测试信号分析与处理-基础知识复习(浏览版)
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第3章_测试信号分析与处理chjd
1 x(t ) x(t )dt x lim T T
T
0
T
0
1 x(t )dt x lim T T
T0ຫໍສະໝຸດ 2 x(t )dt x ]
贵州大学机械工程学院
陈家兑
测试技术 注意
1 T lim x(t )dt x T T 0
1 lim T T x ( )
陈家兑
测试技术
第3章 测试信号分析与处理
例3．1 求正弦函数 x(t ) x0 sin(t ) 的自相关函数，初始相 角 为一随机变量。 1 T 解 R x ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T0 2 x0 sin(t ) sin[ (t ) ]dt T0 0
y —随机变量y的均值， y E[ y]
x , y
—随机变量x、y的标准差， x E[( x x ) ], y E[( y y ) ]
2 2 2 2
根据柯西-许瓦兹不等式
E[( x x )( y y )]2 E[( x x ) 2 ]E[( y y ) 2 ]
贵州大学机械工程学院 陈家兑
测试技术 互相关函数的性质可用下图来表示。
第3章 测试信号分析与处理
例3.2
设有两个周期信号
x(t ) x0 sin(t )
y (t ) y0 sin(t )
试求其互相关函数 Rxy ( ) 。
贵州大学机械工程学院 陈家兑
测试技术 解：
▲互相关函数的性质： 1）互相关函数不是偶函数。
R xy ( ) R xy ( )
T
0
T
0
1 x(t )dt x lim T T
T0ຫໍສະໝຸດ 2 x(t )dt x ]
贵州大学机械工程学院
陈家兑
测试技术 注意
1 T lim x(t )dt x T T 0
1 lim T T x ( )
陈家兑
测试技术
第3章 测试信号分析与处理
例3．1 求正弦函数 x(t ) x0 sin(t ) 的自相关函数，初始相 角 为一随机变量。 1 T 解 R x ( ) lim x(t ) x(t )dt T T 0 1 T0 2 x0 sin(t ) sin[ (t ) ]dt T0 0
y —随机变量y的均值， y E[ y]
x , y
—随机变量x、y的标准差， x E[( x x ) ], y E[( y y ) ]
2 2 2 2
根据柯西-许瓦兹不等式
E[( x x )( y y )]2 E[( x x ) 2 ]E[( y y ) 2 ]
贵州大学机械工程学院 陈家兑
测试技术 互相关函数的性质可用下图来表示。
第3章 测试信号分析与处理
例3.2
设有两个周期信号
x(t ) x0 sin(t )
y (t ) y0 sin(t )
试求其互相关函数 Rxy ( ) 。
贵州大学机械工程学院 陈家兑
测试技术 解：
▲互相关函数的性质： 1）互相关函数不是偶函数。
R xy ( ) R xy ( )
《信号分析与处理》知识点及重点、难点
1.信号分析与处理基础知识（3学时）包括信号的定义与分类、信号分析与处理、信号分析与自动控制系统等内容。
2.连续信号的时域描述和分析（7学时）包括连续信号的时域描述和运算、信号的分解、周期信号的频谱分析、非周期信号频谱分析、傅立叶变换的性质等内容。
3.离散信号的分析（18学时）包括连续信号的离散化和采样定理、离散信号的时域分析、离散信号的频域分析（DFS,DTFT,DFT）、快速傅立叶变换（FFT）、离散信号的Z变换分析等内容，共14学时。
包括信号的采样与恢复、DFT和FFT等实验，共4学时。
4.信号处理基础（6学时）包括系统及其性质、信号的线性系统处理（时域分析法、频域分析法、复频域分析法）等内容，共4学时。
包括离散信号与系统分析等实验，共2学时。
5.滤波器（22学时）包括滤波器的基本概念及分类、模拟滤波器设计、数字滤波器设计等内容，共12学时。
包括滤波器设计、语音信号的频谱分析、步进伺服马达控制系统的DSP实现等实验，共10学时。
重点：信号的频域描述和分析；连续信号的离散化和采样定理；信号的FS、FT、DFS、DTFT分析以及DFT、FFT之间的关系；信号的复频域分析方法；滤波器的设计。
难点及解决办法：难点1：信号的频域法描述和分析。
用时域法分析信号与系统，概念上比较直观，学生容易接受，因为其变量是时间的函数。
而用频域法描述和分析信号时，其变量为频率ω/Ω，当ω/Ω变化时，其频率指标为何能反映出信号与系统的性能指标，这是学生难以理解和接受的。
解决办法：首先说明信号的时域描述和分析方法，介绍u(t)、δ(t)等时域描述信号，然后给出信号的频域描述和分析方法。
其次由函数的完备正交性及傅立叶级数，引出傅立叶变换，通过求解常见信号如正弦信号、指数信号、冲激信号、阶跃信号等的傅立叶变换，以及傅立叶变换的帕斯瓦尔定理，以信号时域、频域描述的能量守恒性，说明信号频域描述的可行性。
难点2：信号的模拟频率与数字频率之间的关系。
测试信号分析与处理考试重点概要
一、填空题(每空 1分 , 共 10分1.序列( sin(3/5 x n n π=的周期为2.线性时不变系统的性质有3.对 4( ( x n R n =的 Z 变换为 ,其收敛域为。
1.10 2. 交换律,结合律、分配律3.411, 0 1zz z---> -4. k N j e Zπ2=5.{0, 3, 1, -2; n=0,1,2,3}6. ( ( (y n x n h n=*7. x(0二、单项选择题 (本题共 10个小题,每小题 2分,共 20分本题主要考查学生对基本理论的掌握程度和计算能力。
评分标准:每小题选择正确给 1分,选错、多选或不选给 0分。
