2024年高考数学“九省联考”全真模拟试卷1(新高考、新结构)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 CBADDBCD二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9 10 11 BCDBCDAD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.8 13.14514.4三、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤. 15.(13分)解:(1)样本中10个这种零件的横截面积的平均值0.520.05210x ==,(2分) 样本中10个这种零件的耗材量的平均值 3.90.3910y ==,(4分) 由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为20.052mm , 平均一个零件的耗材量为30.39mm .(5分)(2)1014101022221110 1.49136101010i ii i i i i x y x yr x x y y =-==-=⨯⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑1.150.94. 1.229136114=≈≈, 这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数为0.94.(9分) (3)设这种零件的总耗材量的估计值为3mm t , 又已知这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比, 0.0521820.39t∴=,解得31365mm t =, 故这种零件的总耗材量的估计值为31365mm .(13分) 16.(15分)解:(1)如图,连接BD 与AC 相交于点O ,连接OE . ∵//BC AD ,2AD BC =, ∴2OD OB =,又∵2DE PE =. ∴//OE BP ,(2分)∵//OE BP ,OE ⊂平面ACE ,BP ⊄平面ACE . ∴//BP 平面ACE ;(5分)(2)在PAD 中,22222222102cos 2222AP AD DP PAD AP AD+-+-∠==⋅⨯⨯可得3π4PAD ∠=,由AB AD ⊥,平面PAD ⊥底面ABCD ,过点A 作底面ABCD 的垂线l ,垂线在平面PAD 内, 以A 为坐标原点,AB ,AD ,直线l 分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,(7分) 有()0,0,0A ,()0,2,0D .又由2AP =3π4PAD ∠=,可得点P 的坐标为()0,1,1-, 又由()1110,3,10,1,333PE PD ⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭,有()120,1,10,1,0,0,33AE AP PE ⎛⎫⎛⎫=+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设()0AB a a =>,可得点B 的坐标为(),0,0a ,点C 的坐标为(),1,0a ,(9分) 设平面PAC 的法向量为(),,m x y z =.由(),1,0AC a =,()0,1,1AP =-,有00AC m ax y AP m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,取=1x -,则y a =,z a =,可得平面PAC 的一个法向量为()1,,m a a =-,(10分) 设平面EAC 的法向量为(),,n p q r =,由(),1,0AC a =,20,0,3AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭,有023AC n ap q AE n r ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩,取1p =,则q a =-,0r =,可得平面ACE 的一个法向量为()1,,0n a =-.(12分) 由21m n a ⋅=--,221m a =+21n a =+有()()2221cos 121a m n aa +⋅=++又由平面PAC 与平面EAC 15,()()222115121a aa +++,化简为225563a a +=+,解得2a =2a =. 由上知2AB (15分) 17.(15分)解:(1)证明:当e a =时,()e eln e =--x f x x ,()x e f x e x '=-,(1分)()01f '=,(1)0f =,又易知()f x '在()0,+∞上为增函数,(2分)所以当01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减; 当1x >时,()0f x '>,()f x 单调递增,(4分) 从而()()10f x f ≥=.(5分)(2)由题意知,函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()2e ln eln ln ln x xxa a f x a a x a x a-='=-, 设()2ln e x g x xa a =-,1a >,显然函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,()g x 与()f x '同号,(7分)①当e a >时,()0e 0g =-<,()21ln e 0g a a =->,所以函数()g x 在()0,1内有一个零点0x ,且()00,x x ∈,()0g x <,()0,x x ∈+∞,()0g x >, 故()f x 在()00,x 单调递减,在()0,x +∞单调递增; 所以函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个极值点;(9分)②当e a =时,由(1)知,函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个极值点;(10分)③当1e a <<时,21ln 1a >,21ln 21e ln a g a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为2ln 21ln 1ln ln ln 1aa aa a==>,所以21ln e a a >,2)1(0ln g a >, 又()21ln e 0g a a =-<,所以函数()g x 在2l 1(,n 1)a内有一个零点1x , 且()10,x x ∈,()0g x <,()1,x x ∈+∞,()0g x >, 故()f x 在()10,x 单调递减,在()1,x +∞单调递增; 所以函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个极值点;(14分) 综上所述,函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个极值点.(15分) 18.(17分)解:(1)先求椭圆上任意一点到左焦点的距离的最小值:设(),W u v ()a u a -≤≤是椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点,()1,0F c -是左焦点,则2222222222221,1u v u b v b b u a b a a ⎛⎫+==-=- ