基于非线性系统的控制律设计

第51卷第3期2021年5月吉林大学学报（工学版）Journal of Jilin University (Engineering and Technology Edition)V o l. 51 N o. 3M a y 2021基于扰动观测器的轮式移动机器人滚动时域路径跟踪控制于树友“2,常欢2,孟凌宇2,郭洋2,曲婷1(1.吉林大学汽车仿真与控制国家重点实验室，长春130022;2.吉林大学通信工程学院，长春130022)摘要：轮式移动机器人路径跟踪控制问题中通常存在状态约束和输入约束，并且系统运行时 容易受到外部扰动的影响。

本文基于非线性扰动观测器提出了一种轮式移动机器人滚动时域 路径跟踪控制策略。

当没有外部扰动作用于系统时，滚动时域控制算法可以满足控制约束和 状态约束，并且使得轮式移动机器人跟踪期望的轨迹；当存在外部干扰，尤其是慢变扰动时，非线性扰动观测器能够估计扰动，并通过反馈补偿扰动对轮式移动机器人移动轨迹的影响。

仿 真结果表明，在外部干扰存在的情况下该控制策略能够保证移动机器人渐近跟踪期望路径。

关键词：自动控制技术；轮式移动机器人；路径跟踪问题；扰动观测器；滚动时域控制中图分类号：T P273 文献标志码：A文章编号：1671-5497(2021)03-1097-09D O I：10. 13229/ki.j d x b g x b20200065Disturbance observer based moving horizon control for pathfollowing problems of wheeled mobile robotsY U S h u-y o u12,C H A N G H u a n2,M E N G L i n g-y u2,G U O Y a n g z,Q U T i n g1(1. S ta te K e y L a b o r a to r y o f A u to m o tiv e S im u la tio n a n d C o n tro l ^J ilin U n i v e r s i ty C h a n g c h u n130022, C h in a；2. C o lle g e o f C o m m u n ic a tio n E n g in e e r in g, J ilin U n iv e r sity y C h a n g ch u n130022, C h in a)Abstract：State constraints,input constraints and external disturbances usually exist in the path following problem of w h e e l e d mobile robots.Ba s e d o n nonlinear disturbance observer,a m o v i n g horizon control strategy for path following p r o blem of wheeled mobile robots is proposed in this paper.W h i l e there is n o disturbance at all,the m o v i n g horizon control can satisfy the input and state constraints,and drive the w h e eled mobile robot to the desired path.W h i l e there are disturbances,in particular,slow varying and “big”disturbances,the proposed nonlinear disturbance observer can estimate the disturbances,and c o m p ensate the influence of the disturbances o n the w h e e l e d mobile robot through a feedback.Simulation results s h o w that the proposed control strategy can guarantee the convergence of the mobile robot to the desired path under the external disturbance.收稿日期：2020-02-10.基金项目：国家自然科学基金项目（U1964202,61703178);江苏省新能源汽车动力系统重点实验室开放课题项目(JKLNEVPS201901).作者简介：于树友（1974-)，男，教授，博士 .研究方向：预测控制，鲁棒控制.********************.cn通信作者：曲婷（1982-)，女，副教授，博士 .研究方向：汽车动力系统控制及驾驶员行为建模.E-mail ：**************.cn•1098 .吉林大学学报（工学版）第51卷Key words：automatic control technology；w h e eled mobile robot；path following p r o b l e m；disturbance observer；m o d e l predictive control〇引言轮式移动机器人（W h e e l e d mobile robot，W M R>是典型的非完整约束系统由于Brockett 条件11的存在，不能获得连续可微、线性时不变的 反馈控制律镇定轮式移动机器人系统。

非线性振动系统滑模控制稳定性分析一、非线性振动系统概述非线性振动系统是一类在自然界和工程实践中广泛存在的动态系统，其动力学行为表现出明显的非线性特征。

这类系统的研究对于理解和控制复杂系统的动态行为具有重要意义。

非线性振动系统的研究涉及多个学科领域，包括但不限于机械工程、电气工程、航空航天以及生物医学工程等。

1.1 非线性振动系统的特点非线性振动系统的特点主要表现在以下几个方面：- 非线性力：系统受到的力或扭矩与其位移或速度的关系不是线性的，常见的非线性力包括弹簧的非线性刚度和阻尼器的非线性阻尼。

- 多稳态行为：系统可能存在多个稳定状态，即在不同的初始条件下，系统可能收敛到不同的平衡点。

- 混沌现象：在某些参数条件下，系统的行为可能表现出高度的不可预测性和复杂性，这种现象称为混沌。

- 极限环：在某些情况下，系统的动态行为可能表现为周期性的轨迹，称为极限环。

1.2 非线性振动系统的应用场景非线性振动系统的应用场景非常广泛，包括：- 机械系统：如汽车悬挂系统、机器人关节、高速旋转机械等。

- 电气系统：如电力系统的稳定性分析、电子振荡器等。

- 航空航天：如飞行器的飞行控制、航天器的姿态控制等。

- 生物医学：如心脏起搏器、人工耳蜗等。

二、滑模控制理论基础滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）是一种鲁棒的控制策略，它能够在系统参数和外部扰动存在不确定性的情况下，保证系统的稳定性和性能。

滑模控制的核心思想是在系统状态空间中设计一个滑动面，当系统状态达到这个面时，系统将沿着这个面滑动至期望的状态。

2.1 滑模控制的基本原理滑模控制的基本原理包括以下几个步骤：- 滑动面设计：根据系统的性能要求，设计一个滑动面，这个面通常是系统状态空间中的一个超平面。

- 到达条件：设计控制律，使得系统状态能够到达并保持在滑动面上。

- 滑动模态：当系统状态到达滑动面后，系统将沿着滑动面滑动至期望的状态，这个过程称为滑动模态。

文章编号:１００４－２８９Ｘ(２０２２)０５－００１０－０６基金项目:国家自然科学基金项目(５１２６７００１)ꎻ广西自然科学基金资助项目(２０１４ＧＸＮＳＦＡＡ１１８３３８)ꎻ广西科学研究与技术开发计划项目(１４１２２００６－２９)ꎻ南宁市科学研究与技术开发计划项目(２０１６５１８６)基于多指标非线性控制方法的虚拟同步发电机控制李啸骢１ꎬ２ꎬ杨松１(１ 广西电力系统最优化与节能技术重点实验室(广西大学)ꎬ广西壮族自治区㊀南宁㊀５３０００４ꎻ２ 南宁学院机电与质量技术工程学院ꎬ广西壮族自治区㊀南宁㊀５３０２００)摘㊀要:为了给三相电压源型逆变器系统加入惯性和阻尼ꎬ将虚拟同步发电机(ＶＳＧ)技术引入到控制设计当中ꎬ以改善系统的性能ꎬ但因逆变器内环控制采用线性控制方法ꎬ导致控制律的设计不够精确ꎮ为此ꎬ引入多指标非线性控制方法来设计控制策略ꎬ选取逆变器输出电压和输出电流的线性组合作为输出函数ꎬ根据微分几何理论证明系统能够反馈线性化ꎬ并求出非线性控制律ꎮ仿真结果表明ꎬ系统并网运行时频率的最大波动从５０ ３５Ｈｚ减小到５０ ０４Ｈｚꎬ验证了所提的ＶＳＧ多指标非线性控制策略的有效性ꎮ关键词:逆变器ꎻ虚拟同步发电机ꎻ多指标非线性控制ꎻ精确线性化ꎻ动静态性能中图分类号:ＴＭ７６１ꎻＴＭ４６４㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:ＡＶｉｒｔｕａｌＳｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓＧｅｎｅｒａｔｏｒＣｏｎｔｒｏｌＢａｓｅｄｏｎＭｕｌｔｉ￣ｉｎｄｅｘＮｏｎｌｉｎｅａｒＣｏｎｔｒｏｌＭｅｔｈｏｄＬＩＸｉａｏ￣ｃｏｎｇ１ꎬ２ꎬＹＡＮＧＳｏｎｇ１(１ ＧｕａｎｇｘｉＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｎｄＥｎｅｒｇｙＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ(ＧｕａｎｇｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ)ꎬＮａｎｎｉｎｇ５３０００４ꎬＣｈｉｎａꎻ２ ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌａｎｄＱｕａｌｉｔｙＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬＮａｎｎｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＮａｎｎｉｎｇ５３０００４ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏａｄｄｉｎｅｒｔｉａａｎｄｄａｍｐｉｎｇｔｏｔｈｅｔｈｒｅｅ￣ｐｈａｓｅｖｏｌｔａｇｅｓｏｕｒｃｅｉｎｖｅｒｔｅｒｓｙｓｔｅｍꎬｔｈｅｖｉｒｔｕａｌｓｙｎ￣ｃｈｒｏｎｏｕｓｇｅｎｅｒａｔｏｒ(ＶＳＧ)ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｏｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｄｅｓｉｇｎｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍ Ｈｏｗｅｖｅｒꎬｄｕｅｔｏｔｈｅｌｉｎｅａｒｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄｉｎｔｈｅｉｎｎｅｒｌｏｏｐꎬｔｈｅｄｅｓｉｇｎａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｉｓｎｏｔｅｎｏｕｇｈ ＴｈｅｒｅｆｏｒｅꎬＭＮＬＣ(Ｍｕｌｔｉ￣ｉｎｄｅｘＮｏｎｌｉｎｅａｒＣｏｎｔｒｏｌ)ｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｏｄｅｓｉｇｎｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｓｔｒａｔｅｇｙ Ｔｈｅｌｉｎｅａｒｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｉｎｖｅｒｔｅｒｏｕｔｐｕｔｖｏｌｔａｇｅａｎｄｉｎｄｕｃｔａｎｃｅｃｕｒｒｅｎｔｉｓｓｅｌｅｃｔｅｄａｓｔｈｅｏｕｔｐｕｔｆｕｎｃｔｉｏｎ Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｇｅｏｍｅｔｒｙｔｈｅｏｒｙꎬｉｔｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅｓｙｓｔｅｍｃａｎｂｅｆｅｅｄｂａｃｋｌｉｎｅａｒｉｚｅｄꎬａｎｄｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｎｔｒｏｌｌａｗｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ Ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｆｒｅｑｕｅｎｃｙｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｉｓｒｅｄｕｃｅｄｆｒｏｍ５０ ３５Ｈｚｔｏ５０ ０４ＨｚꎬｗｈｉｃｈｖｅｒｉｆｉｅｓｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄＶＳＧｍｕｌｔｉ￣ｉｎｄｅｘｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｎｔｒｏｌｓｔｒａｔｅｇｙꎮＫｅｙｗｏｒｄｓ:ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｎｖｅｒｔｅｒｓꎻｖｉｒｔｕａｌｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓｇｅｎｅｒａｔｏｒꎻｍｕｌｔｉ￣ｉｎｄｅｘｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｎｔｒｏｌꎻｅｘａｃｔｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎꎻｄｙ￣ｎａｍｉｃａｎｄｓｔａｔｉｃｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ１㊀引言随着越来越多的新能源接入电网ꎬ逆变并网运行方式在电网中已普遍存在ꎮ这类由逆变器产生的交流电源由于没有传统同步发电机所具有的惯性和阻尼ꎬ其并网运行的稳定性会受到影响[１－３]ꎮ为了得到传统发电机的惯性和阻尼ꎬ维持电网稳定ꎬ本文将虚拟同步发电机ＶＳＧ(ＶｉｒｔｕａｌＳｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓＧｅｎｅｒａ￣ｔｏｒ)控制方法引入到逆变器控制设计中[４－６]ꎬ并采用多指标非线性控制方法设计其控制律ꎮ以期获得准确且具有工程实用价值的逆变交流电源的非线性虚拟同步发电机控制策略ꎮ㊀㊀目前ꎬ三相电压源型逆变器的外环采用ＶＳＧ控制ꎬ内环仅限于沿用传统的ＰＩ控制及其改进[７－８]ꎮ文献[９]将比例谐振(ＰｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌＲｅｓｏｎａｎｔꎬＰＲ)控制引入到ＶＳＧ控制中ꎬ可有效提高系统的稳定性ꎮ文献[１０]提出一种在工频以内设计ＶＳＧ参数的方法ꎬ但设计过程较为复杂且条件不易满足ꎮ文献[１１]提出含储能的逆变器控制ꎬ但整定参数难以计算ꎮ其中还有大部分的文献仅仅是在讨论如何改变ＶＳＧ惯量和阻尼系数的问题ꎬ并未从控制结构上进行改进ꎮ文献[１２]提出根据发电机功角曲线来调节转动惯量和阻尼系数ꎬ并证明在并网和离网模式下系统能够快速抑制频率的振荡ꎬ可降低超调并快速响应ꎬ使电压和频率迅速上升至稳定值ꎮ文献[１３]采用根轨迹的方法来分析ＶＳＧ参数对系统稳定性的影响ꎬ并提出参数自适应的ＶＳＧ控制ꎬ可有效抑制频率变化率和偏差量ꎮ㊀㊀上述几种方法都是将逆变器模型进行线性化ꎬ然后建立小信号模型进行分析设计ꎬ但逆变器属于非线性系统ꎬ仅采用线性控制理论来进行控制设计精度是不够的ꎮ文献[１４]提出将协同控制理论与ＶＳＧ技术融合ꎬ其中重点设计了ＶＳＧ无功参考值ꎬ虽然提高了系统的抗扰性ꎬ但未涉及虚拟励磁调节器的控制研究ꎮ文献[１５]在滑模控制基础上提出一种方法并应用于同步发电机四阶模型的控制设计上ꎬ可以改善系统的性能ꎬ但系统优化的效果不够明显ꎮ文献[１６]提出一种新型的反推控制方法ꎬ考虑逆变器系统的非线性ꎬ解决了电网不确定因素所带来的扰动ꎬ但文中未对无功电压控制环路展开详细的研究ꎮ文献[１７－１９]采用反馈线性化方法对逆变器系统进行控制设计ꎬ与传统的ＰＩ控制方法相比ꎬ系统的动静态性能得到很好的改善ꎬ但都仅限于对离网系统的研究ꎬ并未在并网系统中深入讨论ꎮ㊀㊀本文采用多指标非线性控制改善系统的动静态性能ꎬ首先介绍ＶＳＧ的数学模型并建立系统仿射非线性模型ꎬ选择逆变器输出电压和输出电流作为输出函数ꎻ再证明该模型满足两个条件 能控性条件和对合条件ꎬ所以可以状态反馈线性化ꎻ最后求取多指标非线性控制律ꎮ仿真结果验证了所提控制方案的有效性ꎮ２㊀三相逆变器控制策略２ １㊀三相逆变器电路结构及控制图１㊀三相电压型逆变器整体控制框图㊀㊀三相电压型逆变器的整体控制策略如图１所示ꎮ图中ꎬＵｄｃ为直流电压源ꎻＬ和Ｃ分别为滤波电感及滤波电容ꎻｉＬａｂｃ和ｉｇａｂｃ分别为逆变器输出及流向电网的三相电流ꎻｅａｂｃ和ｕｇａｂｃ分别为逆变器机端及逆变器输出的三相电压ꎮＳ１~Ｓ６为开关管ꎻＰｒｅｆ和Ｑｒｅｆ为有功功率及无功功率参考值ꎻＥ和φ为通过ＶＳＧ方法计算出的参考电压幅值及相位角ꎻｕ０ａｂｃ为三相电压参考值ꎻ提出的基于多指标非线性控制的ＶＳＧ控制策略包括外环的ＶＳＧ方法及内环的多指标非线性控制ꎮ经外环ＶＳＧ方法得出参考值后ꎬ再通过内环非线性控制律调制波ꎬ然后经脉冲宽度调制得到触发脉冲从而驱动开关管ꎮ２ ２㊀有功－频率控制㊀㊀虚拟同步发电机方法是通过加入传统发电机的转子运动方程ꎬＶＳＧ的有功环控制方程为:㊀㊀ＪｄΔωｄｔ＝Ｐｍ－Ｐｅω－ｋω(ω－ωｇ)Δω＝ω－ωｇｄδｄｔ＝ωìîíïïïïïï(１)㊀㊀式中ꎬＪ为虚拟转动惯量ꎻＰｍ和Ｐｅ分别为机械功率和电磁功率ꎻω和ωｇ分别为实际角速度和母线角速度ꎻｋω为虚拟阻尼系数ꎻδ为发电机功角ꎮ㊀㊀当逆变器工作在并网模式下ꎬ其频率被电网钳住ꎬ逆变器无需调频ꎻ但当逆变器工作在离网或自治模式下ꎬ需要其具备调频能力ꎬ因此增加Ｐ－ｆ下垂控制ꎮ即:Ｐｍ－Ｐｒｅｆ＝１ＤＰ(ωｒｅｆ－ωｇ)(２)㊀㊀式中ꎬＤＰ和ωｒｅｆ分别为有功下垂系数和角频率参考值ꎮ㊀㊀联立式(１)和式(２)可得:１ω[Ｐｒｅｆ－Ｐｅ＋１ＤＰ(ωｒｅｆ－ωｇ)]－ｋω(ω－ωｇ)＝ＪｄΔωｄｔ(３)㊀㊀功频控制框图如图２所示ꎮ图２㊀有功－频率控制框图２ ３㊀无功－电压控制㊀㊀虚拟同步机励磁方法是通过加入传统发电机的励磁控制ꎬＶＳＧ的无功环控制方程为:Ｅ１＝Ｅ０＋ＤｑＱ(４)㊀㊀式中ꎬＥ１为离网模式下参考电压幅值ꎻＥ０为ＶＳＧ的空载电动势ꎻＤｑ为无功调节系数ꎻＱ为逆变器输出无功功率ꎮ㊀㊀当逆变器工作在离网或自治模式下ꎬ逆变电源仅需向负荷提供无功功率ꎻ而当逆变器工作在并网模式下ꎬ逆变电源还需要向电网输送无功功率ꎮ即:Ｅ２＝ｋＥ(Ｑｒｅｆ－Ｑ)Ｅ＝Ｅ１＋Ｅ２(５)㊀㊀式中ꎬＥ２为并网时增加的电压幅值ꎬｋＥ为无功下垂系数ꎮ无功－电压控制框图如图３所示ꎮ图３㊀无功－电压控制框图３㊀三相逆变器的多指标非线性控制设计３ １㊀ｄｑ变换下的逆变器模型㊀㊀由图１ꎬ忽略内阻Ｒꎬ得到三相逆变器的数学模型为:ＬｄｉＬａｄｔ＝Ｕｄｃ(ｍａ－１３ðｊ＝ａꎬｂꎬｃｍｊ)－ｕｇａＬｄｉＬｂｄｔ＝Ｕｄｃ(ｍｂ－１３ðｊ＝ａꎬｂꎬｃｍｊ)－ｕｇｂＬｄｉＬｃｄｔ＝Ｕｄｃ(ｍｃ－１３ðｊ＝ａꎬｂꎬｃｍｊ)－ｕｇｃＣｄｕｇａｄｔ＝ｉＬａ－ｉｇａＣｄｕｇｂｄｔ＝ｉＬｂ－ｉｇｂＣｄｕｇｃｄｔ＝ｉＬｃ－ｉｇｃìîíïïïïïïïïïïïïïïïï(６)其中ꎬｍａ㊁ｍｂ㊁ｍｃ为开关信号ꎬｍｊ＝１(ｊ＝ａꎬｂꎬｃ)表示开关管导通ꎬｍｊ＝０(ｊ＝ａꎬｂꎬｃ)表示开关管关闭ꎮ㊀㊀可通过ｄｑ０坐标系变换对式(６)进行变换ꎬ可得到ｄｑ坐标系下的三相电压型逆变器模型为:ｄｉＬｄｄｔ＝ωｉＬｑ＋１ＬｍｄＵｄｃ－１ＬｕｇｄｄｉＬｑｄｔ＝－ωｉＬｄ＋１ＬｍｑＵｄｃ－１Ｌｕｇｑｄｕｇｄｄｔ＝ωｕｇｑ＋１ＣｉＬｄ－１Ｃｉｇｄｄｕｇｄｄｔ＝－ωｕｇｄ＋１ＣｉＬｑ－１Ｃｉｇｑìîíïïïïïïïïïï(７)其中ꎬｉＬｄ㊁ｉＬｑ㊁ｕｇｄ㊁ｕｇｑ为滤波电感输出电流和逆变器输出电压在ｄｑ坐标系下的值ꎻｍｄ㊁ｍｑ为ｄｑ坐标系下的开关信号ꎮ３ ２㊀逆变器非线性控制律设计㊀㊀为使三相电压型逆变器可状态反馈线性化[２０]ꎬ本文在输出函数中引入变量ｕｇｄ㊁ｕｇｑ㊁ｉＬｄ㊁ｉＬｑꎬ可同时控制逆变器输出电压和输出电流ꎬ从而改善微网的动静态性能ꎮ因此ꎬ选取的输出函数如下:ｙ１＝ｃ１Δｕｇｄ＋ｃ２ΔｉＬｄ＝ｃ１(ｕｇｄ－ｕｇｄ０)＋ｃ２(ｉＬｄ－ｉＬｄ０)ｙ２＝ｃ３Δｕｇｑ＋ｃ４ΔｉＬｑ＝ｃ３(ｕｇｑ－ｕｇｑ０)＋ｃ４(ｉＬｑ－ｉＬｑ０)ìîíïïïïï(８)在式(４)所示的逆变器数学模型中ꎬ选择状态变量ｘ＝[ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ꎬｘ４]Ｔ＝[ｕｇｄꎬｕｇｑꎬｉＬｄꎬｉＬｑ]Ｔꎬ输入变量为ｕ＝[ｕ１ꎬｕ２]Ｔ＝[ｍｄꎬｍｑ]Ｔꎮ这样可得到一个两输入两输出的三相逆变器仿射非线性控制系统为:ｘ＝ｆ(ｘ)＋ｇ１(ｘ)ｕ１＋ｇ２(ｘ)ｕ２ｙ１＝ｈ１(ｘ)ｙ２＝ｈ２(ｘ)ìîíïïïï(９)其中ꎬｆ(ｘ)＝ωｘ２＋１Ｃｘ３－１Ｃｉｇｄ－ωｘ１＋１Ｃｘ４－１Ｃｉｇｑωｘ４－１Ｌｘ１－ωｘ３－１Ｌｘ２éëêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúｇ１(ｘ)＝００ＵｄｃＬ０[]Ｔꎬｇ２(ｘ)＝０００ＵｄｃＬ[]Ｔｈ１(ｘ)＝ｃ１(ｘ１－ｘ１０)＋ｃ２(ｘ３－ｘ３０)ｈ２(ｘ)＝ｃ３(ｘ２－ｘ２０)＋ｃ４(ｘ４－ｘ４０){其中ꎬｘ１０㊁ｘ２０分别对应于逆变器输出电压的参考值ｕｇｄ０㊁ｕｇｑ０ꎬｘ３０㊁ｘ４０分别为输出电流参考值ｉＬｄ０㊁ｉＬｑ０ꎮ㊀㊀根据式(９)ꎬ可得到:ａｄｆｇ１(ｘ)＝∂ｇ１∂ｘｆ－∂ｆ∂ｘｇ１＝－ＵｄｃＬＣ００ωＵｄｃＬ[]Ｔａｄｆｇ２(ｘ)＝∂ｇ２∂ｘｆ－∂ｆ∂ｘｇ２＝０－ＵｄｃＬＣωＵｄｃＬ０[]Ｔìîíïïïïïïïïïï(１０)㊀㊀由式(９)和式(１０)得Ｇ(ｘ)的秩为４ꎬ即Ｇ(ｘ)满秩ꎮ又ｇ１(ｘ)和ｇ２(ｘ)均为常数向量场ꎬ故Δ(ｘ)是对合的ꎮ因该系统满足条件(１)和(２)ꎬ可实现反馈线性化ꎮ㊀㊀下面计算矩阵Ｂ~(ｘ)确定该系统总的相对阶ꎮ㊀㊀对于ｈ１(ｘ)＝ｃ１(ｘ１－ｘ１０)＋ｃ２(ｘ３－ｘ３０)ꎬ有Ｌｇ１Ｌ０ｆｈ１(ｘ)＝ｃ２ＵｄｃＬ(ωｘ４－１Ｌｘ１)Ｌｇ２Ｌ０ｆｈ１(ｘ)＝∂(ｈ１(ｘ) ｆ(ｘ))∂ｘｇ２(ｘ)＝０ìîíïïïï(１１)对于ｈ２(ｘ)＝ｃ３(ｘ２－ｘ２０)＋ｃ４(ｘ４－ｘ４０)ꎬ有Ｌｇ１Ｌ０ｆｈ２(ｘ)＝∂(ｈ２(ｘ) ｆ(ｘ))∂ｘｇ１(ｘ)＝０Ｌｇ２Ｌ０ｆｈ２(ｘ)＝ｃ４ＵｄｃＬ(－ωｘ３－１Ｌｘ２)ìîíïïïï(１２)可得到２ˑ２阶矩阵Ｂ~(ｘ)Ｂ~(ｘ)＝Ｌｇ１Ｌ０ｆｈ１(ｘ)Ｌｇ２Ｌ０ｆｈ１(ｘ)Ｌｇ１Ｌ０ｆｈ２(ｘ)Ｌｇ２Ｌ０ｆｈ２(ｘ)éëêêùûúú＝ｃ２ＵｄｃＬ(ωｘ４－１Ｌｘ１)００ｃ４ＵｄｃＬ(－ωｘ３－１Ｌｘ２)éëêêêêùûúúúú(１３)式(１３)为非奇异矩阵ꎬ所以系统总的相对阶为ｒ１＋ｒ２＝１＋１＝２<４ꎬ则系统可部分精确线性化ꎮ㊀㊀继续非线性变换ꎬ选取η１(ｘ)＝Δｘ１㊁η２(ｘ)＝Δｘ２㊁满足Ｌｇｉηｊ(ｘ)＝０ꎬ其中ｉꎬｊ＝１ꎬ２ꎮ可进行以下变换ꎮｚ１ｚ２ｚ３ｚ４éëêêêêêùûúúúúú＝ｃ１Δｘ１＋ｃ２Δｘ３ｃ３Δｘ２＋ｃ４Δｘ４Δｘ１Δｘ２éëêêêêêùûúúúúú＝ｈ１(ｘ)ｈ２(ｘ)η１(ｘ)η２(ｘ)éëêêêêêùûúúúúú＝φ(ｘ)(１４)㊀㊀其中雅可比矩阵Ｊφ(ｘ)＝∂φ(ｘ)∂ｘ满秩ꎬ可部分精确化为:ｚ １＝ｃ１{ω(ｚ４＋ｘ２０)＋１Ｃ[１ｃ２(ｚ１－ｃ１ｚ３)＋ｘ３０]－１Ｃｉｇｄ}＋ｃ２{ω[１ｃ４(ｚ２－ｃ３ｚ４)＋ｘ４０]－１Ｌ(ｚ３＋ｘ１０)}＋ｃ２ＵｄｃＬ{ω[１ｃ４(ｚ２－ｃ３ｚ４)＋ｘ４０]－１Ｌ(ｚ３＋ｘ１０)}ｕ１ｚ２＝ｃ３{－ω(ｚ３＋ｘ１０)＋１Ｃ[１ｃ４(ｚ２－ｃ３ｚ４)＋ｘ４０]－１Ｃｉｇｑ}＋ｃ４{－ω[１ｃ２(ｚ１－ｃ１ｚ３)＋ｘ３０]－１Ｌ(ｚ４＋ｘ２０)}＋ｃ４ＵｄｃＬ{－ω[１ｃ２(ｚ１－ｃ１ｚ３)＋ｘ３０]－１Ｌ(ｚ４＋ｘ２０)}ｕ２ｚ３＝ω(ｚ４＋ｘ２０)＋１Ｃ[１ｃ２(ｚ１－ｃ１ｚ３)＋ｘ３０]－１Ｃｉｇｄｚ ４＝－ω(ｚ３＋ｘ１０)＋１Ｃ[１ｃ４(ｚ２－ｃ３ｚ４)＋ｘ４０]－１Ｃｉｇｑìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï(１５)采用线性最优控制理论ꎬ可得到ｚ空间线性系统的控制律:ｖ１＝－ｋ１ｚ１＝－ｋ１[ｃ１(ｘ１－ｘ１０)＋ｃ２(ｘ３－ｘ３０)]ｖ２＝－ｋ２ｚ２＝－ｋ２[ｃ３(ｘ２－ｘ２０)＋ｃ４(ｘ４－ｘ４０)]{(１６)㊀㊀将式(１６)代入式(１４)ꎬ求出ｕ１和ｕ２ꎬ得到系统控制律为:ｍｄ＝ｕ１＝－Ｌｃ２Ｕｄｃ(ωｉＬｑ－１Ｌｕｇｄ){ｃ１(ωｕｇｑ＋１ＣｉＬｄ－１Ｃｉｇｄ)＋ｃ２(ωｉＬｑ－１Ｌｕｇｄ)＋ｋ１[ｃ１(ｕｇｄ－ｕｇｄ０)＋ｃ２(ｉＬｄ－ｉＬｄ０)]}ｍｑ＝ｕ２＝－Ｌｃ４Ｕｄｃ(ωｉＬｄ－１Ｌｕｇｑ){ｃ３(－ωｕｇｄ＋１ＣｉＬｑ－１Ｃｉｇｑ)＋ｃ４(－ωｉＬｄ－１Ｌｕｇｑ)＋ｋ２[ｃ３(ｕｇｑ－ｕｇｑ０)＋ｃ４(ｉＬｑ－ｉＬｑ０)]}ìîíïïïïïïïïïïïïïïï(１７)４㊀仿真分析㊀㊀为验证本文所提的ＶＳＧ多指标非线性控制策略的有效性ꎬ本文在ＭＡＴＬＡＢ环境下对系统进行仿真研究ꎮ㊀㊀图１所示的系统主要参数见表１ꎮ仿真结果中ꎬＭＮＬＣ曲线为内环采用多指标非线性控制方法ꎬＰＲ曲线为采用电压电流ＰＲ控制方法ꎮ文献[９]中已验证内环采用ＰＲ控制比ＰＩ控制效果要优异ꎬ所以本文采用ＰＲ控制来进行对比ꎬ其中ＰＲ参数整定方法见该文献ꎮ表１㊀系统主要参数参数取值参数取值Ｌ５ｍＨＤｑ０.００１Ｃ３０μＦＤＰ０.０５Ｊ０.５ｋ１㊁ｋ２１´１０７ｋω１００ｃ１㊁ｃ３１´１０８ｋＥ０.０１ｃ２㊁ｃ４１００４ １㊀仿真案例１:离网模式㊀㊀系统初始工况下ꎬＤＧ带有功负荷１０ｋＷ㊁无功负荷２ｋｖａｒꎬ为分析多指标非线性控制律的ＤＧ对负荷变化的动态响应ꎬ在１ｓ时ꎬ再投入有功负荷１０ｋＷ㊁无功负荷２ｋｖａｒꎻ在２ｓ时ꎬ切除有功负荷１０ｋＷ㊁无功负荷２ｋｖａｒꎮ负荷变化情况下的有功功率和无功功率输出响应曲线㊁输出相电压和相电流曲线㊁频率响应曲线分别如图４所示ꎮ㊀㊀从图４(ａ)可以看出ꎬ微网负荷发生变化时ꎬ多指标非线性控制相较于传统ＰＲ控制而言ꎬ能使有功功率输出迅速归于稳定值ꎮ由图４(ｂ)可知ꎬ在２ｓ时非线性控制律下系统的无功输出响应波动由２ｋＷ减小到０ ３ｋＷꎬ减缓了暂态过程中无功输出波动并快速稳定ꎮ图４(ｃ)表明采用非线性控制律后ꎬ频率波动谷值由４９ ４９Ｈｚ减小到４９ ９９Ｈｚꎬ并且系统暂态时间更短ꎮ由图４(ｄ)㊁(ｅ)可知ꎬ微网负荷变化后ꎬ非线性控制律能够更好地抑制输出电压的波动ꎬ微网逆变器的输出的相电压和相电流能迅速恢复至稳定ꎬ系统的稳定性得到明显的提高ꎮ具有更好的动静态特性ꎮ图４㊀算例１的响应曲线４ ２㊀仿真案例２:并网运行㊀㊀系统初始工况下ꎬＤＧ给定有功功率１０ｋＷ㊁无功功率５ｋＷꎬ为分析多指标非线性控制律的ＤＧ对给定有功功率阶跃的响应ꎬ在１ｓ时ꎬ将ＤＧ在给定的有功功率设为由１０变为２０ｋＷꎻ在２ｓ时ꎬ有功功率从２０ｋＷ跌落为１０ｋＷꎮ系统的响应曲线如图５所示ꎬ由此可比较在并网运行时ꎬ非线性控制律和传统ＰＲ控制律下逆变器稳定微网功率㊁电压和频率的能力ꎮ㊀㊀由图５(ａ)可知ꎬ当给定有功功率阶跃时ꎬ采用多指标非线性控制律的有功输出响应曲线上升较快ꎬ减小了功率波动峰值ꎬ并快速恢复到稳态输出ꎮ其中图５(ｂ)所示ꎬ非线性控制律能够改善ＶＳＧ的控制性能ꎬ不仅使无功功率波动的幅值减小ꎬ而且使无功功率迅速恢复到稳态值ꎮ图５(ｃ)的仿真结果表明采用非线性控制律后ꎬ系统频率响应的最大波动从５０ ３５Ｈｚ减小到５０ ０４Ｈｚꎬ频率振荡幅度明显缩小ꎮ由图５(ｄ)㊁(ｅ)可知ꎬ在非线性控制律下ꎬ逆变器输出相电压和相电流能快速恢复稳定ꎬ无静态误差ꎬ系统稳定运行ꎮ图５㊀算例２的响应曲线５㊀结论㊀㊀本文将非线性控制方法应用于改善ＶＳＧ的动静态性能ꎬ设计了计及逆变器输出电压和输出电流的输出函数ꎬ证明了该系统模型可状态反馈线性化ꎮ运用线性最优控制策略ꎬ设计逆变器多指标非线性控制律ꎬ该控制律能消除系统稳态误差ꎬ提高响应速度ꎮ利用并网和离网两种模式下的仿真验证了理论的正确性ꎬ同时得出以下结论:通过非线性控制律控制ＶＳＧ的输出电压改善ＶＳＧ的动静态性能是可行的ꎻ基于多指标非线性控制的ＶＳＧ控制策略易于实现ꎬ可以有效改善ＶＳＧ的性能ꎮ本文对三相电压型逆变器的研究工作都是在理想情况下进行的ꎬ实际的三相电压型逆变器会受到元器件和环境的影响ꎬ这将会导致仿真结果出现偏差ꎬ因此进行实验验证将是下一步的研究工作ꎮ参考文献[１]㊀杨新法ꎬ苏剑ꎬ吕志鹏ꎬ等.微电网技术综述[Ｊ].中国电机工程学报ꎬ２０１４ꎬ３４(１):５７－７０.[２]㊀ＯｌｉｖａｒｅｓＤＥꎬＭｅｈｒｉｚｉ￣ＳａｎｉＡꎬＥｔｅｍａｄｉＡＨꎬｅｔａｌ.Ｔｒｅｎｄｓｉｎｍｉｃｒｏ￣ｇｒｉｄｃｏｎｔｒｏｌ[Ｊ].ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎｓｍａｒｔｇｒｉｄꎬ２０１４ꎬ５(４):１９０５－１９１９.[３]㊀王成山ꎬ武震ꎬ李鹏.微电网关键技术研究[Ｊ].电工技术学报ꎬ２０１４ꎬ２９(２):１－１２.[４]㊀郑天文ꎬ陈来军ꎬ陈天一ꎬ等.虚拟同步发电机技术及展望[Ｊ].电力系统自动化ꎬ２０１５ꎬ３９(２１):１６５－１７５.[５]㊀ＡｌｉｐｏｏｒＪꎬＭｉｕｒａＹꎬＩｓｅＴ.Ｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎｕｓｉｎｇｖｉｒｔｕａｌｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓｇｅｎｅｒａｔｏｒｗｉｔｈａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｍｏｍｅｎｔｏｆｉｎｅｒｔｉａ[Ｊ].ＩＥＥＥｊｏｕｒ￣ｎａｌｏｆＥｍｅｒｇｉｎｇａｎｄｓｅｌｅｃｔｅｄｔｏｐｉｃｓｉｎｐｏｗｅｒｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓꎬ２０１４ꎬ３(２):４５１－４５８.[６]㊀张从越ꎬ窦晓波ꎬ何国鑫ꎬ等.适用于中低压配电网的ＶＳＧ多机协同鲁棒运行控制方法[Ｊ].电力自动化设备ꎬ２０２０ꎬ４０(９):６４－７６.[７]㊀程启明ꎬ余德清ꎬ等.基于自适应旋转惯量的虚拟同步发电机控制策略[Ｊ].电力自动化设备ꎬ２０１８ꎬ３８(１２):７９－８５.[８]㊀韩刚ꎬ蔡旭.虚拟同步发电机输出阻抗建模与弱电网适应性研究[Ｊ].电力自动化设备ꎬ２０１７ꎬ３７(１２):１１６－１２２.[９]㊀孟建辉ꎬ王毅ꎬ石新春ꎬ等.基于虚拟同步发电机的分布式逆变电源控制策略及参数分析[Ｊ].电工技术学报ꎬ２０１４ꎬ２９(１２):１－１０.[１０]㊀吴恒ꎬ阮新波ꎬ等.虚拟同步发电机功率环的建模与参数设计[Ｊ].中国电机工程学报ꎬ２０１５ꎬ３５(２４):６５０８－６５１８.[１１]㊀胡文强ꎬ吴在军ꎬ孙充勃ꎬ等.基于ＶＳＧ的储能系统并网逆变器建模与参数整定方法[Ｊ].电力自动化设备ꎬ２０１８ꎬ３８(８):１３－２３.[１２]㊀程冲ꎬ杨欢ꎬ曾正ꎬ等.虚拟同步发电机的转子惯量自适应控制方法[Ｊ].电力系统自动化ꎬ２０１５ꎬ３９(１９):８２－８９.[１３]㊀杨赟ꎬ梅飞ꎬ张宸宇ꎬ等.虚拟同步发电机转动惯量和阻尼系数协同自适应控制策略[Ｊ].电力自动化设备ꎬ２０１９ꎬ３９(３):１２５－１３１.[１４]㊀王扬ꎬ张靖ꎬ何宇ꎬ等.虚拟同步发电机暂态稳定协同控制[Ｊ].电力自动化设备ꎬ２０１８ꎬ３８(１２):１８１－１８５.[１５]㊀严彬彬ꎬ王宝华.基于自适应Ｔｅｒｍｉｎａｌ滑模控制方法的ＶＳＧ控制[Ｊ].电力自动化设备ꎬ２０１８ꎬ３８(１０):１４０－１４６.[１６]㊀张宇华ꎬ黄珂ꎬ王志南ꎬ等.基于二次调频的ＶＳＧ自适应反推鲁棒控制研究[Ｊ].电网技术ꎬ２０２１ꎬ４５(５):１９８５－１９９２.[１７]㊀帅定新ꎬ谢运祥ꎬ杨金明ꎬ等.基于状态反馈精确线性化单相全桥逆变器的最优控制[Ｊ].电工技术学报ꎬ２００９ꎬ２４(１１):１２０－１２６.[１８]㊀李啸骢ꎬ任子熠ꎬ等.基于多指标非线性控制方法的微网逆变器控制设计[Ｊ].电力自动化设备ꎬ２０１７ꎬ３７(９):１８－２３.[１９]㊀董锋斌ꎬ钟彦儒.三相电压型逆变器的精确线性化控制[Ｊ].电工技术学报ꎬ２０１３ꎬ２８(１０):１４３－１４９.[２０]㊀李啸骢ꎬ程时杰ꎬ韦化ꎬ等.输出函数在多输入多输出非线性控制系统设计中的重要作用[Ｊ].中国电机工程学报ꎬ２００６(９):８７－９３.收稿日期:２０２２－０３－３０作者简介:李啸骢(１９５９－)ꎬ男ꎬ云南昆明人ꎬ教授ꎬ博士研究生导师ꎬ南宁学院特聘教授ꎬ研究方向为控制系统计算机辅助设计㊁电力系统动态仿真及计算实时控制㊁电力系统分析与控制㊁电力系统非线性控制ꎻ杨松(１９９６－)ꎬ男ꎬ贵州铜仁人ꎬ硕士研究生ꎬ主要研究方向为微网运行与控制ꎮ。

!第"#卷第#期郑州大学学报!理学版"$%&’"#(%’# !)*#+年,月-./012340%56278.!(9:.;<7.=>."?9@.)*#+基于非线性干扰观测器的机械臂终端滑模控制杨!鹏#!)!!王晓周#!)!!王!婕#!)!!张高巍#!)!#.河北工业大学控制科学与工程学院!天津,**#,*$).智能康复装置与检测技术教育部工程研究中心!天津,**#,*"摘要!为了在干扰存在的情况下实现对五自由度机械臂的有效控制#提出了一种基于非线性干扰观测器的终端滑模控制策略.通过选择适当的非线性增益函数#干扰观测器能够精确地估计未知干扰#实现对控制器的补偿#降低滑模控制抖振.非奇异快速终端滑模面的设计提高了收敛速度#保证轨迹跟踪误差在有限时间内快速收敛.基于]M9L52%8方法证明了闭环系统的稳定性#数值仿真结果验证了所设计方法的有效性.关键词!机械臂$轨迹跟踪$终端滑模$干扰观测器中图分类号!P U)E)文献标志码!G文章编号!#CD#B CAE#!)*#+"*#B**DAB*C!"#!#*’#,D*"Q R.7S S2.#CD#B CAE#’)*#D),+$%引言家庭服务机器人是机器人发展的重要方向之一#而机械臂控制对服务机器人执行各种类人任务至关重要(#).作为一种复杂的非线性系统#机械臂易受不确定的因素#包括不确定的惯性’未知的重力转矩’未知的摩擦力矩和其他干扰的影响()).这些难以预测的不确定性影响了机械臂的控制精度及可靠性.因此#必须设计鲁棒控制方法处理上述干扰#以实现预期的性能.对不确定性及干扰的处理#文献(,X")提出了多种方法.滑模控制具有较强的鲁棒性和快速响应能力#常被应用于各种非线性不确定系统的控制中#但滑模控制的不连续性会引起控制的抖振.干扰观测器提供了处理干扰和不确定性的另一种方法.和其他干扰估计与抑制方法相比#非线性干扰观测器以其简单直观及严格的稳定性分析得到了广泛的研究和应用.为了估计高度非线性’强耦合的机械臂的未知干扰#文献(C)提出用非线性干扰观测器估计干扰及参数不确定性#然后通过估计值对控制器进行补偿.文献(D)提出了一种新型非线性干扰观测器#解决了干扰观测器的系统设计问题#并将其应用于机械臂控制#但不能实现有限时间控制.文献(A)研究了具有参数不确定性和外部干扰的空间机械臂的鲁棒跟踪控制问题#提出一种基于干扰观测器的输出反馈自适应控制方法#采用模糊逻辑系统来估计和补偿集总干扰.文献(+)针对具有模型不确定性和受外界干扰的机械臂轨迹跟踪控制问题#设计了由非线性控制器’速度观测器和干扰观测器组成的复合控制器#并给出了半全局渐近稳定性条件.上述控制方法中系统都是渐近稳定的#与渐近稳定系统相比#有限时间稳定系统通常表现出更快的收敛速度和更好的抗干扰性能(#*X##).基于干扰观测器的终端滑模控制方法是一个有效的复合控制方法#将干扰观测值作为前馈补偿#能够及时有效地抑制干扰.本文针对五自由度机械臂的运动控制问题#研究一种非奇异终端滑模控制与非线性干扰观测器相结合的复合控制器.将系统模型不确定性和外界干扰作为复合干扰!集总干扰"#设计了非奇异终端滑模控制器#以实现对系统的鲁棒控制及跟踪误差的有限时间收敛#同时利用干扰观测器估计集总干扰#对滑模控制器进行前馈补偿以削弱控制抖振.收稿日期!)*#DB*AB##基金项目!国家自然科学基金青年项目!C#"*,##A"$河北省自然科学基金项目!F)*#")*)),##F)*#")*)#"*"$天津市自然科学基金项目!#D-Y h(-Y*EE**"$河北省高等学校科学技术研究项目!h()*#"*CA".作者简介!杨鹏!#+C*%"#男#河北秦皇岛人#教授#主要从事系统建模和控制研究#=B I97&&M L01Z5:N#C,.<%I$通信作者&王婕!#+AC%"#女#辽宁北票人#讲师#主要从事非线性鲁棒控制’变结构控制和有限时间控制研究#=B I97&&[923R71N01Z5:.1>5.<2.Copyright©博看网 . All Rights Reserved.!第#期杨!鹏#等$基于非线性干扰观测器的机械臂终端滑模控制&%模型描述机械臂的各个关节都为旋转关节#考虑由外界干扰和模型误差组成的复合干扰#串联刚性连接的机械臂模型可以表示为(!>">y #2!>#>,">,#?!>"#8!>,"-(#(=#!#"式中&>’>,’>y (S 7分别表示关节角度矢量’角速度矢量和角加速度矢量$(为控制输入$(!>"为7/7阶正定对称惯性矩阵$2!>#>,"为7/7阶离心力和哥氏力矩阵$?!>"为7维重力项矢量$8!>,"表示关节摩擦力矩$(=为施加在机械臂关节的外加有界干扰.通常情况下#机械臂的精确动力学模型难以得到#将模型分为已知部分和不确定部分&(!>"-(*!>"#!(!>"#2!>#>,"-2*!>#>,"#!2!>#>,"#?!>"-?*!>"#!?!>"#(*!>"’2*!>’>,"’?*!>"为模型的名义矩阵#!(!>"’!2!>#>,"’!?!>"代表系统矩阵的不确定部分.因此#机械臂动力学模型可以表示为(*!>">y #2*!>#>,">,#?*!>"-(#;#!)"式中&;-(=.!(!>">y .!2!>#>,">,.!?.8#表示由模型不确定项和外加干扰组成的复合干扰#;有界且其上界未知1控制目标为设计反馈控制律(!>#>,"#使五自由度机械臂关节角度>在有限时间内达到对期望运动角度>=的快速准确跟踪.+%干扰观测器设计在实际工程中#复合干扰;通常很难获得#需要对其进行估计#但是干扰的估计值与实际值之间存在一定的误差1干扰观测器设计的基本思想是用估计输出与实际输出的差值对估计值进行修正1用;u 表示对干扰;的估计#非线性干扰观测器设计方程为;u ,-9!>#>,"!;.;u "-.9!>#>,";u #9!>#>,";-.9!>#>,";u #9!>#>,"((*!>">y #2*!>#>,">,#?*!>".()#!,"式中&9!>#>,"为正定观测器增益矩阵1假设干扰的变化相对观测器的动态特性是缓慢的#即;,-*1定义干扰估计误差<=-;.;u #则<,=-.;u ,-.9!>#>,"!;.;u "-.9!>#>,"<=#且干扰估计误差满足<,=#9!>#>,"<=-*1!E "!!选取合适的增益函数9!>#>,"#可以使干扰估计误差指数收敛到零.然而在实际工程中#由于观测噪声很难通过微分角速度信号得到角加速度信号.因此#必须对上述干扰估计方法加以改进#得到无须角加速度信息的干扰观测器.定义辅助向量@-;u .A !>#>,"#其中A !>#>,"为待设计的函数向量#9!>#>,"与A !>#>,"存在如下关系&>>"A !>#>,"-9!>#>,"(*!>">y 1!""!!对@求导得&@,-;u ,.A ,!>#>,"-.9!>#>,";u #9!>#>,"((*!>">y #2*!>#>,">,#?*!>".().9!>#>,"(*!>">y -.9!>#>,";u #9!>#>,"(2*!>#>,">,#?*!>".()-.9!>#>,"@#9!>#>,"(2*!>#>,">,#*!>".(.A !>#>,")1因此#改进的干扰观测器方程为;u -@#A !>#>,"$@,-.9!>#>,"@#9!>#>,"(2*!>#>,">,#?*!>".(.A !>#>,")1!C "对观测误差<=求导得<,=-.;u ,-.@,.A ,!>#>,"1!D "将式!C "代入式!D "得+D Copyright©博看网 . All Rights Reserved.郑州大学学报!理学版"第"#卷<,=-9!>#>,"@.9!>#>,"(2*!>#>,">,#?*!>".(.A !>#>,").9!>#>,"(*!>">y -.9!>#>,"(2*!>#>,">,#?*!>"#(*!>">y .()#9!>#>,"(@#A !>#>,")-.9!>#>,"!;.;u "-.9!>#>,"<=1!A "!!选择]M 9L52%8函数’#-#)<P =<=#则’,#-<P =<,=-.<P=9!>#>,"<=’*#因此干扰估计误差渐近收敛1当选取较大的9!>#>,"#可以使<=快速收敛#实现观测器对干扰的准确估计.-%控制器设计设计具有较快收敛速度的非奇异快速终端滑模面B 为B -<#0S 73!<")#1S 73!<,""#!+"式中&<!""表示角度跟踪误差#<!""->!"".>=!""$B -(B ##B ##-#B 7)P (S 7#0->793!:##:)#-#:7"#1->793!P ##P )#-#P 7"#:##:)#-#:7#P ##P )#-#P 7是大于*的常数$)->793!"##")#-#"7"#"->793!!##!)#-#!7"##K !;K )#";]!;##’;’7$S 73!<")-(<#"#S 32!<#"#-#<7"7S 32!<7")P#S32!,"为符号函数#S 73!<,""的表示与S 73!<")相同.针对机械臂动力学模型!)"#设计基于非线性干扰观测器的滑模控制律为(-(*!>">y =#2*!>#>,">,#?*!>".(*1.#".#!77#0)>793!<;";.#""S 73!<,")77.".;u .(*(6#B #6)S 73!B "*)#!#*"图&!控制系统框图’()*&!P 01>793@9I %\<%2:@%&S M S :1I式中&77为7阶单位矩阵$6#->793!X ###-#X #7"#6)->793!X )##-#X )7"#X #;’X );为大于*的常数$*->793!%##%)#-#%7"#*K %##-#%7K ##;u 为干扰观测器的输出.估计的集总干扰直接抵消实际干扰的影响#控制系统框图如图#所示.定理&%考虑机械臂动力学模型!)"#用干扰观测器方程!C "估计系统集总干扰;#设计非奇异终端滑模函数!+"及控制律!#*"#则轨迹跟踪误差在有限时间内收敛.证明!选取]M 9L52%8函数’)-#)B P B #对’)求导得’,)-B PB ,1由式!E "’式!+"得’,)-B P(<,#0)>793!<;";.#"<,#1">793!<,;!;.#"<y )1!##"对<求二阶导数并代入式!##"得’,)-B P 0<,#0)>793!<;";.#"<,#1">793!<,;!;.#",((.#*!.2*!>#>,">,.?*!>"#(#;".>y =)11!#)"将式!#*"代入式!#)"得’,)-B P1">793!<,;!;.#"(.!6#B #6)S73!B "*".(.#*!;u .;")-.B P 1">793!<,;!;.#"!6#B #6)S 73!B "*.(.#*<="’.B P 1">793!<,;!;.#"(6#B #!6).>793!(.#*<=">793.#!S 73!B "*""S 73!B "*)1!#,"若矩阵6).>793!(.#*<=">793.#!S 73!B "*"正定#则’,)’.)X .#’)).)!*##"L )X .)’)!*##"L )#!#E "式中&X .#’X .)分别为正定对角矩阵1">793!<,;!;.#"6#’1">793!<,;!;.#"!6).>793!(.#*<=",>793.#!S 73!B "*""的对角元素的最小值1取’-’##’)#当干扰估计误差收敛到零时#’#-*#’,-’,)’.B P 1">793!<,;!;.#"(6#B #6)S 73!B "*)#则’,’.)X .#’).)!%##"L )X .N )’!%##"L )#其中X .N )为正定对角矩阵1">793!<,;!;.#"6)的对角元素的最小值1根据文献(#))#系统状态在有限时间"’.&2!!X .#’!#.*"L )#*A Copyright©博看网 . All Rights Reserved.!第#期杨!鹏#等$基于非线性干扰观测器的机械臂终端滑模控制)!*.#"L )X .N )"L )!*.#"L )X .N )"L !X .N )!#.*""内收敛到滑模面B -$#进而轨迹跟踪误差沿滑模面在有限时间内收敛到零..%仿真结果为了验证所提出的控制策略的有效性#对文献(#,)中的五自由度机械臂系统进行了仿真分析#其机械臂简图如图)所示#其中[#为肩关节屈伸角#[)为肩关节外展内收角#[,为肘关节屈伸角#[E 为腕关节内旋’外旋角#["为腕关节屈伸角.以每个关节中心点为原点建立坐标系#各关节绕J 轴旋转.图+!五自由度机械臂简图’()*+!P 01>793@9I %\\781>13@11B %\B \@11>%I@%Z%:7<I 927L5&9:%@式!#"中(!>"’2!>#>,"’?!>"的组成及详细参数见文献(#,)#关节摩擦力矩8!>,"-*’)S 32!>,"#系统的外加干扰(=-*’#(S 72!""!S 72!""!S 72!""!S 72!""!S 72!"")P 1利用干扰观测器方程!C "观测未知复合干扰#取A !>#>,"-,**>,#非线性增益函数9!>#>,"-,**(.#*1取(*!>"-*’A (!>"#因为(!>"为对称正定矩阵#(.#*也为对称正定矩阵#故%9!>#>,"%]*1滑模函数由式!+"给出#各参数设计为0->793!E #E #E #E #E "#1->793!*’E #*’E #*’E #*’E #*’E "#)->793!)#)#)#)#)"#"->793!#’"##’"##’"##’"##’""#控制器参数6#->793!)*#)*#)*#)*#,*"#6)->793!*’###*’###*’###*’###*’##"#*->793!*’)#*’)#*’)#*’)#*’)"1各关节初始角度取*’"@9>#初始角速度取*#观测器初值取*#期望关节角度取[;=-S 72!"#!;.#"%L ""#;-##-#"#仿真结果见图,i 图C.图-!关节角度跟踪曲线’()*-!P @9<J723<5@81%\R %72:923&1图.!关节角度跟踪误差’()*.!P @9<J7231@@%@%\R %72:923&1图,为关节角度跟踪曲线#图E 为关节角度跟踪误差.可以看出#在系统存在模型不确定性和外界干扰情况下#设计的终端滑模控制器能够使机械臂对指令轨迹做出快速响应#跟踪误差在有限时间内收敛.与现有方法相比#本文所提出的控制方法误差收敛速度更快.图"为干扰及干扰估计曲线#.=#’.=)’.=,’.=E ’.="分#A Copyright©博看网 . All Rights Reserved.郑州大学学报!理学版"第"#卷别为关节#i "处的复合干扰.可以看出#设计的干扰观测器能够实现对干扰的准确观测#其观测值为控制器提供补偿#采用干扰观测器补偿的方法可以减小控制抖振.为证明干扰观测器的有效性#针对相同的机械臂系统#设计无干扰观测器补偿的滑模控制器#滑模切换项增益不小于干扰上界#即X );!%;%#其他控制器参数与本文所提出的控制器参数相同#在两种控制器下的控制输入如图C 所示.可以看出#本文所提出的控制器控制力矩曲线连续光滑#基本无抖振!第"个关节控制曲线的不连续是由不连续摩擦引起的"#且由于切换增益较小#所需的起始力矩较小#而无干扰观测器补偿的滑模控制器控制力矩存在较强的抖振且起始力矩较大.