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2020年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =„，{|()0}B x f x '=„，则(A B =I)A ．[1-，0]B ．[1-，2]C ．[0，1]D ．(-∞，1][2U ，)+∞2．（5分）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||(z z z += )A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+3．（5分）命题“(0,1)x ∀∈，x e lnx ->”的否定是( ) A ．(0,1)x ∀∈，x e lnx -„ B ．0(0,1)x ∃∈，00x e lnx ->C ．0(0,1)x ∃∈，00x e lnx -<D ．0(0,1)x ∃∈，00x e lnx -„4．（5分）已知||3a =r ，||2b =r ，若()a a b ⊥-r r r ，则向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为() A ．12B ．72 C ．12-D ．72-5．（5分）在三角形ABC 中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的( )条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A．11 12B．6C．112D．2237．（5分）木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为()A．2493π+B．4893π+C．48183π+D．144183π+8．（5分）函数cos23sin2([0,])2y x x xπ=∈的单调递增区间是()A．[0，]6πB．[0，]3πC．[6π，]2πD．[3π，]2π9．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩„„…所表示的平面区域内存在点(x，0)y，使不等式0010x my++„成立，则实数m的取值范围为()A．(-∞，5]2-B．(-∞，1]2-C．[4，)+∞D．(-∞，4]-10．（5分）已知函数1()2xf x e x-=+-的零点为m，若存在实数n使230x ax a--+=且||1m n-„，则实数a的取值范围是()A．[2，4]B．[2，7]3C．7[3，3]D．[2，3]11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线24y x=的焦点F重合；②双曲线E与过点(4,2)P的幂函数()af x x=的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是() A31+B51+C．32D5112．（5分）已知函数1()xf x xe-=，若对于任意的(0x∈，]e，函数2()()1g x lnx x ax f x=-+-+在(0，]e内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为()A ．(1，]eB ．2(e e-，]e C ．2(e e -，2]e e +D ．(1，2]e e-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.） 13．（5分）6(12)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为 ．14．（5分）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”， q 为“实”．即若ABC ∆的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则22222221[()]42a cb S ac +-=-．已知点D 是ABC ∆边AB 上一点，3AC =，2BC =，45ACD ∠=︒，tan BCD ∠=，则ABC ∆的面积为 ． 15．（5分）过直线7y kx =+上一动点(,)M x y 向圆22:20C x y y ++=引两条切线MA ，MB ，切点为A ，B ，若[1k ∈，4]，则四边形MACB 的最小面积S ∈的概率为 16．（5分）三棱锥S ABC -中，点P 是Rt ABC ∆斜边AB 上一点．给出下列四个命题： ①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的四个面都是直角三角形；②若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球体积为；③若3AC =，4BC =，SC S 在平面ABC 上的射影是ABC ∆内心，则三棱锥S ABC -的体积为2；④若3AC =，4BC =，3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为60︒． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4618a a +=，11121S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(3)2n n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．（12分）某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本)，并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．。
2020年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{0，1}B．{3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2，3}2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）3．（5分）甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为m1，m2，标准差分别为n1，n2，则（）A．m1＜m2，n1＜n2B．m1＜m2，n1＞n2C．m1＞m2，n1＜n2D．m1＞m2，n1＞n24．（5分）若tanα＝，则cos2α+2sin2α＝（）A．B．C．1D．5．（5分）运行如图程序框图，则输出框输出的是（）A．B．﹣1C．2D．06．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2﹣6x+5＝0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）设函数f（x）＝，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）8．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积9．（5分）广东省2018年新高考方案公布，实行“3+1+2”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2＝2和椭圆+y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．611．（5分）已知函数f（x）＝sin（x﹣φ），且f（x）dx＝0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f （3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（）A．[，1+]B．[，2+]C．[，2+]D．[，1+]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值等于．14．（5分）已知非零向量，满足4||＝3||，若⊥（﹣4+）则，夹角的余弦值为15．（5分）我国古代数学家祖暅提出的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知某几何体与三视图（如图所示）所表示的几何体满足“幂势既同”，则该几何体的体积为．16．（5分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且满足2a2+bc＝6，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，2a2+a5＝a8，S5＝25（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，其前项和为T n，求证：．18．（12分）如图，多面体ABCDB1C1为正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得，M为CB1的中点，且BC＝BB1＝2．（1）若D为AA1中点，求证AM∥平面DB1C1；（2）若二面角D﹣B1C1﹣B大小为，求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值．19．（12分）“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（x i，y i）（i＝1，2，…，6），如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）q8483807568已知＝80．（Ⅰ）求出q的值；（Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与x i对应的产品销量的估计值．当销售数据（x i，y i）对应的残差的绝对值时，则将销售数据（x i，y i）称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）20．（12分）直线l：y＝x+m与曲线C：x2＝2py交于A，B两点，A与B的中点N横坐标为2．（1）求曲线C的方程；（2）过A，B两点作曲线C的切线，两切线交于点E，直线VE交曲线C于点M，求证：M是线段NE的中点．21．（12分）已知f（x）＝e x﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）求函数f'（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）＝xe x﹣f（x），若g（x）有两个零点，求a的取值范围．选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求|MN|的最大值．23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（Ⅰ）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2020年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{0，1}B．{3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：M＝{x|x＜﹣1，或x＞2}；∴M∩N＝{3}．故选：B．2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．3．（5分）甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为m1，m2，标准差分别为n1，n2，则（）A．m1＜m2，n1＜n2B．m1＜m2，n1＞n2C．m1＞m2，n1＜n2D．m1＞m2，n1＞n2【解答】解：由甲、乙两名同学6次考试的成绩统计图，知：甲的平均成绩高于乙的平均成绩，甲的成绩的波动小于乙的成绩的波动，甲乙两组数据的平均数分别为m1，m2，标准差分别为n1，n2，则m1＞m2，n1＜n2．故选：C．4．（5分）若tanα＝，则cos2α+2sin2α＝（）A．B．C．1D．【解答】解：∵tanα＝，∴cos2α+2sin2α＝＝＝＝．故选：A．5．（5分）运行如图程序框图，则输出框输出的是（）A．B．﹣1C．2D．0【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝1，x＝满足条件n≤2020，执行循环体，x＝﹣1，n＝2满足条件n≤2020，执行循环体，x＝2，n＝3满足条件n≤2020，执行循环体，x＝，n＝4…观察规律可得x的取值周期为3，由于2020＝673×3，可得n＝2020时，满足条件n≤2020，执行循环体，x＝，n＝2020此时，不满足条件n≤2020，退出循环，输出x的值为．故选：A．6．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2﹣6x+5＝0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣6x+5＝0⇔（x﹣3）2+y2＝4，由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），∴a2+b2＝9①又双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，而双曲线的渐近线方程为：y＝±x⇔bx±ay＝0，∴＝2 ②连接①②得，可得c＝3，所以双曲线的离心率为：＝．故选：C．7．（5分）设函数f（x）＝，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选：D．8．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离＝为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积＝为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．9．（5分）广东省2018年新高考方案公布，实行“3+1+2”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：广东省2018年新高考方案公布，实行“3+1+2”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，基本事件总数n＝＝12，在所有选项中某学生选择考历史和化学包含的基本事件总数m＝，∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为p＝．故选：C．10．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2＝2和椭圆+y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．6【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2＝2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为＝＝≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+＝6．故选：D．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（x﹣φ），且f（x）dx＝0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【解答】解：∵函数f（x）＝sin（x﹣φ），f（x）dx＝﹣cos（x﹣φ）＝﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]＝cosφ﹣sinφ＝cos（φ+）＝0，∴φ+＝kπ+，k∈z，即φ＝kπ+，k∈z，故可取φ＝，f（x）＝sin（x﹣）．