自相关函数和互相关函数计算和作图的整理之欧阳家百创编

自相关与互相关函数的计算与应用自相关函数和互相关函数是信号处理中常用的概念和工具，用于描述信号之间的相关性和相似性。

在本文中，我们将介绍自相关函数和互相关函数的计算方法，并探讨它们在实际应用中的用途。

一、自相关函数的计算与应用自相关函数是描述一个信号与其自身之间的相关程度的函数。

它的计算方法是将信号与其自身进行卷积，然后对结果进行归一化处理。

自相关函数具有以下性质：1. 自相关函数的取值范围是[-1, 1]之间。

当自相关函数的取值接近1时，表示信号之间具有高度的相关性；当取值接近-1时，表示信号之间具有高度的反相关性；当取值接近0时，表示信号之间不存在相关性。

2. 自相关函数的峰值对应着信号的周期。

通过找到自相关函数的峰值，我们可以确定信号的周期，从而对信号进行频域分析和周期性检测等操作。

3. 自相关函数可以用于信号的降噪和滤波。

通过计算信号的自相关函数，我们可以找到信号中的重复模式，并进行滤波操作，从而去除噪声和杂乱的信号成分。

二、互相关函数的计算与应用互相关函数是描述两个信号之间相关程度的函数。

它的计算方法是将两个信号进行卷积，然后对结果进行归一化处理。

互相关函数具有以下性质：1. 互相关函数可以用于信号的相似性匹配和模式识别。

通过计算待匹配信号和参考信号的互相关函数，我们可以找到信号之间的相似性，并进行模式匹配和识别操作。

2. 互相关函数可以用于信号的延时估计。

通过计算信号之间的互相关函数，我们可以估计信号之间的时间延迟，从而实现信号的同步和对齐。

3. 互相关函数可以用于信号的频率测量。

通过计算信号之间的互相关函数的频域分析，我们可以获得信号的频率信息，从而实现信号的频率测量和频域分析。

三、自相关与互相关函数的应用示例自相关和互相关函数在信号处理和模式识别领域有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例：1. 语音信号处理：通过计算语音信号的自相关函数，可以实现语音信号的周期性检测和降噪操作，从而提高语音识别的准确性。

相关函数１.自相关函数自相关函数就是信号在时域中特性的平均度量,它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系,其定义式为(2、4、6)对于周期信号,积分平均时间T为信号周期。

对于有限时间内的信号,例如单个脉冲,当T趋于无穷大时,该平均值将趋于零,这时自相关函数可用下式计算(2、4、7)自相关函数就就是信号x(t)与它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值,它就是时移变量τ的函数。

例如信号的自相关函数为若信号就是由两个频率与初相角不同的频率分量组成,即,则对于正弦信号,由于,其自相关函数仍为由此可见,正弦(余弦)信号的自相关函数同样就是一个余弦函数。

它保留了原信号的频率成分,其频率不变,幅值等于原幅值平方的一半,即等于该频率分量的平均功率,但丢失了相角的信息。

自相关函数具有如下主要性质:(1)自相关函数为偶函数,,其图形对称于纵轴。

因此,不论时移方向就是导前还就是滞后(τ为正或负),函数值不变。

(2)当τ＝0时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值,即(2、4、8)(3)周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。

(4)若随机信号不含周期成分,当τ趋于无穷大时,趋于信号平均值的平方,即(2、4、9)实际工程应用中,常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度,定义式为(2、4、10)当τ＝0时,＝1,说明相关程度最大;当τ＝∞时,,说明信号x(t)与x(t+τ)之间彼此无关。

由于,所以。

值的大小表示信号相关性的强弱。

自相关函数的性质可用图2、4、3表示。

图2、4、3 自相关函数的性质常见四种典型信号的自相关函数如图2、4、4所示,自相关函数的典型应用包括:(1)检测信号回声(反射)。

若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声,那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值(另一峰值在处),这样可根据确定反射体的位置,同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。

