格子花纹的方形轴对称图形。

3.雪花花纹步骤一：在纸上画一个正方形，确定正方形的边长。

步骤二：从正方形的中心点向四个方向分别画一条垂直线和一条水平线，将正方形分成四个小正方形。

步骤三：在每个小正方形的中心点画一个小正方形。

步骤四：在每个小正方形的边上画一个小正方形。

步骤五：依次连接相邻小正方形的对角线，形成一个雪花花纹的方形轴对称图形。

4.旋转花纹步骤一：在纸上画一个正方形，确定正方形的边长。

步骤二：从正方形的中心点向四个方向分别画一条垂直线和一条水平线，将正方形分成四个小正方形。

步骤三：在每个小正方形的边上画一个小正方形。

步骤四：依次连接相邻小正方形的对角线，形成一个旋转花纹的方形轴对称图形。

这些方形轴对称图形的画法步骤简单明了，通过不同的组合和变化，可以创造出更多丰富多样的方形轴对称图形。

怎样画轴对称图形南京财经大学李航在现实生活中，我们经常会见到轴对称图形，如雄伟的北京天安门、美丽的蝴蝶以及漂亮的窗花等等。

那怎么画轴对称图形呢？我们知道几何图形是由点、线、面构成的，由点构成线、由线构成面、再由面构成日常生活中的空间图形。

下面我们从平面上的点开始，从简单到复杂逐步深入的来讨论轴对称图形的画法。

给定平面中的一点和一条直线，怎么作这一点关于这条直线的对称点呢？l 由轴对称图形的性质，我们知道对称轴是垂直平分一对对称点连线。

也就是说，两个对称点在对称轴的两边，且到对称轴的距离相等。

根据这一性质，从已知点向已知直线做垂线段并延长一倍，即可得到这一点关于已知直线的对称点。

A ··B 如左图1，已知点A和直线l,从A点做l的垂线段并延长一倍即可得到A点关于l的对称点B。

如果点在直线上，则该点的对称点是它本身。

图1如果平面上由无数个点构成一条直线，那么怎么去确定一条直线的轴对称图形呢？我们知道，平面上两个不同的点可以确定一条直线，很容易想到，我们只要确定已知直线上两个不同的点的对称点就可以确定这条直线的轴对称直线了。

l 如图2，已知直线AB和直线l，要画出AB关于l的对称图形只需要在直线AB上选两个不同的点，作这两点关于l的对称点就可以确定直线AB的对称图形CD。

··点构成线，线构成面，类似的，作出构成这个平面图形的直线的轴对称图形即可确定这个平面的对称图形。

我们以平面三角形为例，如图3，△ABC为平面上的三··角形，作这个三角形关于直线l的轴对称图形。

三角形的三个顶点就可以确定这个平面三角形，将三个顶点的轴对称点确定了，就可以作出平面三角形的轴对称图形了。

图2 l通过以上对点、线、面轴对称图形的探究，我们可以作出任意的不规则图形的轴对称图形。

只需要找出这个不规则图形的关键点，作出关键点的轴对称点，再依据图形的形状和性质画出最终的轴对称图形。

画点B、C的对称点F、G，然后顺次连接E、F、G得△
EFG，则△ EFG就是所求.
方法二：也可以利用全等知识进行作图，即先出A、C
的对称点E、G，然后分别以E、G为圆心，AB、CB为
半径作弧，两弧交于点F，则△ EFG就是所求.
知识拓展
二、确定对称点：四边形ABCD和四边形EFGH关于直线MN对称，连
知识梳理
例2：（2）画出△ ABC关于y轴对称的△ A2B2C2；
（3）是否存在点E，使△ ACE和△ ACB全等？若存在，直接写
出所有点E的坐标。
【结论】轴对称变换的作图的步骤是：①
求特殊点的坐标；②描点；③连线.
知识梳理
例3：在平面直角坐标系中，已知点
A（ − 3，1），B（ −
1，0），C（ − 2， − 1），请在下图中画出△ ABC，并画出与
分别为何值.
（1）A、B关于x轴对称；
（2）A、B关于y轴对称。
知识梳理
例2：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点横坐标不变、纵坐标互为
相反数可得
2m + n = 1
=1
，解得
− = −2
= −1
（2）根据关于y轴对称点的坐标特点纵坐标不变、横坐标互为
2m + n = −1
= −1
又∵点P（m，n），关于y轴的对称点的坐标为（1，b）
∴m=-1，n=b.
∴m=-1，n=2，故m+n=1.
知识梳理
例4：若点A（m + 2，3）与点B（ − 4，n + 5）关于y轴对称，则
m+n= 0 .
+2=4
=2
根据
；解得
；故m + n = 0