令x﹣＝kπ+，求得x＝kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x＝，故选：A．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f （3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（）A．[，1+]B．[，2+]C．[，2+]D．[，1+]【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立，即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．令g（x）＝，则g′（x）＝，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）max＝．令h（x）＝，h′（x）＝＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min＝．综上所述，m∈[，]．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值等于﹣．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z＝2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣＝﹣．故答案为：．14．（5分）已知非零向量，满足4||＝3||，若⊥（﹣4+）则，夹角的余弦值为【解答】解：∵非零向量，满足4||＝3||，若⊥（﹣4+），∴||＝||，且•（﹣4+）＝﹣4＝0，即＝．设，夹角为θ，则cosθ＝＝＝，故答案为：．15．（5分）我国古代数学家祖暅提出的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知某几何体与三视图（如图所示）所表示的几何体满足“幂势既同”，则该几何体的体积为．【解答】解：由题意可知加好友是圆柱挖去一个圆锥的几何体，几何体的体积为：＝．故答案为：．16．（5分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且满足2a2+bc＝6，则△ABC面积的最大值为1．【解答】解：∵2a2+bc＝6，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴6＝2（b2+c2﹣2bc cos A）+bc≥5bc﹣4bc cos A，即：bc≤，当且仅当b＝c时等号成立，那么＝1．其中：3sin A+4cos A＝5sin（A+φ）．故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，2a2+a5＝a8，S5＝25（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，其前项和为T n，求证：．【解答】解：（1）设公差为d，则由2a2+a5＝a8，S5＝25得，，解得，所以a n＝2n﹣1．（2），，易知T n随着n的增大而增大，所以．18．（12分）如图，多面体ABCDB1C1为正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得，M为CB1的中点，且BC＝BB1＝2．（1）若D为AA1中点，求证AM∥平面DB1C1；（2）若二面角D﹣B1C1﹣B大小为，求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值．【解答】解：（1）取B1C1中点N，连接MN，则MN为△B1C1C的中位线，∴∴MN，∵D为AA1中点∴AD，∴MN AD………………………………………………2′∴四边形ADMN为平行四边形………………………………………………4′∴AM∥DN，∴AM∥平面DB1C1………………………………………………6′（2）由B1C1⊥DN，B1C1⊥MN可得∠DNM二面角D﹣B1C1﹣B平面角，二面角D﹣B1C1﹣B大小为可得………………………………………………8′如图建立空间直角坐标系，C（﹣1，0，0），B1（1，2，0），，∴设平面ACB 1的法向量为，…………………………………………10′………………………………………………11′所以直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值为．………………………………………………12′19．（12分）“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（x i，y i）（i＝1，2，…，6），如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）q8483807568已知＝80．（Ⅰ）求出q的值；（Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与x i对应的产品销量的估计值．当销售数据（x i，y i）对应的残差的绝对值时，则将销售数据（x i，y i）称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）【解答】解：（Ⅰ），可求得q＝90．（Ⅱ），，所以所求的线性回归方程为．（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程可得，当x1＝4时，；当x2＝5时，；当x3＝6时，；当x4＝7时，；当x5＝8时，；当x6＝9时，．与销售数据对比可知满足（i＝1，2，…，6）的共有3个“好数据”：（4，90）、（6，83）、（8，75）．于是ξ的所有可能取值为0，1，2，3.；；；，∴ξ的分布列为：ξ0123P于是．20．（12分）直线l：y＝x+m与曲线C：x2＝2py交于A，B两点，A与B的中点N横坐标为2．（1）求曲线C的方程；（2）过A，B两点作曲线C的切线，两切线交于点E，直线VE交曲线C于点M，求证：M是线段NE的中点．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，于是直线AB的斜率所以曲线C的方程为x2＝4y．（2）抛物线在A（x1，y1）点处的切线方程为：，整理得：，同理：抛物线在点B（x2，y2）处的切线方程为：联立方程组解得：，解得：，即E（2，﹣m）．而N（2，2+m），所以直线NE的方程为：x＝2；与抛物线方程联立可得M（2，1）由N（2，2+m），M（2，1），E（2，﹣m），可得M是线段NE的中点．21．（12分）已知f（x）＝e x﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）求函数f'（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）＝xe x﹣f（x），若g（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f’（x）＝e x﹣2ax，f’’（x）＝e x﹣2a（1）若a≤0，显然f’’（x）＞0，所以f’（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数所以，函数f（x）没有极值，（2）若a＞0，则由f’’（x）＜0可得x＜ln2a，f''（x）＞0可得x＞ln2a，所以f’（x）在（﹣∞，ln2a）上是减函数，在（ln2a，+∞）上是增函数．所以f’（x）在x＝ln2a处取极小值，极小值为f’（ln2a）＝2a（1﹣ln2a）．（Ⅱ）g（x）＝xe x﹣f（x）＝（x﹣1）e x+ax2，函数g（x）的定义域为R，且g'（x）＝xe x+2ax＝x（e x+2a），（1）若a＞0，则由g’（x）＜0可得x＜0，由g（x）＞0可得x＞0．所以g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．所以g（x）的最小值为g（0）＝﹣1．令h（x）＝（x﹣1）e x，则h’（x）＝xe x．显然由h’（x）＜0可得x＜0，所以h（x）＝（x﹣1）e x在（﹣∞，0）上是减函数，又函数y＝ax2在（﹣∞，0）上是减函数，取实数，则，又g（0）＝﹣1＜0，g（1）＝a＞0，g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．由零点存在性定理，g（x）在上各有一个唯一的零点．所以a＞0符合题意．（2）若a＝0，则g（x）＝（x﹣1）e x．显然g（x）仅有一个零点1，所以a＝0不符合题意，（3）若a＜0，则g′（x）＝x[e x﹣e ln（﹣2a）]，①若ln（﹣2a）＝0，则．而由g'（x）＞0可得x＜0，或x＞0，所以g（x）在R上是增函数．所以g（x）最多有一个零点．所以不符合题意．②若ln（﹣2a）＜0，则，由g'（x）＞0可得x＜ln（﹣2a），或x＞0，由g’（x）＜0可得ln（﹣2a）＜x＜0．所以g（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上是增函数，在（ln（﹣2a），0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．所以g（x）在x＝ln（﹣2a）处取极大值，且极大值为：g（ln（﹣2a））＝a[ln2（﹣2a）﹣2ln（﹣2a）+2]＝a{[ln（﹣2a）﹣1]2+1}＜0，所以g（x）最多有一个零点，所以不符合题意．③若ln（﹣2a）＞0，则，由g'（x）＞0可得x＜0，或x＞ln（﹣2a），由g’（x）＜0可得0＜x＜ln（﹣2a），所以g（x）在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，ln（﹣2a）上是减函数，在（ln（﹣2a），+∞）上是增函数．所以g（x）在x＝0处取极大值，且极大值为g（0）＝﹣1＜0，所以g（x）最多有一个零点，所以不符合题意，综上，a的取值范围是（0，+∞）．选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求|MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）极坐标方程可化为………（2分）等价于，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入，所以曲线C2的直角坐标方程为．………………（5分）（Ⅱ）不妨设0≤α＜π，点M，N的极坐标分别为（ρ1，α），（ρ2，α）所以|MN|＝|ρ1﹣ρ2|＝＝＝所以当时，|MN|取得最大值．………………………………（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（Ⅰ）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③；解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
2020年湖北省黄冈中学高考数学适应性试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|22x﹣3＜1}，则A∩B＝（）A．B．C．D．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则z1z2＝（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣1，则a5的值为（）A．8B．16C．32D．814．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝1og a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．5．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”．若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．陀螺是中国民间较早的体育活动工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现．如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（）A．B．C．D．20π7．若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a0+a1+a2+…+a7的值是（）A．﹣1B．﹣2C．126D．﹣1308．已知a＝0.20.2，b＝0.20.3，c＝log20.3，d＝log0.30.2，则执行如图所示的程序框图，输出的x值等于（）A．a B．b C．c D．d9．已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．10．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4的取值的范围是（）A．（40，64）B．（40，48）C．（20，32）D．（20，36）11．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在Y轴上，下列说法：①函数f（x）的最小正周期是2π；②函数f（x）的图象关于点成中心对称；③点M的坐标是，其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．312．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A关于平面BDC1对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O是坐标原点．点A在抛物线C上，且|AO|＝|AF|，则线段|AF|的长是．14．已知函数，则曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为．15．已知双曲线C的中心在原点，F（﹣2，0）是一个焦点，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣3，﹣1），则C的方程是．16．在△ABC中，若，则cos C的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必做考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，分别用甲、乙两种方法培育该品种花苗．为比较两种培育方法的效果，选取了40棵花苗，随机分成两组，每组20棵．第一组花苗用甲方法培育，第二组用乙方法培育．培育完成后，对每棵花苗进行综合评分，绘制了如图茎叶图：（1）分别求两种方法培育的花苗综合评分的中位数．你认为哪一种方法培育的花苗综合评分更高？并说明理由．（2）综合评分超过80的花苗称为优质花苗，填写如表的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关？优质花苗非优质花苗合计甲培育法乙培育法合计附：．P（K2≥k0）0.0100.0500.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，点E，F分别为AC，PC的中点，PA＝1，AB＝2．（1）求证：平面BEF⊥平面PAC；（2）在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．19．如图，已知椭圆过点，其左、右顶点分别是A，B，下、上顶点分别是C，D，P是椭圆上第一象限内的一点，直线PA，PB的斜率k1，k2满足．（1）求椭圆C的方程；（2）过P点的直线PO交椭圆于另一点Q，求四边形APCQ面积的取值范围．20．今年上半年“新冠肺炎”全球大爆发．在某个时间点，某城市从有人发病到发现人传人时，已有发病人数a0＝0.3（千人），从此时起，每周新增发病人数a t（单位：千人）与时间t（单位：周）之间近似地满足a t＝e（t∈N*），且当t＝2时，a2＝2（千人）．为阻止病毒蔓延，该城市第3周后果断采取了封城的隔离措施，再经过2周后隔离措施产生了效果，新增发病人数．（1）求该城市第5，6，7周新增发病人数；（2）该城市从发现人传人时，就不断加大科技投入，第t周治愈人数b t（单位：千人）与时间t（单位：周）存在关系，为了保障每一位“新冠肺炎”病人能及时入院治疗，该城市前9周（不考虑死亡人数的前提下）至少需准备多少张床位？（注：出院人数不少于新增发病人数时，总床位不再增加）21．已知函数f（x）＝axlnx﹣（a+1）lnx，f（x）的导数为f'（x）．（1）当a＞﹣1时，讨论f'（x）的单调性；（2）设a＞0，方程有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程为，曲线C1的参数方程为（θ为参数），若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得曲线C2．（1）求直线l的斜率和曲线C2的普通方程；（2）设点P（0，2），直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥；（2）++≥（++）．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|22x﹣3＜1}，则A∩B＝（）A．B．C．D．【分析】先求出集合A，B，进而可求．解：，所以．又A＝（1，4），故选：C．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则z1z2＝（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解：z1＝2+i对应的点的坐标为（2，6），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则对应的复数，z2＝﹣5+i，故选：A．3．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣1，则a5的值为（）A．8B．16C．32D．81【分析】分别把1，2，3，4，5代入S n＝2a n﹣1，即可求解结论．解：因为S n＝2a n﹣1，∴S1＝2a1﹣1⇒a1＝1，S3＝4a3﹣1＝a5+a2+a3⇒a3＝4，S5＝7a5﹣1＝a6+a2+a3+a4+a5⇒a5＝16，故选：B．4．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝1og a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】对a进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；解：由函数y＝，y＝1og a（x+），当a＞2时，可得y＝是递减函数，图象恒过（0，1）点，当1＞a＞0时，可得y＝是递增函数，图象恒过（6，1）点，∴满足要求的图象为：D故选：D．5．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”．若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】由题得到甲和丙中有1人说法正确，进而可判断每个人的说法解：因为只有1人判断正确，而甲和丙说法矛盾，故两人中有1人判断正确，故乙和丁都判断错误，则乙获奖，故丙没获奖，即丙判断正确，故选：C．6．陀螺是中国民间较早的体育活动工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现．如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（）A．B．C．D．20π【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．解：由三视图知该几何体是上部为圆锥，中部为圆柱，下部为圆锥的组合体．其中，上部圆锥的底面半径为2，高为2；中部圆柱的底面半径为2，高为1；下部的圆锥的底面半径为4，高为3，所以该陀螺模型的体积为．故选：B．7．若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a0+a1+a2+…+a7的值是（）A．﹣1B．﹣2C．126D．﹣130【分析】先令x＝1求出系数和，再根据二项式系数的特点求出a8，即可求出a0+a1+a2+…+a7．解：令x＝1，得﹣2＝a0+a1+a5+…+a8．又，故选：C．8．已知a＝0.20.2，b＝0.20.3，c＝log20.3，d＝log0.30.2，则执行如图所示的程序框图，输出的x值等于（）A．a B．b C．c D．d【分析】模拟程序的运行，可得程序中输出的x的值是a，b，c，d中的最大值，利用指数函数，对数函数的图象和性质即可比较大小即可．解：程序中输出的x的值是a，b，c，d中的最大值．因为a＝0.20.2，b＝2.20.3，c＝log20.3，d＝log6.30.2，所以a，b，c，d中d最大．故选：D．9．已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，结合求得，从而向量与向量的夹角为．解：如图＝．∴cos＝，则，故选：A．10．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4的取值的范围是（）A．（40，64）B．（40，48）C．（20，32）D．（20，36）【分析】做出函数f（x）的图象，结合函数图象的性质，找到x1、x2，x3、x4之间的关系，将x1x2x3x4转化为关于x3的函数，求值域即可．解：函数f（x）的图象如下图所示．点（x3，t），（x4，t），关于直线x＝6对称，所以x5＝12﹣x3．而x3∈（2，4），故x1x2x3x4＝x3x4∈（20，32）．故选：C．11．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在Y轴上，下列说法：①函数f（x）的最小正周期是2π；②函数f（x）的图象关于点成中心对称；③点M的坐标是，其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】①根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的图象以及圆C的对称性，转化求解函数的周期，判断①．②通过函数图象关于点对称，求出函数图象的对称中心为．判断②．③求出函数的解析式，然后求解M的坐标，判断③．解：①根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的图象以及圆C的对称性，可得M，N两点关于圆心C（c，0）对称，所以函数的周期为T＝π，所以①错误．②由函数图象关于点对称，及周期T＝π知，函数图象的对称中心为．③由ω＝2及的相位为0，得，从而，所以③正确．故选：B．12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A关于平面BDC1对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDC1的法向量＝（1，﹣1，1），从而平面BDC1的方程为x﹣y+z＝0，进而过点A（1，0，0）且垂直于平面BDC1的直线方程为（x﹣1）＝﹣y＝z，推导出过点A（1，0，0）且垂直于平面BDC1的直线方程与平面BDC1的交点为（，，﹣），得到点A关于平面BDC1对称点M（，，﹣），由此能求出M到平面A1B1C1D1的距离．解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），B（1，8，0），C1（0，1，1），A（1，0，7），A1（1，0，3），设平面BDC1的法向量＝（x，y，z），∴平面BDC1的方程为x﹣y+z＝0，（x﹣1）＝﹣y＝z，代入平面方程x﹣y+z＝0，得t+1+t+t＝0，解得t＝﹣，∴点A关于平面BDC3对称点M（，，﹣），∴M到平面A1B1C1D1的距离为d＝＝．故选：D．二、填空题：本题有4小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O是坐标原点．点A在抛物线C上，且|AO|＝|AF|，则线段|AF|的长是．【分析】不妨设点A在x轴上方，求出A的坐标，然后求解线段|AF|的长即可．解：不妨设点A在x轴上方，则由|OF|＝1知，，所以，即，故答案为：．14．已知函数，则曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝x．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．解：∵，∴，则f'（0）＝＝2，∴曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝x．故答案为：y＝x．15．已知双曲线C的中心在原点，F（﹣2，0）是一个焦点，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣3，﹣1），则C的方程是﹣y2＝1．【分析】先利用点F，N的坐标求出直线AB的斜率，再利用点差法得到a2＝3b2，结合a2+b2＝4求出a，b的值，从而得到双曲线C的方程．解：因为F（﹣2，0），N（﹣3，﹣1），所以直线AB的斜率k l＝1，设双曲线方程为，则a2+b2＝4，由，，得，于是a2＝3，b2＝1，所以C的方程为．16．在△ABC中，若，则cos C的最小值为．【分析】由已知即正弦定理可得c2＝，进而由余弦定理，基本不等式可得cos C 的最小值．解：因为，所以，即，即，即，由正弦定理得c2＝ab cos C．当且仅当a＝b时等号成立，所以cos C的最小值为．故答案是：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必做考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，分别用甲、乙两种方法培育该品种花苗．为比较两种培育方法的效果，选取了40棵花苗，随机分成两组，每组20棵．第一组花苗用甲方法培育，第二组用乙方法培育．培育完成后，对每棵花苗进行综合评分，绘制了如图茎叶图：（1）分别求两种方法培育的花苗综合评分的中位数．你认为哪一种方法培育的花苗综合评分更高？并说明理由．（2）综合评分超过80的花苗称为优质花苗，填写如表的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关？优质花苗非优质花苗合计甲培育法乙培育法合计附：．P（K2≥k0）0.0100.0500.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）根据题意计算中位数或平均数、分布等，从某一角度说明即可．（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）第一组花苗综合评分的中位数为；第二组花苗综合评分的中位数为，（2）列联表如表所示．所以有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，点E，F分别为AC，PC的中点，PA＝1，AB＝2．（1）求证：平面BEF⊥平面PAC；（2）在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）证明平面PAC⊥平面ABC，推出BE⊥AC，然后证明BE⊥平面PAC，得到平面BEF⊥平面PAC．（2）以E为坐标原点，分别以，，方向为x，y，z轴正方向建立如图坐标系，求出平面PBC的法向量，求出，利用空间向量的数量积推出结果即可．解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．又平面PAC∩平面ABC＝AC，BE⊂平面ABC，∴平面BEF⊥平面PAC．又点E，F分别为AC，PC的中点，又由于BE⊥平面PAC，∴BE⊥AC，BE⊥EF，以E为坐标原点，分别以，，方向为x，y，z轴正方向建立如图坐标系．由于A（0，﹣1，0），P（0，﹣1，4），，C（0，1，2），设平面PBC的法向量，则，于是．，则．故存在满足条件的G点，G点是线段PB的中点．19．如图，已知椭圆过点，其左、右顶点分别是A，B，下、上顶点分别是C，D，P是椭圆上第一象限内的一点，直线PA，PB的斜率k1，k2满足．（1）求椭圆C的方程；（2）过P点的直线PO交椭圆于另一点Q，求四边形APCQ面积的取值范围．【分析】（1）设P（x0，y0），则．通过．结合椭圆C过点，列出方程求解a，b，即可得到椭圆方程．（2）设直线PQ的方程为y＝kx（k＞0），求出点A，C到直线P，Q的距离，联立求出|PQ|．表示四边形APQC的面积表达式，然后四边形APCQ面积的取值范围．解：（1）设P（x0，y0），则．又，所以．①由①②得a＝2，b＝7，故椭圆方程为．设直线PQ的方程为y＝kx（k＞2），又由得，所以．由得．故四边形APCQ面积的取值范围是．20．今年上半年“新冠肺炎”全球大爆发．在某个时间点，某城市从有人发病到发现人传人时，已有发病人数a0＝0.3（千人），从此时起，每周新增发病人数a t（单位：千人）与时间t（单位：周）之间近似地满足a t＝e（t∈N*），且当t＝2时，a2＝2（千人）．为阻止病毒蔓延，该城市第3周后果断采取了封城的隔离措施，再经过2周后隔离措施产生了效果，新增发病人数．（1）求该城市第5，6，7周新增发病人数；（2）该城市从发现人传人时，就不断加大科技投入，第t周治愈人数b t（单位：千人）与时间t（单位：周）存在关系，为了保障每一位“新冠肺炎”病人能及时入院治疗，该城市前9周（不考虑死亡人数的前提下）至少需准备多少张床位？（注：出院人数不少于新增发病人数时，总床位不再增加）【分析】（1）根据a2＝2计算e，再计算a5，a6，a7；（2）判断a t﹣b t﹣1的单调性，得出床位需求量达到最大时的时间，再计算床位总数．解：（1），当3≤t≤5时，；∴，，．（2）．当2≤t≤9时，，至少需准备的床位数为a0+a1+a2+…+a6﹣（b1+b5+…+b5）故该城市前9周至少需准备23.55千张床位．21．已知函数f（x）＝axlnx﹣（a+1）lnx，f（x）的导数为f'（x）．（1）当a＞﹣1时，讨论f'（x）的单调性；（2）设a＞0，方程有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），求证：．【分析】（1）求导得f′（x），再对f′（x）求导，讨论a的范围，确定导数的正负，然后结合导数与单调性的关系，可求f'（x）的单调性；（2）令，则g'（x）＝f'（x）+1．由结合导数与单调性的关系可得g （x）的单调区间，计算g（）＞0，g（1）＜0，g（e）＞0，可得，x2＜e，即可得证．【解答】（1）解：，．若﹣1＜a＜0，则当时，f''（x）＞0，f'（x）单调递增；当时，f''（x）＜0，f'（x）单调递减．故当﹣1＜a＜0时，在上f'（x）在（0，+∞）上单调递增；在上单调递减．当a≥0时，在（0，+∞）上f'（x）单调递增．由（1）知，在（0，+∞）上，g'（x）单调递增．又，，，所以，x2＜e，故．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程为，曲线C1的参数方程为（θ为参数），若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得曲线C2．（1）求直线l的斜率和曲线C2的普通方程；（2）设点P（0，2），直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求的值．【分析】（1）结合直线的直角坐标方程可求直线的斜率，再求出直线的倾斜角，然后结合直线过的定点及普通方程与参数方程的互化，求解即可；（2）联立直线与曲线方程，然后结合直线的参数方程的几何意义，求解即可．解：（1）直线l的斜率为．曲线C2的参数方程为，化为直角坐标方程为．将l的参数方程代入，并整理得．则，，所以t1＜2，t2＜0，故．[选修4-5：不等式选讲]23．设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥；（2）++≥（++）．【分析】（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥，结合条件，两边平方，可得a2+b2+c2≥1，运用重要不等式，累加即可得证．（2）问题转化为证明a+b+c≤1，根据基本不等式的性质证明即可．【解答】证明：（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥，由a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca＝1，即为a2+b2+c2≥5，①相加可得a2+b2+c2≥zb+bc+ca＝1，综上可得，原不等式成立．而由（1）a+b+c≥，故只需≥++，即：a+b+c≤ab+bc+ac，∴a+b+c≤ab+bc+ac＝4成立，（当且仅当a＝b＝c＝时）．。