时间历程自相关函数图形正弦波正弦波加随机噪声窄带随机噪声宽带随机噪声图2、4、4 四种典型信号的自相关函数(2)检测淹没在随机噪声中的周期信号。

自相关与互相关函数的性质与应用自相关函数和互相关函数是信号处理领域中常用的工具，它们能够描述信号与自身或其他信号之间的相互关系。

本文将介绍自相关函数和互相关函数的性质及其在不同领域中的应用。

一、自相关函数自相关函数是用来衡量信号与自身之间的相似程度。

在时域上，自相关函数定义为信号与其自身的延迟版本的乘积的积分。

数学表达式如下：Rxx(tau) = ∫[x(t)*x(t-tau)]dt在自相关函数中，tau表示延迟的时间。

自相关函数具有以下性质：1. 对称性：自相关函数关于tau=0对称，即Rxx(-tau) = Rxx(tau)。

2. 零延迟：在tau=0时，自相关函数达到最大值，即Rxx(0) =∫[x(t)^2]dt。

3. 正则性：自相关函数的取值范围在0和Rxx(0)之间。

自相关函数在信号处理中有广泛的应用，包括时序分析、噪声滤除和谱估计等。

例如，在时序分析中，自相关函数可用于检测信号的周期性和重复性，帮助确定信号的周期。

二、互相关函数互相关函数用于衡量两个信号之间的相似程度。

在时域上，互相关函数定义为一个信号与另一个信号的延迟版本的乘积的积分。

数学表达式如下：Rxy(tau) = ∫[x(t)*y(t-tau)]dt在互相关函数中，tau表示延迟的时间。

互相关函数具有以下性质：1. 非对称性：互相关函数通常不满足对称性，即Rxy(-tau) ≠Rxy(tau)。

2. 特定延迟下的相似性：当tau等于信号y的延迟时间时，互相关函数达到最大值，即Rxy(tau) = ∫[x(t)*y(t)]dt。

3. 互相关峰值：互相关函数的最大值表示信号x和信号y之间的最佳匹配程度。

互相关函数在信号处理和图像处理领域具有广泛应用。

例如，在音频处理中，互相关函数可用于音频识别和音频匹配；在图像处理中，互相关函数可用于图像匹配和模式识别。

三、自相关与互相关函数的应用1. 语音识别：自相关和互相关函数可用于语音信号的特征提取和语音识别算法的设计。

2.4.3 相关函数１．自相关函数自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，其定义式为（2.4.6）对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。

对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算（2.4.7）自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。

例如信号的自相关函数为若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即，则对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。

它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。

自相关函数具有如下主要性质：（1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。

因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。

（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即（2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。

（4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即（2.4.9）实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度，定义式为（2.4.10）当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与x(t+τ)之间彼此无关。

由于，所以。

值的大小表示信号相关性的强弱。

自相关函数的性质可用图2.4.3表示。

图2.4.3 自相关函数的性质常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括：（1）检测信号回声（反射）。

若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。

时间历程自相关函数图形图2.4.4四种典型信号的自相关函数（2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。

相关函数计算公式互相关函数，自相关函数计算和作图1.自相关和互相关的概念。

●互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。

●自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。

-----------------------------------------------------------------------------------事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

2.利用matlab中实现这两个相关并用图像显示：自相关函数：dt=.1;t=[0:dt:100];x=cos(t);[a,b]=xcorr(x,'unbiased');plot(b*dt,a)互相关函数：把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。

3.实现过程：在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。

当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。

事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。

下面是检验两者结果相同的代码：dt=.1;t=[0:dt:100];x=3*sin(t);y=cos(3*t);subplot(3,1,1);plot(t,x);subplot(3,1,2);plot(t,y);[a,b]=xcorr(x,y);subplot(3,1,3);plot(b*dt,a);yy=cos(3*fliplr(t)); % or use: yy=fliplr(y);z=conv(x,yy);pause;subplot(3,1,3);plot(b*dt,z,'r');即在xcorr中不使用scaling。