轴对称图形怎么画轴对称是一种基础的几何概念，指一个物体可沿一条轴线对称，使得沿轴线可以重合，而对称轴则把图形分成两个完全相同的部分。

这种对称可以应用于很多方面，如设计、绘画等。

轴对称图形的绘制一般可以分为以下几个步骤：1. 选择轴线首先需要选择一个轴线，这条轴线将用来对称图形。

轴线可以是任何直线，如横线、竖线或倾斜线等，但必须是明显的直线。

2. 绘制对称图形的一半在轴线的一侧绘制图形的一半。

这一半可以是任何形状，如圆形、正方形、三角形、星形等。

重要的是要确保这一半图形与轴线对称。

3. 绘制对称图形的另一半将对称轴看作一面镜子，将第2步中绘制的一半图形翻转到轴线的另一侧。

然后将这一个完整的图形，与第2步的图形组合，使得轴线对称。

4. 润色完成基本的轴对称图形后，可以进行润色，如增加颜色，添加细节等。

下面是轴对称图形的一些例子：1. 倾斜线轴对称图形首先，在页面上绘制一条倾斜的线。

然后，在线的一侧绘制一个正方形。

将这个正方形翻转到另一侧，然后将这个完整的图形用倾斜线对称。

这样就得到了一个倾斜线轴对称图形。

2. 水平线轴对称图形首先，在页面上绘制一条水平线。

然后，在线的上方绘制一个正方形。

将这个正方形翻转到下方，然后将这个完整的图形用水平线对称。

这样就得到了一个水平线轴对称图形。

3. 圆形轴对称图形首先，在页面上绘制一个圆。

然后，在圆的一侧绘制一个三角形。

将这个三角形翻转到另一侧，然后将这个完整的图形用圆形对称。

这样就得到了一个圆形轴对称图形。

总之，轴对称图形的绘制取决于选择的轴线，以及要绘制的形状和图案。

轴对称图形是一种基本的几何概念，它们在很多领域都有广泛的应用。

通过熟练掌握轴对称的基本原理，我们可以绘制出各种形状优美且对称的图形。

（√） （√） （ ） （ ）
（√） （√） （√） （√）
2 你能画出下面图形的另一半吗？试一试。 （1）
2 你能画出下面图形的另一半吗？试一试。
3 填一填。
(1)点A与点A′到
A
A′
对称轴的距离都是
( 5 )小格。
(2)点B与点B′到 B
对称轴的距离都
C
B′ C′
是( 8 )小格。
(3)点( C )与点( C′ )到对称轴的距离都是3小格。
F
E
ห้องสมุดไป่ตู้
·E′
一“找”，找出图形 上每条线段的端点。
二“定”，根据对称 轴确定每一个端点的 对称点。 三“连”，依次连接 这些对称点，得到轴 对称图形的另一半。
怎样画得又快又好？
1.找出图形上每条线段的端点。 2.根据对称轴确定每一个端点的对称点。 3.依次连接这些对称点。
1 说一说轴对称图形有哪些特点？
第二步： 根据对称轴确定每一个端点的对称点。
A
对称点到对称 轴的距离相等。
C
4格
B
1格
1格·B4′格
·C′
D 2格 2格·D′
F
E 3格
3格 ·E′
第三步： 连一连:依次连接这些对称点。
A
C
B
B′
·
·C′
D
·D′
F
E
·E′
说一说 你是如何根据对称轴，补全下面这个图形的?
A
C
B
B′
·
·C′
D
·D′
答：轴对称图形沿着对称轴对折，两侧的图 形能够完全重合； 轴对称图形对称点的连线与对称轴垂直；
轴对称图形对称点到对称轴的距离相等。

