有理数的意义数轴绝对值习题 学生版

初中七年级数学上册第一章：有理数——1.2.4：绝对值（解析）一：知识点讲解知识点一：绝对值绝对值：✧ 几何意义：一般地，数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点之间的距离，数a 的绝对值记作a ，读作“a 的绝对值”。

✧ 代数意义：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即对于任何有理数，都有⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a ，，，。

由绝对值的定义可知，一个数的绝对值是非负数，在数轴上，一个数离原点越近，绝对值越小；离原点越远，绝对值越大。

绝对值是它本身的数是非负数，即若a a =，则0≥a ，即a 为非负数；绝对值是其相反数的数是非正数，即若a a -=，则0≤a ，即a 为非正数。

绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数，即若a x =（0>a ），则a x ±=，即若2=x ，则2±=x 。

互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等的两个数相等或互为相反数。

若几个数的绝对值之和为0，则这几个数同时为0。

求一个数的绝对值，要“先判后去”，即先判断这个数是正数、0、还是负数，再由绝对值的定义去掉绝对值符号。

例1：写出下列各数的绝对值：23-、211、﹣3、0、45、π- 解：23、211、3、0、45、π知识点二：有理数大小的比较有理数大小的比较：✧ 利用数轴比较大小：依据：在数轴上表示有理数，左边的数小于右边的数；具体方法：把要比较大小的有理数在同一条数轴上表示出来，那么有理数从左到右的顺序就是从小到大的顺序。

✧ 利用数的性质比较大小：依据：正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小； 具体方法：在比较几个数的大小时，步骤如下：先将它们分类成正数、0、负数，再按上面的依据进行比较。

两个正有理数比较大小：1) 比较两个小数大小，先看正数部分，正数部分大的那个数大；2) 两个分数比较大小，同分母分数，分子大的分数大，异分母分数，要先通分，再比较； 3) 比较分数与小数大小，一般先将小数化成分数再比较。