答案:1.A2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.D9.A 10.A三、判断题 (本题共 10个小题,每小题 1分,共 10分答案:1— 5全对 6— 10 全错4.抽样序列的 Z 变换与离散傅里叶变换 DFT 的关系为5.序列 x(n=(1, -2, 0, 3; n=0, 1, 2, 3, 圆周左移 2位得到的序列为6. 设 LTI 系统输入为 x(n , 系统单位序列响应为 h(n, 则系统零状态输出。
7.因果序列 x(n,在Z →∞时,二、单项选择题(每题 2分 , 共 20分1. δ(n的 Z 变换是( A.1 B. δ(ω C.2πδ(ω D.2π2. 序列 x 1(n 的长度为 4, 序列 x 2(n 的长度为 3, 则它们线性卷积的长度是 ( A.3 B.4 C. 6 D. 73. LTI 系统, 输入 x (n 时, 输出 y (n ; 输入为 3x (n-2 , 输出为 ( A. y(n-2 B.3y (n-2C.3y (nD.y (n4. 下面描述中最适合离散傅立叶变换 DFT 的是 (A. 时域为离散序列,频域为连续信号B. 时域为离散周期序列,频域也为离散周期序列C. 时域为离散无限长序列,频域为连续周期信号D. 时域为离散有限长序列,频域也为离散有限长序列5.若一模拟信号为带限,且对其抽样满足奈奎斯特条件,理想条件下将抽样信号通过可完全不失真恢复原信号 ( A. 理想低通滤波器 B. 理想高通滤波器 C. 理想带通滤波器 D. 理想带阻滤波器6. 下列哪一个系统是因果系统 ( A.y(n=x (n+2 B. y(n= cos(n+1x (n C.y(n=x (2n D.y(n=x (- n7. 一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括 (A. 实轴B. 原点C. 单位圆D. 虚轴8. 已知序列 Z 变换的收敛域为 |z |>2, 则该序列为 ( A. 有限长序列 B. 无限长序列 C. 反因果序列 D. 因果序列9.若序列的长度为 M ,要能够由频域抽样信号 X(k恢复原序列,而不发生时域混叠现象, 则频域抽样点数 N 需满足的条件是 (A.N≥MB.N≤MC.N≤2MD.N≥2M10. 设因果稳定的 LTI 系统的单位抽样响应 h(n, 在 n<0时, ( A.0 B . ∞ C. -∞ D.1三、判断题(每题 1分 , 共 10分 1.102. 交换律,结合律、分配律3.411, 0 1zz z---> -4. k N j e Zπ2=5.{0, 3, 1, -2; n=0,1,2,3}6. ( ( (y n x n h n=*7. x(0二、单项选择题 (本题共 10个小题,每小题 2分,共 20分本题主要考查学生对基本理论的掌握程度和计算能力。
测试技术与信号处理-考题重点知识复习
测试技术与信号处理考题重点复习1.信号的分类?描述方法?2.周期和非周期的频谱分析及其频谱的特点周期频谱分析:周期信号是定义在(-∞,+∞)区间,每隔一定时间按相同规律重复变化的信号，可表示为X(t)=(t+nT) n=0,±1,±2…..式中,T为信号的周期,其倒数1/T称为信号的频率,通常用f表示,频率的2π倍,即2πf或2π/T称为信号的角频率,即为ω.特点:1.离散性频谱是非周期性离散的线状频谱,称为谱线,连接各谱线顶点的曲线为频谱的包络线,它反映了各频率分量的幅度随频率变化的情况.2. 谐波性谱线以基波频率ω0为间隔等距离分布,任意两谐频之比都是整数或整数比,即为有理数.各次谐波的频率都是基频ω0或它的整数倍3.收敛性周期信号的幅值频谱是收敛的.即谐波的频率越高,其幅值越小,在整个信号中所占的比重也就越小.这表明虽然复杂周期信号在理论上有无穷多个频率成分,但占信号主要部分的是有限多个低次谐波,而高次谐波对信号构成的影响很小,可以忽略.非周期信号分析:非周期信号分为准周期信号和瞬变信号两种.两个或两个以上的正,余弦信号叠加,如果两个分量的频率比不是有理数,或者说明各分量的周期没有最小公倍数,那么合成的结果就不是周期信号,例如下式所表达的就是一个非周期信号.特点:1瞬变信号的频谱是连续的 2.瞬变信号中含有从0~∞的所有频率成分(个别点除外) 3.瞬变信号的幅值频谱从总体变化趋势上看具有收敛性,即谐波的频率越高,其幅值密度就越小.3.傅里叶变换的性质1)线性叠加性如果x(t)＜＝＞X(f),y(t) ＜＝＞Y(f)则ax(t)+by(t) ＜＝＞aX(f)+bY(f)该性质说明傅里叶变换是一种线性运算,它适用于线性装置或系统.此性质使分量和的频谱等于分量频谱之和.2)尺度展缩性如果x(t)＜＝＞X(f),y(t) ＜＝＞Y(f)则x(kt) ＜＝＞1/kX(f/k)该性质说明若信号在时域中扩展(0<k<1),等效于在频域中压缩,反之信号时域中压缩(k>1)等效于在频域中扩展.3)对称性该性质说明,若x(t)的单位频谱函数为X(f),将时域函数形式更换为X(t),那么X(t)所对应的频谱函数就具有相应的原时域函数X(f)对纵坐标轴反转所得的x(-f)的形式.4)时移性质如果x(t)＜＝＞X(f),y(t) ＜＝＞Y(f)则5)频移性质如果x(t)＜＝＞X(f),y(t) ＜＝＞Y(f)则4.系统静态及其静态特性参数测试系统的静态特性是指当输入信号为一不变或缓变信号时,输出与输入之间的关系.1)灵敏度2)非线性度3)回程误差4)精确度5)分辨率5频响的定义?在任意信号输入下,系统的频率响应是系统稳态输出与输入的傅氏变换之比.