画对称轴的三种方法对称轴是图形学中重要的概念之一，它指的是平面上一条直线，将图形沿着这条直线进行翻转后，两边的图形完全一样。

在绘画、制图、设计等领域，对称轴的运用十分广泛，因此学会如何准确地画出对称轴是非常必要的。

本文将介绍三种画对称轴的方法，希望能为读者提供帮助。

一、用工具画对称轴第一种方法是使用直尺和铅笔来画对称轴。

具体步骤如下：1.用直尺在图形中心位置画一条直线，这条直线必须经过图形的中心点。

2.用铅笔将这条直线延长，直到它超出图形的边缘。

3.将图形沿着这条直线进行翻转，如果两边的图形重合，则说明这条直线是对称轴。

4.用橡皮擦去多余的线条，保留对称轴即可。

这种方法简单易行，适合于对称轴较简单的图形。

二、用纸板画对称轴第二种方法是使用纸板来画对称轴。

具体步骤如下：1.将纸板对折，使两边完全重合。

2.将需要画对称轴的图形放在纸板的一侧，使它与纸板的折痕对齐。

3.用铅笔沿着图形的边缘，在纸板上画出图形的轮廓。

4.将纸板展开，将图形沿着纸板的折痕进行翻转，如果两边的图形重合，则说明这条折痕是对称轴。

5.用剪刀将纸板沿着对称轴剪开，保留对称轴即可。

这种方法适用于对称轴较复杂的图形，可以通过对纸板的折叠来快速确定对称轴的位置。

三、用数学方法画对称轴第三种方法是使用数学方法来画对称轴。

具体步骤如下：1.找到图形的中心点，可以通过计算或者直观感觉来确定。

2.找到图形上每一个点和中心点之间的连线。

3.将每一个点和中心点之间的连线进行翻转，得到一条新的线段。

4.将所有新的线段连接起来，得到一条直线，这条直线就是对称轴。

这种方法需要一定的数学基础，但是可以准确地画出对称轴，适用于对称轴的位置比较重要的情况。

总结以上是三种画对称轴的方法，它们分别是用工具画对称轴、用纸板画对称轴和用数学方法画对称轴。

不同的方法适用于不同的情况，读者可以根据自己的需要选择合适的方法。

在实际应用中，画出准确的对称轴可以帮助我们更好地完成绘画、制图、设计等任务，因此掌握这些方法是非常有用的。

轴对称与轴对称图形概念1轴对称：如果把一个图形沿着一条直线对折后,与另一个图形重合,那么这两个图形成轴对称,两个图形中相互重合的点叫做对称点,这条直线叫做对称轴;2轴对称图形：如果把一个图形沿某条直线对折,对折后图形的一部分与另一部分完全重合,我们把具有这样性质的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴;轴对称的性质①轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形;②轴对称轴对称图形对应线段相等,对应角相等;③如果两个图形成轴对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;④轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;⑤两个图形关于某条直线对称,那么如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点一定在在对称轴上;图形的平移定义1平移的定义：在平面内,将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置,图形的这种移动,叫做平移变换,简称平移,平移前后互相重合的点叫做对应点;2平移的性质：①对应点的连线平行或共线且相等②对应线段平行或共线且相等,平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形四个端点共线除外③对应角相等,对应角两边分别平行,且方向一致;3用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个正数a,纵坐标不变,相应的新图形就是把原图形向右或向左平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上或减去一个正数a,横坐标不变,相应的新图形就是把原图形向上或向下平移a个单位长;4平移的条件：图形的原来位置、方向、距离5平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移,得到相应的对称点,再将各对称点进行相应连接,即得到平移后的图形,方法有如下三种：平行线法、对应点连线法、全等图形法;特殊的轴对称图形I线段的垂直平分线①定义：垂直并且平分已知线段的直线叫做线段的垂直平分线或中垂线②性质：a