自相关与互相关函数的快速计算方法自相关与互相关函数是信号处理和统计学中经常使用的方法，用来衡量信号之间的相似性和相关性。

在许多应用中，需要计算大量的自相关与互相关函数，因此快速计算这些函数变得至关重要。

本文将介绍几种常用的自相关与互相关函数的快速计算方法，包括傅里叶变换法、卷积法和快速傅里叶变换法。

1. 傅里叶变换法自相关和互相关函数可以通过傅里叶变换来计算。

傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，这样可以方便地进行相关性计算。

自相关函数的计算可以通过将信号与其自身的共轭进行逐点相乘，然后进行逆傅里叶变换得到。

互相关函数的计算则是将两个信号进行逐点相乘，然后进行逆傅里叶变换得到。

这种方法的优点是简单直观，但是计算复杂度较高，特别是对于大型信号序列而言。

2. 卷积法自相关与互相关函数可以利用卷积运算进行计算。

卷积是信号处理中常用的一种操作，可以用来计算两个信号之间的相关性。

自相关函数可以通过信号与其自身的卷积进行计算，而互相关函数可以通过两个信号的卷积进行计算。

卷积法的计算复杂度相对于傅里叶变换法来说较低，特别是对于长信号序列而言。

然而，卷积法计算速度也随着信号长度的增加而增加，因此在需要计算大型信号序列的情况下，仍然存在一定的计算负担。

3. 快速傅里叶变换法快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算傅里叶变换的方法，可以明显加快计算速度。

FFT算法的核心思想是将一个N点DFT分解为多个小规模DFT的计算。

对于自相关与互相关函数的计算，可以利用FFT来加速相应的计算过程。

自相关函数的计算可以通过对信号进行零填充，然后进行FFT计算得到。

互相关函数的计算可以通过将两个信号进行零填充，并对两个信号同时进行FFT计算，然后进行逐点相乘再进行逆FFT计算得到。

FFT算法在计算大型信号序列的自相关与互相关函数时具有明显的优势。

总之，自相关与互相关函数的快速计算方法包括傅里叶变换法、卷积法和快速傅里叶变换法。

这些方法各有优劣，可以根据具体应用场景选择适合的方法。

相关函数１．自相关函数ﻫ自相关函数就是信号在时域中特性得平均度量,它用来描述信号在一个时刻得取值与另一时刻取值得依赖关系,其定义式为ﻫ(2、4、6）ﻫﻫ对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。

对于有限时间内得信号，例如单个脉ﻫ冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算（2、4、7)ﻫ自相关函数就就是信号ｘ(t）与它得时移信号x(t+τ）乘积得平均值，它就是时移变量τ得函ﻫ数。

ﻫﻫ例如信号得自相关函数为ﻫ若信号就是由两个频率与初相角不同得频率分量组成,即，则ﻫﻫ对于正弦信号,由于，其自相关函数仍为ﻫﻫﻫ由此可见，正弦（余弦）信号得自相关函数同样就是一个余弦函数。

它保留了原信号ﻫ得频率成分,其频率不变，幅值等于原幅值平方得一半，即等于该频率分量得平均功率ﻫ，但丢失了相角得信息。

ﻫﻫ自相关函数具有如下主要性质：ﻫ (１）自相关函数为偶函数,，其图形对称于纵轴。

因此,不论时移方向就是导前还就是滞后(τ为正或负)，函数值不变。

（２）当τ=0时,自相关函数具有最大值，且等于信号得均方值，即（２、4、8)ﻫ（3）周期信号得自相关函数仍为同频率得周期信号。

（４）若随机信号不含周期成分,当τ趋于无穷大时,趋于信号平均值得平方ﻫ，即ﻫ (２、4、9)实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间得相关程ﻫ度,定义式为ﻫ (2、4、１0）ﻫ当τ＝0时，＝１,说明相关程度最大;当τ＝∞时，,说明信号x（ｔ）与x(ｔ＋τ）之间彼此无关。

由于，所以.值得大小表示信号相关性得强弱。

ﻫﻫ自相关函数得性质可用图2、4、3表示.图2、4、3 自相关函数得性质常见四种典型信号得自相关函数如图２、4、4所示,自相关函数得典型应用包括: ﻫ（1)检测信号回声(反射）。

若在宽带信号中存在着带时间延迟得回声,那么该信号得自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处)，这样可根据确定ﻫ反射体得位置，同时自相关系数在处得值将给出反射信号相对强度得度量。

