最新新人教A版高中数学选修2-3 2.4正态分布(二)优质课件

2.对正态分布的理解 (1)正态分布是自然界最常见的一种分布，例如：测量的误差；人 的身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长度、 宽度、高度„„都近似地服从正态分布． (2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量 X 的取值区间在(a， b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．也就是指随机变 量 X 的取值区间在(a，b]上时的概率等于正态曲线与直线 x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积．
考点二 正态分布的概率计算 例 2 在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1,4)，求正态总体 X 在(－1,1)内取值的概率．
(3)从正态曲线可以看出，对于固定的 μ 和 σ 而言，随机变量在(μ －σ，μ＋σ)上取值的概率随着 σ 的减小而增大．这说明 σ 越小，X 取 值落在区间(μ－σ， μ＋σ)的概率越大， 即 X 集中在 μ 周围的概率越大． 正 态分布的 3σ 原则是进行质量控制的依据， 要会应用给定三个区间的概 率解决实际问题.
1 ( x2 ) 【练习 2】 正态分布的概率密度函数为 f(x)＝ e ， x∈R， 2πσ 则总体的标准差为( ) A．σ B．σ2 C．μ D．μ2
2 2
解析：由已知总体的方差为 σ2，开方即得标准差，故标准差为 σ. 答案：A
知识点三 3σ 原则 μ＋a 1.若 X～N(μ， σ2)， 则对于任何实数 a＞0， P(μ－a＜X≤μ＋a)＝
【练习 1】 把一正态曲线 C1 沿着横轴方向向右移动 2 个单位， 得到一条新的曲线 C2，下列说法不正确的是( ) A．曲线 C2 仍是正态曲线 B．曲线 C1，C2 的最高点的纵坐标相等 C． 以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 C1 为概率密 度曲线的总体的方差大 2 D． 以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 C1 为概率密 度曲线的总体的期望大 2

（4）当 x<μ时，曲线上升；当x>μ时， 曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸 时，以轴为渐近线，向它无限靠近；
（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确 定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分 布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总 体的分布越集中.
4.标准正态分布
（1）简记为：Ｘ:Ｎ μ，σ２
区间(μ-a， μ+a]的概
率越大，即X集中在μ
周围概率越大.
0 μ-a μ-b
x
特别有
P(μ- <X≦μ+)=0.6826,
P(μ- 2<X≦μ+2)=0.9544,
若X~ N(μ， 2),则对于任何实数a>0，
P(μ- 3<X≦μ+3)=0.9974. 如果随机变量X服从正态分布，则记为X~N(μ， 2).
解：
记x为当年该地婴儿出生体重，则x服从正态分布 N（3200，3502）
P(x<2500)
p( x 3200 2500 3200) p(u 2) Φ (2)
350
350
查标准正态分布界值表 Φ（-2）=0.0228 即估计该地当年低体重儿所占的比例为2.28% .
（5）估计某单位101名正常成年女子血清总胆 固醇的参考值范围.假设该资料服从正态分布.
导入新课
你见过高尔顿板吗？
在一块木板上钉着若干排相互平行但相互 错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的 空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球 从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的 过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板 下方的某一球槽内.
下图就是一块高尔顿板示意图 球
球槽
如果把球槽编号，就可以考察球到底是落 在第几号球槽中.重复进行高尔顿板试验，随着 试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球的个 数就会越来越多，堆积的高度也会越来越高.各 个球槽内的堆积高度反映了小球掉入各球槽的 个数多少.

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复习 (fùxí)
随机变量(suí jī biàn liànɡ)的方差
性质
意义
D(aX+b)=a2D(X)
若X服从两点分布,则DX=p(1-p)
若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)
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高尔顿板
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以球槽的编号(biān hào)为横坐标 以小球(xiǎo qiú)落入各个球槽内的频率值为纵坐标
用样本均值去估计；
是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以
用样本标准差去估计.
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棣莫弗
高斯(ɡāo sī)
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现实生活中的正态分布
• 长度测量误差 • 某一地区同年人的身高、体重、肺活量 • 一定条件一生长的小麦(xiǎomài)的株高、穗长、
单位面积产量 • 正常生产条件下各种产品的质量指标 • 某地每年七月份的平均气温、平均温度、降雨量
—
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正态曲线的特点
(tèdiǎn)
(1)曲线(qūxiàn)位于x轴上方,与x轴不 相交;
(x2=3)曲曲对线线称(在qū;xx=iàμn处)是达单到峰峰的值,它σ关12于π 直; 线
(4)曲线(qūxiàn)与x轴之间的面y 积为1
O
x
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正态曲线的特点 (5)当 一定时,曲线随着(suízhe) 的变化而沿x轴平移 (6)当 一定时,曲线的形状(xíngzhuàn)由 的确定.
Pa X b
b
a , x dx
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如果对于(duìyú)任何实数a<b,随机变量X满足

• 答案： B
正态曲线 的性质
正态曲线的性质
y
x
y
x
y
正态曲线的性质
x
性质一
曲线位于x轴上方，与x轴不相交
性质二
曲线是单峰的，关于直线 = 对称

处到达峰值

性质三
曲线在 =
性质四
曲线与x轴之间的面积为1
性质五
参数，对曲线产生影响
3 原则
3原则
3原则
性质一
若~(， )，则对于任何实数 > ,
如果对于任何实数 <) ≈ ‫ ׬‬, () ,则称X服从正态散布，记作
y
~(, )
正态曲
线性质
图象的对称性
面积为1
o
P( X ) 0.6826,
3原则
P( 2 X 2 ) 0.9544,
0.5
（1）( ≤ 0)=______
（2）(−2 < ≤ 2) = ______
0.9544
0.0013
（3）( ≤ −3) = ______
分析：正态散布曲线如图
y
-3 -2 -1
0
1
2 3
x
3原则
3原则
典例分析
巩固练习
例2.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正
态散布X～(90,100).(1)求考试成绩X位于
层小木块碰撞，最高掉入高
尔顿板下方的某一球槽内。
统计实验 高尔顿板实验
样本容量增大时频率散布直方图
频率
组距
球槽编号
正态分布 的概念
正态散布的概念
样本容量增大时频率散布直方图
概念引入