、线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；b、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；c、线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的一条对称轴,另一条是线段所在的直线;II角平分线的性质①角平分线上的点到已知角两边的距离相等②到已知角两边距离相等的点在已知角的角平分线上③角是轴对称图形,角平分线所在的直线是该角的对称轴;用坐标表示轴对称坐标轴对称点Px,y关于x轴对称的点的坐标是x,-y点Px,y关于y轴对称的点的坐标是-x,y原点对称点Px,y关于原点对称的点的坐标是-x,-y坐标轴夹角平分线对称点Px,y关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是y,x 点Px,y关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是-y,-x 平行于坐标轴的直线对称点Px,y关于直线x=m对称的点的坐标是2m-x,y；点Px,y关于直线y=n对称的点的坐标是x,2n-y；常见图形的对称轴与画法常见图形的对称轴①线段有两条对称轴,是这条线段的垂直平分线和线段所在的直线;②角有一条对称轴,是角平分线所在的直线;③等腰三角形有一条对称轴,是顶角平分线所在的直线;④等边三角形有三条对称轴,分别是三个顶角平分线所在的直线;⑤矩形有两条对称轴,是相邻两边的垂直平分线;⑥正方形有四条对称轴,是相邻两边的垂直平分线和对角线所在的直线;⑦菱形有两条对称轴,是对角线所在的直线;⑧等腰梯形有一条对称轴,是两底垂直平分线;⑨正多边形有与边数相同条的对称轴;⑩圆有无数条对称轴,是任何一条直径所在的直线;对称轴的画法①找出一对对称点②连对称点线段③做出对称点所连线段的垂直平分线;用坐标表示轴对称坐标轴对称点Px,y关于x轴对称的点的坐标是x,-y点Px,y关于y轴对称的点的坐标是-x,y原点对称点Px,y关于原点对称的点的坐标是-x,-y坐标轴夹角平分线对称点Px,y关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是y,x点Px,y关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是-y,-x平行于坐标轴的直线对称点Px,y关于直线x=m对称的点的坐标是2m-x,y；点Px,y关于直线y=n对称的点的坐标是x,2n-y；轴对称与轴对称图形所具有的性质①任何一对对应点所边线段被对称轴垂直平分②两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上③对应线段相等,对应线段所在的直线如果相交,交点在对称轴上④对应角相等中心对称与中心对称图形两者区别1中心对称：把一个图形绕着一点旋转180°后,如果与另一个图形重合,则这两个图形关于该点成中心对称,这个点叫做其对称中心,旋转前后重合的点叫对称点;2中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°后,能与其自身重合,这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心;3两者的区别与联系①中心对称是指两个特定图形之间的位置关系,中心对称图形是描述一个图形的形状性质；②将成中心对称的两个图形看作一个整体时,这个整体图形就是中心对称图形;4中心对称图形的性质：①对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分②对应线段相等,平行或共线③对应角相等;线段的垂直平分线定义1经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,•叫做这条线段的垂直平分线或线段的中垂线．2线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合轴对称与轴对称图形的区别与联系:①轴对称图形是对一个图形而言,是一个具有特殊形状的图形;轴对称是对二个图形而言,是两个图形的位置关系;;②都具有折叠后互相重合;③如果把轴对称的两个图形看成一个图形,那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形的两部分看成两个图形,那么它就是一个轴对称;。