信号相关分析原理自相关函数互相关函数1. 自相关函数（Autocorrelation Function）：自相关函数用于衡量信号与其自身之间的相似性和相关性。

自相关函数是信号的一个函数，描述了信号与其自身在不同时间延迟下的相似程度。

自相关函数的计算公式为：R_xx(tau) = E[x(t)x(t+tau)]其中，R_xx(tau)表示在时间延迟tau下信号x(t)与自身的相关程度，E表示期望值运算。

自相关函数的值越大，表示信号在不同时间延迟下的相似性越高。

自相关函数在信号处理中有广泛的应用，例如：-信号周期性分析：自相关函数可以用于检测信号是否具有周期性，通过寻找自相关函数的周期性峰值，可以判断信号的周期。

-信号估计：通过自相关函数的峰值位置可以估计信号的延迟时间。

2. 互相关函数（Cross-correlation Function）：互相关函数用于衡量两个信号之间的相似性和相关性。

互相关函数描述了两个信号在不同时间延迟下的相似程度。

互相关函数的计算公式为：R_xy(tau) = E[x(t)y(t+tau)]其中，R_xy(tau)表示信号x(t)与信号y(t)在时间延迟tau下的相关程度。

互相关函数的值越大，表示信号之间的相关性越高。

互相关函数在信号处理中也有广泛的应用，例如：-图像配准：互相关函数可以用于图像配准，通过计算两幅图像之间的互相关函数找到最大峰值，可以确定两幅图像的平移和旋转关系。

-信号相似性检测：在音频、图像和视频等领域中，可以通过互相关函数比较两段信号之间的相似性，例如音频中的语音识别和音乐识别。

总结起来，自相关函数和互相关函数是信号相关分析中常用的方法，可以用来描述信号之间的相似性、周期性和相关程度。

通过计算自相关函数和互相关函数可以在信号处理、图像处理和音频处理等领域中得到广泛的应用。

自相关函数和互相关函数的matlab计算和作图1. 首先说说自相关和互相关的概念。

这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。

互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。

它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效.事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

那么，如何在matlab中实现这两个相关并用图像显示出来呢？dt=.1;t=[0:dt:100];x=cos(t);[a,b]=xcorr(x,'unbiased');plot(b*dt,a)上面代码是求自相关函数并作图，对于互相关函数，稍微修改一下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。

2. 实现过程：在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。

当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。

事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。

⾃相关函数，互相关函数1. ⾸先说说⾃相关和互相关的概念。

这个是信号分析⾥的概念，他们分别表⽰的是两个时间序列之间和同⼀个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，⾃相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。

⾃相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度；互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的⼀个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各⾃的⾃谱联系了起来。

它能⽤来确定输出信号有多⼤程度来⾃输⼊信号，对修正测量中接⼊噪声源⽽产⽣的误差⾮常有效.事实上，在图象处理中，⾃相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则⾃相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表⽰卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

那么，如何在matlab中实现这两个相关并⽤图像显⽰出来呢？dt=.1;t=[0:dt:100];x=cos(t);[a,b]=xcorr(x,'unbiased');plot(b*dt,a)上⾯代码是求⾃相关函数并作图，对于互相关函数，稍微修改⼀下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。

2. 实现过程：在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利⽤Fourier变换中的卷积定理进⾏的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表⽰乘法，注：此公式仅表⽰形式计算，并⾮实际计算所⽤的公式。

当然也可以直接采⽤卷积进⾏计算，但是结果会与xcorr的不同。

数字信号处理中的自相关与互相关数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）是一门关于对离散信号进行数字化处理的学科。

在数字信号处理的领域中，自相关与互相关是两个重要的概念和技术，在信号分析和处理中具有广泛的应用。

本文将重点讨论数字信号处理中的自相关与互相关的原理、计算以及应用。

一、自相关自相关是指一个信号与其自身之间的相关性。

在数字信号处理中，自相关常用于分析信号的周期性、相干性以及计算信号的功率谱密度。

自相关函数（Autocorrelation Function，ACF）是用来衡量信号在不同时刻的相似程度的一种数学工具。

自相关函数可以通过以下公式计算：\[R_x(k) = \sum_{n=0}^{N-k-1} x(n)x(n+k)\]其中，$R_x(k)$表示信号$x(n)$在延迟$k$时刻的自相关函数值，$N$表示信号的长度，$k$为延迟时间。