人教版七年级上册数学数轴与绝对值的解答题1．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)用“＞”或“＜”填空a _____0，b _____0，c ﹣b ______0，ab_____0． (2)化简：|a |+|b +c |﹣|c ﹣a |．2．如图，数轴上的三个点A ，B ，C 分别表示实数a ，b ，c ．(1)如果点C 是AB 的中点，那么a ，b ，c 之间的数量关系是________； (2)比较4b -与1c +的大小，并说明理由； (3)化简：|2||1|||--+++a b c ．3．阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB ＝|a ﹣b |．回答下列问题：(1)数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x 和-2的两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示a 和1的两点之间的距离为6，则a 表示的数为 ；(3)若x 表示一个有理数，则|x +2|+|x -4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．4．已知b 是最大的负整数，且a 、b 、c 满足()21202a b c +++=，请回答下列问题： (1)请直接写出a 、b 、c 的值：=a _____，b =_____，c =______；(2)a 、b 、c 在数轴上所对应的点分别为A 、B 、C ，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点B 以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A 、点C 都以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离为AB，点B与点C之间的距离为BC，请问：AB BC-的值是否随着t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB BC-的值．5．如图一，已知数轴上，点A表示的数为6-，点B表示的数为8，动点P从A出t>发，以3个单位每秒的速度沿射线AB的方向向右运动，运动时间为t秒()0(1)线段AB=__________．(2)当点P运动到AB的延长线时BP=_________．（用含t的代数式表示）(3)如图二，当3t=秒时，点M是AP的中点，点N是BP的中点，求此时MN的长度．(4)当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动，①点P表示的数为：_________（用含t的代数式表示），点Q表示的数为：__________（用含t的代数式表示）．①存在这样的t值，使B、P、Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出t值．______________．6．数轴上与1A，B，点B，点A的距离与点A，点C（点C在点B的左侧）之间的距离相等，设点C表示的数为x，求代数式|x﹣2|的值．7．如图，周长为2个单位长度的圆片上的一点A与数轴上的原点O重合，圆片沿数轴来回无滑动地滚动．(1)把圆片沿数轴向左滚动一周，点A到达数轴上点B的位置，则点B表示的数为__________．(2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动情况记录如下表：①第6次滚动a周后，点A距离原点4个单位长度，请求出a的值；①当圆片结束第6次滚动时，点A一共滚动了多少个单位长度？8．解答下列各题(1)有8筐白菜，以每筐25千克为标准重量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣1.5，﹣2，﹣2.5．回答下列问题：①与标准重量比较，8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？①若白菜每千克售价2.6元，则出售这8筐白菜可卖多少元？(2)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．①用“＞”或“＜”填空：a＋b_____0，c﹣b______0；①|a＋b|＝_______，|c|＝______，|c﹣b|＝_______；①化简：|a＋b|-|c|＋|c﹣b|．9．如图，在数轴上点A、C、B表示的数分别是-2、1、12．动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动，设点Q的运动时间为t秒．(1)AB的长为_______；(2)当点P与点Q相遇时，求t的值．(3)当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求t的值．(4)若PC+QB=8，直接写出t点P表示的数．10．已知数轴上有两个点A：－3，B：1．(1)求线段AB的长；(2)若2m ，且m<0；在点B右侧且到点B距离为5的点表示的数为n．①求m与n；①计算2m+n+mn；11．在今年720特大洪水自然灾害中，一辆物资配送车从仓库O出发，向东走了4千米到达学校A，又继续走了1千米到达学校B．然后向西走了9千米到达学校C，最后回到仓库O．解决下列问题：(1)以仓库O为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，画出数轴．并在数轴上表示A、B、C的位置；(2)结合数轴计算：学校C在学校A的什么方向，距学校A多远？(3)若该配送车每千米耗油0.1升，在这次运送物资回仓的过程中共耗油多少升？12．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动72cm到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；(2)把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm．(3)若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？(4)若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：BA CB-的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出BA CB-的值．13．1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8(1)写出点A和点B表示的数；(2)写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；(3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点点对称的点表示的数．14．阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为a b -根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1)数轴上表示3与2-的两点之间的距离是________．(2)数轴上有理数x 与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为________．(3)代数式8x +可以表示数轴上有理数x 与有理数________所对应的两点之间的距离；若85x +=，则x =________．15．从数轴上看：|a|表示数 a 的点到原点之间的距离，类似地|3|a -表示数 a 的点到表示数3的点之间的距离，|7||(7)|a a +=--表示数 a 的点到表示数–7的点之间的距离．一般地||-a b 表示数 a 的点到表示数 b 的点之间的距离．(1)在数轴上，若表示数x 的点与表示数–2 的点之间的距离为 3 个单位长度，则 x ＝_______．(2)利用数轴，求方程|5||4|9x x ++-=的所有整数解．16．在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m 、n 研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A 、B 、C 、D 在数轴上对应的数分别为a 、b 、c 、d ，已知()2510a b +++=，3c =，8d =．(1)求a 和b 的值：(2)小亮把木棒m 、n 同时沿x 轴正方向移动，m 、n 的速度分别为4个单位/s 和3个单位/s ，设平移时间为t （s ）．①若在平移过程中原点O 恰好是木棒m 的中点，求t 的值；①在平移过程中，当木棒m 、n 重叠部分的长为3个单位长度时，求t 的值． 17．如图，在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ，且a ，c 满足以下关系式：()2390a c ++-=，1b =．(1)a=______；c=______；(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式x a x b x c-+-+-取得最小值时，此时x=______，最小值为______．18．已知有理数－16，－10，c在数轴上对应的点分别是A，B，C三点，BC－AB＝4．(1)请在数轴上画出点A，B，并求B，C两点间的距离；(2)求AC中点表示的数19．综合与实践：A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．(1)数轴上点A表示的数为，点B表示的数为；(2)动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒；①求数轴上点P，Q表示的数（用含t的式子表示）；①t为何值时，P，Q两点重合；①请直接写出t为何值时，P，Q两点相距5个单位长度．20．阅读下面的材料：a-我们知道，在数轴上，||a表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，|2|表示有理数a 对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，|52|3-=，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3． 请根据上面的材料解答下列问题：(1)数轴上有理数9-对应的点到有理数3对应的点的距离是_______；(2)|5|-a 表示有理数a 对应的点与有理数_______对应的点的距离；如果|5|2-=a ，那么有理数a 的值是_______；(3)如果|1||6|7-+-=a a ，那么有理数a 的值是_______．(4)代数式|1||6|-+-a a 的最小值是_________，此时有理数a 可取的整数值有______个．21．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4||40|=-，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|73|-，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A 表示的数记为a ，点B 表示的数记为b ，则A ，B 两点间的距离就可记作||-a b ．回答下列问题：(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数3-的点之间的距离的式子是________；式子|5|+a 的几何意义是_______________________；(2)根据绝对值的几何意义，当|2|3-=m 时，m =________；(3)探究：|1||9|++-m m 的最小值为_________，此时m 满足的条件是________； (4)|1||9||16|++-+-m m m 的最小值为________，此时m 满足的条件是__________．22．A ，B 两个动点在数轴上做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间以及对应位置所对应的数记录如表．(1)m =_______；n =______；(2)A ，B 两点在第________秒时相遇，此时A ，B 点对应的数是__________； (3)在运动到多少秒时，A ，B 两点相距10个单位长度？23．在数轴上表示a 、0、1、b 四个数的点如图所示，已知OA ＝OB ，求|a ＋b |＋|a b|＋|a ＋1|＋a 的值．24．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，点A 与原点O 两点之间的距离表示为AO ，则0AO a a =-=，类似地，点B 与原点O 两点之间的距离表示为BO ，则BO b =，点A 与点B 两点之间的距离表示为AB a b ．请结合数轴，思考并回答以下问题：(1)填空：①数轴上表示1和3-的两点之间的距离是______． ①数轴上表示m 和1-的两点之间的距离是______．①数轴上表示m 和1-的两点之间距离是3，则有理数m 是______． (2)求满足246x x -++=的所有整数x 的和______．(3)已知31510412y x z x z y -+-+-=-+----．求x y z ++的最大值为______．25．实数a ，b ，c ﹣|a ﹣c26．【阅读】在数轴上，若点A 表示数a ，点B 表示数b ，则点A 与点B 之间的距离为ABa b ．