专题03 一元一次方程(真题测试)(解析版)

专题3.1 解一元一次方程【典例1】我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如：方程：2x =6与方程4x =12的解都为x =3，所以它们为同解方程.（1）若方程2x−3=11与关于x 的方程4x +5=3k 是同解方程，求k 的值；（2）若关于的方程3x−2x−=4x 和3x k 12−1−5x 8=1是同解方程，求k 的值；（3）若关于x 的方程2x−3a =b 2和4x +a +b 2=3是同解方程，求14a 2+6ab 2+8a +6b 2的值.（1）分别将两个关于x 的方程解出来，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于m 的方程，然后解答；（2）分别将两个关于x 的方程解出来，得到两个用含a 的代数式表示的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a 的方程，然后解答；（3）分别求出两个关于x 的方程的解，根据同解方程的定义，列出关于a ,b 的等式，然后整体代入求值．解：（1）解方程2x−3=11得x =7，把x =7代入4x +5=3k 得28+5=3k ，解得k =11；（2）解关于x 的方程3x−2x−=4x 得x = 27k ， 解关于x 的方程3x k 12−1−5x 8=1得x = 27−2k 21，∵方程3x−2=4x 和3x k 12−1−5x 8=1是同解方程，∴2k 7=27−2k 21，解得k =278；(3)解关于x 的方程2x−3a =b 2得x 解关于x 的方程4x +a +b 2=3得x =3−b 2−a 4，∵2x−3a =b 2和4x +a +b 2=3是同解方程，∴3−b2−a4∴3b2=3−7a，∴14a2+6a b2+8a+6b2=14a2+2a(3−7a)+8a+2(3−7a)=6.1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：（1）2+x=−5(x−1)；（2）3(3x−2)=4(1+x)；（3）3x−7(x−1)=3−2(x+3)；（4x−10=5x−3；（5）x−4−5x=x−1；x+1．（6−8=32【思路点拨】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（2）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（3）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（4）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（5）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（6）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．【解题过程】（1）解：2+x=−5(x−1)，去括号得：2+x=−5x+5，移项得：x+5x=5−2，合并得：6x=3，；解得：x=12（2）3(3x−2)=4(1+x)，去括号得：9x−6=4+4x，移项得：9x−4x =4+6，合并得：5x =10，解得：x =2；（3）3x−7(x−1)=3−2(x +3)去括号得：3x−7x +7=3−2x−6，移项得：3x−7x +2x =3−6−7，合并得：−2x =−10，解得：x =5；（4x−10=5x−3，去括号得：x−8=5x−3，移项得：x−5x =−3+8，合并得：−4x =5，解得：x =−54；（5）x−4−5x =x−1，去括号得：2x−24−5x =3−2x +4，移项得：2x−5x +2x =3+4+24，合并得：−x =31，解得：x =−31；（6−8=32x +1，去括号得：12x−14−6=32x +1，移项得：x =−714．2．（2023·全国·七年级专题练习）解方程：（1）y−14+5y−56=2−5y 43（2）2x−13−10x 16=2x 12−2（3）x−34+2x 33=x 56−x−45【思路点拨】（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．【解题过程】（1）解：y−14+5y−56=2−5y 43去分母得，3(y−1)+2(5y−5)=24−4(5y +4)去括号得，3y−3+10y−10=24−20y−16移项，合并同类项得，33y =21系数化为1得，y =711；（2）解：2x−13−10x 16=2x 12−2去分母得，2(2x−1)−(10x +1)=3(2x +1)−12去括号得，4x−2−10x−1=6x +3−12移项，合并同类项得，−12x =−6系数化为1得，x =12；（3）解：x−34+2x 33=x 56−x−45去分母得，15(x−3)+20(2x +3)=10(x +5)−12(x−4)去括号得，15x−45+40x +60=10x +50−12x +48移项，合并同类项得，57x =83系数化为1得，x =8357．3．（2023·全国·七年级专题练习）解方程：（112(5−x )+1=x−2；（2）0.2x 0.10.3−x−16=2；（3）1.5x−13−x 0.6=0.5．（4）x−2x−12(x−1)=23(x +1)【思路点拨】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（4）方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．【解题过程】（112(5−x )+1=x−2去分母得，x−12(5−x )+1=3x−6去分母得，2x−(5−x )+2=6x−12去括号得，2x−5+x +2=6x−12移项，合并同类项得，−3x =−9系数化为1得，x =3；（2）解：0.2x 0.10.3−x−16=2整理得，2x 13−x−16=2去分母得，2(2x +1)−(x−1)=12去括号得，4x +2−x +1=12移项，合并同类项得，3x =9系数化为1得，x =3；（3）解：1.5x−13−x 0.6=0.5去分母得，2(1.5x−1)−10x =3去括号得，3x−2−10x =3移项，合并同类项得，−7x =5系数化为1得，x =−57；（4）解：x−2x−12(x−1)=23(x +1)去分母得，3x−6x−12x =2(x +1)去括号得，3x−6x +3x−3=2x +2移项，合并同类项得，−2x =5系数化为1得，x =−52．4．（2023秋·七年级课时练习）解方程：（1）0.4x−2.10.5=0.10.2x0.03−0.6；（2）4−6x0.01−6.5=0.02−2x0.02−7.5．【思路点拨】（1）先根据分数的性质，将方程化简，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可；（2）先将方程化为4−6x0.01=0.01−x0.01−1，再求解即可．【解题过程】（1）解：0.4x−2.10.5=0.10.2x0.03−0.6，原方程可化为4x−215=1020x3−35，去分母，得3(4x−21)=5(10+20x)−9，去括号，得12x−63=50+100x−9，移项，得12x−100x=50−9+63，合并同类项，得−88x=104，系数化为1，得x=−1311．（2）解：4−6x0.01−6.5=0.02−2x0.02−7.5原方程可化为4−6x0.01=0.01−x0.01−1，去分母，得4−6x=0.01−x−0.01，移项、合并同类项，得5x=4，化系数为1，得：x=45．5．（2023·浙江宁波·七年级校考竞赛）解方程，（1）0.1x0.030.2−0.2x−0.030.3+34=0（2）2014−x2013+2016−x2015=2018−x2017+2020−x2019【思路点拨】（1）首先把分子和分母中的小数化为整数，然后按照去分母、去括号、合并同类项、移项、系数化为1的步骤解方程即可；（2）先变形为1+1−x2013+1+1−x2015=1+1−x2017+1+1−x2019，再整理得(1−x)(12013+12015−12017−12019)=0，即可解.【解题过程】解：（1）方程0.1x0.030.2−0.2x−0.030.3+34=0变形为10x320−20x−330+34=0，去分母得3(10x+3)−2(20x−3)+45=0，去括号合并同类项得-10x+60=0,移项得-10x=-60,系数化为1得x=6.