图/!干扰及干扰估计曲线’()*/!d 7S :5@Z92<192>7:S 1S :7I 9:7%2<5@81图0!控制输入’()*0!Y %2:@%&72L5:/%结论针对五自由度机械臂的控制问题#设计了基于干扰观测器的非奇异终端滑模控制策略.将外界干扰和系统模型不确定性看作集总干扰#利用非线性干扰观测器逼近系统干扰#不需要知道系统干扰的上界且能够削弱控制抖振.设计的非奇异终端滑模面能够使系统在有限时间内收敛#加快了对指令的响应速度.理论分析和仿真结果表明#所提出的干扰观测器能够实现对干扰的准确观测#基于干扰观测器的滑模控制能够有效削弱抖振且使轨迹跟踪误差在有限时间内收敛.参考文献!(#)!徐昱琳#杨永焕#李昕#等.基于双目视觉的服务机器人仿人机械臂控制(-).上海大学学报!自然科学版"#)*#)##A !""&"*C X "#).())!Y T =(V]#T e 6/V #P G (?.H @71\L9L1@&9>9L:781215@9&21:[%@J :@9<J723<%2:@%&\%@I 927L5&9:%@S [7:052<1@:972J721I 9:7<S #>M 29I 7<S 92>9<:59:%@I %>1&(-).G 5:%I 9:7<9#)**+#E"!#*"&),#)X ),#A.(,)!陈志旺#薛佳伟.基于不确定逼近的机械手自适应鲁棒预测控制(-).控制理论与应用#)*#)#)+!""&C,"XCE#.)A Copyright©博看网 . All Rights Reserved.,A!第#期杨!鹏#等$基于非线性干扰观测器的机械臂终端滑模控制(E)!Y6e(VU$#aG(V f(.G>9L:781:@9R1<:%@M:@9<J723215@9&21:[%@J<%2:@%&[7:0@%Z5S:<%I L12S9:%@\%@@%Z%:I927L5&9:%@S(-).(15@9&<%I L5:72392>9LL&7<9:7%2S#)*#C#)D!)"&")"X",C.(")!于靖#陈谋#姜长生.基于干扰观测器的非线性不确定系统自适应滑模控制(-).控制理论与应用#)*#E#,#!A"& ++,X+++.(C)!Y T=(a T#H G]]G(Y=d-#V G aP T_e UU-#1:9&.G2%2&7219@>7S:5@Z92<1%ZS1@81@\%@@%Z%:7<I927L5&9:%@S(-).^===:@92S B9<:7%2S%272>5S:@79&1&1<:@%27<S#)***#ED!E"&+,)X+,A.(D)!?e T G??G d^G#P G$G b e]^?#?G_h6=/T-#1:9&.(%2&7219@>7S:5@Z92<1%ZS1@81@>1S732\%@@%Z%:7<I927L5&9:%@S(-).Y%2:@%&1237211@723L@9<:7<1#)*#,#)#!,"&)",X)CD.(A)!Y T6/f#Y6^-#;6(FY.F544M9>9L:781>7S:5@Z92<1B%ZS1@81@B Z9S1>@%Z5S::@9<J723<%2:@%&%\1&1<:@7<9&&M>@7812\@11B\&%9:723S L9<1I927L5&9:%@(-).^===S M S:1I S R%5@29&#)*#E#A!)"&,E,X,").(+)!H e6G b_^FF.P@9R1<:%@M:@9<J723<%2:@%&5S72381&%<7:M%ZS1@81@92>>7S:5@Z92<1S%ZS1@81@\%@52<1@:972@%Z%:I927L5&9:%@S[7:0B %5::9<0%I1:1@S(-).?1<<927<9#)*#D#")!E Q""&AC#X AD".(#*)]^;T#d6TH#]^(g/.F727:1B:7I1<%2S12S5S9&3%@7:0I\%@I5&:7B9312:S M S:1I S[7:0>%5Z&1B72:13@9:%@>M29I7<S(-).G5:%I9:B 7<9#)*#,#ED!A"&#D*C X#D#).(##)aG(Vg#]^;#;T^U.d7S:@7Z5:1>\727:1B:7I1<%2:972I12:<%2:@%&\%@>%5Z&1B72:13@9:%@I5&:79312:S M S:1I S(-).^===:@92S9<:7%2S %2<M Z1@21:7<S#)*#E#EE!+"&#"#A X#")A.(#))f6;T#f6g T#;T^_^(/G d=T H#1:9&.Y%2:725%5S\727:1B:7I1<%2:@%&\%@@%Z%:7<I927L5&9:%@S[7:0:1@I729&S&7>723I%>1 (-).G5:%I9:7<9#)**"#E#!##"&#+"D X#+CE.(#,)b G(VT H#aG(V-T.G>9L:781<%2:@%&%\"d e F5LL1@B&7I Z1‘%S J1&1:%2@%Z%:[7:07I L@%81>S9\1:M(-).^;G:@92S9<:7%2S# )*#,#")!C"&AEE X A",.3<B@(:4?F?(C(:)P9C<89:;B9?H9B S959;(E P4:(T D?4;9B K(;NR9:?(:<4B!(>;D B54:E<"5><B Q<Bf G(VU123##)#aG(Vg79%40%5##)#aG(V-71##)#/T G(VV9%[17##)!#’)234454!$47"845)2;<72<:7=>7?;7<<8;7?#\<P<;&7;A<8B;"C4!Z<237454?C#Z;:7G;7,**#,*#$3;7:$ )’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责任编辑&孔!薇"Copyright©博看网 . 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第41卷第2期2024年2月控制理论与应用Control Theory&ApplicationsV ol.41No.2Feb.2024约束非线性系统理想点多目标安全预测控制何德峰†,操佩颐,岑江晖(浙江工业大学信息工程学院,浙江杭州310023)摘要:考虑具有状态和控制约束的仿射非线性系统多目标安全控制问题,本文提出一种保证安全和稳定的多目标安全模型预测控制(MOSMPC)策略.首先通过理想点逼近方法解决多个控制目标的冲突问题.其次,利用控制李雅普诺夫障碍函数(CLBF)参数化局部控制律,并确定系统不安全域.在此基础上,构造非线性系统的参数化双模控制器,减少在线求解模型预测控制(MPC)优化问题的计算量.进一步,应用双模控制原理和CLBF约束,建立MOSMPC策略的递推可行性和闭环系统的渐近稳定性,并保证闭环系统状态避开不安全域.最后,以加热系统的多目标控制为例,验证了本文策略的有效性.关键词:非线性系统;模型预测控制;多目标控制;安全控制;稳定性引用格式:何德峰,操佩颐,岑江晖.约束非线性系统理想点多目标安全预测控制.控制理论与应用,2024,41(2): 355–363DOI:10.7641/CTA.2023.20542Utopia multi-objective safe predictive control ofconstrained nonlinear systemsHE De-feng†,CAO Pei-yi,CEN Jiang-hui(College of Information Engineering,Zhejiang University of Technology,Hangzhou Zhejiang310023,China) Abstract:This paper considers the multi-objective safe control problem of input-affine nonlinear systems subject to the constraints on the state and control.A new multi-objective safe model predictive control(MOSMPC)scheme is proposed for the system with guaranteed safety and stability.First,the utopia-point approximation method is adopted to solve the conflicting problem of multiple control objectives.Second,the control Lyapunov-barrier function(CLBF)is used to parameterize the local control laws of the system and determine the unsafe domains of the system.Then the parameterized dual-mode controller of the nonlinear system is constructed to reduce the computational amount of online solving the MPC optimization problem.Moreover,recursive feasibility of the MOSMPC scheme and asymptotic stability of the closed-loop system are established via the dual-mode control principle and the CLBF constraint,which ensures that the states of the closed-loop system can avoid the unsafe domain.Finally,an example of multi-objective control of a heating system is used to verify the effectiveness of the proposed strategy.Key words:nonlinear systems;model predictive control;multi-objective control;safety control;stabilityCitation:HE Defeng,CAO Peiyi,CEN Jianghui.Utopia multi-objective safe predictive control of constrained nonlinear systems.Control Theory&Applications,2024,41(2):355–3631引言安全与稳定是工业过程正常生产的前提,安全事故一旦发生,轻则造成生产过程严重的经济损失,重则威胁生产者的生命健康[1–2],如何保证安全与稳定运行成为工业生产过程的首要任务.除了工业现场的安全保护装置外,过程控制系统可以通过对控制器的约束设计保证生产过程的安全与稳定运行[3–5].因此,各种约束条件在工业过程控制中普遍存在[3–6].另一方面,工业过程控制问题通常涉及多个控制目标,如能耗、效率和控制速率等要求,这些控制目标通常相互冲突[6–8].因此,控制器的设计需要保证这些相互冲突的目标在运行过程中协调实现.现已证明,模型预收稿日期:2022−06−17;录用日期:2023−06−01.†通信作者.E-mail:**************.cn;Tel.:+86130****0667.本文责任编委:夏元清.国家自然科学基金项目(62173303),浙江省重点研发计划项目(2020C03056)资助.Supported by the National Natural Science Foundation of China(62173303)and the Key Research and Development Program of Zhejiang Province (2020C03056).356控制理论与应用第41卷测控制(model predictive control,MPC)具有在求解最优控制问题的同时对约束和多目标问题进行有效处理的优点,已被广泛应用于各种工业生产过程的最优控制[6–10].近年来,兼顾稳定性与安全性的MPC方法受到了学术界和工业界越来越多的关注.例如,文献[11–12]提出一种基于控制避障函数的安全反馈设计来保证系统的安全运行;文献[13]提出利用安全指标函数作为硬约束定义不安全区域,结合稳定控制和控制安全,结果显示所提出的方法可以实现非线性系统的闭环稳定性和运行安全性;文献[14–16]考虑控制目标和安全约束之间的潜在冲突,提出一种基于控制李雅普诺夫障碍函数(control Lyapunov-barrier function,CLBF)的控制策略,通过加权控制李雅普诺夫函数(control Lyapunov function,CLF)和控制障碍函数(control barrier function,CBF)兼顾闭环系统的稳定性和控制安全性,文献[14–16]同时还给出了存在多个不安全情况下的控制方法;文献[15]提出了一种基于CLBF的模型预测控制策略,解决满足约束和保证安全的非线性系统的稳定问题,保证状态收敛到稳态而不进入一个指定的不安全区域;文献[17]推广了不安全区域的定义,并通过基于CLBF的控制方法得到验证.现有基于CLBF的控制策略侧重系统安全性和稳定性控制目标,但缺少对工业过程更多控制目标的系统性处理.工业过程控制通常存在多个相互冲突的性能指标,本质上是一种多目标优化控制问题[18–19].加权函数法因其使用方便,通常被用来近似求解多目标优化控制问题,但确定适当的加权系数通常很困难,一般需要经过大量的离线实验才能得到,特别是复杂系统或非凸的多目标控制问题[20–21].为此,近年来相关学者提出了一些新的多目标优化MPC方法,如对控制目标进行优先级排序的优先级多目标MPC[22–24]、基于拐点的进化多目标优化MPC[25–26]以及基于多目标理想点逼近的多目标MPC[27–28]等.理想点逼近多目标M-PC策略通过帕累托前沿实现理想点目标跟踪,无需复杂的参数选择就能自动处理各个性能指标的冲突性,并获得令人满意的多目标控制结果,在工业过程多目标控制研究中得到了广泛关注.仿射输入非线性系统是工业过程控制中常用的一类非线性模型,广泛用于描述加热过程[29]、聚合反应过程[15–17]等工业过程的动态特性.本文考虑具有状态和控制约束的仿射输入非线性系统,提出一种具有稳定性和安全性保证的非线性系统多目标安全模型预测控制(multi-objective safe predictive control,MO-SMPC)策略.