在正弦信号输入下,测试系统是系统稳态输出与输入的时域描述之比物理意义:通常频率响应函数H(jω)是一个负数函数,它可用指数形式表示:H(jω)=Re(ω)+jIm(ω)=|H(jω)|频率响应的模和幅角与实部和虚部有下列关系因模|H(jω)|和∠H(jω)都是实变函数,分别用A(ω)和来表达A(ω)=|H(jω)|=Y/X 模①(ω)=∠H(jω)= 幅角②式①的物理意义为在(余)弦信号输入下,其A(ω)反映的是系统稳态输出与输入的幅值比(Y/X)与被测信号频率ω的对应关系,称为系统的幅频特性.式②表明的物理意义为其幅角(ω)反映的是系统稳态输出与输入的相位角差()与被测信号频率ω的对应关系,称为系统的相频特性.6.一、二阶装置的动态参数?其取值对装置动态特性的影响?一阶响应函数H(jω)=Y(jω)/X(jω)=S/(jωτ+1)时间常数τ是反映一阶系统动态特性的重要参数,时间常数τ决定一阶系统适用的频率范围. τ值越小,动态响应特性越好,测试系统的频带越宽,即系统的响应越快. 二阶响应函数影响二阶系统动态特性的参数是固有频率ω,与阻尼比ζωn越大,测试系统的频带越宽,阻尼比ζ=0.65左右,共振现象最小,且水平最长.。
测试信号分析与处理-第3章(浏览版)
面积归一化
R波模板
－ 25 －
心电信号R波粗检测
－ 26 －
求取R波模板
归一化R波：
R(i, j ) = R(i, j ) / sum( R(i,:))
其中 R (i, j ) 表示第 i 个R波的第 j 点 求取平方和： sq (i ) = ∑ R(i, j ) × R(i, j )
j =1 n
算法步骤： Step 1: 对原序列补 N 个零，得新序列 x 2 N (n) Step 2: 作 FFT [ x2 N (n)] ⇒ X 2 N (e jω ) 或 X 2 N (k ), 2π k , k = 0, 1, ...., 2 N − 1 ωk =
2⎤ ⎡1 ˆ Step 4: 作 IFFT ⎢ X 2 N (k ) ⎥ ⇒ R0 (m) ⎣N ⎦
l
R 将平方和相近的波形相加求平均： _ model = ∑ R(i,:) (l − k + 1)
i=k
－ 27 －
相关运算
y ( n) :
x ( n) :
Rxy (m) :
－ 28 －
相关运算
y ( n) :
x ( n) :
Rxy (m) :
－ 29 －
2. 自相关法检测信号的周期
信号的检测： x (n ) = s(n ) + u(n )
m 可正可负。
L = 2N −1
x(n), y (n) : N Rxy (m) : L
－
1 Rxy (m) = N
线性卷积：
∑ x ( k − m) y ( k )
k =0
N −1
——相乘相加运算
x ( n) ∗ h( n) = ∑ x ( n − k ) h( k )
测试技术复习资料 第七章 测试信号的处理与分析 考试重点
测试技术复习资料 第七章 测试信号的处理与分析 考试重点一、选择题1. 两个正弦信号间存在下列关系：（ B ）A. 同频相关，不同频也相关B. 同频相关，不同频不相关C. 同频不相关，不同频相关D. 同频不相关，不同频也不相关2. 自相关函数是一个（ B ）函数。
A. 奇B. 偶C. 非奇非偶D. 三角3. 如果一信号的自相关函数)(τx R 呈现一定周期的不衰减，则说明该信号（ B ）。
A. 均值不为0B. 含有周期分量C. 是各态历经的D. 不含有周期分量4. 正弦信号的自相关函数是（ A ），余弦函数的自相关函数是（C ）。
A. 同频余弦信号B. 脉冲信号C. 偶函数D. 正弦信号5.经测得某信号的相关函数为一余弦曲线，则其（ C ）是正弦信号的（ D ）。
A. 可能B. 不可能C. 必定D. 自相关函数6. 对连续信号进行采样时，采样频率越高，当保持信号的记录的时间不变时，则（ C ）。
A. 泄漏误差就越大B. 量化误差就越小C. 采样点数就越多D. 频域上的分辨率就越低7. 把连续时间信号进行离散化时产生混叠的主要原因是（ B ）。
A. 记录时间太长B. 采样间隔太宽C. 记录时间太短D. 采样间隔太窄8. 若有用信号的强度、信噪比越大，则噪声的强度（C ）。
A. 不变B. 越大C. 越小D. 不确定9. A/D 转换器是将（ B ）信号转换成（ D ）信号的装置。
A. 随机信号B. 模拟信号C. 周期信号D. 数字信号10. 两个同频方波的互相关函数曲线是（ C ）。
A. 余弦波B. 方波C. 三角波D. 正弦波11. 已知x （t ）和y （t ）为两个周期信号，T 为共同的周期，其互相关函数的表达式为（ C ）。
A.dt t y t x T T )()(210⎰+τ B. dt t y t x TT )()(210⎰+τ C. dt t y t x T T )()(10⎰+τ D. dt t y t x T T )()(210⎰-τ 12. 两个不同频率的简谐信号，其互相关函数为（ C ）。
测试技术与信号分析复习题
1．求同周期的方波和正弦波的互相关函数2．已知信号x (t )试求信号x (0.5t ) ，x (2t )的傅里叶变换⎩⎨⎧><=11,0,1)(T t T t t x3．所示信号的频谱式中x 1(t ), x 2(t )是如图b ），图c ）所示矩形脉冲。
4、求指数衰减振荡信号()t et x at0sin ω-=的频谱5、求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱6、为什麽能用自相关分析消去周期信号中的白噪声信号干扰。
7、用波形分析测量信号周期与用自相关分析测量信号周期何种方法更准确。
下图为一存在质量不平衡的齿轮传动系统，大齿轮为输入轴，转速为600r/min ，大、中、小齿轮的齿数分别为40,20,10。
下面是在齿轮箱机壳上测得的振动信号功率谱：txT 1-T 1T-T)5.2()5.2(21)(21-+-=t x t x t x请根据所学的频谱分析知识，判断是哪一个齿轮轴存在质量不平衡？8、在系统特性测量中常用白噪声信号作为输入信号，然后测量系统的输出，并将输出信号的频谱作为系统频率特性。
请用卷积分定理解释这样做的道理。
9. 下面是大型空气压缩机传动装置简图和在减速箱上测得的振动信号波形和频谱，请从频谱上读出信号的特征参数，并判断那一根传动轴是主要的振动源，说明判断依据？第三章1、用超声波探伤器对100个对100个发动机叶片进行裂纹检测，根据先验记载，80%没有裂纹，20%有裂纹。
试列出该系统的信源空间。
在检验后，仪器显示出没有裂纹和有裂纹，两种状态下各获信息量多少？（0。
32bit, 2.32bit）2、某汽车工厂，按相同流程生产四种类型产品A、B、C、D。
其中，A占10%，B占30%，C占35%；D占25%。
有两份生产报告：“现在完成1台A型产品。
”“现在完成1台C型产品”，试确定哪份报告的信息量大些。
（A-3.32bit, C—1.51bit）第四章(1) 电阻丝应变片与半导体应变片在工作原理上有何区别？各有何优缺点？应如何根据具体情况选用？(2) 电感传感器(自感型)的灵敏度与哪些因素有关，要提高灵敏度可采取那些措施？采取这些措施会带来什麽后果？(3) 电容传感器、电感传感器、电阻应变片传感器的测量电路有何异同？ (4) 试按接触式与非接触式区分各类传感器，列出它们的名称，变换原理？(5) 欲测量液体压力，拟采用电容传感器、电感传感器、电阻应变片传感器和压电传感器，请绘出可行的方案原理图？(6) 有一批涡轮机叶片，需要检测是否有裂纹，请列举出两种以上方法，并简述所用传感器工作原理。
测试信号分析与处理-第1章(浏览版)
n =0
N −1
－13－
三. 方差 (二阶中心矩)
2 定义: σ x (t1 ) = E[[ X (t1 ) − μ x (t1 )]2 ]
σ x2 (t1 ) = Ψ x2 (t1 ) − μ x2 (t1 ) σ x2 = E[( X − μ x ) 2 ] = Ψ x2 − μ x2
1 σ = lim T →∞ T
对平稳随机过程： F ( x1 ) = p[ x ≤ x1 ]
－6－
概率密度函数
随机过程 x(t)在 t1时刻落入 [x1 , x1 + Δx ]区间的概率。
p[ x1 ≤ x(t1 ) ≤ x1 + Δx] ∂ F ( x1 , t1 ) p( x1 , t1 ) = lim = Δx →0 Δx ∂ x1
(Ergodic Process)
平稳随机过程集合的数字特征(均值, 均方值, 方差, 相关函数, 功率谱密度函数等)可以用任 何一个样本全部时间历程的数字特征来代替。
－4－
各态历经(遍历)随机过程的特点
1 lim ● 一个样本的时间平均 T → ∞ T
N k =1
∫
T
0
x ( t ) d t 等同于
−∞
－26－
小 结
遍历随机过程的数字特征：
1 T lim 一. 均值： μ x = T →∞ ∫0 x(t )dt T 1 T 2 2 二. 均方值：ψ x = lim ∫0 x (t )dt T →∞ T 1 T 2 2 lim 三. 方差： σ x = T →∞ ∫0 [ x(t ) − μ x ] dt T 1 T lim 四. 自相关函数：Rxx (τ ) = T →∞ ∫0 x(t ) x(t + τ )dt T
N −1
－13－
三. 方差 (二阶中心矩)
2 定义: σ x (t1 ) = E[[ X (t1 ) − μ x (t1 )]2 ]
σ x2 (t1 ) = Ψ x2 (t1 ) − μ x2 (t1 ) σ x2 = E[( X − μ x ) 2 ] = Ψ x2 − μ x2
1 σ = lim T →∞ T
对平稳随机过程： F ( x1 ) = p[ x ≤ x1 ]
－6－
概率密度函数
随机过程 x(t)在 t1时刻落入 [x1 , x1 + Δx ]区间的概率。
p[ x1 ≤ x(t1 ) ≤ x1 + Δx] ∂ F ( x1 , t1 ) p( x1 , t1 ) = lim = Δx →0 Δx ∂ x1
(Ergodic Process)
平稳随机过程集合的数字特征(均值, 均方值, 方差, 相关函数, 功率谱密度函数等)可以用任 何一个样本全部时间历程的数字特征来代替。
－4－
各态历经(遍历)随机过程的特点
1 lim ● 一个样本的时间平均 T → ∞ T
N k =1
∫
T
0
x ( t ) d t 等同于
−∞
－26－
小 结
遍历随机过程的数字特征：
1 T lim 一. 均值： μ x = T →∞ ∫0 x(t )dt T 1 T 2 2 二. 均方值：ψ x = lim ∫0 x (t )dt T →∞ T 1 T 2 2 lim 三. 方差： σ x = T →∞ ∫0 [ x(t ) − μ x ] dt T 1 T lim 四. 自相关函数：Rxx (τ ) = T →∞ ∫0 x(t ) x(t + τ )dt T
17374《测试信号分析与处理》宋爱国 第2章 连续信号处理
∫
∞
能量有限信号 : 平均功率: 平均功率:
∫
∞ ∞
f (t ) dt < ∞
2
T2 1 2 P= ∫ T1 f (t ) dt T2 T1
功率有限信号:信号f(t)在时间( 功率有限信号:信号f(t)在时间(-∞,+∞)上的平 f(t)在时间 ) T /2 2 均功率 P = lim 1 f (t ) dt <∞ T →∞ T ∫ T / 2
《测试信号分析与处理》课程 测试信号分析与处理》
第二章
连续时间信号分析
介绍周期信号的分解和傅立叶级数, 介绍周期信号的分解和傅立叶级数,从频域来描述和 分析连续时间信号. 分析连续时间信号.
第一节 第二节 第三节 第四节
周期信号分析 非周期信号的频域分析 周期信号的傅里叶变换 采样信号分析
第一节 周期信号分析 如何求解复杂信号作用于线性系统后的响应? 如何求解复杂信号作用于线性系统后的响应?由 此分析,要解决什么样的关键问题?--信号分解 信号分解. 此分析,要解决什么样的关键问题?--信号分解. 信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠 并从信号分量的组成情况去考察信号的特性. 加,并从信号分量的组成情况去考察信号的特性. 只要知道周期信号在一个周期内的特性, 只要知道周期信号在一个周期内的特性,也就可 以了解到它所具有的全部特性.所以, 以了解到它所具有的全部特性.所以,对周期信 号的研究往往是在一个周期内进行. 号的研究往往是在一个周期内进行.
第一节 周期信号分析
(一)用完备正交实变函数集来分解信号 函数f(t)与g(t)在区间 [t1,t 2 ] 上正交的条件是
∫
t2 t1
f (t ) g (t )dt = 0
测试信号分析与处理
S v
m
2
• 式中，S——两传感器的中心至漏报处的 距离； V——声波通过管道的传播速 度．
• 2.3信号的频谱分析 • 用频率作为独立变量来描述信号称为信 号的频域描述。 • 作为时间函数的激励和响应，可通过傅 立叶变换将时间变量变换为频率变量去 进行分析，这种利用信号频率特性的方 法称为频域分析法。频域是最常用的一 种变换域。 • 频域分析的基本工具是傅立叶分析，包 括傅立叶级数和傅立叶变换。
• 2.1.1确定性信号与非确定性信号（随机 信号） • a)确定性信号 可以用明确的数学关系式描述的信 号称为确定性信号。它可以进一步分为 周期信号、非周期信号与准周期信号等， 如下图所示。
• 周期信号是经过一定时间可以重复出现 的信号，满足条件： x ( t ) = x ( t + nT )
E
T /2 T / 2
| f (t ) | dt
2
– 把该能量值对于时间间隔取平均，得 到该时间内信号的平均功率。
1 T /2 2 P lim | f (t ) | dt T T T / 2
– 如果时间间隔趋于无穷大，将产生两 种情况。 • 信号总能量为有限值而信号平均功率为 零，称为能量信号；信号平均功率为大 于零的有限值而信号总能量为无穷大， 称为功率信号，周期信号就是常见的功 率信号。
式中，T——周期，T=2π/ω0； • ω0——基频； • n=0,±1, …
• 非周期信号是不会重复出现的信号。例 如，锤子的敲击力；承载缆绳断裂时应 力变化；热电偶插入加热炉中温度的变 化过程等，这些信号都属于瞬变非周期 信号，并且可用数学关系式描述。
• b)非确定性信号（随机信号） 非确定性信号不能用数学关系式描 述，其幅值、相位变化是不可预知的， 所描述的物理现象是一种随机过程。例 如，汽车奔驰时所产生的振动；飞机在 大气流中的浮动；树叶随风飘荡；环境 噪声等。
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−T / 2
∫ X ( jΩ) = ∞ x(t)e−jΩtdt −∞
∑ X~(ejω) = ∞ x(n)e−jωn
n=−∞
∑ X~(k
)
=
N
−1
~x (n)e−
j2π N
nk
n=0
(k = −∞ ~ +∞)
－3－
1. 傅立叶级数(FS)
连续周期信号
~x(t) =
~x(t +T )
，Ω0
=
2π
T
∑ ~x(t) =
2π −∞ 时域：连续，非周期
频域：连续，非周期
∫ X ( jΩ) = ∞ x(t)e−jΩtdt −∞
A x(t)
0
−τ
τ
2
2
X (jΩ)
A=5
τ = 0.2 t
Ω
∫∞
存在条件：
x(t) 2dt < ∞
能量信号
−∞
Ω = 2π τ
－9－
FS与FT的区别
∫ FS :
X
(kΩ0
)
=
1 T
T /2 ~x (t)e−jkΩ0 tdt
F [X ( jt)] = 2π x(Ω) 由于F [δ (t)] =1 ，根据对称性可得F [1] = 2πδ (Ω) 说明冲激信号的频谱为常数，而直流信号的 频谱为冲激函数。 矩形窗函数的频谱是sinc函数，则sinc函数的 频谱一定是矩形窗函数。
－24－
FT的基本性质
(4) 移位特性： 时移特性：F [x(t ± t0 )] = X ( jΩ)e± jΩt0 信号在时域发生移位后，其频域的幅度谱不 变，相位谱产生附加相移 ±Ωt0 ，(右移取－， 左移取＋)。
例 冲激串序列的傅立叶变换
∞
时域：p(t) = ∑δ(t −nT) n=−∞
p(t)
…
…
0
t
是周期为 T 的函数，将其展开为傅立叶级数：
∫ ∫ P(kΩ0
)
=
1 T
T /2 p(t)e−jkΩ0tdt = 1
−T / 2
T
T /2 δ (t)e−jkΩ0tdt = 1