（2）方程2014−x2013+2016−x2015=2018−x2017+2020−x2019变形为1+1−x2013+1+1−x2015=1+1−x2017+1+1−x2019，∴1−x 2013+1−x2015−1−x2017−1−x2019=0∴(1−x)(12013+12015−12017−12019)=0∴1−x=0，∴x=1.6．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）解方程（1）2(2x−1)−2(4x+3)=7（2）ax=b+2(a≠0)（3）0.4x0.90.5=0.2x0.30.3+1（4）|2x+1|+|x−1|=4（5）|2x+1|=3x−4（6）x=b+bax(a≠b,a≠0)【思路点拨】（1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，化未知数系数为1，求解即可；（2）根据解一元一次方程的步骤：化未知数系数为1，求解即可；（3）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数系数为1，求解即可；（4）根据零点分段法，对x的取值范围分3种情况进行讨论去绝对值，再依据解一元一次方程的步骤即可求解；（5）根据零点分段法，对x的取值范围分2种情况进行讨论去绝对值，再依据解一元一次方程的步骤即可求解；（6）根据解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，化未知数系数为1，求解即可．【解题过程】（1）解：2(2x−1)−2(4x+3)=7去括号得：4x−2−8x−6=7移项得：4x−8x=7+2+6合并同类项得：−4x=15化未知数的系数为1：x=−154；（2）解：ax=b+2化未知数的系数为1：x=b2a；（3）解：0.4x0.90.5=0.2x0.30.3+1去分母得：30(0.4x+0.9)=50(0.2x+0.3)+15去括号得：12x+27=10x+15+15移项得：12x−10x=30−27合并同类项得：2x=3化未知数的系数为1：x=32；（4）解：|2x+1|+|x−1|=4令2x+1=0或x−1=0时，则x=−12或x=1，当x≤−12时，−(2x+1)−(x−1)=4−2x−1−x+1=4−3x=4x=−43；当−12<x≤1时，2x+1−(x−1)=42x+1−x+1=4x+2=4x=2；（舍去）当x>1时，2x+1+x−1=43x=4x=43；（5）解：|2x+1|=3x−4令2x+1=0，则x=−12，当x≤−12时，−(2x+1)=3x−4−2x−1=3x−4−2x−3x=−4+1−5x=−3x=35（舍去）；当x>−12时，2x+1=3x−42x−3x=−4−1−x=−5x=5；（6）解：x=b+baxx−bax=ba−bax=bx=b×a a−bx=aba−b．7．（2022秋·全国·七年级专题练习）讨论方程||x+3|−2|=k的解的情况．【思路点拨】分k<0，0<k<2，k=2，k>2四种情况解析：当k<0时，原方程无解；当k=0时，原方程为|x+3|−2=0，解为x=−1，或x=−5；当0<k<2时，原方程为|x+3|=2±k，有四个解x=k−1，或x=−k−5，或x=−k−1，或x=k−5；当k=2时，原方程为：|x+3|=2±2，有三个解x=1，或x=−7，或x=−3；当k>2时，原方程为：x+3=±(2+k)，有两个解x=k−1，或x=−k−5．【解题过程】解：当k<0，原方程无解；当k=0时，原方程可化为：|x+3|−2=0，解得x=−1，或x=−5；当0<k<2，此时原方程可化为：|x+3|=2±k，此时原方程有四解：x=−3±(2±k)，即：x=k−1，或x=−k−5，或x=−k−1，或x=k−5；当k=2时，原方程可化为：|x+3|=2±2，此时原方程有三解：x=1，或x=−7，或x=−3；当k>2时，原方程有可化为：x+3=±(2+k)，此时原方程有二解：x=−3±(2+k)，即x=k−1，或x=−k−5．8．（2022秋·七年级课时练习）当整数k为何值时，方程9x−3=kx+15有正整数解．求出这些解．【思路点拨】先求出方程9x−3=kx+15的解，再根据正整数的特性进行分析即可得．【解题过程】解：9x−3=kx+15，(9−k)x=18，因为方程9x−3=kx+15有正整数解，所以9−k≠0，即k≠9，，所以x=189−k为正整数即可，要使方程9x−3=kx+15有正整数解，则189−k因此，k的所有可能取值为8,7,6,3,0,−9，当k =8时，方程的正整数解为x =189−8=18；当k =7时，方程的正整数解为x =189−7=9；当k =6时，方程的正整数解为x =189−6=6；当k =3时，方程的正整数解为x =189−3=3；当k =0时方程的正整数解为x =189−0=2；当k =−9时，方程的正整数解为x =189−(−9)=1．9．（2022秋·七年级课时练习）已知a ，b 为实数，关于x 的方程(a−1)x |a|−b x 2+3x−2=0是一元一次方程，求a +b 的值与方程的解.【思路点拨】先根据一元一次方程的定义求出a 、b 的值，代入可求得a+b 的值，然后根据解一元一次方程的一般步骤进行求解即可.【解题过程】解：∵关于x 的方程(a−1)x |a|−b x 2+3x−2=0是一元一次方程，∴分以下三种情况进行，①|a|=0且x≠0，b=0，∴a=0，b=0，此时a+b=0，方程为-1+3x-2=0，3x=3，解得：x=1，符合题意，②|a|=1且a-1+3≠0，b=0，∴a=±1，b=0，当a=1，b=0时，此时a+b=1，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=23；当a=-1，b=0时，此时a+b=-1，方程为-2x+3x-2=0，移项合并得， x=2；③|a|=2且a-1-b=0，∴a=2，b=1或a=-2，b=-3，当a=2，b=1时，此时a+b=3，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=23；当a=-2，b=-3时，此时a+b=-5，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=23，综上a+b 的值为0或1或-1或3或-5，相对应的方程的解为x=1或x=23或x=2或x=23或x=23.10．（2022秋·北京海淀·七年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知关于x的方程x a9−1−x6=1．（1）若方程与关于x的方程2x−2x−=3x有相同的解，求a的值；（2）若方程的解是正整数，直接写出正整数a的值是____________．【思路点拨】（1）分别解两个方程，根据方程的解相同，列式计算即可；（2）用含a的代数式表示出方程的解，根据方程的解是正整数，确定a的值即可．【解题过程】（1）解：x a9−1−x6=1方程两边同乘18，得，2(x+a)−3(1−x)=18，去括号，得：2x+2a−3+3x=18，移项，合并同类项，得：5x=21−2a，系数化1，得：x=21−2a5；2x−2x−=3x，去小括号，得：2x−2x+=3x，去中括号，得：2x−4x+a=3x，移项，合并同类项，得：5x=a，系数化1，得：x=a5；∵两个方程的解相同，∴a 5=21−2a5，解得：a=7；（2）解：由（1）知：x=21−2a5，∵方程的解是正整数，∴21−2a能被5整除，又∵a为正整数，∴21−2a=5或21−2a=15，解得：a=8或a=3；故答案为：3或8．11．（2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）我们规定一种运算|a c b d|=ad−cb，如|2435| =2×5−3×4=−2，再如|x2−1−4|=−4x+2，按照这种运算规定，解答下列各题：（1）计算|−34−25|＝_______；（2）若|23−2x−5x|=2，求x的值；（3）若|8mx−132−83+2x−3|与|6−n−1x|的值始终相等，求m，n的值．【思路点拨】（1）根据题意列出算式−3×5−4×(−2)，计算可得；（2）根据新定义列出关于x的方程，解方程即可得；（3）根据新定义列出关于m，n的方程，再根据二者的值相等解之即可．【解题过程】（1）根据题意，|−34−25|=−3×5−4×(−2)=−7，故答案为：−7；（2）∵|23−2x−5x|=2，∴−10x−(−6x)=2，解得：x=−12；（3）|8mx−132−83+2x−3|=−3(8mx−1)83+2x=−24mx−3x+7，|6−n−1x|=6x−n，根据题意可得：−24mx−3x+7=6x−n，即(−24m−3)x+7=6x−n，∴−24m−3=6,7=−n，∴m=−38,n=−7．12．