轴对称章节复习
（人教版）
知识框架
知识清单详解
知识点一：轴对称图形和轴对称
1.轴对称图形：一个图形沿着某一条直线对折，直 线两旁的部分能够完全重合，有这样形状的图形叫 轴对称图形。 2.轴对称：有两个图形，如果沿着某条直线对折这 两个图形能够完全重合，那么这两个图形的位置关 系叫做轴对称。 3.对称轴：对折的直线为轴对称图形或轴对称的对 称轴。 4.轴对称图形和轴对称图形的性质：
ACBC． ．行 义 换C． ．∠ ∠．13线 得 后1700EA900° °的 到 有DCc0°CDm°∠性 角==或，∠∠，A质 相17OBB204BDD和 等CCc0°． ．=DDm°∠角 ，， ，2400平 进E又 即° °DO分 行D∠，E线 等∥E即CD的 量DB．证=C∠定 代，在△E所9EDcOC以mD，或为，1等2c腰m之三间角形。 分 三 ∠ 解 ∴ 又 ∴ ∴ 故分 所 解 底 （ 1故D分 和 要 证 解 角 当 边 故解 理 ∵ ∴ ∴ ∴A析 角 E∠ ∠ 选： ∵0．解 又 ∴ ∴ 又 ∴ 答 所 DDD角析 以 ： 选20进 关析 能 ： 形 腰 选5： 由 DO∠△E⊥C： 形 AE：∵A） °7cEE=A∠ 以： ∵ △ ∵ ：=DDD： 要 （ ：，0m： 否 当 的 长 ：行 系∥ =△ ：EA3C∠根 的在BEC=A若 ，°，DOOc=E，∵ EADAC==A为因 分1D讨 ，题 组 腰 三 是B∵EODEDAmEECCA8∠E据 性△ ，） 44，而B=O为∥△由 的 ，EC=D，D0为 两700论 此目 成 长 边5∠DO+=2是CA题 质AA°° °若07没c为等DE∠cB长 即CEDBD-∠种4°0给 三 是 关m， 时E平等CmCCD意 可∠ 是CC角40；°有时D等腰=BD是 可平 ， ，中 -B情°，0还 周出 角 系2∴分O2C是腰可 得∠ ∠AA为°或明c，腰三+分求DD5CD，况角7等 形 ，要 长m∠∠3Ec， 等三=判EAB∠底0角1确时 因三角=∠得=m4DA． D进没°0应 是腰 ． 应5EA3即 腰角断EC为A0角为0腰， 为cDO角形cA。=D的 °行有；°三 排用1OBmmC三∠形出9EB，顶、2因5=形B， ；0=，角C讨明，三角 除c+∠角， E，∠A中 °则角m底为5C平D论确4角形 ；＞ ．B形∴ ∴DA⊥-点另，0分2∴O=E分8．是°有形+2D∠∠，CDB，0外则别2，∠E=C°线顶的两＜E=AC，8A两另是符ADDCE0，=B角条三5ODCE==根° 1个处多，合D=D， ，A0还边边=∠E据， °C角两少不三∠，，是长关B等所．为个，符角DC又底系为OD腰以角所合形B， A角验2E是以三三c=，m2cm，

3.“连”，按照原图形的形状顺次 连接这些对称点，得到轴对称图 形的另一半。
探究新知
presentation
轴对称图形画法并不难，找准关键点是关键。 点轴距离要按格算，才能找得准对称点。 依次连接各对称点，轴对称图形准确现。
学习任务四
达标练习，巩固成果
达标练习
practice
1. 说一说，轴对称图形有哪些特点？ 答：轴对称图形沿着对称轴对折，两侧的图形能够完全重合；
课前导入
Lead
in
知识链接
knowledge link
观察这些物体，你能发现它们都有什么共同特征？
它们都是一类特殊的 图形——轴对称图形。
这些图案中蕴含着哪些 数学知识，今天我们来 了解更多轴对称的知识！
学习任务一
进一步认识轴对称图形及其 对称轴
探究新知
presentation
看一看、想一想：你发现了什么？
力，发展空间观念。
3 让学生在活动中欣赏图形的变换美，进一步感受 轴对称在生活中的应用，体会学习数学的价值。
02. 重点难点 Leaning points 学习重点 掌握轴对称图形的特征和性质。 学习难点 能在方格纸上画出轴对称图形的另一半。 核心素养 让学生经历“做”数学的过程，在操作中理解规 律，感受知识间的联系。
达标练习
practice
8.你能画出下面图形的另一半吗？试一试。
A′ A
B C
（1）找出图形中每条线段的端点，分 别命名为A、B、C、D。
其中A、D两个端点在对称轴上，分别 与其对称点位置重合。
D′ D
教材第82页“练习二十”第7题
达标练习
practice
8.你能画出下面图形的另一半吗？试一试。