例如：两点A ，B 表示的数分别为3，-1，那么()314AB =--=．(1)若32x -=，则x 的值为 ．(2)当x ＝ （x 是整数）时，式子123x x -++=成立． (3)在数轴上，点A 表示数a ，点P 表示数p ．我们定义： 当1p a -=时，点P 叫点A 的1倍伴随点， 当2p a -=时，点P 叫点A 的2倍伴随点， ……当p a n -=时，点P 叫点A 的n 倍伴随点．试探究以下问题：若点M 是点A 的1倍伴随点，点N 是点B 的2倍伴随点，是否存在这样的点A 和点B ，使得点M 恰与点N 重合，若存在，求出线段AB 的长；若不存在，请说明理由．27．如图，在数轴上有三个点A ，B ，C ，完成下列问题：(1)A 点表示的数是______，C 点表示的数是______；(2)将点B 向右移动6个单位长度到点D ，D 点表示的数是______；(3)在数轴上找点E ，使点E 到B ，C 两点的距离相等，E 点表示的数是______； (4)将点E 移动3个单位长度到F ，点F 所表示的数是______．28．如图，在数轴上有三个点A ，B ，C ，回答下列问题：(1)若将点B 向右移动5个单位长度后，三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)在数轴上找一点D ，使点D 到A ，C 两点的距离相等，写出点D 表示的数； (3)在数轴上找出点E ，使点E 到点A 的距离等于点E 到点B 的距离的2倍，写出点E 表示的数．29．如图，在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，点C 表示数c ，且a 、c 满足()22100a c ++-=．若点A 与点B 之间的距离表示为ABa b ，点B 与点C 之间的距离表示为BC b c =-，点B 在点A 、C 之间，且满足2BC AB =．(1)=a ___________，b = ___________，c =___________．(2)动点M 从B 点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C 运动，同时动点N 从A 点出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向C 点运动，设运动时间为t 秒．问：当t 为何值时，M 、N 两点之间的距离为3个单位？30．如图所示，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A 表示－4，点G 表示8(1)点D 表示的有理数是______；表示原点的是点_______． (2)与点B 表示的有理数互为相反数的点是________．(3)图中的数轴上另有点M 到点A 、点G 距离之和为14，则这样的点M 表示的有理数是_______．31．已知点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且320a b ++-=，A 、B 之间的距离记为AB a b =-或b a -，请回答问题：(1)直接写出a ，b ，AB 的值，a ＝______，b ＝______，AB =______． (2)设点P 在数轴上对应的数为x ，若35x -=，则x ＝______．(3)如图，点M ，N ，P 是数轴上的三点，点M 表示的数为4，点N 表示的数为－1，动点P 表示的数为x ．①若点P 在点M 、N 之间，则14x x ++-=______； ①若1410x x ++-=，则x ＝______；①若点P 表示的数是－5，现在有一蚂蚁从点P 出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M 、点N 的距离之和是8？32．已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位到达A 点，再从A 点向右移动12个单位到达B 点，把点A 到点B 的距离记为AB ，点C 是线段AB 的中点． (1)点C 表示的数是 ；(2)若点A 以每秒2个单位的速度向左移动，同时C 、B 点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，设移动时间为t 秒，①点C 表示的数是 （用含有t 的代数式表示）； ①当t =2秒时，求CB -AC 的值；①试探索：CB -AC 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．33．如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t．34．如图，在数轴上有A、B、C这三个点．回答：（1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？A：；B：；C：；（2）A、B两点间的距离是，A、C两点间的距离是；（3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？35．已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，请回答问题：（1）①若a＝3，b＝2，则A、B两点之间的距离是；①若a＝﹣3，b＝﹣2，则A、B两点之间的距离是；①若a＝﹣3，b＝2，则A、B两点之间的距离是；（2）若数轴上A、B两点之间的距离为d，则d与a、b满足的关系式是；（3）若|3﹣2|的几何意义是：数轴上表示数3的点与表示数2的点之间的距离，则|2＋5|的几何意义：；（4）若|a|＜b，化简：|a﹣b|＋|a＋b|＝．36．如图，①5﹣2①表示5和2的差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；①5+2①可以看做①5﹣（﹣2）①，表示5和﹣2的差的绝对值，也可以理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）①5﹣（﹣2）①= ；（2）①4—1①= ；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得①x+2①=2，则x= ；（4）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得①x+2①+①x-1①=3，则x= ．37．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为．（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝；（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（4）当a＝时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．