（2023秋·湖南·七年级校考期末）在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若x是关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0=99，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x−2x−98=0的解是x=98，方程|y|+1=2的所有解是y=1或y=−1，当y0=1，x0+y0=99，所以|y|+1=2=2为一元一次方程3x−2x−98=0的“久久方程”．（1）已知关于y的方程：①2y−2=4，②|y|=2，其中哪个方程是一元一次方程3(x−1)=2x+98的“久久方程”？请直接写出正确的序号________．（2）若关于y的方程|2y−2|+2=4是关于x的一元一次方程x−3x−2a4=a+34的“久久方程”，请求出a的值．（3）若关于y的方程a|y−49|+a+b=a(y6)50是关于x的一元一次方程ax+50b=55a的“久久方程”，求出a bb的值．【思路点拨】（1）分别求出三个方程的解，再验证即可；（2）先解方程|2y−2|+2=4，求得y=0或y=2，再求出关于x的方程的解，根据题意可分别求得a的值；（3）由ax+50b=55a及x+y=99，可求得y=44+50ba ，代入a|y−49|+a+b=a(y6)50中，可求得a与b的关系，从而可求得结果．【解题过程】（1）解：解2y−2=4得：y=3；解|y|=2得，y=±2；解3(x−1)=2x+98得：x=101，而101+(−2)=99，所以|y|=2是一元一次方程3(x−1)=2x+98的“久久方程”；故答案为：②；（2）解：∵|2y−2|+2=4，∴|2y−2|=2，即2y−2=2或2y−2=−2，解得：y=0或y=2；对于x−3x−2a4=a+34，去分母得：4x−(3x−2a)=4a+3，去括号、移项、合并同类项得：x=2a+3；由题意，当y=0时，2a+3+0=99，解得：a=48；当y=2时，2a+3+2=99，解得：a=47；所以a=48或47；（3）解：由题意，x+y=99，即ax+ay=99a由ax+50b=55a得：ax=55a−50b，所以55a−50b+ay=99a，则y =44+50ba，把上式代入a |y−49|+a +b =a (y 6)50中，整理得：a|50b−5aa|+a +b =a +b ，即a|50b−5aa|=0，∴50b−5a =0，∴a =10b ，∴a b b=10b b b=11．13．（2022秋·湖南湘西·七年级统考阶段练习）定义：若整数k 的值使关于x 的方程x 42+1=kx 的解为整数，则称k 为此方程的“友好系数”.（1）判断当k =1时是否为方程x 42+1=kx 的“友好系数”，写出判断过程；（2）方程x 42+1=kx “友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由．【思路点拨】（1）把k =1代入x 42+1=kx ，解方程得x =6，根据“友好系数”定义即可求解；（2）解关于x 方程x 42+1=kx 得x =62k−1，得到当2k−1=±1，2k−1=±2，2k−1=±3，2k−1=±6时，满足方程的解x 为整数，求出k 的值为：1，0，32，−12，2，-1，72，−52，根据友好系数”定义得k 的值为1，0，2，-1.，从而得到结论．【解题过程】（1）解：当k =1时，原方程化为：x 42+1=x ，整理得：x +6=2x ，解得：x =6，即当k =1时，方程的解为整数．根据新定义可得：k =1是方程x 42+1=kx 的“友好系数”；（2）解：x 42+1=kx ，去分母得：x +4+2=2kx ，整理得：(2k−1)x =6，方程的解为：x =62k−1，当2k−1=±1，2k−1=±2，2k−1=±3，2k−1=±6时，满足方程的解x 为整数，此时k 的值为：1，0，32，−12，2，-1，72，−52，经检验，取上述k 的值，2k−1均不为0，其中k 为整数才称为“友好系数”，所以k 的值为：1，0，2，-1．所以方程x 42+1=kx “友好系数”的个数是有限个，分别为1，0，2，-1．14．（2022秋·湖南长沙·七年级校考阶段练习）如果两个方程的解相差a ，a 为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“a−稻香方程”，例如：方程x−2=0是方程x +3=0的“5−稻香方程”．（1）若方程2x =5x−12是方程3(x−1)=x +1的“a−稻香方程”，则a =________；（2）若关于x 的方程x−x−2m 3=n−1是关于x 的方程2(x−2mn )−m =3n−3的“m−稻香方程”（m >0），求n 的值；（3）当a ≠0时，如果关于x 方程ax +b =1是方程ax +c−1=0的“3−稻香方程”，求代数式6a +2b−2(c +3)的值．【思路点拨】（1）先分别解方程2x =5x−12得x =4，解方程3(x−1)=x +1得x =2，再根据“a−稻香方程”的定义即可求解；（2）解关于x 方程x−x−2m3=n−1得x =3n−3−2m2，解关于x 的方程2(x−2mn )−m =3n−3得x =4mn m 3n−32，根据“m−稻香方程”的定义得到3n−3−2m 2−4mn m 3n−32=m ，求出n =−54；（3）关于x 方程ax +b =1的解是x =1−ba，关于x 方程ax +c−1=0的解是x =1−c a ，根据题意得到1−b a−1−ca =3，整理得3a +b =c ，代入6a +2b−2(c +3)即可求解．【解题过程】（1）解：解方程2x =5x−12得x =4，解方程3(x−1)=x +1得x =2，因为方程2x =5x−12是方程3(x−1)=x +1的“a−稻香方程”，所以a =4−2=2．故答案为：2；（2）解：解关于x 方程x−x−2m 3=n−1得x =3n−3−2m2，解关于x 的方程2(x−2mn )−m =3n−3得x =4mn m 3n−32，关于x 的方程x−x−2m3=n−1是关于x 的方程2(x−2mn )−m =3n−3的“m−稻香方程”（m >0）所以3n−3−2m 2−4mn m 3n−32=m ，整理得−4mn =5m ，因为m >0，所以−4n =5，n =−54；（3）解：因为a ≠0，所以关于x 方程ax +b =1的解是x =1−ba，关于x 方程ax +c−1=0的解是x =1−ca，因为关于x 方程ax +b =1是方程ax +c−1=0的“3−稻香方程”，所以1−b a−1−ca =3，整理得3a +b =c ，所以6a +2b−2(c +3)=2(3a +b )−2c−6=2c−2c−6=−6．15．（2023春·福建泉州·七年级统考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x =8和x +1=0为“美好方程”．（1）若关于x 的方程3x +m =0与方程4x−2=x +10是“美好方程”，求m 的值；（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n ，求n 的值；（3）若关于x 的一元一次方程12023x +3=2x +k 和12023x +1=0是“美好方程”，求关于y 的一元一次方程12023(y+1)+3=2y +k +2的解．【思路点拨】（1）先表示两个方程的解，再求解；（2）根据条件建立关于n 的方程，再求解；（3）由题意，可求出12023x +3=2x +k 的解为x =1−(−2023)=2024，再将12023(y +1)+3=2y +k +2变形为12023(y +1)+3=2(y +1)+k ，则y +1=x =2024，从而求解．【解题过程】（1）解：∵3x +m =0，∴x =−m3．∵4x−2=x +10．∴x =4．∵关于x 的方程3x +m =0与方程4x−2=x +10是“美好方程”，∴−m3+4=1，∴m =9；（2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，∴另一个方程的解为：1−n ．∵两个解的差为8，∴1−n−n =8或n−(1−n)=8．∴n =−72或n =92；（3）解：∵ 12023x +1=0．∴x =−2023．∵关于x 的一元一次方程12023x +3=2x +k 和12023x +1=0是“美好方程”，∴关于x 的一元一次方程12023x +3=2x +k 的解为x =1−(−2023)=2024．关于y 的一元一次方程12023(y +1)+3=2y +k +2可化为：12023(y +1)+3=2(y +1)+k ．∴y +1=x =2024．∴y =2023．16．