两角和与差的正余弦和正切

三角恒等式
两角和与差的正弦公式
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny
两角和与差的正切公式
tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)
倍角公式
《三角恒等变换两角和与 差的正弦余弦正切公式》
xx年xx月xx日
目录
• 三角恒等变换 • 两角和与差的正弦余弦正切公式 • 应用举例 • 相关知识点链接
01
三角恒等变换
定义和性质
定义
三角恒等变换是利用三角函数的性质及公式，对不同的角进 行恒等变换的方法。
性质
三角恒等变换的实质是角的变换，通过已知角表达未知角， 常用公式包括和差角公式、倍角公式、半角公式等。
两角和与差的正弦
01
了解并熟悉$\sin(x+y)$和$\sin(x-y)$的计算公式。
两角和与差的正切
02
了解并熟悉$\tan(x+y)$和$\tan(x-y)$的计算公式。
特殊角的正弦余弦正切值
03
熟悉0度到90度之间的一些特殊角的正弦、余弦和正切值。
THANKS
谢谢您的观看
两角差的正切公式
总结词
两角差的正切公式是三角恒等变换中的基础公式之一， 用于求解或化简三角函数值。
详细描述
设角度$\alpha$和$\beta$的差为$\varphi$，则两角 差的正切公式为$\tan\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \frac{\sin\alpha\cos\beta \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta}$

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值． 解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235， 即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组 能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。