2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题六一、选择题（每小题5分，共40分）1．设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++12．如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．4．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元5．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣7．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C． D．8．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）•x%D．（2+x%）•x%二、填空题（每小题5分，共40分）9．方程组的解是．10．若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为．11．设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为．12．两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|=．13．如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是．14．有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是．15．已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是．16．若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．三、解答题（共70分）17．（15分）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．18．（15分）如图，开口向下的抛物线y=ax2﹣8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，（1）求OC的长及的值；（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．19．（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）20．（10分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．21．（15分）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．（1）求证：PA•PE=PC•PF；（2）求证：；（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题六答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．解：∵﹣=﹣===，∴a的小数部分=﹣1；∵﹣===，∴b的小数部分=﹣2，∴﹣====．故选B．2．解：作PH⊥AB于H，如图，∵△PAB为等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，AH=BH=AB=1，∴△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，∴PA=PB=AH=，∠HPB=45°，∵∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，而∠CPD=45°，∴1≤AN≤2，即1≤x≤2，∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°，∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°，∴∠2=∠BPM，而∠A=∠B，∴△ANP∽△BPM，∴=，即=，∴y=，∴y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．故选：A．3．解：如右图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，∵点E是正方形的对称中心，∴EN=EM，由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，在Rt△ENK和Rt△EML中，，故可得△ENK≌△EML，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的．故选B．4．解：设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，根据题意得：，②﹣①得：x+3y=1.05③，①﹣3③可得：2y=z，故可得：x+y+2y=x+y+z=1.05．故选B．5．解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则△＞0，∴（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x=1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选D．6．解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．故选：A．7．解：因为三角形是锐角三角形，所以22+32＞x2；22+x2＞32，所以5＜x2＜13，即．故选B．8．解：根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了（2+x%）•x%，故选D二、填空题（每小题5分，共40分）9．解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，由②式又可变化为=26，把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3=13，再代入又得﹣3=9，解得ab=﹣27，又因为a+b=26，所以解这个方程组得或，于是（1），解得；（2），解得．故答案为和．10．解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，∴a=0，则左边式子ax=0，∴b＜0一定成立，∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．11．解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，则最大值与最小值之差为1．故答案为：112．解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），又∵P2007在y=上，∴Px2007=．而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007===，∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣|=．故答案为：．13．解：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=∴n=120°即扇形的圆心角是120°∴弧所对的弦长是2×3sin60°=314．解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE=7.5．∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，∴△AEF∽△ABC，∴==．∴EF=．∴折线长=2EF=．故答案为．15．解：由方程x2﹣3x+2=0解方程的两个根是1，2，即a=1，b=2故这组数据是3，1，4，2，5其平均数（3+1+4+2+5）=3方差S2=[（3﹣3）2+（1﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]=2故五个数据的标准差是S==故本题答案为：．16．解：y=2x2﹣px+4p+1可化为y=2x2﹣p（x﹣4）+1，分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）．三、解答题（共70分）17．解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6∴，∵﹣1≤m＜1，∴；（2）==（﹣1≤m＜1）．∴当m=﹣1时，式子取最大值为10．18．解：（1）由题设知a＜0，且方程ax2﹣8ax+12a=0有两二根，两边同时除以a得，x2﹣8x+12=0原式可化为（x﹣2）（x﹣6）=0x1=2，x2=6于是OA=2，OB=6∵△OCA∽△OBC∴OC2=OA•OB=12即OC=2而===，故（2）因为C是BP的中点∴OC=BC从而C点的横坐标为3又∴设直线BP的解析式为y=kx+b，因其过点B（6，0），，则有∴∴又点在抛物线上∴∴∴抛物线解析式为：．19．解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有，①﹣②×4得3x+y=360，总产值A=4x+3y+2z=2（x+y+z）+（2x+y）=720+（3x+y）﹣x=1080﹣x，∵z≥60，∴x+y≤300，而3x+y=360，∴x+360﹣3x≤300，∴x≥30，∴A≤1050，即x=30，y=270，z=60．最高产值：30×4+270×3+60×2=1050（千元）20．解：画树状图得：则一共有8种等可能的情况，（1）∵2个女孩和1个男孩的3种，∴这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率为：；（2）∵这个家庭至少有一个男孩的有7种情况，∴这个家庭至少有一个男孩的概率为：．21．（1）证明：连接AB，∵CA切⊙O'于A，∴∠CAB=∠F．∵∠CAB=∠E，∴∠E=∠F．∴AF∥CE．∴．∴PA•PE=PC•PF．（2）证明：∵，∴=．∴．再根据切割线定理，得PA2=PB•PF，∴．（3）解：连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，而PC：CE：EP=3：4：5，∴PA：FA：PF=3：4：5．设PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，FA=4y，PF=5y，∴EP2=PC2+CE2，PF2=PA2+FA2．∴∠C=∠CAF=90°．∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径．∵⊙O与⊙O'等圆，∴AE=AF=4y．∵AC2+CE2=AE2∴（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2即25x2+18xy﹣7y2=0，∴（25x﹣7y）（x+y）=0，∴．∴．2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题七一、选择题（每题5分，共12小题）1．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：102．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．3．抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）A．≤a≤1 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤24．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（）A．9 B．6 C．5 D．45．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②④6．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是（）A．24B．48C．96D．1927．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF．有下列三个结论：①△CEF 与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；③AC=BD．其中正确的结论个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．29．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，且O点在BC边上，则图中阴影部分面积S阴=（）A．B．C．5﹣πD．﹣10．若实数a，b满足a﹣ab+b2+2=0，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤411．在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠．问哪一个重叠的面积最大（）A．B．C．D．12．有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共6小题）13．一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为．14．已知|ab﹣2|+|a﹣1|=0，则++…+=．15．若x2﹣3x+1=0，则的值为．16．已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．17．若+b2+2b+1=0，则a2+﹣|b|=．18．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为．三、解答题19．（15分）如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．20．（15分）为深化“携手节能低碳，共建碧水蓝天”活动，发展“低碳经济”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用．今年1月份，再生资源处理量为40吨，从今年1月1日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高10吨．月处理成本（元）与月份之间的关系可近似地表示为：p=50x2+100x+450，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元．若该单位每月再生资源处理量为y（吨），每月的利润为w（元）．（1）分别求出y与x，w与x的函数关系式；（2）在今年内该单位哪个月获得利润达到5800元？