（2022秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）我们规定：若关于x 的一元一次方程ax =b 的解为x =b +a ，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x =−4的解为x =−2，而−2=−4+2，则方程2x =−4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）下列关于x 的一元一次方程是“和解方程”的有 ．①12x =−12；②−3x =94；③5x =−2．（2）已知关于x 的一元一次方程2(x +2)=−m 是“和解方程”，求m 的值；（3）若关于x 的一元一次方程3x =mn +m 和−3x =mn +n 都是“和解方程”，求代数式5−4m +4n 的值．【思路点拨】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可；（2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案；（3）根据和解方程得出方程的解与m−n =−92−94=−274，再整体代入代数式求值即可．【解题过程】（1）解：①12x ＝−12的解是x =−1，∵−1≠12+−=0，∴①不是“和解方程”；②−3x =94的解是x =−34，∵−34=−3+94，∴②是“和解方程”；③5x =−2的解是x =−25，∵−25≠−2+5=3，∴③不是“和解方程”；故答案为：②．（2）∵2(x +2)=−m ，∴x +2=−m2，∴x =−m2−2，∵2(x +2)=−m 即2x =−4−m 是“和解方程”，∴2−4−m =−m2−2，∴m =0；（3）∵3x =mn +m ，∴x =13(mn +m )，而3x =mn +m 是“和解方程”，∴3+mn +m =13(mn +m )，∴mn +m =−92，（①式）∵−3x =mn +n ，∴x =−13(mn +n )，而−3x =mn +n 是“和解方程”，∴−3+mn +n =−13(mn +n )，∴mn +n =94，（②式），由①-②得：m−n =−92−94=−274，∴5−4m +4n =5−4(m−n )=5−4×−=5+27 =32．17．（2022秋·全国·七年级期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x 0是关于x 的一元一次方程ax +b =0(a ≠0)的解，y 0是关于y 的方程的所有解的其中一个解，且x 0,y 0满足x 0+y 0=100，则称关于y 的方程为关于x 的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x−2x−99=0的解是x 0=99，方程y 2+1=2的所有解是y =1或y =−1，当y 0=1时，x 0+y 0=100，所以y 2+1=2为一元一次方程3x−2x−99=0的“友好方程”（1）已知关于的方程：①2y−2=4，②|y|=2，哪个方程是一元一次方程3x−2x−102=0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________．（2）若关于y 的方程|2y−2|+3=5是关于x 的一元一次方程x−2x−2a3=a +1的“友好方程”，请求出a 的值．（3）如关于y 的方程2m|y−49|+m(y−1)45=m +n 是关于x 的一元一次方程mx +45n =54m 的“友好方程”，请直接写出m nn的值．【思路点拨】（1）先求出一元一次方程3x−2x−102=0的解，再解方程2y−2=4和|y|=2，根据“友好方程”的定义去判断；（2）解出方程|2y−2|+3=5的解，一元一次方程x−2x−2a 3=a +1的解是x =a +3，分类讨论，令x 0+y 0=100，求出a的值；（3）一元一次方程mx+45n=54m解得x=54m−45nm =54−45nm，由x+y=100得y=100−x=45nm+46，把它代入关于y的方程即可求出结果．【解题过程】解：（1）一元一次方程3x−2x−102=0的解是x=102，方程2y−2=4的解是y=3，x0+y≠100，故不是“友好方程”，方程|y|=2的解是y=2或y=−2，当y0=−2时，x+y=100，故是“友好方程”，故答案是：②；（2）方程|2y−2|+3=5的解是y=2或y=0，一元一次方程x−2x−2a3=a+1的解是x=a+3，若y0=2，x+y=100，则a+3+2=100，解得a=95，若y0=0，x+y=100，则a+3+0=100，解得a=97，综上，a的值是95或97；（3）mx+45n=54m，解得x=54m−45nm =54−45nm，∵x0+y0=100，∴y=100−x=45nm+46，∵2m|y−49|+m(y−1)45=m+n，∴2m|45n m+46−49|+45n45m45=m+n 2m|45n m−3|+m+n=m+n2m|45n m−3|=0，∵分母m不能为0，∴45nm −3=0，即nm=115，∴mn=15，∴m nn =mn+1=16．18．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）定义新运算a∇b=|a−b|−b，如4∇2=|4−2|−2=2−2=0；若a∇b=0，则称a与b互为“望一”数；若a∇b=−a，则称a与b互为“望外”数；（1）计算：(−4)∇(−2)= ．（2）下列互为“望一”数的是 ．互为“望外”数的是 ．①6∇3；②5∇2；③3∇4；④2.8∇1.4；⑤1∇3；（3）若(x∇1)+[x∇(−1)]=2，则x可以取哪些整数？（4）若(x∇1)−[x∇(−1)]=−2，则x的值为多少？【思路点拨】（1）根据新定义的运算代入数值计算即可；（2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和“望外”数的定义进行判断即可；（3）根据新定义的运算化简后，再根据x的取值范围进行求解即可；（4）根据新定义的运算化简后，再进行求解即可．【解题过程】（1）解：(−4)∇(−2)=|−4+2|−(−2)=2+2=4，故答案为：4；（2）①∵6∇3=|6−3|−3=3−3=0，∴6∇3是“望一数”，②∵5∇2=|5−2|−2=3−2=1，∴5∇2既不是“望一数”，也不是“望外数”；③∵3∇4=|3−4|−4=1−4=−3，∴3∇4是“望外数”；④∵2.8∇1.4=|2.8−1.4|−1.4=1.4−1.4=0，∴2.8∇1.4是“望一数”；⑤∵1∇3=|1−3|−3=2−3=−1，∴1∇3是“望外数”；故答案为：①④；③⑤；（3）∵(x∇1)+[x∇(−1)]=2，∴|x−1|−1+|x+1|+1=2，∴|x−1|+|x+1|=2，当x≤−1时，1−x−x−1=2，解得x=−1，当−1<x<1时，1−x+x+1=2，则−1<x<1的任意实数都满足题意，当x>1时，x−1+x+1=2，解得x=1，综上，−1≤x≤1，∵x为整数，∴x=−1或0或1；（4）∵(x∇1)−[x∇(−1)]=−2，∴|x−1|−1−(|x+1|+1)=−2，∴|x−1|−|x+1|=0，∴|x−1|=|x+1|，∴x−1=x+1或x−1=−x−1，解得x=0．。

人教版七年级数学上册第三章《一元一次方程》测试卷及答案解析【含详细知识点梳理】第三章测试卷一、选择题(项)1．下列等式变形正确的是( )A ．若a ＝b ，则a －3＝3－bB ．若x ＝y ，则x a ＝yaC ．若a ＝b ，则ac ＝bcD ．若b a ＝dc ，则b ＝d2．把方程3x ＋2x －13＝3－x ＋12去分母正确的是( )A ．18x ＋2(2x －1)＝18－3(x ＋1)B ．3x ＋(2x －1)＝3－(x ＋1)C ．18x ＋(2x －1)＝18－(x ＋1)D ．3x ＋2(2x －1)＝3－3(x ＋1)3．若关于x 的方程x m －1＋2m ＋1＝0是一元一次方程，则这个方程的解是( ) A ．x ＝－5 B ．x ＝－3 C ．x ＝－1 D ．x ＝54．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x 辆车，那么可列方程( )A ．3(x －2)＝2x ＋9B ．3(x ＋2)＝2x ＋9C.x 2＋2＝x －92D.x3－2＝x ＋925．小马虎在做作业，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是2(x －3)－■＝x ＋1，怎么办呢？他想了想便翻看书后的答案，方程的解是x ＝9，请问这个被污染的常数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．