首先,采用理想点跟踪方法协调多个控制目标的冲突性.再利用约束CLBF的特性设计系统参数化局部控制律,保证闭环系统状态避开不安全区域.同时,构造非线性系统的参数化双模MPC控制器,在优化多目标性能的同时减少在线求解优化问题的计算量,从而可增加预测时域扩大闭环系统的初始可行域.进一步,应用双模控制原理和CLBF约束,建立MOSMPC策略的递推可行性和闭环系统的渐近稳定性,并且保证系统状态在初始可行域能始终避开不安全区域.最后,通过加热系统的多目标控制仿真实验验证本文结论的有效性和优越性.符号说明:I 0表示非负整数的集合;I a:b表示集合{i∈I 0:a i b},其中a∈I 0和b∈I 0;u(t0:t1)表示t∈[t0,t1]的一个连续时间信号u(t);给定初始状态x0,对于输入信号u(0:t),t时刻系统的解x(t)由x(t)=ϕ(t;x0,u(0:t))表示;符号|·|表示向量的2范数;上标T表示向量或矩阵的转置;“\”表示集合差,即A\B={x∈R n|x∈A,x/∈B};∅表示空集;∂D 表示集D⊂R n的边界;L f V是标量函数V(·)沿向量函数f(·)的李导数.2问题描述和预备考虑连续时间仿射输入非线性系统为{˙x(t)=f(x(t))+g(x(t))u(t),t 0,x(0)=x0.(1)其中:x(t)∈X和u(t)∈U是t时刻系统的状态变量和控制变量;x0是初始状态;X⊆R n和U⊆R m分别是状态和控制的约束集;f(x)和g(x)是自变量x的连续函数.不失一般性,令原点为该系统的平衡点,并假设系统状态是可测的.为简化书写,令F(x,u)= f(x)+g(x)u.考虑系统状态和控制约束为(x(t),u(t))∈Z,∀t 0,(2)其中Z⊆X×U是包含原点为内点的紧凸集.考虑性能函数向量L(x,u)=[L1(x,u)···L l(x, u)],其中L j:Z→R,j∈I1:l(l 2),并假设L j(x,u)关于x和u连续有界.则定义系统(1)的多目标稳态优化问题为min(x,u)∈Z{L(x,u):F(x,u)=0},(3)由于各性能函数L j(x,u)相互冲突,无法同时取得各个性能指标的最优性,通常采用帕累托(Pareto)最优性定义问题(3)的最优解,即给定优化问题(3)的可行解(x ps,u ps),如果不存在其他可行解,使得如下不等式成立:L j(x,u) L j(x ps,u ps),j∈I1:l,(4)且不等式组中至少有一个j∈I1:l,使得L j(x,u)<L j(x ps,u ps).考虑系统(1)在采样时间t k的状态x k,即x(t k)= x k,则定义有限预测时域0<T<∞上的目标函数为J j(x k,u(t k:t k+T))=第2期何德峰等:约束非线性系统理想点多目标安全预测控制357∫tk+Tt kL j(x(s),u(s))d s,(5)其中s为预测时间.注意单目标MPC通过最小化单个目标函数J j(x,u)优化镇定系统(1),而多目标MPC除闭环系统的稳定性外,应同时优化多个相互冲突的目标函数,因此,定义系统(1)的多目标有限时域最优控制问题为minu(t k:t k+T)J(x k,u(t k:t k+T))s.t.˙x(s)=F(x(s),u(s)),∀s∈[t k,t k+T], (x(s),u(s))∈X×U,∀s∈[t k,t k+T],x(t k)=x k,(6)其中:u(t k:t k+T)是在采样时间t k预测的未来时段[t k:t k+T]的控制输入;J(x,u)是需要最小化的l个目标函数向量,即J(x,u)=[J1(x,u)J2(x,u)···J l(x,u)],(7)如果多目标最优控制问题(6)存在可行解,则设u∗(t k:t k+T)是问题(6)的一个帕累托最优解.根据滚动时域优化控制原理,多目标MPC控制律定义为u(t)=u∗(t k:t k+1),∀t∈[t k,t k+1),k∈I 0,(8)即u∗(t k:t k+T)作用于系统(1)直到下一个采样时刻t k+1=t k+δ,其中采样周期δ>0.在下一采样时刻t k+1,用更新的状态x k+1重复整个过程.多目标MPC控制律(8)作用下的闭环系统的稳定性无法由优化问题(6)中目标函数的最优性保证.进一步,闭环状态演化过程中存在不安全域,如温度、压力、浓度过高等运行区域,但优化问题(6)无约束条件使闭环状态避开系统不安全域.令开集X d表示系统(1)运行区间的不安全区域,本文目标是寻找一个最优反馈控制u(x)∈U,使闭环系统状态轨迹x(t;x0, u)∈X但始终避开X d,即x(t;x0,u)/∈X d,∀t 0, x0∈X,从而确保系统是最优且安全运行的.对此,本文将引入CLBF概念设计安全约束,采用MPC方法保证闭环系统能安全避开不安全域,并渐近稳定于平衡点.考虑系统(1)的一个连续可微函数W c(x),定义集X e=x∈X\(X d∪0)|W c(x)/∂x=0,X c=x∈X|W c(x) 0和X uc={x∈X|˙W c(x)=L f W c(x)+L g W c(x)u(x)< 0,u(x)∈U}∪0∪X e,其中L f W c(x)和L g W c(x)分别为W c(x)对函数f(x)和g(x)的李导数.定义1[15]考虑系统(1)及不安全域X d⊂X uc,如果函数W c(x)有下界,在原点有最小值,并满足如下:1)W c(x)>0,∀x∈X d;2)|∂W c(x)∂x| r(|x|);3)X c=∅;4)X uc\(X d∪X c)∩¯X d=∅;5)L f W c(x)<0,∀x∈{s∈X uc\(X d∪0∪X e)| L g W c(s)=0},其中r是K类函数,则W c(x)是该系统的一个控制李雅普诺夫障碍函数CLBF.注1在实际中,CLBF可以由控制李雅普诺夫函数和控制障碍函数复合而成.令V(x)和B(x)分别是系统(1)的控制李雅普诺夫函数[30]和控制障碍函数[15],则该系统的一个CLBF为W c(x)=V(x)+λB(x)+ν,其中λ和ν可由V(x)和B(x)的上下界给定,详见文献[15].3多目标安全MPC设计3.1理想点计算考虑优化问题(3)的第j∈I1:l个性能函数L j(x,u),求解对应稳态优化问题为L∗s,j:=min(x,u)∈Z{L j(x,u):F(x,u)=0},(9)得最优解(x∗s,j,u∗s,j),其中最优值L∗s,j=L j(x∗s,j,u∗s,j).由于各性能函数L j(x,u)相互冲突,故各L j(x,u)对应的最优解(x∗s,j,u∗s,j)不同.为此,应用L∗s,j定义目标函数向量J(x,u)的理想点为J∗s=T[L∗s,1L∗s,2···L∗s,l]T,(10)显然,理想点J∗s是目标函数向量J(x,u)的不可达点,但给出了各个目标函数J j(x,u)的理想期望性能.因此,求解与该理想点J∗s最接近性能函数值对应的稳态解(x cs,u cs)为(x cs,u cs)=arg min(x,u)∈Z{∥T L(x,u)−J∗s∥p:F(x,u)=0},(11)其中∥·∥p是向量p范数.稳态解(x cs,u cs)又称为多目标优化问题(6)的折衷稳态点.因此,本文多目标MPC控制器的设计遵循使J(x,u)逐渐逼近J∗s并使闭环系统稳定于x cs的原则实现各个目标函数的最优化.3.2基于CLBF的控制器设计为应用CLBF概念设计MPC控制器,首先将系统(1)的折衷稳态点(x c s,u c s)平移至原点.令坐标转换z=x−x cs和v=u−u cs,则系统(1)可变换为˙z=f(z(t)+x s)+g(z(t)+x s)(v(t)+u s):=¯F(z,v),(12)令Z d=X d−x c s及W c(z)为系统(12)的一个CLBF,则有以下结论.引理1考虑系统(12)及其不安全域Z d,并给定358控制理论与应用第41卷实数D 1>0和D 2>0,则存在非空集S T 及其反馈控制律v (z )=h (z,µ)=−p (z,µ)β(z )T ,(13)其中参数µ=(µ1,µ2)∈D =[0,D 1]×(0,D 2],增益为p (x,µ)=α(z )+µ1√α(z )2+µ2|β(z )|4|β(z )|2,β(z )=0,0,β(z )=0,(14)其中α(z )=L f W c (z )和β(z )=L g W c (z ),使其闭环系统满足约束(2),并在不变集S T 中渐近稳定,同时使闭环状态避开不安全域Z d .证令S T ⊂X 为W c (z )的最大水平集,则由CL-BF 定义可知,集S T 非空.当z ∈S T \Z d ,由CLBF 定义可得W c (z ) 0.对W c (z )沿闭环系统状态轨迹求导得˙Wc (z )=α(z )+β(z )h (z,µ)=−µ1√|α(z )|2+µ2|β(z )|4,(15)当β(z )=0时,由CLBF 定义可得˙W c (x )=α(z )<0;当β(z )=0时,˙Wc (x )=−µ1√|α(z )|2+µ2|β(z )|4,即W c (z (t ))<W c (z (0))<0,∀t 0,z (t )/∈Z d .则应用定理1[15]的证明思路可得,闭环系统状态轨迹z 在控制律h (z,µ)作用下保持在域S T \Z d 内,且在不变集S T 内渐近稳定.注2不变集S T 的大小与参数µ取值相关.文献[31]给出了一种不变集S T 的选取方法,如下:先定义集Z h ={z ∈R n |∃µ∈D s .t .h (z,µ)+u c s ∈U }和S T (r )={z ∈R n|W c (z ) r },再将r 从0逐渐增加,直到集(X −x c s )∩Z h无法包含S (r ),从而得到与r max 相关的最大不变集S Tmax ,令S Tmax ={z ∈R n |W (z ) r max }⊆X ,则每时刻都至少存在一个µf ∈D ,使具有控制器(13)的闭环系统(12)满足约束(2),并且闭环状态轨迹在避开不安全域Z d 的前提下渐近收敛到原点.由引理1和注2可知,闭环系统(12)–(13)存在一个不变集S max ,使得闭环系统渐近稳定到平衡点,并且满足对状态量和控制量的约束.为简化书写,令S T (x c s )={x ∈X :x =z +x cs ,∀z ∈S max },其中至少存在一个可行的µf ∈D ,使相应的控制器u (x )=h (x −x c s ,µf )+u cs 满足系统状态和控制约束(2).为设计约束系统(1)–(2)的多目标安全MPC,定义参数化双模控制律如下[30]:u DM (x )={h (x −x c s ,µf )+u cs +c,x /∈S T (x c s ),h (x −x c s ,µ)+u cs ,x ∈S T (x c s ),(16)其中:c ∈R 是求解多目标最优控制问题的修正项;µ是控制器参数向量.在k ∈I 0的每个采样时间t k ,如果状态x (t k )/∈S T (x c s ),则通过在线求解优化问题J (x,u )得到c (t k );如果x (t k )∈S T (x c s ),则在线求得µ(t k ).由此将得到系统(1)满足约束(2)的稳定多目标安全MPC.注3传统双模控制方法[32–35]仅通过在线计算修正项求解最优控制问题,而在终端域S T (x c s )中定义的终端控制律通常是通过系统(1)的线性化模型离线确定的.在本文策略中,当闭环系统状态进入终端域时,通过CLBF 得到一个带可变参数的状态反馈控制律,整体在线更新.这种修改一方面将终端域内外的计算统一到一个代价函数,有利于解决需要在线调整成本函数的控制要求.另一方面,通过引入可变参数,最大程度上弱化控制器和终端域的耦合性,通过在终端控制律(16)中选择一些可行参数µf ,可以离线计算S T (x c s ),降低多目标MPC 在线优化时的计算量.3.3双模多目标安全MPC 算法考虑约束系统(1)–(2),稳态折衷点(11)和双模控制器(16),定义折衷性能指标函数为ˆJ(x (t k ),u (t k :t k +T ))=∥J (x (t k ),u (t k :t k +T ))−J ∗s ∥p ,(17)则定义系统(1)的多目标安全有限时域最优控制问题分别为minc (t k t k +T )ˆJ(x (t k ),u (t k :t k +T ))s.t.˙x (s )=F (x (s ),u (s )),(x (s ),u (s ))∈Z ,u (s )=h (x (s )−x c s ,µf )+u cs +c (s ),x (t k +T )∈S T (x c s ),x (t k )=x k ,∀s ∈[t k ,t k +T ](18)和min µ(t k )∈DˆJ(x k (t k ),u (t k :t k +T ))s.t.˙x (s )=F (x (s ),u (s )),(x (s ),u (s ))∈Z ,u (s )=h (x (s )−x c s ,µ(t k ))+u c s ,x (t k )=x k ,∀s ∈[t k ,t k +T ],(19)其中:目标函数向量J (x,u )和其稳态理想点J ∗s分别由式(7)–(10)给定;c (t k :t k +T )为采样时刻t k 的预测范围[t k t k +T ]内的预测修正.由此本文提出的考虑安全性的双模多目标安全MPC 算法归纳如下:步骤1设定采样周期δ>0、预测时域T =T 0>δ、多个性能指标函数L j 和参数域D ;步骤2离线计算理想点J ∗s ,折衷解(x c s ,u c s )和带参数µf ∈D 的终端不变集S T (x c s );设k =0和t k =0;步骤3在采样时刻t k ,测量当前状态x k ,令x (t k )=x k ;第2期何德峰等:约束非线性系统理想点多目标安全预测控制359步骤4如果状态x (t k )/∈S T (x c s ),在线解决优化问题(18)得到修正项c ∗(t k ),转入步骤5;否则,求解优化问题(19)得µ∗(t k ),转入步骤6,令T =T 0;步骤5将u DM(t )=h (x (t )−x c s ,µf )+u c s +c ∗(t k:t k +1)应用到系统(1),直到下一个采样时刻;令k =k +1和T =T −δ;返回步骤3;步骤6将u DM(t )=h (x (t )−x c s ,µ∗(t k ))+u cs 应用于系统(1),直到下一个采样时刻;令k =k +1并返回步骤3.定义2考虑约束系统(1)–(2),若系统的某一初始状态x (t 0)/∈S T (x c s ),且在此初始时刻优化问(18)存在可行解满足其约束条件,则称x (t 0)为闭环系统的初始可行状态,所有满足条件的初始可行状态值构成的集合称为初始可行域,记为X f0.定理1考虑约束系统(1)及其多目标安全有限时域最优控制问题(18)–(19),则在充分长的预测时域T 内该优化问题是递推可行的.