21．（15分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0．（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，并且．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式；（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为时，求θ的值．22．（15分）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；（3）在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题七参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共12小题）1．解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．2．解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又∵r=，∴a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．3．解：由右图知：A（1，2），B（2，1），再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把A点代入y=ax2得a=2，把B点代入y=ax2得a=，则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．故选D．4．解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，设反比例函数解析式为y=（k＞0），∵A、B两点的横坐标分别是a、2a，∴A、B两点的纵坐标分别是、，∵AD∥BE，∴△CEB∽△CDA，∴===，∴DE=CE，∵OD：OE=a：2a=1：2，∴OD=DE，∴OD=OC，∴S△AOD=S△AOC=×9=3，∴|k|=3，而k＞0，∴k=6．故选B．5．解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；②当x=1时，函数值为2，∴a+b+c=2；故本选项正确；③∵对称轴x=＞﹣1，解得：＜a，∵b＞1，∴a＞，故本选项错误；④当x=﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又a+b+c=2，将a+c=2﹣b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是②④；故选D．6．解：∵点A（﹣，0），点B（0，1），∴OA=，OB=1，∴tan∠OAB==，∴∠OAB=30°，∵△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均为等边三角形，∴∠A1OB1=∠A2A1B2=∠A3A2B3=60°，∴∠OB1A=∠A1B2A=∠A2B3A=∠OAB=30°，∴OB1=OA=，A1B2=A1A，A2B3=A2A，∴OA1=OB1=，OA2=OA1+A1A2=OA1+A1B2=+2=3，同理：OA3=7，OA4=15，OA5=31，OA6=63，则A5A6=OA6﹣OA5=32．则△A5B6A6的周长是96，故选C．7．解：①设D（x，），则F（x，0），由图象可知x＞0，k＞0，∴△DEF的面积是××x=k，同理可知：△CEF的面积是k，∴△CEF的面积等于△DEF的面积，∴①正确；②条件不足，无法证出两三角形全等的条件，∴②错误；③∵△CEF的面积等于△DEF的面积，∴边EF上的高相等，∴CD∥EF，∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD=EF，同理EF=AC，∴AC=BD，∴③正确；正确的有2个．故选：C．8．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，∵∠CED=90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON=90°，∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，∴∠COM=∠DON，∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OD，在△COM和△DON中，∴△COM≌△DON（AAS），∴OM=ON，∴四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，∵∠DCE=30°，∠CED=90°∴DE=a，CE=a，设DN=x，x+DE=CE﹣x，解得：x=，∴NE=x+a=，∵OE=NE，∴=•，∴a=1，∴S正方形ABCD=4故选B．9．解：连接OD，OE，设⊙O与BC交于M、N两点，∵以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，∴OD⊥AB，OE⊥AC，即∠ADO=∠AEO=90°，∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∴四边形ADOE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ADOE是正方形，∴∠DOE=90°，∴∠DOM+∠EON=90°，设OE=x，则AE=AD=OD=x，EC=AC﹣AE=4﹣x，∵△COE∽△CBA，∴，即，解得：x=，∴S阴影=S△ABC﹣S正方形ADOE﹣（S扇形DOM+S扇形EON）=×3×4﹣（）2﹣=﹣．故选D．10．解：∵b是实数，∴关于b的一元二次方程b2﹣ab+a+2=0，△=（﹣a）2﹣4×1×（a+2）≥0解得：a≤﹣2或a≥4；∴a的取值范围是a≤﹣2或a≥4．故选C．11．解：A、S阴影=2×4=8（cm2）；B、如图所示：根据勾股定理知，2x2=4，所以x=，S阴影=4×4﹣2××（4﹣）（4﹣）=﹣2（cm2）；C、图C，逆时针旋转90°，并从后面看，可与图D对比，因为图C的倾斜度比图D的倾斜度小，所以，图C的底比图D的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图D阴影部分的面积．D、如图：设阴影部分平行四边形的底为x，所以，直角三角形的短直角边是因为正方形的面积=阴影部分的面积+两个空白三角形的面积，所以，×4××2+2x=16，解得x=，S阴影=2×=因为，≈1.414，≈2.646，所以，﹣2≈9.312，≈8.775；即﹣2＞，图B阴影的面积大于图D阴影的面积；又因为图A、图C、图D中阴影部分四边形为等高不等底，因为图D阴影的倾斜度最大，所以图D 中阴影部分的底最大；故选B12．解：根据题意列出树状图得：则（a，b）的等可能结果有：（﹣2，﹣6），（﹣2，2），（﹣2，6），（﹣6，﹣2），（﹣6，2），（﹣6，6），（2，﹣2），（2，6），（2，﹣6），（6，﹣2），（6，2），（6，﹣6）共12种；解①得：x＜7，当a＞0，解②得：，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则3＜x＜7时符合要求，故，即b=6，a=2符合要求，当a＜0，解②得：，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则x＜3时符合要求，故，即b=﹣6，a=﹣2符合要求，故所有组合中只有2种情况符合要求，∴使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为：．故选A．二、填空题（每题5分，共6小题）13．解：在y=kx+3中令x=0，得y=3，则函数与y轴的交点坐标是：（0，3）；设函数与x轴的交点坐标是（a，0），根据勾股定理得到a2+32=25，解得a=±4；当a=4时，把（4，0）代入y=kx+3，得k=﹣；当a=﹣4时，把（﹣4，0）代入y=kx+3，得k=．故k的值为或．14．解：∵|ab﹣2|≥0，|a﹣1|≥0，且|ab﹣2|+|a﹣1|=0，∴ab﹣2=0且a﹣1=0，解得ab=2且a=1，把a=1代入ab=2中，解得b=2，则原式=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．故答案为：15．解：由已知x2﹣3x+1=0变换得x2=3x﹣1将x2=3x﹣1代入===== =故答案为．16．解∵a+b+c=10，∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），∴=﹣+﹣+﹣=﹣1+﹣1+﹣1=++﹣3，∵，∴原式=×10﹣3=﹣3=．故填：．17．解：∵+b2+2b+1=0，∴+（b+1）2=0，∴a﹣1=0，b+1=0，∴a=1，b=﹣1，∴a2+﹣|b|=0．故答案为：0．18．解：∵M、N两点关于y轴对称，∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b=①，a+3=b②，∴ab=，（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=11，a+b=±，∴y=﹣x2±x，∴顶点坐标为（=±，=），即（±，）．故答案为：（±，）．三、解答题19．（1）证明：∵△AEB由△AED翻折而成，∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，∵△AFD由△AFG翻折而成，∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形；（2）MN2=ND2+DH2，理由：连接NH，∵△ADH由△ABM旋转而成，∴△ABM≌△ADH，∴AM=AH，BM=DH，∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ADH=∠ABD=45°，∴∠NDH=90°，∵，∴△AMN≌△AHN，∴MN=NH，∴MN2=ND2+DH2；（3）设AG=BC=x，则EC=x﹣4，CF=x﹣6，在Rt△ECF中，∵CE2+CF2=EF2，即（x﹣4）2+（x﹣6）2=100，x1=12，x2=﹣2（舍去）∴AG=12，∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，∴BD===12，∵BM=3，∴MD=BD﹣BM=12﹣3=9，设NH=y，在Rt△NHD中，∵NH2=ND2+DH2，即y2=（9﹣y）2+（3）2，解得y=5，即MN=5．20．解：（1）设y=kx+b，根据题意，将（1，40），（2，50）代入y=kx+b，得：，解得：，故每月再生资源处理量y（吨）与x月份之间的关系式为：y=10x+30，w=100y﹣p=100（10x+30）﹣（50x2+100x+450）=﹣50x2+900x+2550；（2）由﹣50x2+900x+2550=5800得：x2﹣18x+65=0∴x1=13，x2=5∵x≤12，∴x=5，∴在今年内该单位第5个月获得利润达到5800元．21．（1）证明：∵方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，即a≠1．∴△=（2﹣3a）2﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）2，而（3a﹣4）2≥0，∴△≥0．所以当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：∵m，n（m＜n）是此方程的两根，∴m+n=﹣，mn=．∵，=，∴﹣=，∴a=2，即可求得m=1，n=3．∴y=x+3，则A（﹣3，0），B（0，3），∴△ABO为等腰直角三角形，∴坐标原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（﹣3，3），把（﹣3，3）代入反比例函数，得k=﹣9，所以反比例函数的解析式为y=﹣；（3）解：设点P的坐标为（0，p），延长PQ和AO′交于点G．∵PQ∥x轴，与反比例函数图象交于点Q，∴四边形AOPG为矩形．∴Q的坐标为（﹣，p），∴G（﹣3，P），当0°＜θ＜45°，即p＞3时，∵GP=3，GQ=3﹣，GO′=p﹣3，GA=p，∴S四边形APQO′=S△APG﹣S△QGO′=×p×3﹣×（3﹣）×（p﹣3）=9﹣，∴=9﹣，∴p=．（合题意）∴P（0，）．则AP=6，OA=3，所以∠PAO=60°，∠θ=60°﹣45°=15°；当θ=45°时，直线l于y轴没有交点；当45°＜θ＜90°，则p＜﹣3，用同样的方法也可求得p=，这与p＜﹣3相矛盾，舍去．所以旋转角度θ为15°．22．解：（1）∵直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（﹣3，0）、B（0，3），代入抛物线解析式y=﹣x2+bx+c中，∴∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵由题意可知△PFG是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2﹣2m+3），∴F（m，m+3），∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m，△PFG周长为：﹣m2﹣3m+（﹣m2﹣3m），=﹣（+1）（m+）2+，∴△PFG周长的最大值为：．（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等，∵D（﹣1，4），∴E（﹣1，2）、则N（﹣1，0）∵y=x+3中，k=1，∴直线DM1解析式为：y=x+5，直线M3M2解析式为：y=x+1，∴x+5=﹣x2﹣2x+3或x+1=﹣x2﹣2x+3，∴x1=﹣1，x2=﹣2，x3=，x4=，∴M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．绝密★启用前2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题九注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分）1．甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m（m为正整数）千克米，乙每次买米用去2m元．由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别为每千克1.8元、2.2元、2元，那么比较甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价，结果是（）A．甲比乙便宜B．乙比甲便宜C．甲与乙相同D．由m的值确定2．自2006年3月26日起，国家对石油开采企业销售国产石油因价格超过一定水平（每桶40美元）所获的超额收入，将按比例征收收益金（征收比率及算法举例如下面的图和表）．有人预测中国石油公司2006年第3季度将销售200百万桶石油，售价为每桶53美元，那么中国石油公司该季度估算的特别收益金将达到人民币（按1美元兑换8元人民币的汇率计算）（）A．62.4亿元B．58.4亿元C．50.4亿元D．0.504亿元3．如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．4．小明早晨从家里外出晨练，他没有间断地匀速跑了20min后回家．已知小明在整个晨练途中，出发t min时所在的位置与家的距离为s km，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB﹣BC所示，则下列图形中大致可以表示小明晨练路线的为（）A．B．C．D．5．甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度V l 与V2（V l＜V2），甲用一半的路程使用速度V l、另一半的路程使用速度V2；乙用一半的时间使用速度V l、另一半的时间使用速度V2；关于甲乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析．其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程，其中正确的图示分析为（）A．图（1）B．图（1）或图（2）C．图（3）D．图（4）6．两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是p：1，而在另一个瓶子中是q：1，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（）A．B．C．D．7．点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（）A．B．C．D．8．有红色、黄色、蓝色三个盒子，其中有一个盒子内放有一个苹果；三个盒子上各写有一句话，红色盒子上写着“该盒子没有苹果”，黄色盒子上写着“该盒子内有苹果”，蓝色盒子上写着“黄色盒子内没有苹果”；已知这三句话中有且只有一句是真的，那么苹果在哪个盒子内（）A．红色B．黄色C．蓝色D．不能确定第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9．方程的解为x=．10．世界著名的莱布尼兹三角形如图所示，其排在第8行从左边数第3个位置上的数是．11．在由乙猜甲刚才想的数字游戏中，把乙猜的数字记为b且，a，b是0，1，2，3四个数中的其中某一个，若|a﹣b|≤1则称甲乙”心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为．12．假设一家旅馆一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，现在要在每个房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辨认是哪一个房间的钥匙，而使局外人不容易猜到．现在有一种编码的方法是：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而右边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数．那么刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是号．13．已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5，则（a﹣2017）（a﹣2018）=14．阅读材料：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．设CD=x，若AB=4，DE=2，BD=8，则可用含x的代数式表示AC+CE的长为+．然后利用几何知识可知：当A、C、E在一条直线上时，x=时，AC+CE的最小值为10．根据以上阅读材料，可构图求出代数式+的最小值为．三．解答题（共4小题，共44分）15．（10分）通过观察a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0可知：，与此类比，当a ≥0，b≥0时，（要求填写），你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或者极小值中非常有用．请你运用上述不等式解决下列问题：（1）求证：当x＞0时，；（2）求证：当x＞1时，；（3）的最小值是．16．（10分）如图，给定锐角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF 和EG的大小，并证明你的结论．17．（12分）某粮食加工厂给吉利卖站送来10箱袋装米粉，每箱10袋，每袋重800克，其中有一箱米粉每袋少50克，但不知道是哪一箱，送货员想出一个好办法，他用笔将10个箱子分别编上1，2，3，…，10的号码，然后从1号箱中取出1袋米粉，2号箱中取出2袋米粉，…10号箱中取出10袋米粉，在将这些米粉称了一下，称得重量为43800克，你知道重量不足的是哪一箱吗？18．（12分）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（﹣3，﹣3）．（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；（2）把直线OA向上平移后与反比例函数的图象交于点B（﹣6，m），与x轴交于点C，求m的值和直线BC的表达式；（3）在（2）的条件下，直线BC与y轴交于点D，求以点A，B，D为顶点的三角形的面积；（4）在（3）的条件下，点A，B，D在二次函数的图象上，试判断该二次函数在第三象限内的图象上是否存在一点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1=S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题九参考答案与试题解析1．解：由题意可知：甲三次共买了3m千克的米，花费为1.8×m+2.2×m+2×m=6m元，则甲的平均单价为6m÷3m=2；乙共花费3×2m÷（2m÷1.8+2m÷2.2+2m÷2）=1.99＜2；∴乙比甲便宜．故选：B．2．解：每桶特别收益金：5×20%+5×25%+3×30%=3.15（美元），合人民币：3.15×8=25.2（元），共获收益金：25.2×2 000 00000=50 400 00000（元）=50.4（亿元）．故选：C．3．解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG=GC，AB∥MG∥CD，∴AM=MN，∵MH⊥CD，∠D=90°，∴MH∥AD，∴NH=HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC=BC=a，由题意得，∠MCD=30°，∴MH=MC=a，CH=a，∴DH=a﹣a，∴CN=CH﹣NH=a﹣（a﹣a）=（﹣1）a，∴△MNC的面积=××（﹣1）a=a2，故选：C．4．解：根据图象得到，OA段，s随时间t的增大而增大，因而到家的距离增大；AB段距离不变，说明这段所走的路线到家的距离不变，即路线是以家为圆心的圆．故选：B．5．解：由题意得：甲在一半路程处将进行速度的转换，4个选项均符合；乙在一半时间处将进行速度的转换，函数图象将在t1处发生弯折，只有（1）（2）（4）符合，再利用速度不同，所以行驶路程就不同，两人不可能同时到达目的地，故（4）错误，故只有（1）（2）正确，故选：B．6．解：设瓶子的容积，即酒精与水的和是1．则纯酒精之和为：1×+1×=+；水之和为：+∴混合液中的酒精与水的容积之比为：（+）÷（+）=．7．解：易知D、C、E三点共线，点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，∴对的圆心角为=60°，∴∠ABC=30°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=1，BC=AB•COS30°=，BE=BC•COS30°=，CE=DC=，AD=，且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．从而，S阴影=S梯形ABED+S△ABC﹣，=S△ADC+S△BCE，=．故选：B．8．解；假设红盒子的话是真的，则黄、蓝盒子的话是假的，三个盒子上的话相互之间产生矛盾，假设不成立；假设黄盒子的话是真的，则红、蓝盒子的话是假的，即苹果在红盒子和黄盒子内，显然假设不成立；假设蓝盒子的话是真的，则红、黄盒子的话是假的，可得到苹果在红盒子中，故假设成立．所以蓝盒子的话是真的，苹果在红盒子中．故选：A．9．解：方法一：移项得，=12﹣，两边平方得，=144﹣24+x+16，整理得，25=160+x，两边平方得，625（x+16）=25600+320x+x2，整理得，x2﹣305x+15600=0，即（x﹣65）（x﹣240）=0，∴x﹣65=0，x﹣240=0，解得x1=65，x2=240，检验：当x1=65时，+，=+，=9+3，=12，符合；当x2=240时，+，=+，=16+4，=20，不符合．∴原方程的解是x=65；方法二：令t=，则=t2，原方程可化为t2+t=12，解得t1=3，t2=﹣4（舍去），∴=3，两边4次方得，x+16=81，解得x=65．故答案为：65．10．解：∵第8行最后一个数是，第7行最后一个数是，第6行最后一个数是，∴第7行倒数第二个数是﹣=，第8行倒数第二个数是﹣=，∴第8行倒数第三个数是﹣=，故答案是：．11．解：从0，1，2，3四个数中任取两个则|a﹣b|≤1的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；共10种情况，甲乙出现的结果共有4×4=16，故出他们”心有灵犀”的概率为=．12．解：1到30中除以5余3，除以7余6的数只有13．13．解：（a﹣2017）（a﹣2018）===﹣2．故答案是：﹣2．14．解：如图所示：C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．设CD=x，若AB=5，DE=3，BD=12，当A，C，E，在一条直线上，AE最短，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴AB∥DE，∴△ABC∽EDC，∴=，∴=，解得：DC=．即当x=时，代数式+有最小值，。
2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题五一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B． C. D．2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．43．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A．4 B．5 C．6 D．84．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A．15 B．20 C．25 D．305．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（）A．B．2C．3D．6二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是．7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b ﹣7c，则m的最小值为．8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+=．9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个．10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A （0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=．(第10题图) (第11题图)11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．三、简答题（共4小题，满分50分）12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：班级内环中环外环（1）班（2）班（3）班13．（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式．14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．求证：（1）AB=AF；（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x 于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题五参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．C．D．【分析】先把算式的值求出，然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积，看是否与算式的值相同，如相同，则是要选的选项．【解答】解：原式=++==．A、作TE⊥X轴，TG⊥Y轴，易得，△GTF≌△ETD，故阴影部分面积为1×1=1；B、当x=1时，y=3，阴影部分面积1×3×=；C、当y=0时，x=±1，当x=0时，y=﹣1．阴影部分面积为[1﹣（﹣1）]×1×=1；D、阴影部分面积为xy=×2=1．故选B．【点评】解答A时运用了全等三角形的性质，B、C、D都运用了函数图象和坐标的关系，转化为三角形的面积公式来解答．2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．4【分析】连接O′C，O′B，O′D，OO′，则O′D⊥BC．因为O′D=O′B，O′C平分∠ACB，可得∠O′CB=∠ACB=×60°=30°，由勾股定理得BC=2．【解答】解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′，∵O′D⊥AC，∴O′D=O′B．∵O′C平分∠ACB，∴∠O′CB=∠ACB=×60°=30°．∵O′C=2O′B=2×2=4，∴BC===2．故选：C．【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题．3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】先把12分成2个因数的积的形式，共有6总情况，所以对应的p值也有6种情况．【解答】解：设12可分成m•n，则p=m+n（m，n同号），∵m=±1，±2，±3，n=±12，±6，±4，∴p=±13，±8，±7，共6个值．故选C．【点评】主要考查了分解因式的定义，要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n），即常数项与一次项系数之间的等量关系．4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A．15 B．20 C．25 D．30【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．【解答】解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，由题意得，，①×2﹣②得，z﹣x=20，所以，难题比容易题多20道．故选B．【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（）A．B．2C．3D．6【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正切值与三角形边的关系，结合勾股定理求解．【解答】解：过点B作BE⊥AC交AC于点E．如下图设BE=x，∵∠BDA=45°，∠C=30°，∴DE=x，BC=2x，∵tan∠C=，∴=tan30°，∴3x=（3+x），解得x=，在Rt△ABE中，AE=DE﹣AD=﹣3=，由勾股定理得：AB2=BE2+AE2，AB==3．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．【解答】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x﹣3=5，解得：x=3；第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立；第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2；所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b ﹣7c，则m的最小值为﹣．【分析】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．【解答】解：由题意可得，解得a=﹣3，b=7﹣，c=，由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴﹣≥m≥﹣．=﹣．所以m最小值故本题答案为：﹣．【点评】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式的解法．8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC 于P，Q两点，且=m，=n，则+=1．【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ 于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案．【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE ∥AD∥CF，∵点D是BC的中点，∴MD是梯形的中位线，∴BE+CF=2MD，∴+==+===1．【点评】此题考查了重心的概念和性质，能够熟练运用平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理以及梯形的中位线定理．9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有25个．【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围．【解答】解：将该二次函数化简得，y=﹣[（x﹣4）2﹣]，令y=0得，x=或．则在红色区域内部及其边界上的整点为（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），（6，0），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2）共25个，故答案为：25．【点评】本题涉及二次函数的图象性质，解决本题的关键是得到相对应的x的值．10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A （0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=OA=×=．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB=45°，则OD=BD=OB=．Rt△BCD中，∠OCB=60°，则CD=BD=1．∴OC=CD+OD=1+．故答案为：1+．【点评】此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是16+12．【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD=90°，则AD=6，根据三角形的面积公式求得OM=4，即AB=8．则矩形ABCD的周长是16+12．【点评】本题考查的是矩形的定理以及垂径的性质，考生应注意运用勾股定理来求得边长继而才能求出周长．三、简答题（共4小题，满分50分）12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：班级内环中环外环（1）班（2）班（3）班【分析】本题可以通过设出内环、中环、外环射中的枪数为x，y，z；设脱靶数为t，根据等量关系“总得分=内环得分+中环得分+外环得分”列出函数方程进行分析，从而确定出各中枪数．【解答】解：填表如下：班级内环中环外环（1）班134（2）班232（3）班330理由如下：可设t枪脱靶，x枪射中内环，y枪射中中环，则有（8﹣x﹣y﹣t）枪射中外环，所以50x+35y+25（8﹣x﹣y﹣t）=255化简得y=5+2（t﹣x）+（1+t﹣x）对于（1）班，t=0，y=5﹣2x+（1﹣x），x为奇数，只能取x=1，得y=3；对于（2）班，t=1，y=7﹣2x+（2﹣x），x为偶数，只能取x=2，得y=3；对于（3）班，t=2，y=9﹣2x+（3﹣x），x为奇数，只能取x=3，得y=3；【点评】此题考查的是学生对函数方程的分析讨论并对某些值确定，同学们要注意细心分析．13．（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式．【分析】（1）根据抛物线的开口向下判断a的符号，再根据第二象限点的坐标特点及二次函数的顶点坐标列出不等式组，确定出解答a，b，b2﹣4ac的符号即可．（2）根据抛物线过原点及顶点在直线x+y=0上求出其顶点坐标及一次项系数，再根据顶点与原点的距离为3求出二次项系数，进而求出其解析式．【解答】解：（1）∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵顶点在第二象限，∴，∴b＜0，b2﹣4ac＞0．（2）由题意可得c=0，此时顶点坐标为（﹣，﹣），因顶点在直线x+y=0上，所以﹣﹣=0，b=﹣2．此时顶点坐标为（，﹣），由+=18，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x．【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系及用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的特点是解题的关键．14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．求证：（1）AB=AF；（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理进行证明；（2）根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等的性质只需证明AB=AF=AE，根据等腰三角形的性质和判定进行证明．【解答】证明：（1）∠ABF=∠ADC=120°﹣∠ACD=120°﹣∠DEC=120°﹣（60°+∠ADE）=60°﹣∠ADE，（4分）而∠F=60°﹣∠ACF，（6分）因为∠ACF=∠ADE，（7分）所以∠ABF=∠F，所以AB=AF．（8分）（2）四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD=∠ACD，（10分）又DE=DC，所以∠DCE=∠DEC=∠AEB，（12分）所以∠ABD=∠AEB，所以AB=AE．（14分）∵AB=AF，∴AB=AF=AE，即A是三角形BEF的外心．（16分）【点评】综合运用了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外心的性质．15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x 于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．【分析】（1）S阴=S△OAB+S扇形OBB′﹣S△OAA′﹣S扇形OAA′，根据公式即可求解．（2）延长BA交y轴于E点，可以证明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN 证得：OE=ON，AE=CN，MN=ME=AM+AE=AM+CN．从而求得：P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．即可求解．（3）Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，所以（1﹣n）2+（1﹣m+n）2=m2⇒m2﹣mn+2﹣m=0．把这个方程看作关于n的方程，根据一元二次方程有解得条件，即可求得．【解答】解：（1）如图，S阴=S△OAB+S扇形OBB'﹣S△OA'B′﹣S扇形OAA'=S扇形OBB′﹣S扇形OAA′=π﹣π×12=（2）p值无变化证明：延长BA交y轴于E点，在△OAE与△OCN中，∴△OAE≌△OCN（AAS）∴OE=ON，AE=CN在△OME与△OMN中，∴△OME≌△OMN（SAS）∴MN=ME=AM+AE=AM+CN∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2；（3）设AM=n，则BM=1﹣n，CN=m﹣n，BN=1﹣m+n，∵△OME≌△OMN，=S△MOE=OA×EM=m∴S△MON在Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2∴（1﹣n）2+（1﹣m+n）2=m2⇒n2﹣mn+1﹣m=0∴△=m2﹣4（1﹣m）≥0⇒m≥2﹣2或m≤﹣2﹣2，∴当m=2﹣2时，△OMN的面积最小，为﹣1．此时n=﹣1，则BM=1﹣n=2﹣，BN=1﹣m+n=2﹣，∴Rt△BMN的内切圆半径为=3﹣2．【点评】本题综合运用了扇形的面积公式，全等三角形的判定，三角形的面积公式以及勾股定理的综合应用，难度较大．。
2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题一一、选择题（每小题3分，共30分）1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ） A ．直线y =﹣x 上 B ．抛物线y =x 2上 C ．直线y =x 上 D ．双曲线xy =1上 2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k %，那么k 的值是（ ） A ．35 B ．30C ．25D ．203．若﹣1＜a ＜0，则a ，a ³，3a ，1a一定是（ ） A ．1a最小，a 3最大 B ．3a 最小，a 最大 C ．1a 最小，a 最大 D ．1a最小，3a 最大4．如图，菱形ABCD 的边AB =20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO =10，则⊙O 的半径长等于（ ） A ．25 B ．5 C ．6 D ．325.将函数y ＝2x ＋b （b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y ＝|2x ＋b |（b 为常数）的图象．若该图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0＜x ＜3，则b 的取值范围为（ ）A . -4≤b ≤-2 B. -6≤b ≤2 C.-4≤b ≤2 D. -8≤b ≤-26.设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a @b =（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论：①若a @b =0，则a =0或b =0 ②a @（b +c ）=a @b +a @c③不存在实数a ，b ，满足a @b =a 2+5b 2④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a =b 时，a @b 最大． 其中正确的有（ ）第4题图 第5题图xOyC 1D 1A 1B 1E 1 E 2 E 3 E 4 C 2 D 2 A 2B 2C 3D 3A 3B 3第7题图A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③7.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……则正方形A 2018B 2018C 2018D 2018的边长是( )A ．201712（）B ．201812（）C ．201733（）D ．201833（）8. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣2，与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a ﹣b =0；②c ＜0；③﹣3a +c ＞0；④4a ﹣2b ＞at 2+bt （t 为实数）；⑤点（﹣29，y 1），（﹣25，y 2），（﹣21，y 3）是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3. 其中说法正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9.若关于x 的方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）A ．6-B ．30-C ．32-D ．38-10.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE ＝FD ，连接BE ,CF . BD ，CF 与BD 交于点G ，连接AG 交BE 于点H ，连接DH ，下列结论正确的个数是（ ）第8题图①△ABG ∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG ⊥BE④S △HDG ：S △HBG ＝tan ∠DAG ;⑤线段DH 的最小值是25﹣2． A ．2 B ．3C ．4D ．5二、填空题（每小题4分，共20分）11．在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点P '（﹣y +1，x +2），我们把点P '（﹣y +1，x +2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2018的坐标为 ． 12. 如图, 点A ，C 都在函数的图象上，点B ，D 都在轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A (0,6),B （4，6）,C (4,4),D (6,4),E (6,0).若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 .14. 已知有理数x 满足：31752233x x x -+-≥-，若32x x --+的最小值为a ，最大值为b ，则ab = . 15.如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =90°，∠C =30°，AC =30cm ，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD （如图1），减去△CDE 后得到双层△BDE （如图2），再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为 cm ．33(0)y x x=>x 第12题图 第13题图第15题图三、解答题（每题10分，共50分） 16. （本题满分10分）已知非零实数a ，b 满足a b a b a a =++-+-++-4)1)(5(316822，求1-b a 的值17. （本题满分10分）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”. (1)请你直接写出3个四位“和谐数”；（2）猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；(3) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x (，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式.14x ≤≤18. （本题满分10分）边长为22的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．（1）连接CQ，证明：CQ=AP；3（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=8 BC；（3）猜想PF与EQ的数量关系，证明你的结论．