某校为了丰富“阳光体育”活动，现购进篮球和足球共16个，共花了2820元．已知篮球的单价为185元，篮球个数是足球个数的3倍，则足球的单价为( )A ．120元B ．130元C ．150元D ．140元 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．若－x n ＋1与2x 2n －1是同类项，则n ＝________．8．当x ＝________时，代数式4x －5与3x －9的值互为相反数．9．若方程x ＋2m ＝8与方程2x －13＝x ＋16的解相同，则m ＝________． 10．一份试卷共25道选择题，规定答对一道题得4分，答错或不答一题扣1分．若某学生得了80分，则该学生答对了________道题．11．某书店把一本新书按标价的八折出售，仍获利30%.若该书的进价为40元，则标价为________元．12．现定义某种运算“☆”，对给定的两个有理数a ，b ，有a ☆b ＝2a －b .若⎪⎪⎪⎪1－x 2☆2＝4，则x 的值为________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．解下列方程： (1)4x ＋1＝2(3－x )；(2)2x －13－2x －34＝1.14．已知关于x 的方程2(x －1)＝3m －1与3x ＋2＝－4的解互为相反数，求m 的值．15．小聪做作业时解方程x ＋12－2－3x3＝1的步骤如下：解：①去分母，得3(x ＋1)－2(2－3x )＝1；②去括号，得3x ＋3－4－6x ＝1； ③移项，得3x －6x ＝1－3＋4； ④合并同类项，得－3x ＝2； ⑤系数化为1，得x ＝－23.(1)聪明的你知道小聪的解答过程正确吗？答：________．若不正确，请指出他解答过程中的错误________．(填序号)(2)请写出正确的解答过程．16．保护和管理好湿地，对于维护一个城市的生态平衡具有十分重要的意义.2018年北京计划恢复湿地和计划新增湿地的面积共2200公顷，其中计划恢复湿地的面积比计划新增湿地面积的2倍多400公顷．求计划恢复湿地和计划新增湿地的面积．17．一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h ，卡车的行驶速度是60km/h ，客车比卡车早1h 经过B 地，A 、B 两地间的路程是多少？四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．一个两位数的十位数字和个位数字之和是7，如果这个两位数加上45，恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数．求这个两位数．19．小李在解方程3x ＋52－2x －m3＝1去分母时方程右边的1没有乘以6，因而得到方程的解为x ＝－4，求出m 的值并正确解出方程．20．某服装厂要生产某种型号的学生校服，已知3m 长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，库内存有这种布料600m ，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？共能做多少套？五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．快放寒假了，小宇来到书店准备购买一些课外读物在假期里阅读，在选完书结账时，收银员告诉小宇，如果花20元办理一张会员卡，用会员卡结账买书，可以享受8折优惠．小宇心算了一下，觉得这样可以节省13元，很合算，于是采纳了收银员的意见．请根据以上信息解答下列问题：(1)你认为小宇购买________元以上的书，办卡合算；(2)小宇购买这些书的原价是多少元？22．为举办校园文化艺术节，甲、乙两班准备给合唱同学购买演出服装(一人一套)，两班共92人(如果两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元．(1)甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？(2)甲、乙两班各有多少名同学？六、(本大题共12分)23．在某市第四次党代会上，提出了“建设美丽城市，决胜全面小康”的奋斗目标，为响应市委号召，学校决定改造校园内的一小广场．如图是该广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形A的边长是1米．(1)若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式分别表示出正方形F、E和C的边长；(2)观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的(如图中的MQ和PN)．请根据这个等量关系，求出x的值；(3)现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙2个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成．两队合作施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问还要多少天完成？参考答案与解析1．C2．A3．A4．A5．B6．C7．28. 29. 7 210. 21 1．6512. －5或713．解：(1)x＝56.(3分)(2)x＝72.(6分)14．解：方程3x＋2＝－4，解得x＝－2.(2分)所以关于x的方程2(x－1)＝3m－1的解为x＝2.把x＝2代入得2＝3m－1，解得m＝1.(6分)15．解：(1)不正确①②(2分)(2)去分母，得3(x＋1)－2(2－3x)＝6，去括号，得3x＋3－4＋6x＝6，移项，得3x＋6x＝6－3＋4，合并同类项，得9x＝7，解得x＝79.(6分)16．解：设计划新增湿地x公顷，则计划恢复湿地(2x＋400)公顷．(2分)根据题意，得x＋2x＋400＝2200，解得x＝600，∴2x＋400＝1600.(5分)答：计划恢复湿地1600公顷，计划新增湿地600公顷．(6分)17．解：设A、B两地间的路程为x km，(1分)根据题意得x60－x70＝1，(3分)解得x＝420.(5分)答：A、B两地间的路程为420km.(6分)18．解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为7－x，(2分)由题意列方程为10x ＋7－x＋45＝10(7－x)＋x，解得x＝1，(6分)∴7－x＝7－1＝6，∴这个两位数为16.(8分)19．解：由题意x ＝－4是方程3(3x ＋5)－2(2x －m )＝1的解，∴3(－12＋5)－2(－8－m )＝1，∴m ＝3，(4分)∴原方程为3x ＋52－2x －33＝1，∴3(3x ＋5)－2(2x －3)＝6，5x ＝－15，∴x ＝－3.(8分)20．解：设做上衣的布料用x m ，则做裤子的布料用(600－x )m ，(2分)由题意得x3×2＝600－x 3×3，解得x ＝360，600－x ＝240.3603×2＝240(套)．(7分) 答：做上衣的布料用360m ，做裤子的布料用240m ，才能恰好配套，共能做240套．(8分)21．解：(1)100(3分) 解析：设买x 元的书办卡与不办卡的花费一样多，根据题意，得x ＝20＋80%x ，解得x ＝100.故买100元以上的书，办卡比较合算．(2)设这些书的原价是y 元，(4分)根据题意，得20＋80%y ＝y －13，解得y ＝165.(8分) 答：小宇购买这些书的原价是165元．(9分)22．解：(1)由题意，得5020－92×40＝1340(元)．(3分)答：甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省1340元．(4分)(2)设甲班有x 名同学准备参加演出(依题意46＜x ＜90)，则乙班有(92－x )名．依题意得50x ＋60(92－x )＝5020，解得x ＝50，92－x ＝42.(8分)答：甲班有50名同学，乙班有42名同学．(9分)23．解：(1)∵最小的正方形A 的边长是1米，最大的正方形B 的边长是x 米，∴正方形F 的边长为(x －1)米，正方形E 的边长为(x －2)米，正方形C 的边长为(x －3)米或x ＋12米．(3分)(2)∵MQ ＝PN ，∴x －1＋x －2＝x ＋x ＋12，解得x ＝7.(7分) (3)设余下的工程由乙队单独施工，还要y 天完成．(8分)根据题意得⎝⎛⎭⎫110＋115×2＋115y ＝1，解得y ＝10.(11分)答：余下的工程由乙队单独施工，还要10天完成．(12分)第三章 一元一次方程 详细知识点梳理1等式与等量：用“=”号连接而成的式子叫等式.注意：“等量就能代入”！ 2等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式. 3方程：含未知数的等式，叫方程.4一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）（含未知数项的系数不是零）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程。