−T / 2
T
∑ ∑ p(t)
－25－
FT的基本性质
频移特性：F [x(t)e± jΩ0t ] = X[ j(Ω m Ω0 )]
F
[ x(t )
cos(Ω0t)]
=
1 2
[X
(
jΩ
+
jΩ0
)
+
X
(
jΩ
−
jΩ0 )]
F
[ x(t )
sin(Ω0t)]
=
j 2
[X
(
jΩ
+
jΩ0
)
−
X
(
jΩ
−
jΩ0
)]
时域信号乘以正弦信号，则其频谱一分为
周 期 信 号： 可以实现傅立叶级数的分解， 属于功率信号；
非周期信号： 可以实现傅立叶变换， 属于能量信号；
周期信号可否 实现傅立叶变换
在经典数学的意义上是不可实现的， 但在引入了奇异函数后可以实现。
－13－
例 x(t) = cos(Ω0t) ，求其傅立叶变换。
∫ 因为， ∞ x(t) 2dt → ∞ −∞
二，并沿频率轴左右平移 ±Ω0 ，幅度变为原 来的一半。
这种频谱搬移技术常用来实现信号的调制解调。
－26－
FT的基本性质
(5) 尺度变换和反褶特性： F [x(at)] = 1 X ( j Ω)
aa
时域信号波形的压缩( a >1 )，对应于频域频 谱的展宽；时域信号波形的扩展( a <1 )，对 应于频域频谱的压缩。 若 a = −1 ，则 F [x(−t)] = X (−jΩ) ，表明时域 信号反褶，其频谱亦反褶。
的投影。
－19－
典型连续信号的FT
(1) 单个复正弦：
x(t) = ejΩ0t ⇔ X ( jΩ) = 2πδ (Ω − Ω0 ) (2) 实正弦：
x(t) = sin(Ω0t) ⇔ X ( jΩ) = jπ [δ (Ω + Ω0) −δ (Ω − Ω0)]
(3) 实余弦：
x(t) = cos(Ω0t) ⇔ X ( jΩ) = π [δ (Ω + Ω0) +δ (Ω − Ω0)]
信号相乘等效于频域频谱卷积。
x(t) ∗δ (t) = ?
x(t)
x(t) ∗δ (t − t0 ) = ?
x(t − t0 )
－28－
FT的基本性质
(7) 相关定理： x(t), y(t) 为能量信号
∫ Rxy (τ ) =
∞ x(t) y(t +τ )dt
−∞
F [Rxy (τ )] = X ∗( jΩ) ⋅Y ( jΩ)
F [Rxx (τ )] = X ( jΩ) 2
(8) 帕塞瓦定理： x(t) 为能量信号
∫ ∫ ∞ x(t) 2 dt = 1 ∞ X ( jΩ) 2 dΩ
−∞
2π −Laplace 变换的关系
Laplace 变换
∫ X(s) = ∞ x(t)e−stdt s = jΩ −∞
2π −∞
－7－
例 矩形窗(连续非周期)的傅立叶变换：
A x(t)
0
−τ
τ
2
2
A=5
τ = 0.2 t
∫ X ( jΩ) = τ /2 Ae−jΩtdt −τ / 2 = Aτ sin(Ωτ / 2) Ωτ / 2
X (jΩ) Ω
Ω = 2π
τ
－8－
傅立叶变换(FT)
∫ x(t) = 1 ∞ X(jΩ)ejΩtdΩ
所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，
先将其展开为傅立叶级数：
∞
∑ x(t) = X(kΩ0)e−jkΩ0t k=−∞
x(t)
=
cos(Ω0t)
=
1 [ejΩ0t 2
+
e− jΩ0t
]
X
(kΩ0
)
=
1 2
(k =1,
−1)
欧拉公式
－14－
现利用 δ 函数将 x(t) = cos(Ω0t) 作傅立叶变换：
X
(kΩ0
)e
jkΩ0t
⎤ ⎥⎦
e−
jΩt
dt
∑ ∫ =
∞
X (kΩ0 )
∞ −∞
⎡⎣e−
j(Ω−kΩ0
)t
⎤⎦
dt
∑ ∫ k=−∞ ∞
X ( jΩ) = 2π X (kΩ0 )δ (Ω − kΩ0)
∞e±jΩtdt =2πδ(Ω)
−∞
k =−∞
可以将 FS 和 FT 统一在 FT 的理论框架下进行
－27－
FT的基本性质
(6) 卷积定理：
∫ x(t) ∗ y(t) = ∞ x(τ ) y(t −τ )dτ −∞
时域卷积：F [x(t) ∗ y(t)] = X ( jΩ)⋅Y ( jΩ)
频域卷积：F
[x(t) ⋅
y(t)] =
1
2π
X ( jΩ) ∗Y ( jΩ)
时域信号卷积等效于频域频谱相乘，时域
=
∞
P(kΩ0 )ejkΩ0t
k =−∞
=
1 T
∞
ejkΩ0t ,
k =−∞
Ω0
=
2π
T
－16－
∑ 冲激串序列： p(t) = 1
∞
ejkΩ0t ,
T k=−∞
傅立叶变换：
Ω0
=
2π
T
∫ ∫ ∑ ∑ P(jΩ) =
∞ p(t)e−jΩtdt =
−∞
∞1 −∞ T
∞
ejkΩ0te−jΩtdt
k=−∞
∫ ∫ X (jΩ) = ∞ x(t)e−jΩtdt = ∞ 1[e−j(Ω−Ω0)t + e−j(Ω+Ω0)t ]dt