38．阅读理解；我们知道」x丨的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即丨x丨=丨x-0丨，也就是说丨x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x -y 丨表示在数轴上数x 、y 对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x | = 2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为 x =±2．①在方程丨x -1丨=2中，x 的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x = 3或x = -1．知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解 （1）方程|x |= 5的解 （2）方程| x -2|= 3的解39．如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ，且a ，b 满足|a +3|+（b ﹣9）2＝0，c ＝1．（1）a ＝ ，b ＝ ；（2）点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，则当x 时，代数式|x ﹣a |﹣|x ﹣b |取得最大值，最大值为 ；（3）点P 从点A 处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q 从点B 处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q 到达点C 后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （t ≤8）秒，求第几秒时，点P 、Q 之间的距离是点B 、Q 之问距离的2倍？40．阅读下面一段文字：在数轴上点A ，B 分别表示数a ，b ．A ，B 两点间的距离可以用符号AB 表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A ，B 两点之间的距离AB ．例如：当a ＝2，b ＝5时，AB ＝5－2＝3；当a ＝2，b ＝－5时，AB ＝52--＝7；当a ＝－2，b ＝－5时，AB ＝52---（）＝3，综合上述过程，发现点A 、B 之间的距离AB ＝b a -（也可以表示为a b -）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a 和－2的两点间距离是6，则a ＝ ；（2）如果数轴上表示数a 的点位于－4和3之间，则43a a ++-＝ （3）代数式123a a a -+-+-的最小值是 ．（4）如图，若点A ，B ，C ，D 在数轴上表示的有理数分别为a ，b ，c ，d ，则式子||||||a x x b x c x d -+++-++的最小值为 （用含有a ，b ，c ，d 的式子表示结果）参考答案：1．(1)＜，＞，＞，＜ (2)b2．(1)2c =a +b （答案不唯一） (2)4-<b 1c +；理由见解析 (3)3a b c --- 3．(1)4，2x + (2)7或5- (3)有最小值，6 4．(1)2，-1，12- (2)不变，525．(1)14 (2)314-t (3)7(4)①36t -；8t + ①285秒或7秒或14秒67．(1)-2(2)①1或-3；①28或328．(1)①总计不足5千克；①出售这8筐白菜可卖507元 (2)①>，<；①a b +，c -，b c -；①2+a b 9．(1)14 (2)当t 为145秒时，点P 与点Q 相遇； (3)当t 为1秒或235秒时，点P 与点Q 间的距离为9个单位长度； (4)存在某一时刻使得PC +QB =8，此时点P 表示的数为235． 10．(1)4(2)①m =－2，n =6；①－10 11．(1)见解析(2)学校C 在学校A 的西边，距学校A 8千米；(3)1.8 12．(1)见解析 (2)152(3)经过32或72秒后点A 到点C 的距离为3cm (4)BA CB -的值不会随着t 的变化而变化，12BA CB -= 13．(1)A 表示-3，B 表示3 (2)-6.5 (3)1 14．(1)5； (2)7x ； (3)-8；-3或-13； 15．(1)1或-5(2)x =-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 16．(1)5a =-，1b =- (2)①3s 4t =；①t =7s 或10s 17．(1)3-，9 (2)11- (3)1，1218．(1)画图见解析，10 (2)AC 中点表示的数为-8或-18． 19．(1)10-；2(2)①104t -+；62t +；①8；①112或21220．(1)12； (2)5，3或7； (3)0或7； (4)5，6．21．(1)23+或2(3)--；数轴上表示数a 的点与数2的点之间的距离．(3)10，19m-≤≤(4)17，9m= 22．(1)-13，4-(2)32，72(3)14或11423．024．(1)①4；①|m+1|；①2或-4(2)-7(3)925．026．(1)5或1(2)-2、-1、0、1(3)存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1 27．(1)－2，3(2)1(3)－1(4)－4或228．(1)1-(2)0.5(3)3-或7-29．(1)-2，2，10；(2)1或730．(1)2，C；(2)D；(3)-5或9．31．(1)－3，2，5(2)8或－2(3)①5；①－3.5或6.5；①2.5秒或10.5秒(2)①−1＋t；①0；①CB−AC的值不随着时间t的变化而改变，CB−AC的值为0．33．（1）点M、点N分别所对应的数分别为t-，103t-；（2）4t=；（3）t=1或18 34．（1）6-，1，4；（2）7，10；（3）将点B向左移动2个单位35．（1）①1，①1，①5；（2）d＝|a﹣b|；（3）数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）2b36．（1）7；（2）3；（3）0或—4；（4）—2，—1，0，137．（1）2，5，|x−5|，|y＋1|；（2）1或−5；（3）6（4）1，938．（1）5x=±；（2）5x=或1-39．（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）125秒或367秒．40．（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）c d b a+--。