专题03 一元一次方程知识点1 一元一次方程1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.2.方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值.知识点2 等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.如果a=b ，那么a±c=b±c ；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b ，0c ≠，那么a b c c=. 知识点3：含参一元一次方程1.次数含参：主要考查一元一次方程的定义.2.常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题.3. 由已知解求参数：将解代入参数方程，求出参数.知识点4： 解一元一次方程解一元一次方程的步骤： 1. 去分母两边同乘最简公分母. 2.去括号（1）先去小括号，再去中括号，最后去大括号； （2）乘法分配律应满足分配到每一项. 注意 ：特别是去掉括号，符号变化. 3.移项（1）定义：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意：①移项要变符号；②一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边． 4. 合并同类项（1）定义：把方程中的同类项分别合并，化成“(0)ax b a =≠”的形式； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1（1）定义：方程两边同除以未知数的系数a ，得b x a=； （2）注意：分子、分母不能颠倒.知识点5： 一元一次方程的实际应用审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系； 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量；列:根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程； 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值 验:检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义.考点剖析考点一：一元一次方程的定义【典例1】下列方程中是一元一次方程的是（ ） A ．31x y +=B ．2250x x +-=C ．360x -=D ．130x-=【变式1-1】下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A ．x+y=2B ．x 2-2x=1C ．2x+2=1D ．3x=4x -1【变式1-2】已知方程()21190m m x --+=是关于x 的一元一次方程，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．0考点二：等式的性质【典例2】下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（ ） A ．若x y =，则55x y +=- B ．若a x b x -=+，则a b = C ．若ax ay =，则x y =D ．若22x y=，则x y = 【变式2-1】若a ，b ，c 为有理数，则下列错误的是（ ） A ．因为a b =，所以44a b -=- B ．因为a b =，所以ac bc = C ．因为42a -=，所以2a =-D ．因为a b =，所以2211a bc c =++ 【变式2-2】下列变形中，正确的是（ ） A ．若567x -=，则576x =- B ．若35x -=，则35x =-C ．若5342x x -=+，则5423x x -=+D ．若11132x x -++=，则()()21311x x -++= 考点三：一元一次方程的解 【典例3】若关于x 的方程122ax b +=的解为1x =，则63a b += ． 【变式3-1】若2x =是关于x 的方程20x a -=的解，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【变式3-2】一元一次方程5772x x +=-的解是（ ） A ．3x =B ．0x =C ．2x =-D ．2x =【变式3-3】若是关于x 的一元一次方程1ax b +=的解，则代数式425a b +-的值为 ． 考点四：解一元一次方程【典例4】解方程： (1)7234x x -=-； (2)()()1112225x x -=-+． 【变式4-1】解方程： (1)3(1)42(13)x x --=-； (2)758142x x -+-=． 【变式4-2】老师在黑板上出了一道解方程的题：1123--=x x ，小明同学的解法如下： 解：方程两边乘6，得22(1)6x x --= ① 去括号，得3226x x --= ② 合并同类项，得26x -= ③ 解得8x = ④ ∴原方程的解为8x = ⑤__________________；(2)从第_________步出现错误（填序号），错误原因是____________________________________； (3)请直接写出方程的解： ____________________________________． 考点五：同解方程【典例5】已知关于x 的方程15(1)9x ---=与252x a -=有相同的解，则=a ． 【变式5-1】若方程2113x +=与方程3x m +=有相同的解，则m ＝ ． 【变式5-2】关于x 的方程233x m -=和215x -=有相同的解，则m 的值是 . 考点六：一元一次方程的应用-利润问题【典例6】某超市第一次用7850元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的12多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）甲 乙进价（元件） 22 30 售价（元件） 29 40(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多230元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？【变式6-1】“双11”期间，某个体商户在网上进购某品牌A B、两款羽绒服来销售，若购进3件A款和4件B款需支付2400元，若购进1件A款和1件B款，则需支付700元．(1)求A B、两款羽绒服在网上的售价每件分别是多少元？(2)若个体商户把网上购买的A B、两款羽绒服各10件，均按每件600元进行销售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服按6折销售完，若总获利为3800元，求个体商户打折销售的羽绒服是多少件？【变式6-2】某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同．(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？(2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利15元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？(3)在（2）的条件下，A商品按标价全部出售，B商品按标价先出售一部分后，余下的再按标价九折出售，A，B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了150元，则B商品按标价售出多少件？考点七：一元一次方程的应用-工程问题【典例7】一个道路工程，甲队单独施工8天完成，乙队单独施工12天完成．为了加快进度，甲乙两队共同施工，一段时间后由于甲队另有任务离开，剩下的工程由乙队单独完成，最终共用6天完成了此工程，问甲队工作了多少天？【变式7-1】六年1班承担了学校操场的清扫工作，计划每天清扫200平方米，30天可以清扫完．