证由注2–3可知,当状态x (t k )∈S T (x c s )时,至少存在一个可行的参数向量µf 满足约束(19);当状态x (t k )/∈S T (x c s )时,由双模控制策略可知,闭环状态可以在一个有限时域T 内被驱动到终端域S T (x c s )内,一旦状态进入S T (x c s ),则回到上一种情况.因此可得算法1中的最优控制问题在容许状态集X f0中是递推可行的.证毕.定理2考虑约束系统(1)-(2)及其控制李雅普诺夫避障函数W c (x )和不安全区域X d ,则对任意初始状态x 0∈X f0,算法1作用下的闭环系统稳定到稳态x c s ,且始终不会进入不安全区域X d .证已知对于初始状态x (t 0)/∈S T (x c s ),在双模控制器作用下,闭环系统状态可在有限时域T 内进入终端域S T (x c s ),记为x T ∈S T (x cs ).假设x T ∈S T (x c s )X d,则由CLBF 定义可得˙W c (x (t ))<0,∀x (t )∈S T (x c s)\(X d ∪{0}),(20)即W c (x (t ))<W c (x (0))<∞,∀t 0.根据控制李雅普诺夫避障函数W c (x )的特性可知,闭环系统的状态轨迹是有界的.这意味着由x 的极限点构成的集合Ω(x )是非空的连通紧集,且lim t →∞d (x (t ),Ω(x ))=0,其中d 为状态和集的距离[36].由注1或文献[15]可知,函数W c (x )=V (x )+λB (x )+ν的控制李雅普诺夫函数V (x )为正定函数,参数和存在下界,则W c (x )存在下界.又不等式(20)意味着W c (x )是单调递减函数,故W c (x )必收敛.考虑对于由x 的极限点构成的集合t n →∞时x (t n )→ξ.由W c (x )的连续性可知,lim t n →∞W c (x (t n ))=W c (ξ),因此,可得Ω(x )={ξ∈X |W c (ξ)=lim n →∞W c (x (t n ))}⊂S T (x c s ),则W c (x )收敛于集Ω(x ),且沿着此时状态轨迹有u =0.当u (t )=0,t 0时,可得d (x (0),Ω(x ))=0,则d (x (t ),Ω(x ))=0,t 0.因此在集Ω(x )中,W c (x )=W c (0)=0,得到Ω(x )={0},即lim t →∞|x (t )|=0.注4尽管优化问题(18)–(19)计算得到的参数c ∗和μ∗是开环解,但由于参数化双模控制律(16)结构特点,算法1得到的多目标MPC 控制器是闭环控制律.进一步,在算法1的预测时间窗口[t k ,t k +T ]内的参数µ的值是不变的,从而,通过参数化压缩了优化问题的决策变量维数,因此,这将有助于减轻算法1的在线优化计算量.注5由于算法1的双模形式,MPC 的控制律关于x 通常是不连续的.然而,对于任何初始条件x 0∈X f0,状态x 都可以被驱动到x ∈S T (x c s ).一旦x 进入S T (x cs ),则可以通过基于CLBF 的解析控制律(16)实现连续条件下的渐近稳定控制.4实例仿真考虑一个多输入多输出非线性加热系统,如图1所示.图中加热系统由一个外部加热装置和一个内部可拆卸传热容器组成,内部容器中可放置需要加热的对象.加热过程目标是通过调节外部加热装置的温度T h 和内部容器的温度T n ,从而对容器中的对象进行加热.这是由加热装置的两个加热器共同控制的,可用的控制输入分别是加热器提供的两个电源W h1和W h2.此外,内部管道通过水温对内部容器进行温度调节实现热量交换,而外部温度通过引起环境的辐射冷却来干扰加热系统.该系统可以表征中药等加热过程,将需要处理的中药放置在内部容器中进行加热处理.图1加热系统示意图Fig.1Schematic representation of the heating system考虑图1所示加热系统,应用传热学和能量守恒原理,加热系统的动力学表示如下[29]: m n c n ˙T n (t )=W n0+A 1h 1(T h (t )−T n (t )),m h c h ˙Th (t )=W h1(t )+W h2(t )−A 1h 1(T h (t )−T n (t ))+A 2h 2(T 4ext(t )−T 4h (t )),(21)其中:T h 是内部可拆卸容器温度;T n 是加热对象温度;T ext 是加热系统的外部温度;m n 是内部容器质量;m h 为加热装置质量;c n 为内部容器比热;c h 为加热装置比热;h 1为内部容器对流系数;h 2为加热装置对流360控制理论与应用第41卷系数;A 1为内部容器面积;A 2为加热装置面积;W n0为每个采样间隔内部管道带来的热量;W h1和W h2为加热器电源功率.该加热系统模型参数值:T ext =283K;m n =3.0kg;m h =20.0kg;c n =300J /kg ·K;c h =4000/kg ·K;h 1=200kg /K ·s 3;h 2=9.203×10−7kg /K ·s 3;A 1=0.3m 2;A 2=0.8m 2;W n0=250W .分别选择内部容器温度T n 和外部加热装置温度T h 为该加热系统的状态变量x 1和x 2,选择加热器W h1和W h2分别为控制输入u 1和u 2,即系统的状态和控制输入x =[T n T h ]T 和u =[W h1W h2]T ,且满足以下约束:200K T n 400K ,0W Wh112000W ,200K T h 400K ,0W W h240400W .(22)对加热系统而言,通常希望在使用过程中降低系统能耗,即最小化性能函数L 1(x,u )=W h1+W h2,(23)同时希望温度变化率尽可能大,使系统在保证安全的前提下尽快达到指定温度,即最小化性能函数L 2(x,u )=−(˙T 2n +˙T 2h ),(24)并且跟踪设定温度373K,即最小化性能函数L 3(x,u )=|T h −373|+|T n −373|,(25)因此,在设计加热系统控制器时应同时满足上述3个性能要求.定义性能函数向量L (x,u )=[L 1(x,u )L 2(x,u )L 3(x,u )]T .根据稳态优化问题(9),L (x,u )的理想稳态点计算为L ∗s =[004.167]T,分别对应稳态解O 1(x ∗s ,u ∗s )=(300.485,296.18,0,0),O 2(x ∗s ,u ∗s )=(300.531,296.364,2.101,1.451)和O 3(x ∗s ,u ∗s )=(373.742,69.576,713.323,7345.673),上述3组稳态最优解不一致,表明L 1(x,u ),L 2(x,u ),L 3(x,u )之间具有冲突性,即加热系统控制是一个多目标冲突的优化控制问题.由式(11)计算2范数下的折衷稳态解O (x c s ,u cs )=(300.534,296.368,1.898,1.898),则加热系统的控制目标是同时最小化性能函数(23)–(25),使系统在满足约束的前提下安全渐近稳定到折衷稳态点.本文算法通过平衡点O (x c s ,u cs )定义移位状态向量z =x −x c s 和控制变量v =u −u cs .为此,选择移位系统的CLF 为定义控制李雅普诺夫函数V (z )=z T P z ,其中P =[29.744.844.8195.8].不安全域Z d 定义为终端区域内的一个开集,状态域Z d 中外部加热装置和内部容器的温差较大,包含在实际加热过程中会产生安全威胁的不安全状态,其范围表示为Z d :={z ∈R 2|F (z )=(z 1+4.2)2+(z 2−1)2/10<0.06}.又定义H :={z ∈R 2|F (z )<0.07},可由文献[15]设计控制避障函数为B (z )=F (z )e F (z )−0.07−e −6,z ∈H ,−e −6,z /∈H ,(26)其中,对于所有状态z ∈H ,B (z )>0.按照注1构造控制李雅普诺夫避障函数W c (x )=V (x )+λB (x )+ν,其中参数c 1=15,c 2=210,c 3=max z ∈∂H|z |2=29.99,c 4=min z ∈∂Z d|z |2=10.62,λ=2.1×106,ν=−c 1c 4=−159.3.终端域S T (x c s )={z ∈R 2:W c (z ) −4764.68},通过离线试错得参数向量µ的范围为[0.0110]×[0.0110].在仿真中,取采样周期为2s,预测步长为10,仿真总步长为500.采用MATLAB2021A 软件中的fminc-on 函数优化计算最优控制问题.选取系统初始状态点A (−5.51.9),B (−61.7)和C (−51.4).图2给出了闭环系统从3个不同初始状态点到稳态点的状态移动轨迹,图中结果显示,所有闭环状态能避开不安全区域,并能最终收敛到稳态点.加热系统从初始状态A 开始,比较本文方法DM-MOSMPC 和基于CLF 的MOMPC [28]控制下的状态轨迹,结果如图3所示,其中,实线表示基于CLBF 的安全MOMPC 控制下的状态轨迹,虚线表示基于CLF 的MOMPC 控制下的状态轨迹.结果显示,本文基于CLBF 的双模安全多目标MPC 将闭环系统的状态保持在稳定安全区域内并驱动到稳态点,而基于CLF 的MOMPC 无法对状态空间中的不安全域进行躲避.因此,DM-MOSMPC 在状态约束下优于基于CLF 的MOMPC,同时,保证系统的安全性和闭环稳定性.图2闭环系统不同初始点的状态轨迹Fig.2The closed-loop state trajectories of different initialpoints为比较本文DM-MOSMPC 和CLBF-MOMPC 方第2期何德峰等:约束非线性系统理想点多目标安全预测控制361法,选择系统从初始状态B 开始,系统状态轨迹如图4所示,其中:实线表示本文控制方法,虚线表示CL-BF-MOMPC 方法[16].系统的状态曲线如图5所示,结果表明本文方法更快更准确地趋近稳态点.3个性能函数的优化过程如图6所示,其中,点实线是稳态性能,实线表示DM-MOSMPC 方法,虚线表示CLBF-MO-MPC 方法.曲线表明,多个冲突经济目标通过控制器的优化迅速下降,直到稳定在稳态性能附近.另外,在计算量方面也可以看到本文方法的优势.图7显示本文方法DM-MOSMPC(蓝色柱状图)和CL-BF-MOMPC 方法(红色柱状图)在不同预测时域进行一次在线优化时的计算CPU 时间的比较.结果显示,本文方法在线优化所用的计算CPU 时间在各个不同的预测时域比所选取的对比方法时间短.图3DM-MOSMPC 和DM-MOMPC 方法的闭环系统状态轨迹Fig.3The closed-loop state trajectories under DM-MOSMPCandDM-MOMPC图4DM-MOSMPC 和CLBF-MOMPC 方法的闭环系统状态轨迹Fig.4The closed-loop state trajectories under DM-MOSMPCandCLBF-MOMPC图5DM-MOSMPC 和CLBF-MOMPC 方法的状态曲线Fig.5The state profiles under DM-MOSMPCandCLBF-MOMPC图6DM-MOSMPC 和CLBF-MOMPC 方法的性能函数曲线Fig.6The Performance function profiles underDM-MOSMPC and CLBF-MOMPC362控制理论与应用第41卷图7DM-MOSMPC和CLBF-MOMPC方法的在线优化计算的CPU时间Fig.7The average computational CPU time for online optimi-zation of DM-MOSMPC and CLBF-MOMPC为比较不同的多目标处理方法,表1给出理想点和加权两种方法对应的系统状态量的稳态误差.在加权方法中,3个目标函数(23)–(25)被转化为一个加权和形式的单目标函数L w(x,u)=w1L1(x,u)+w2L2(x,u)+w3L3(x,u),(27)其中标量w i>0为权重因子,i=1,2,3.在加权法中分别采用3种权重,对应的(w1,w2,w3)分别为a(100,0.1,0.1),权重b(10,50,0.1)和权重c(0.1,10, 100).表1理想点和加权方法的稳态误差Table1Steady-state error of the Utopia point andweighting methods控制策略E1=x1−x c s1E2=x2−x c s2本文方法0.05470.221加权法(a)0.06420.376加权法(b)0.06460.353加权法(c)0.07360.795可以看出,本文方法得到的稳态误差相对较小,在加权方法中对不同权值的选择会得到不同的误差.这意味着在实际中适当的权值是难以选择的,缺乏系统性的权重调整规则,并且会增加控制器实现的复杂性.需要指出的是,此仿真对比并不是为了说明加权方法在控制性能上不如理想点方法,而是为了说明前者过分依赖手工调优和设计者的经验,而本文方法则提供一种更为系统的方法来处理多目标控制问题.通过上述仿真结果和讨论,可以得到对于系统(21),双模MOSMPC算法能够更有效实现加热控制目标.5总结本文考虑连续时间仿射输入非线性系统,提出一种多目标安全模型预测控制(MOSMPC)策略.该策略首先利用理想点逼近方法解决多控制目标冲突问题.其次,引入满足约束的CLBF设计参数化局部控制律,并由约束保证闭环系统的安全性.进一步,应用双模控制原理和CLBF约束,建立MOSMPC策略的递推可行性和闭环系统的渐近稳定性,并且策略保证系统状态在初始可行域能始终避开不安全区域.最后,通过对一加热系统的多目标控制仿真对比实验,验证了本文策略的有效性和优越性.在此基础上,未来的工作方向包括对多目标安全非线性模型预测控制(nonli-near model predictive control,NMPC)的鲁棒性和多目标优化算法的研究.参考文献:[1]WANG rge property damage losses in the hydrocarbon-chemical industries.Petroleum Planning&Engineering,1993,4(3): 59–60.[2]JIANG Chunming,LI Qi.The development and application of pro-cess safety management and technology.China Petroleum and Chem-ical Standard and Quality,2007,27(5):45–49.(姜春明,李奇.过程安全管理与技术的发展与应用.中国石油和化工标准与质量,2007,27(5):45–49.)[3]KLATT K,MARQUARDT W.Perspectives 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