通过计算不同的延迟时间，可以得到自相关序列，进而对信号进行周期性和相干性的分析。

自相关函数在信号处理中具有广泛的应用。

例如，在音频处理中，可以通过自相关函数分析音频信号的周期性，从而实现音频信号的去噪和频率分析；在图像处理中，自相关函数可以用于图像的模板匹配和边缘检测。

二、互相关互相关是指两个不同的信号之间的相关性。

在数字信号处理中，互相关常用于信号的匹配、滤波和信号相似度的衡量。

互相关函数（Cross-Correlation Function，CCF）是用来衡量两个信号之间相似性的一种数学工具。

互相关函数可以通过以下公式计算：\[R_{xy}(k) = \sum_{n=0}^{N-k-1} x(n)y(n+k)\]其中，$R_{xy}(k)$表示信号$x(n)$和$y(n)$在延迟$k$时刻的互相关函数值，$N$表示信号的长度，$k$为延迟时间。

通过计算不同的延迟时间，可以得到互相关序列，进而分析两个信号之间的相似度和相对偏移。

第五章信号处理初步信号处理的目的:1、分离信、噪，提高信噪比。

2、从信号中提取有用的特征信号。

3、修正测试系统的某些误差，如传感器的线性误差、温度影响等。

第一节数字信号处理的基本步骤一、数字信号处理的基本步骤图5-1 数字信号处理系统简图1、预处理是指在数字处理之前，对信号用模拟方法进行的处理。

把信号变成适于数字处理的形式，以减小数字处理的困难。

(1) 信号电压幅值处理，使之适宜于采样；(2) 过滤信号中的高频噪声；(3) 隔离信号中的直流分量，消除趋势项；(4) 如果信号是调制信号，则进行解调。

信号调理环节应根据被测对象、信号特点和数学处理设备的能力进行安排。

2、A／D转换是将预处理以后的模拟信号变为数字信号，存入到指定的地方，其核心是A/V转换器。

信号处理系统的性能指标与其有密切关系。

3、对采集到的数字信号进行分析和计算，可用数字运算器件组成信号处理器完成，也可用通用计算机。

目前分析计算速度很快，已近乎达到“实时”。

4、结果显示一般采用数据和图形显示结果。

第二节信号数字化出现的问题一、概述图5-2为模拟信号)(fXx及其幅频谱)(t图5-2原模拟信号及其幅频谱图5-3为等时距周期脉冲信号序列)s。

(t图5-4为采样后的信号及其频谱图，时域相乘对应频域的卷积相乘。

图5-5为窗函数，目的是用来从采样后的时间序列截取有限时间的一段。

图5-6为窗函数阶段后的有限长离散信号图5-7为频域采样函数。

图5-8为频域采样后的频谱二、时域采样、混叠和采样定理采样过程可以看作用等间隔的单位脉冲序列去乘模拟信号。

这样，各采样点上的信号大小就变成脉冲序列的权值，这些权值将被量化成相应的二进制编码。

其数学上的描述为，间隔为T s的周期脉冲序列g(t)乘模拟信号x(t)。

g(t)由下式表示，即n=0,±1, ±2, ±3,由δ函数的筛选特性可知n=0,±1, ±2, ±3,经时域采样后，各采样点的信号幅值为x(nT s)。

相关函数１．自相关函数自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，其定义式为（2.4.6）对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。

对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算（2.4.7）自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。

例如信号的自相关函数为若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即，则对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。

它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。

自相关函数具有如下主要性质：（1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。

因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。

（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即（2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。

（4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即（2.4.9）实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度，定义式为（2.4.10）当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与x(t+τ)之间彼此无关。

由于，所以。

值的大小表示信号相关性的强弱。

自相关函数的性质可用图2.4.3表示。

图2.4.3 自相关函数的性质常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括：（1）检测信号回声（反射）。

若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。

时间历程自相关函数图形正弦波图2.4.4 四种典型信号的自相关函数（2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。