−∞
−∞ 2
∫ =πδ(Ω−Ω0) +πδ(Ω+Ω0)
∞e±jΩtdt =2πδ(Ω)
−∞
FS
1/ 2
X (kΩ0 )
1/ 2
−1
FT π
0
1
k
X ( jΩ)
π
−Ω0
0
Ω
Ω0
－15－
− τ 0τ
22
L
Tt
频域：离散，非周期
X (kΩ0 )
Ω0
=
2π
T
∫ X
(kΩ0
)
=
1 T
T /2 ~x (t)e−jkΩ0 tdt
−T / 2
k
(Ω0
=
2π
T
)
∫ 存在条件：1 T / 2 ~x (t) 2 dt < ∞ 功率信号
T −T / 2 －6－
2. 傅立叶变换(FT)
周期信号： FS
0
−τ τ
t
22
X (kΩ0 )
X ( jΩ)
k
Ω
Ω = 2π
0T
Ω = 2π τ
－11－
FS与FT的联系
对周期为 T
的信号 x%(t)
的主值区间 [− T , T ] 截取
22
后得到非周期信号 x(t) 。
非周期信号 x(t) 的频谱在形状上与周期信号 x%(t) 频谱的包络线相同。
－12－
FS与FT的联系
∫ X
(kΩ0
)
=
1 T
T /2 ~x (t)e−jkΩ0 tdt
∫ X ( jΩ) = ∞ x(t)e−jΩtdt −∞
∑ X~(ejω) = ∞ x(n)e−jωn
n=−∞
∑ X~(k
)
=
N
−1
~x (n)e−
j2π N
nk
n=0
(k = −∞ ~ +∞)
－3－
1. 傅立叶级数(FS)
连续周期信号
~x(t) =
~x(t +T )
，Ω0
=
2π
T
∑ ~x(t) =
2π −∞ 时域：连续，非周期
频域：连续，非周期
∫ X ( jΩ) = ∞ x(t)e−jΩtdt −∞
A x(t)
0
−τ
τ
2
2
X (jΩ)
A=5
τ = 0.2 t
Ω
∫∞
存在条件：
x(t) 2dt < ∞
能量信号
−∞
Ω = 2π τ
－9－
FS与FT的区别
∫ FS :
X
(kΩ0
)
=
1 T
T /2 ~x (t)e−jkΩ0 tdt
F [X ( jt)] = 2π x(Ω) 由于F [δ (t)] =1 ，根据对称性可得F [1] = 2πδ (Ω) 说明冲激信号的频谱为常数，而直流信号的 频谱为冲激函数。 矩形窗函数的频谱是sinc函数，则sinc函数的 频谱一定是矩形窗函数。
－24－
FT的基本性质
(4) 移位特性： 时移特性：F [x(t ± t0 )] = X ( jΩ)e± jΩt0 信号在时域发生移位后，其频域的幅度谱不 变，相位谱产生附加相移 ±Ωt0 ，(右移取－， 左移取＋)。
例 冲激串序列的傅立叶变换
∞
时域：p(t) = ∑δ(t −nT) n=−∞
p(t)
…
…
0
t
是周期为 T 的函数，将其展开为傅立叶级数：
∫ ∫ P(kΩ0
)
=
1 T
T /2 p(t)e−jkΩ0tdt = 1
−T / 2
T
T /2 δ (t)e−jkΩ0tdt = 1
−T / 2
T
∑ ∑ p(t)
－25－
FT的基本性质
频移特性：F [x(t)e± jΩ0t ] = X[ j(Ω m Ω0 )]
F
[ x(t )
cos(Ω0t)]
=
1 2
[X
(
jΩ
+
jΩ0
)
+
X
(
jΩ
−
jΩ0 )]
F
[ x(t )
sin(Ω0t)]
=
j 2
[X
(
jΩ
+
jΩ0
)
−
X
(
jΩ
−
jΩ0
)]
时域信号乘以正弦信号，则其频谱一分为
周 期 信 号： 可以实现傅立叶级数的分解， 属于功率信号；
非周期信号： 可以实现傅立叶变换， 属于能量信号；
周期信号可否 实现傅立叶变换
在经典数学的意义上是不可实现的， 但在引入了奇异函数后可以实现。
－13－
例 x(t) = cos(Ω0t) ，求其傅立叶变换。
∫ 因为， ∞ x(t) 2dt → ∞ −∞
二，并沿频率轴左右平移 ±Ω0 ，幅度变为原 来的一半。
这种频谱搬移技术常用来实现信号的调制解调。
－26－
FT的基本性质
(5) 尺度变换和反褶特性： F [x(at)] = 1 X ( j Ω)
aa
时域信号波形的压缩( a >1 )，对应于频域频 谱的展宽；时域信号波形的扩展( a <1 )，对 应于频域频谱的压缩。 若 a = −1 ，则 F [x(−t)] = X (−jΩ) ，表明时域 信号反褶，其频谱亦反褶。
的投影。
－19－
典型连续信号的FT
(1) 单个复正弦：
x(t) = ejΩ0t ⇔ X ( jΩ) = 2πδ (Ω − Ω0 ) (2) 实正弦：
x(t) = sin(Ω0t) ⇔ X ( jΩ) = jπ [δ (Ω + Ω0) −δ (Ω − Ω0)]
(3) 实余弦：
x(t) = cos(Ω0t) ⇔ X ( jΩ) = π [δ (Ω + Ω0) +δ (Ω − Ω0)]
信号相乘等效于频域频谱卷积。
x(t) ∗δ (t) = ?