点(x, y)关于 y 轴对称的点的坐标为 (-x, y) .
八、布置作业
教科书第71至第72页 习题 13.2第1 ，2 ，3, 4，5 题.
同学们再见！
二、探究新知
如问图题，1 在认一真张观半察透，明右的脚纸印的和左边脚部印分有，什画么一关只系左？脚印. 把这张这纸时对，折右后脚描印图和，左打脚开印对成折轴的对纸称，，就折能痕得所到在相直应线的就右是脚它 印们的. 对称轴.
折痕垂直平分线段PP′.
追问: 折痕与图中的线段PP′是什么关系？
二、探究新知
2
C′
B E′′ D′′
-6
B′ A′′
C
A′ B′′ DE
6
D′ E′ A
C′′
E( 4, 0 )
E′ ( 4 , 0 ) E′′ ( -4, 0 )
四、深入探究
看看每对对称点的坐标有怎样的规律？
归纳
(C-6′, 5)
(-1, 2)
B
(1,(22,)3)A′ B′′
E′′ D′′ D E
-6
6
D′ E′
画法：（1）如图，过点A 画直线l 的垂线，垂足为O，在
垂线上截取OA′ = OA， A′ 就是点A 关于直线l 的对称点；
B
（2）同理，分别画出点 B，C
C
关于直线l 的对称点B′，C′ ； （3）连接A′B′，B′C′，C′A′，
则△A′B′C′ 即为所求.
A O A′
B′
l
C′
二、探究新知
追问: 如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形 关于这条直线对称的图形呢？
-3 -4 -5
C′
· ·D′
· · B′

第五章轴对称的性质与作图本章进步目标★★★★★☆Level 5通过对本节课的学习，你能够：1.对轴对称的性质与判定达到【高级理解】级别；2.对垂直平分线与角平分线的相关概念达到【初级运用】级别；3.对路径最短问题达到【高级理解】级别。

VISIBLE PROGRESS SYSTEM进步可视化教学体系据说，古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。

有一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？提起路线最短的问题，大家知道，连结两点之间的所有线中，最短的是线段。

这个题中马走的是一条折线。

这该怎么办呢？海伦的方法是这样的：取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方。

将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的。

如果将军在河边的另外任一点C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B，但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB．可见，在C点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些．这里有几点需要说明：(1)由作法可知，河流l相当于线段AA'的中垂线，所以AD=A'D。

(2)由上一条可知，将军走的路程就是AC+BC，就等于A'C+BC，而两点确定一线，所以C点为最优。

年轻朋友们喜欢打台球，实际上打台球无时无刻都需要应用海伦的妙法。

下面我们看一个有关打台球的实例。

若在矩形的球台上，有两个球在M和N的位置上。

假如从M打出球，先触及AB边E点，弹出后又触到CB边F点，从CB边再反射出来。

问用怎样的打法，才能使这个球反射后正好撞上在N点放置的球？具体做法是：先作M关于AB的对称点M’，再作N关于BC的对称点N’，那么M’N’和BC的交点为E，F；E、F就是球和各边的撞击点。

L B
A
A'
A L
A'
B'
B
B' ①
②
练习题：
判断下列画线段MN的轴对称图形，哪一个是正确的（ C）
N1 N （M1）
N （N1）N （M1） M来自以上答案 M1 都不对
M
M
N1
A
B
C
D
图形变式：
已知△ABC，直线L，画出△ABC关于直线
L对称的图L 形。
L
A A'
A A'
C'
B
C C'
B' B
C B'
C1 A1
B1
(1)你可以通过什么方法来验证你 画的是否正确?
(2)和其他同学比较一下，你的方 法是最简单的吗?
做一做 1 如图，已知点 A 和 直线l ，试画出
点A关于直线l的对称点A′并写出画法。
l
. . A
o
A’
作法：1.画AO l于O,
2.延长AO到 A’ , 使A’O = AO, 则点A’即为所求。
做一做 2 如图，已知线段 AB 和 直线l ，试
. 画出线段 AB关于直线l的对称线段并写出画法。
A l
A0 画法：
(1) 作点A的对称点A0 ，
(2) 作点B的对称点B0，
(3) 连结线段A0B0 .
.B0
则线段A0B0即为所求。 B
做一做 3 已知△ABC，直线l，画出△ABC关于
. 直线 l 对称的图形.
巩固练习：
1、在图中分别画出点A关于两条直线的对 称点 A'和A''。
2、画出所示图形关于直线L的对称图形。