(1)若学校要求25天清扫完，每天应清扫多少平方米？(2)若实际每天清扫的面积比计划每天清扫的面积提高了14，实际多少天能清扫完整个学校操场？(3)若六年1班按照（2）的速度完成一半时，学校要求此计划提前8天完成，提速后每天清扫面积是多少平方米？【变式7-2】列方程（组）解应用题：有一批核桃要加工成罐头，甲工人每天能加工32公斤，乙工人每天能加工48公斤，且甲单独加工这批核桃要比乙多用10天．(1)这批核桃共多少公斤？(2)为了尽快加工完成，先由甲、乙两工人按原速度合作一段时间后，甲工人停工，而乙工人每天的生产速度提高25%，乙工人单独完成剩余部分，且乙工人的全部工作时间是甲工人工作时间的3倍还多1天，求乙工人共加工多少天？考点八：一元一次方程的应用-行程问题【典例8】一艘船从甲码头顺流而行，用了3小时到达乙码头，该船从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时，已知水流速度是3千米/小时，求船在静水中的速度．【变式8-1】甲、乙两人从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后经3小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60千米，相遇后再经1小时乙到达A地．(1)甲，乙两人的速度分别是多少？(2)两人从A，B两地同时出发后，经过多少时间后两人相距20千米？【变式8-2】以下是两张不同类型火车（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）的车票：(1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是________（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车________（填“早”或“晚”）．(2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求A，B两地之间的距离．(3)在（2）的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km．考点九：一元一次方程的应用-方案设计问题【典例9】下表中有两种移动电话计费方式：月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）方式一141200.08方式二304000.1(1)如果每月主叫时间不超过400min，当主叫时间为多少时，两种方式收费相同？(2)如果每月主叫时间超过400min，选择哪种方式更省钱？【变式9-1】某网店销售一种羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价300元，羽毛球每筒定价50元．“国庆”期间，该网店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副球拍送两筒球；方案二：球拍和球都打九折销售．x>）．现某客户要在该网店购买球拍10副，球x筒（20(1)若该客户按方案一购买，需付款元；（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款元；（用含x的代数式表示）(2)当x为何值时，两种方式购买所需费用一样？x=时，请直接写出你的一种更为省钱的购买方案．(3)当50【变式9-2】为庆祝“建党100周年”，甲、乙两校组织代表队参加文艺汇演活动．已知甲、乙两校共有92名学生参加活动，其中甲校参加活动的学生有46~90名，现准备统一购买服装用于文艺汇演，下面是某服装厂给出的服装的价格表，当甲、乙两校单独购买服装时，一共需付5000元．购买服装的套数 1~45套 46~90套 91套以上 每套服装的价格60元50元40元(2)求甲、乙两校各有多少名学生参加文艺汇演活动？ 考点十：一元一次方程的应用-数轴动点问题【典例10】在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，并且a b ，满足()21250a b ++-=． (1)求点A B ，之间的距离；(2)点C 在点A 的右侧，点D 在点B 的左侧，AC 为13个单位长度，BD 为7单位长度，求C D ，之间的距离． (3)动点P 以每秒3个单位的长度的速度从A 出发沿着正方向运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从B 出发沿着数轴的负方向运动，则它们几秒相距2个单位？【变式10-1】如图，数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且2(10)60a b -++=．(1)求a ，b 的值；(2)若动点P ，Q 分别以每秒4个单位长度和每秒2个单位长度的速度从点A ，B 同时出发沿数轴向负方向做匀速运动，当点P 的运动时间为t 秒时．①写出点P ，Q 所表示的数；（用含t 的式子表示）②若数轴上的点M 到点A ，P 的距离相等，求点Q ，M 之间的距离．过关检测一、选择题1．已知下列方程：①x －2＝3x ；②0.3x ＝1；③2x＝5x －1；④x 2－4x ＝3；⑤x ＝0；⑥x ＋2y ＝0，其中一元一次方程的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．下列等式变形正确的是（ ） A ．如果mx = my ，那么x =y B ．如果12x =6，那么x =3 C ．如果x -3 =y +3，那么x =y D ．如果x =y ，那么mx = my3．方程247236x x --+=-去分母得（ ） A ．22(24)(7)x x +-=-- B ．122(24)7x x +-=-- C ．12(24)(7)x x +-=--D ．122(24)(7)x x +-=--4．若关于x 的方程2x m -=的解与2(1)2x m +=+的解之和等于5，则m 的值是（ ） A ．-1B ．3C ．2D ．125．把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有x 名学生，则可列方程为（ ）A ．3x ＋20＝4x －25B ．3x －20＝4x ＋25C ．032x +＝542x - D ．203x -＝254x + 6．如图是某年的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19）．若用这样的矩形圈圈这张日历表的9个数，则圈出的9个数的和不可能为下列数中的（ ）A ．81B ．90C ．108D ．2167．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨价格为 2 元，当用水超过 4吨而不超过 7 吨时，超过部分每吨水的价格为 3 元，当用水超过 7 吨时，超过部分每吨水的价格为5 元，李老师 10 月份付了水费 32 元，则李老师用水吨数为（ ） A ．7B ．10C ．11D ．128．某轮船在静水中的速度为20km /h ，水流速度为4km /h ，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5h （不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为km x ，则可列方程为（ ）A ．2045x x +=B ． (204)(204)5x x ++-=C ．5204x x+= D ．5204204x x+=+- 二、填空题9．已知5x =是关于x 的方程(2)2a x a --=的解，那么=a ．10．某商店对一种商品调价,按原价的8折出售, 打折后的利润率是20% , 已知该商品的定价是63元, 则该商品的进价是 元.11．已知2x ﹣3y ﹣5＝0，则9y ﹣6x ＋16＝ ．12．为迎接七年级新生，47中清华分校对校园重新美化装修．现计划对教室墙体重新粉刷一遍（所有教室面积相同）．现有甲，乙两个装修队承担此项工作．已知甲队3天粉刷5个教室，结果其中有30平方米墙面未来得及粉刷；乙队5天粉刷7个教室外还多粉刷20平方米．已知甲队比乙队每天多粉刷10平方米，则每间教室的面积为 平方米． 三、解答题 13．解方程：（1）5(1)82(1)x x x -=-+； （2）2151136x x +--=. 14．已知,x y 为有理数，现规定一种新运算“※”，满足2x y x y =-※．根据以上信息，解决下列问题：(1)求34※的值；(2)若()226a -=※，求a 的值．15．我们把有相同的解的两个方程称为同解方程．