第18题图18备用图1 18备用图219. （本题满分10分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）在(2)的条件下,设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ 的最小值．第19题图19备用图1 19备用图220. （本题满分10分）如图，已知抛物线y =ax 2＋bx 经过点A (10,0)和B (8,4)．点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线段，与直线OB 交于点C ，延长PC 到Q ，使QC =PC ．过点Q 的直线分别与x 轴、y 轴相交于点D 、E ，且OD =OE ，直线DE 与直线OB 相交于点F ．设OP =t ． （1）请直接写出抛物线和直线OB 的函数解析式； （2）当点Q 落在抛物线上时，求t 的值； （3）连结BD ：①请用含t 的代数式表示点F 的坐标；②当以点B 、D 、F 为顶点的三角形与△OEF 相似时， 求t 的值．OA Bx ByP Q C ED F第20题图2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题一答案一、 选择题（每题3分，共30分）1.D2.D3.A4.A5.A6.B7.C8.B9.D 10.C 二、填空题（每题4分，共20分） 11. （1，4）；12. （，0）；13. 11133y x =-+；14. 5；15. 40或三、解答题（每小题10分，共50分） 16. （本题满分10分）由题意得：5,0)1)(5(2≥≥+-a b a ………………………………………. 2分44)4(16822-=-=-=+-a a a a a ……………………………… 3分)1)(5(3)1)(5(34)1)(5(344)1)(5(316822222=+-+-=+-+-+=++-+-+-=++-+-++-b a b a b a b a b a b a b a b a a……………6分又因为03≥-b ，0)1)(5(2≥+-b a 故0)1)(5(32=+-=-b a b ……… 8分则5,3==a b ， ………………………………… 9分故1-b a =25 .............................. .............................. (10)分17．（本题满分10分）解：⑴、四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）……………………2分（2）任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下： 设任意四位“和谐数”形式为：abcd ，则满足：最高位到个位排列：a ，b ，c ，d 个位到最高位排列：d,c,b,a26由题意，可得两组数据相同，则：a =d ,b =c 则1000100101000100101001110911011111111abcd a b c d a b b a a ba b +++++++====+为正整数∴ 四位“和谐数” abcd 能被11整数 又∵a ，b ，c ，d 为任意自然数， ∴任意四位“和谐数”都可以被11整除…………………………………………5分 （3）设能被11整除的三位“和谐数”为，zyx ,则满足：个位到最高位排列：x,y,z 最高位到各位排列：z,y,x .由题意得,两组数据相同,则:x =z .故10110zyx xyx x y ==+10110991122911111111zyx x y x y x y x y x y +++--===++为正整数 ∴y =2x ()……………………………………………………8分 18. （本题满分10分）（1）证明：如图1，∵线段BP 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BQ ， ∴BP =BQ ，∠PBQ =90°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA =BC ，∠ABC =90°． ∴∠ABC =∠PBQ ．∴∠ABC ﹣∠PBC =∠PBQ ﹣∠PBC ，即∠ABP =∠CBQ ． 在△BAP 和△BCQ 中， ∵，∴△BAP ≌△BCQ （SAS ）．∴CQ =AP ；………………………………………………………………………………3分（2）解：如图1，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAC =∠BAD =45°，∠BCA =∠BCD =45°，∴∠APB +∠ABP =180°﹣45°=135°， ∵DC =AD =2，14x ≤≤由勾股定理得：AC==4，∵AP=x，∴PC=4﹣x，∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP，∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB∽△CEP，………………………………………………………………………………5分∴，∴，∴y=x（4﹣x）=﹣x（0＜x＜4），由CE=BC==，∴y=﹣x=，……………………………………………………6分x2﹣4x=3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x=3或1，∴当x=3或1时，CE=BC；……………………………………………………7分（3）解：结论：PF=EQ，…………………………………………………………8分理由是：如图2，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF=90°，∵∠BPQ=45°，∴∠GPB=45°，∴∠GPB=∠PQB=45°，∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ=PG，∵∠BAD=90°，∴F、A、G、P四点共圆，连接FG，∴∠FGP=∠FAP=45°，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF=PG，∴PF=EQ．…………………………………9分当F在AD的延长线上时，如图3，同理可得：PF=PG=EQ．…………………………………10分19. （本题满分10分）证明：（1）如图1，连接BC，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴=，∴∠A=∠ABC，∵EC=AE，∴∠A=∠ACE，∴∠ABC=∠ACE，∵∠A=∠A，∴△AEC∽△ACB，∴，∴AC2=AE•AB；………………………………………………………………………………3分（2）PB=PE，……………………………………………………………………………4分理由是：如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP=90°，∴∠PBN+∠OBN=90°，∵∠OBN+∠COB=90°，∴∠PBN=∠COB，∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，∴∠PEB=∠COB，∴∠PEB=∠PBN，∴PB=PE； (7)分（3）如图3，∵N为OC的中点，∴ON=OC=OB，R t△OBN中，∠OBN=30°，∴∠COB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为O Q为半径，是定值4，则PQ +OQ 的值最小时，PQ 最小， 当P 、Q 、O 三点共线时，PQ 最小， ∴Q 为OP 与⊙O 的交点时，PQ 最小， ∠A =∠COB =30°， ∴∠PEB =2∠A =60°， ∠ABP =90°﹣30°=60°， ∴△PBE 是等边三角形， Rt △OBN 中，BN ==2，∴AB =2BN =4，设AE =x ，则CE =x ，EN =2﹣x ， Rt △CNE 中，x 2=22+（2﹣x ）2， x =，∴BE=PB=4﹣=， Rt △OPB 中，OP ===，∴PQ =﹣4=．则线段PQ 的最小值是．……………………………………………………10分20. （本题满分10分） 解：（1）抛物线的函数解析式是21542y x x =-+，………………………2分 直线OB 的函数解析式是12y x =； ………………3分By E（2）∵OP =t ，PC ⊥x 轴于点P ，交直线OB 于点C ， ∴PC =12t ，∴PQ =t ，即Q （t ，t ），………………4分 当点Q 落在抛物线上时，21542t t t =-+，解得：6t =； -…………………………………………6分（3）①作FG ⊥x 轴于点G ，设FG =n ， 由（2）得：PQ =t ，∵OD =OE ，OD ⊥OE ， ∴45ODE ∠=︒，∴△PDQ 是等腰直角三角形∴PD = PQ =t ，∴OD =2t ，同理可得：FG = DG =n ，∴OG =2t n -， 将x =2t n -，y=n 代入12y x =得：23n t =，∴OG =43t ，∴F （43t ，23t ）； ………………………………………8分 ②由（3）①得：OF =22253FG OG t +=，22223FD FG DG t =+=， ∵22ED t =，45OB =， ∴BF =25453OB OF t -=-,423EF ED FD t =-=, Ⅰ．当点F 在射线OB 的点B 的右侧时：∠BFD >90°,而△OEF 中无钝角，故此时△OEF 与△DBF 不相似； Ⅱ．当点F 在线段OB 上时：∵∠OFE =∠BFD ，∴OE 和BD 是对应边，当△OEF ∽△DBF 时，OF EF DF BF =，即25423322254533t tt t =-，解得：103t =，当△OEF ∽△BDF 时，OF EF BF DF =，即25423325224533t tt t=-，解得：4t =． ∴103t =或4． …………………………………10分。
黄冈中学2020年春自主招生模拟试题数 学 试 题（考试时间：120分钟 总分120分）一、选择题（每题3分，共24分）1.一元二次方程x 2+bx +c =0的一实根是另一实根的2倍，则以下结论错误的是（ ）A .b 2-4c ≥0B .b ≤0C .c ≥0D .2b 2=9c2.关于x 的不等式组1532223x x x x a ⎧+>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩，只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）A .-5≤a ≤143-B .-5≤a ≤143-C . -5<a ≤143-D . -5≤a <143- 3.双曲线y =k x (k <0)上有A ，B 两点，直线AB 交y 轴于点D ，交x 轴于点C ，且OD =OC ，若A （43-，1），则点B 的坐标为（ ）A .（-1，43） B .（-1，34） C .（-1，23） D .（-1，32）4.已知函数f (x )=x 2+λx ,p ,q ,r 为△ABC 的三边，且P <q <r ，若所有的正整数p ,q ,r 都满足f (p )<f (q )<f (r ),则λ的取值范围是（ ）A . λ>-2B . λ>-3C . λ>-4D . λ>-55.如图，△ABC 的面积为60，点D 在BC 上，BD =2CD ，连接AD 点E 为AD 中点，连接BE 并工交AC 于点，则△AEF 的面积为（ ）A . 2B . 4C . 5D . 86.记S n =a 1+a 2+…+a n , 令T n =12nS S S n+++，称T n 为a 1，a 2…，a n 这列数的“理想数”．已知a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2004，那么8，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为（ ）A . 2004B .2006C . 2008D . 20107.如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB =AC ，直线AD 交BC 于点E ，F 是OE 的中点，如果BD ∥CF ，BC =25，则线段CD 的长为（ ）A . 2B .5C .6D . 238.已知x ,y ,z ，a ,b 均为非零的实数，且满足331xy x y a b =+-，31yz y z a=+，331xz x z a b =++，112xyz xy yz zx =++，则a 的值为（ ） A . 2 B .-2 C .1 D . -1二、填空题（每题3分，共24分）9.已知a+b+c=0, a 2+b 2+c 2=6,那么a 4+b 4+c 4的值为_________10.用三种边长相等的正多边形地转铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则111x y z++的值为 ．11. 将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为 ．12.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，顶点B 在的比例函数y =2(0)x x-<上，点A 在反比例函数3(0)y x x=>上，C ，D 在x 轴上，则平行四边形ABCD 的面积是_______. 13. 设[x ]表示不超过x 的最大整数（例如：[2]=2，[1.25]=1），则方程3x -2[x ]+4=0的解为________ .14.使不等式|2x 3-|+k <x 有解的实数k 的取值范围是______.15.如图，⊙O 中，直径AB =10，C ，D 是上半圆⌒AB上的两个动点，弦AC 与BD 交于点E ，则AE ·AC +BE ·BD =__________16.如图所示，点A 、C 都在函数y =2(0)x x>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等腰直角三角形，则D 点的坐标为________ 三、解答题17.（8分）已知实数x ,y满足(2x +1)2+y 2+(y -2x )2=13,求x +y . 18.(8分)设m 是不小于-1的实数，关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2-3m +3=0有两个不相等的实数根x 1,x 2 （1）若22126x x +=，求m 的值.（2）求22121211mx mx x x +--的最大值. 19.（8分）如图，已知△ABC ，D 是BC 的延长线上的点，F 是AB 延长线上的点，∠ACD 的平分线交BA的延长线于点E ，∠FBC 的平分线交AC 的延长线于点E ，∠FBC 的平分线交AC 的延长线于点G ，若CE =BC =BG ，求∠ABC .2y x =-3y x=第5题图第7题图第16题图第15题图第12题图20.（8分）如图，已知A，B 两点的坐标分别为A（0，23），B（2，0），直线AB与反比例函数y=mx的图象交于点C和点D（-1，a）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式．（2）求∠ACO的度数．21.（9分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC的中点O为圆心，12AC长为半径作⊙O，交BC于点E，过O作OD∥BC交O于点D，连结AE、AD、DC．（1）求证：D是⌒AE的中点；（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；（3）若=12CEFOCDSS∆∆=，且AC=4，求CF的长.22.（9分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。