绝对值的几何意义
【知识点】
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a 一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0
例：5的绝对值就是数轴上表示5的点与原点的距离
到原点距离为3的点有两个，分别在原点的左边和右边
【练习题】
1.到原点的距离等于2的数是______
2.到原点的距离等于1.6的数是______
3.到原点的距离等于2019的数是______
4.到原点的距离等于6的数是______
5.到原点的距离等于1
的数是______
9
的数是______
6.到原点的距离等于7
3
的数是______，在原点左侧的数是______
7.到原点的距离等于2
3
8.到原点的距离等于a（a>0）的数是______
的数是______，其中在原点右侧的数是______ 9.到原点的距离等于7
8
10.到原点的距离等于0.8的数是______，其中在原点右侧的数是______
答案
1. 2或-2
2. 1.6或-1.6
3. 2019或-2019
4. 6或-6
5. 19±
6. 123±
7. 23±，23-
8. a 或-a 9. 78±；78
10. 0.8或-0.8；0.8。

第1章有理数——数轴与绝对值综合专题训练（二）1．圆通快递公司员工小明骑车从快递公司出发，先向南骑行4km到达A单位，然后向北骑行2km到达B公司，继续向北骑行5km到达C村，最后回到快递公司．（1）以快递公司为原点，向南方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，并在数轴上表示出A、B、C三地的位置；（2）C学校离A单位有多远？（3）小明一共骑行了多少千米？2．一辆货车从仓库出发去送货，向东走了2千米到达超市A，继续向东走了2.5千米到达超市B，然后向西走了8.5千米到达超市C，继续向西走了5千米到达超市D，此时发现车上还有距离仓库仅1千米的超市E的货还未送，于是开往超市E，最后回到仓库．（1）超市C在仓库的东面还是西面？距离仓库多远？（2）超市B距超市D多远？（3）如果货车每千米耗油0.08升，那么货车在这次送货中共耗油多少升？3．阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是；（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是；最小值是．应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．4．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上x1，x2对应点之间的距离．例1：解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2点的对应数为2或﹣2，即该方程的解为x＝2或x＝﹣2例2：解不等式|x﹣1|＞2，如图1，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1和3，则|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．例3：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边，若x对应点在1的右边，由图2可以看出x＝2．同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|＝4的解为．（2）不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解为．5．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是；（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1．①用代数式表示A、B两点之间的距离；②如果|AB|＝2，求x的值．（3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围．6．a、b、c三数在数轴上位置如图，化简+．7．化简或求值：（1）已知：多项式A＝2x2﹣xy，B＝x2+xy﹣6，求：①4A﹣B；②当x＝1，y＝﹣2时，4A﹣B的值．（2）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a+c|﹣|a+b|+|c﹣b|．8．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b（如图所示），A、B 两点间的距离表示为AB，则AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A表示﹣2，点B表示1，则AB＝；（2）若点A表示﹣2，AC＝4，则点C表示的数是；（3）若|x﹣3|＝4，求x的值．9．定义：已知点A、B在数轴上分别表示有理数x、y，A、B两点到原点的距离之和叫做两点之间的原点距，记作d，容易知道原点距d＝|x|+|y|．例如：有理数2，﹣5，它们在数轴上所代表的点之间的原点距d＝|2|+|﹣5|＝7．（1）若A，B两点的原点距为3，且点A代表的数为1，则点B代表的数字为；（2）若A点代表的数字为x（x＞0），B点代表的数字为2﹣x，则AB之间的原点距为．10．同学们都发现|5﹣（﹣2）|它的意义是：数轴上表示5的点与表示﹣2的点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝；（2）|5+3|表示的意义是；（3）|x﹣1|＝5，则x在数轴上表示的点对应的有理数是．11．云云的爸爸驾驶一辆汽车从A地出发，且以A为原点，向东为正方向．他先向东行驶15千米，再向西行驶25千米，然后又向东行驶20千米，再向西行驶40千米，问汽车最后停在何处？已知这种汽车行驶100千米消耗的油量为8.9升，问这辆汽车这次消耗了多少升汽油？12．如图，数轴上点A、B分别对应数a、b，其中a＜0，b＞0．（1）当a＝﹣3，b＝7时，线段AB的中点对应的数是．（直接填结果）（2）若该数轴上另有一点M对应着数m．①当m＝3，b＞3，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+2010的值；②a＝﹣3．且AM＝3BM时学生小朋通过演算发现代数式3b﹣4m是一个定值，老师点评；小朋同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小朋的演算发现”是不完整的？13．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．（1）|a|＝；|﹣2b|＝；（2）|a+b|＝；（3）试化简|a﹣b|﹣|2a|+|﹣b|．14．点A，B，C，O在数轴上位置如图所示，其中点O表示的数是O，点A，B，C表示的数分别是a，b，c．（1）图中共有条线段；（2）若O是BC的中点，AC＝OA，AB＝16，求a，b，c的值．15．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P为AB的中点，直接写出点P对应的数；（2）数轴的原点右侧有点P，使点P到点A、点B的距离之和为8．请直接写出x的值．x ＝；（3）现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？16．【思考】数轴上，点C是线段AB的中点，请填写下列表格A点表示的数B点表示的数C点表示的数2 6﹣1 ﹣5﹣3 1【发现】通过表格可以得到，数轴上一条线段的中点表示的数是这两条线段端点表示的数的；【表达】若数轴上A、B两点表示的数分别为m、n，则线段AB的中点表示的数是；【应用】如图，数轴上点A、C、B表示的数分别为﹣2x、x﹣4、1，且点C是线段AB 的中点，求x的值．17．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时匀速出发，同向而行时间/秒0 1 5A点位置﹣12 ﹣9B点位置8 18 （1）请填写表格；（2）若两只蚂蚁在数轴上点P相遇，求点P在数轴上表示的数；（3）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值．18．甲、乙两辆汽车在东西走向的公路上行驶，规定向东为正，开始时甲车在西60千米的点A处，乙车在东10千米的点B处，（如图所示），甲车的速度为90千米/小时，乙车的速度为60千米/小时．（1）求甲、乙两车之间的距离（列式计算）；（2）甲、乙两车同时向东行驶，甲车行驶270千米后进入服务区休息10分钟，然后继续向东行驶30千米，乙车一直向东行驶．①求此时乙车到达的位置点C所表示的数（列式计算）；②甲车司机发现自己的手提包丢在服务区，立即调头来取，然后再追赶乙车，当甲车追上乙车时，求乙车到达的位置点D所表示的数（直接写出答案）．。