例如：方程36x =与方程48x =的解都为2x =，所以它们为同解方程．若关于x 的方程2(3)5x x --=和5233x m x +-=是同解方程，求m 的值． 16．如图，长方形PQMN 是由六个正方形A ，B ，C ，D ，E ，F 拼接而成，已知最大的正方形B 的边长是21米，最小正方形A 的边长是a 米．(1)用含a 的式子分别表示正方形D ，E ，F 的边长； (2)求a 的值；(3)现有一项沿着长方形PQMN 的四条边铺设管道的工程．甲、乙两个工程队共同参与这项工程，甲队单独铺设3天后，乙队加入，两队又共同铺设了6天，这项铺设管道的工程全部完成．已知甲队每天比乙队每天少铺设4米，则甲、乙两队每天各铺设多少米？17．某服装厂加工A 、B 两种款式的学生服共100件，加工A 种学生服的成本为每件80元，加工B 种学生服的成本为每件100元，加工两种学生服的成本共用去9200元． (1)A 、B 两种学生服各加工多少件？(2)将这100件学生服送到商场销售，A 种学生服售价200元，B 种学生服售价220元．若销售过程中发现A 种学生服的销量不好，A 种学生服卖出一定数量后，服装厂决定余下的部分按原价的七折出售，两种学生服全部卖出后，共获利9840元，则A 种学生服卖出多少件后打折销售？18．某玩具生产厂家A 车间原来有30名工人，B 车间原来有20名工人，现将新增25名工人分配到两车间，使A 车间工人总数是B 车间工人总数的2倍． (1)新分配到A 、B 车间各是多少人?(2)A 车间有生产效率相同的若干条生产线，每条生产线配置5名工人，现要制作一批玩具，若A 车间用一条生产线单独完成任务需要30天，问A 车间新增工人和生产线后比原来提前几天完成任务?19．某糕点厂中秋节前要制作20吨月饼出售，若在市场上直接销售，每吨利润为10000元，经简装加工后销售，每吨利润可达35000元，经精包装加工后销售，每吨利润涨至75000元．该工厂的加工生产能力是：如果对月饼进行简装加工，每天可加工1.6吨，如果进行精包装加工，每天可加工0.6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，工厂必须在15天内将这批月饼全部销售或加工完毕，为此工厂研制了三种可行方案：方案一：将月饼全部进行简装加工；方案二：尽可能多地对月饼进行精包装加工，没来得及进行加工的月饼，在市场上直接销售；方案三：将部分月饼进行精包装加工，其余月饼进行简装加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？。

人教版七年级数学上册第三章《一元一次方程》单元测试题（含答案）姓名： 考号： 分数：一、单选题(共 24 分)1 ．下列各选项是一元一次方程的是( )A ．3x 2 + 4 = 5B ．m + 2n = 0C ．2y +1 = 一3D ．4x + 2 > 3 2 ．下列运用等式的性质，变形不正确的是( )A ．若a = b ，则 a + c = b + cB ．若a = b ，则 a 一 3 = b + 3C ．若a = b ，则 a 尝 5 = b 尝 5D ．若a = b ，则 一2a = 一2b3 ．已知方程(k 一 4)x |k|一3 + 5 = 6 是关于x 的一元一次方程，则k 的值为( )A ．4B ．一4C ．4 或一4D ．11 4 ．如果单项式 x 2m y 与2x 4 y n +3 是同类项，那么n m = ( )A ．一9B ．9C ．一4D ．45 ．已知x = 1 是关于 x 的方程ax + 2x 一 3 = 0 的解，则 a 的值为( )A ．一1B ．1C ．一3D ．36 ．若代数式 —1一2x 的值是 1，则 x 的值是( ) 3A ．一1B ．0C ．1D ．27 ．将一个周长为 42cm 的长方形的长减少 3cm ，宽增加 2cm ，能得到一个正方形．若设长 方形的长为 x cm ，根据题意可列方程为( )A ．x + 2 = (42 一 x )一 3B ．x 一 3 = (42 一 x )+ 2C ．x + 2 = (21一 x )一 3D ．x 一 3 = (21一 x )+ 28 ．一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成，用1m 3 钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部 件。

现要用6m 3 钢材制作这种仪器，为了使制作的 A 、B 部件恰好配套，设应用xm 3 钢材制 作 A 部件，则可列方程为( )A ．40x 根 3 = 240 根 (6 一 x )B ．40x = 240 根 (6 一 x )根 3C ．4=40 根 (6 一 x )根 3 = 240xD ．40 根 (6 一 x )= 240x 根 33二、填空题(共24 分)9 ．若x = 1 是关于x 的方程2x + a = 1 的解，则a = .10 ．若代数式2(x - 3) 的值与9 - x 的值互为相反数，x 的值为.11 ．如果a + 1 + b - 2 = 0 ，则a -(-b)= .12 ．用符号※定义一种新运算a※b ＝ab+2（a﹣b），若3※x ＝2021，则x 的值为.13 ．已知a：b：c=2：3：5 ，a -b + c = 36 ，则2a +b - 2c = .14 ．若方程2x－m ＝1 和方程3x ＝2(x－1)的解相同，则m 的值为.15 ．某商品标价100 元，现在打6 折出售仍可获利25% ，则这件商品的进价是元.16 ．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30 千米/时，3 小时后甲船能比乙船多航行60 千米，设水流速度是x 千米/时，则可列方程.__________三、解答题(共72 分)17 ．解下列方程：（1）16x - 40 = 9x +16 ；（2）4x = 20 x + 16 ；3（3）2(3 - x) = -4(x + 5) ；（4）3(-2x - 5) + 2x = 9 ；（5）1(x - 4) - (3x + 4) = -15；（6）x - 7 - 5x + 8 = 1 .2 2 4 318 ．已知 x =2 是方程6x mx + 4 = 0 的解，求m 2 2m 的值.19 ．若方程2x 1 = 3 和方程4x a = 2 的解相同，求 a 的值.20 ．关于 x 的方程1 ax = 2x + 2a 的解比方程2x 3 =1 的解小 3，求 a 的值.3x 121 ．关于 x 的一元一次方程 ── + m = 3 ，其中 m 是正整数.2 (1)当m =2 时，求方程的解；(2)若方程有正整数解，求 m 的值.22 ．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分 3 本则剩余 20 本；如果每人分 4 本，则还缺 25 本．这个班有多少学生？23．制作一张桌子需要一个桌面和四个桌腿，1m3 木材可制作20 个桌面或制作400 条桌腿，现有12m3 的木材，应怎样计划才能使桌面和桌腿刚好配套？能制成多少套桌椅？24 ．某校为承办县初中学校内涵建设，需制作一块活动展板，请来师徒两名工人．已知师傅单独完成需4 天，徒弟单独完成需6 天.(1)两个人合作需要多少天完成？(2)现由徒弟先做1 天，师徒两人再合作完成这项工作，问：徒弟共做了几天？25 ．如图，在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，并且a ，b 满足a +13 +(5 -b)2 = 0 .(1)求点A ，B 之间的距离；(2)点C 在点A 的右侧，点D 在点B 的左侧，AC 为15 个单位长度，BD 为8 个单位长度，求点C ，D 之间的距离；(3)动点P 以3 个单位长度/秒的速度从点A 出发沿数轴正方向运动，同时点Q 以2 个单位长度/秒的速度从点 B 出发沿数轴负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇点E 表示的数是多少？参考答案1 ．C2 ．B3 ．B4 ．D5 ．B6 ．A7 ．D8 ．A9 ．_110 ．_311 ．112 ．201513 ．_2714 ．-515 ．4816 ．3(30 + x)_ 3 (30 _ x)= 60317 ．（1）x = 8 ；（2）x = _6 ；（3）x = _13 ；（4）x = _6 ；（5）x = ；（6）518 ．4819 ．a = 620 ．321 ．(1) x=1(2) m=222 ．这个班有45 名学生.23 ．用10 立方米做桌面，用2 立方米做桌腿，可以配成200 套桌椅.1224 ．(1)两个人合作需要—天完成5(2)3 天25 ．(1)18(2)518 (3) 5 ；11565x = _ -17。