x(t)
x(t) ∗δ (t − t0 ) = ?
x(t − t0 )
－28－
FT的基本性质
(7) 相关定理： x(t), y(t) 为能量信号
∫ Rxy (τ ) =
∞ x(t) y(t +τ )dt
−∞
F [Rxy (τ )] = X ∗( jΩ) ⋅Y ( jΩ)
F [Rxx (τ )] = X ( jΩ) 2
(8) 帕塞瓦定理： x(t) 为能量信号
∫ ∫ ∞ x(t) 2 dt = 1 ∞ X ( jΩ) 2 dΩ
−∞
2π −Laplace 变换的关系
Laplace 变换
∫ X(s) = ∞ x(t)e−stdt s = jΩ −∞
2π −∞
－7－
例 矩形窗(连续非周期)的傅立叶变换：
A x(t)
0
−τ
τ
2
2
A=5
τ = 0.2 t
∫ X ( jΩ) = τ /2 Ae−jΩtdt −τ / 2 = Aτ sin(Ωτ / 2) Ωτ / 2
X (jΩ) Ω
Ω = 2π
τ
－8－
傅立叶变换(FT)
∫ x(t) = 1 ∞ X(jΩ)ejΩtdΩ
所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，
先将其展开为傅立叶级数：
∞
∑ x(t) = X(kΩ0)e−jkΩ0t k=−∞
x(t)
=
cos(Ω0t)
=
1 [ejΩ0t 2
+
e− jΩ0t
]
X
(kΩ0
)
=
1 2
(k =1,
−1)
欧拉公式
－14－
现利用 δ 函数将 x(t) = cos(Ω0t) 作傅立叶变换：
X
(kΩ0
)e
jkΩ0t
⎤ ⎥⎦
e−
jΩt
dt
∑ ∫ =
∞
X (kΩ0 )
∞ −∞
⎡⎣e−
j(Ω−kΩ0
)t
⎤⎦
dt
∑ ∫ k=−∞ ∞
X ( jΩ) = 2π X (kΩ0 )δ (Ω − kΩ0)
∞e±jΩtdt =2πδ(Ω)
−∞
k =−∞
可以将 FS 和 FT 统一在 FT 的理论框架下进行
－27－
FT的基本性质
(6) 卷积定理：
∫ x(t) ∗ y(t) = ∞ x(τ ) y(t −τ )dτ −∞
时域卷积：F [x(t) ∗ y(t)] = X ( jΩ)⋅Y ( jΩ)
频域卷积：F
[x(t) ⋅
y(t)] =
1
2π
X ( jΩ) ∗Y ( jΩ)
时域信号卷积等效于频域频谱相乘，时域
=
∞
P(kΩ0 )ejkΩ0t
k =−∞
=
1 T
∞
ejkΩ0t ,
k =−∞
Ω0
=
2π
T
－16－
∑ 冲激串序列： p(t) = 1
∞
ejkΩ0t ,
T k=−∞
傅立叶变换：
Ω0
=
2π
T
∫ ∫ ∑ ∑ P(jΩ) =
∞ p(t)e−jΩtdt =
−∞
∞1 −∞ T
∞
ejkΩ0te−jΩtdt
k=−∞
∫ ∫ X (jΩ) = ∞ x(t)e−jΩtdt = ∞ 1[e−j(Ω−Ω0)t + e−j(Ω+Ω0)t ]dt
−∞
−∞ 2
∫ =πδ(Ω−Ω0) +πδ(Ω+Ω0)
∞e±jΩtdt =2πδ(Ω)
−∞
FS
1/ 2
X (kΩ0 )
1/ 2
−1
FT π
0
1
k
X ( jΩ)
π
−Ω0
0
Ω
Ω0
－15－
− τ 0τ
22
L
Tt
频域：离散，非周期
X (kΩ0 )
Ω0
=
2π
T
∫ X
(kΩ0
)
=
1 T
T /2 ~x (t)e−jkΩ0 tdt
−T / 2
k
(Ω0
=
2π
T
)
∫ 存在条件：1 T / 2 ~x (t) 2 dt < ∞ 功率信号
T −T / 2 －6－
2. 傅立叶变换(FT)
周期信号： FS
0
−τ τ
t
22
X (kΩ0 )
X ( jΩ)
k
Ω
Ω = 2π
0T
Ω = 2π τ
－11－
FS与FT的联系
对周期为 T
的信号 x%(t)
的主值区间 [− T , T ] 截取
22
后得到非周期信号 x(t) 。
非周期信号 x(t) 的频谱在形状上与周期信号 x%(t) 频谱的包络线相同。
－12－
FS与FT的联系
∫ X
(kΩ0
)
=
1 T
T /2 ~x (t)e−jkΩ0 tdt