§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝；tan α－tan β1＋tan αtan β(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝.tan α＋tan β1－tan αtan β2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.a 2＋b 2ba 2＋b 2aa 2＋b 2知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－＝－1.tan α＋tan βtan (α＋β)tan α－tan βtan (α－β)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(　×　)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任tan α＋tan β1－tan αtan β意角α，β都成立．(　×　)(4)sin α＋cos α＝sin .(　×　)3212(α＋π3)教材改编题1．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于( )45(α＋π4)A ．－B.210210C ．－ D.72107210答案　C解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，1－cos2α35∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－.(α＋π4)π4π43522(－45)2272102．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .答案　12解析　原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.123．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝.1312答案　17解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝＝.12－131＋12×1317题型一　两角和与差的三角函数公式例1　(1)(2022·包头模拟)已知cos α＋cos ＝1，则cos 等于( )(α－π3)(α－π6)A. B.1312C. D.2233答案　D解析　∵cos α＋cos＝1，(α－π3)∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α12323232＝3(32cos α＋12sin α)＝cos＝1，3(α－π6)∴cos＝.(α－π6)33(2)化简：①sin x ＋cos x ＝.3答案　2sin(x ＋π3)解析　sin x ＋cos x ＝23(12sin x ＋32cos x)＝2sin.(x ＋π3)②sin ＋cos ＝.24(π4－x )64(π4－x )答案　sin 22(7π12－x )解析　原式＝22[12sin (π4－x )＋32cos (π4－x)]＝sin 22(π4－x ＋π3)＝sin .22(7π12－x)教师备选1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ＝1，则sin 等于( )(θ＋π3)(θ＋π6)A. B. C. D.12332322答案　B解析　因为sin θ＋sin(θ＋π3)＝sin ＋sin (θ＋π6－π6)(θ＋π6＋π6)＝sincos －cos sin ＋sin cos ＋cos sin (θ＋π6)π6(θ＋π6)π6(θ＋π6)π6(θ＋π6)π6＝2sincos ＝sin ＝1.(θ＋π6)π63(θ＋π6)所以sin＝.(θ＋π6)332．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )35(π2，π)12A ．－ B. C. D ．－211211112112答案　A解析　∵α∈，(π2，π)∴cos α＝－，tan α＝－，4534又tan(π－β)＝，12∴tan β＝－，12∴tan(α－β)＝＝＝－.tan α－tan β1＋tan α·tan β－34＋121＋(－34)×(－12)211思维升华　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1　(1)函数y ＝sin ＋sin 的最小值为( )(2x ＋π4)(2x －π4)A. B ．－22C ．－ D.23答案　C解析　y ＝sin＋sin(2x ＋π4)(2x －π4)＝sin 2x cos ＋cos 2x sin ＋sin 2x cos －cos 2x sin ＝sin 2x .π4π4π4π42∴y 的最小值为－.2(2)已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝.(α＋π6)333答案　－33解析　因为cos＝cos α－sin α＝cos α，所以－sin α＝cos α，故tan α＝－，(α＋π6)3212333所以tan(α＋β)＝＝tan α＋tan β1－tan αtan β－3＋331＋3×33＝＝－.－233233题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例2　(1)(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法(0，π2)正确的是( )A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝13C ．β－α＝－π3D ．β－α＝π3答案　AD解析　由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝，即选项A 正确，B 错误；12∵γ∈，(0，π2)∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈，(0，π2)∴0<β－α<，π2∴β－α＝，π3即选项D 正确，C 错误．(2)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝，则tan A tan B 的值为( )233A. B.1413C. D.1253答案　B解析　∵C ＝120°，∴tan C ＝－.3∵A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝－tan C .∴tan(A ＋B )＝，3tan A ＋tan B ＝(1－tan A tan B )，3又∵tan A ＋tan B ＝，233∴tan A tan B ＝.13延伸探究　若将本例(2)的条件改为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则C 等于( )A ．45° B ．135°C ．150° D ．30°答案　A解析　在△ABC 中，因为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，所以tan(A ＋B )＝＝－1＝－tan C ，tan A ＋tan B1－tan A tan B 所以tan C ＝1，所以C ＝45°.教师备选1．若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .3π4答案　2解析　tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，(－3π4)tan α＋tan β1－tan αtan β所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.2．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝.答案　－12解析　∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，12∴sin(α＋β)＝－.12思维升华　运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2　(1)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝(sin 56°－cos 56°)，c ＝22，则a ，b ，c 的大小关系是( )1－tan239°1＋tan239°A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b答案　D解析　由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝(sin 56°－cos 56°)22＝sin 56°－cos 56°2222＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan239°1＋tan239°＝1－sin239°cos239°1＋sin239°cos239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x 在x ∈上单调递增，[0，π2]所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .答案　4解析　(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.题型三　角的变换问题例3　(1)已知α，β∈，若sin＝，cos ＝，则sin(α－β)的值为( )(π3，5π6)(α＋π6)45(β－5π6)513A. B.16653365C. D.56656365答案　A解析　由题意可得α＋∈，π6(π2，π)β－∈，5π6(－π2，0)所以cos ＝－，(α＋π6)35sin＝－，(β－5π6)1213所以sin(α－β)＝－sin[(α＋π6)－(β－5π6)]＝－×＋×45513(－35)(－1213)＝.1665(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝，tan α＝.答案　－1　12解析　∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan (α＋2β)－tan β1＋tan (α＋2β)tan β＝2－(－3)1＋2×(－3)＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.－1－(－3)1＋(－1)×(－3)12教师备选(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.4355(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解　(1)因为tan α＝，43tan α＝，sin αcos α所以sin α＝cos α.43因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝，925因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－.725(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，55所以sin(α＋β)＝＝，1－cos2(α＋β)255因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝，43所以tan 2α＝＝－，2tan α1－tan2α247因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－.211思维升华　常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－α＋β2α－β2π4π2等．(π4－α)跟踪训练3　(1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝.551010答案　π4解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.π2π2又sin(α－β)＝－，1010所以cos(α－β)＝.31010又sin α＝，55所以cos α＝，255所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.5531010255(－1010)22所以β＝.π4(2)已知0<α<<β<π，tan α＝，cos(β－α)＝，则sin α＝，cos β＝.π243210答案 －4522解析　因为0<α<，且tan α＝，π243所以sin α＝，cos α＝，4535由0<α<<β<π，π2则0<β－α<π，又因为cos(β－α)＝，210则sin(β－α)＝，7210所以cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝×－×＝－.2103572104522课时精练1．(2022·北京模拟)tan 105°等于( )A ．2－ B ．－2－33C.－2 D ．－33答案　B解析　tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°·tan 45°＝3＋11－3＝(3＋1)2(1－3)(1＋3)＝＝－2－.4＋23－232．已知点P (x ，2)是角α终边上一点，且cos α＝－，则cos 等于( )213(π6＋α)A ．－B.3＋2263＋226C.D.3－22622－36答案　A解析　因为点P (x ，2)是角α终边上一点，2则有cos α＝＝，xx 2＋(22)2xx 2＋8而cos α＝－，13于是得＝－，解得x ＝－1，xx 2＋813则sin α＝＝，22x 2＋8223因此，cos ＝cos cos α－sin sin α(π6＋α)π6π6＝×－×32(－13)12223＝－，3＋226所以cos ＝－.(π6＋α)3＋2263.等于( )sin 10°1－3tan 10°A ．1 B.14C. D.1232答案　B解析　sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4(12cos 10°－32sin 10°)＝sin 20°4sin (30°－10°)＝.144．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )5531010A. B.或3π4π43π4C. D ．2k π＋(k ∈Z )π4π4答案　C解析　由sin α＝，cos β＝，5531010且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，2551010故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×25531010551010＝，22又0<α＋β<π，故α＋β＝.π45．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12答案　BCD解析　对于A ，方法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos30°·cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.322212226＋24方法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝，A 错误．223222126＋24对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确．对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C 正确．12对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D 正确．126．(多选)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( )55513A ．sin 2α＝B ．cos(α－β)＝121319565C ．cos αcos β＝D ．tan αtan β＝8565118答案　AC解析　因为cos(α＋β)＝－，55cos 2α＝－，其中α，β为锐角，513所以sin 2α＝＝，故A 正确；1－cos22α1213因为sin(α＋β)＝，255所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝，(－513)(－55)121325529565故B 错误；cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]12＝＝，12(－55＋29565)8565故C 正确；sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]12＝＝，12[29565－(－55)]21565所以tan αtan β＝，故D 错误．2187．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .答案　sin(α＋γ)解析　sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．8．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin ＝，则cos ＝.(3π4，π)35(β－π4)1213(α＋π4)答案　－5665解析　因为α，β∈，(3π4，π)所以<α＋β<2π，3π2<β－<，π2π43π4因为sin(α＋β)＝－，35sin＝，(β－π4)1213所以cos(α＋β)＝，45cos＝－，(β－π4)513所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin (β－π4)(β－π4)＝×＋×45(－513)(－35)1213＝－.56659．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin ＝，求cos(α＋β)的值．π2(α－β2)19(α2－β)23解　∵0＜β＜＜α＜π，π2∴－＜－β＜，π4α2π2＜α－＜π，π4β2∴cos ＝＝，(α2－β)1－sin2(α2－β)53sin＝＝，(α－β2)1－cos2(α－β2)459∴cos ＝cosα＋β2[(α－β2)－(α2－β)]＝cos cos ＋sin sin(α－β2)(α2－β)(α－β2)(α2－β)＝×＋×(－19)5345923＝，7527∴cos(α＋β)＝2cos 2－1＝2×－1＝－.α＋β249×572923972910．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.3513(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解　(1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.(0，π2)π2π2又∵tan(α－β)＝－＜0，13∴－＜α－β＜0.π2∴sin(α－β)＝－.1010(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.31010∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.3545∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.453101035(－1010)9105011．已知cos ＝2cos(π－α)，则tan 等于( )(π2－α)(π4＋α)A ．－3B.13C ．－D ．313答案　C解析　由cos ＝2cos(π－α)得(π2－α)sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan ＝(π4＋α)tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝＝－.1－21－1×(－2)1312．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B ．3sin x ＋3cos x ＝3sin1555(x ＋π6)C ．f (x )＝sin ＋cos 的最大值为2x2x2D ．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1答案　AD解析　对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 正确；对于B ，3sin x ＋3cos x ＝61555(32sin x ＋12cos x)＝6sin，故B 错误；5(x ＋π6)对于C ，f (x )＝sin ＋cos ＝sin ，x2x22(x 2＋π4)所以f (x )的最大值为，故C 错误；2对于D ，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确．13．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则(－π2，π2)α＋β＝ .答案　－3π4解析　依题意有Error!所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝＝1.－3a 1－(3a ＋1)又Error!所以tan α<0且tan β<0，所以－<α<0且－<β<0，π2π2即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－.3π414．(2022·阜阳模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．答案　[－1，1]解析　由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝，π2∴Error!即≤α≤π，π2∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)(2α－α＋π2)＝cos α＋sin α＝sin .2(α＋π4)∵≤α≤π，π2∴≤α＋≤，3π4π45π4∴－1≤sin≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．2(α＋π4)15．(2022·河北五校联考)已知x ，y ∈，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( )(0，π2)A. B. C. D.π3π6π4π8答案　B解析　由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )得sin x cos y ＋cos x sin y ＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y1＋tan x tan y＝＝≤，2tan y1＋3tan2y 21tan y＋3tan y33当且仅当tan y ＝时等号成立，33由于f (x )＝tan x 在x ∈上单调递增，(0，π2)又x ，y ∈，(0，π2)则x －y 的最大值为.π616.如图，在平面直角坐标系Oxy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O 分别交于A ，B两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知S △OAM ＝，点B 的纵坐标是.55210(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解　(1)由题意知，|OA |＝|OM |＝1，因为S △OAM ＝|OA |·|OM |sin α＝，1255所以sin α＝，255又α为锐角，所以cos α＝.55因为点B 是钝角β的终边与单位圆O 的交点，且点B 的纵坐标是，210所以sin β＝，cos β＝－，2107210所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.55(－7210)2552101010(2)因为sin α＝，cos α＝，25555cos(α－β)＝－，1010sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，255(－7210)5521031010所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，22因为α为锐角，sin α＝>，25522所以α∈，所以2α∈，(π4，π2)(π2，π)又β∈，(π2，π)所以2α－β∈，(－π2，π2)所以2α－β＝－.π4。

的两个根为tan , tan , 求 tan( )的值.
小
结
S ( ) 以 代 S ( ) C ( ) C ( )
相除 相除
T( )
以 代
T( )
公式的特点:
(1)公式中, 、 、 、 的取值要使正切值有意义;
tan tan (2)注意公式的变形运用.如公式 : tan( ) , 1 tan tan 可以变形为 : tan tan tan( )(1 tan tan )
( )
( )
)
注:(1)α,β任意；从s开头,sccs,中间不变号.
(2)抓住公式的结构特征, 能灵活运用;
探究： 如何推导tan( ) ?
sin( ) tan( ) cos( )
(这里有什么要求?)
k (k Z ) 2

(4) sin(A B ) cos B cos(A B ) sinB ? (5) sin( 36 ) cos(54 ) cos(36 ) sin( 54 ) ?

(6) sin70 cos 25 sin20 sin25 ?
sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos tan tan 1 tan tan
例5.求值： (1 tan1 )(1 tan2 )(1 tan44 )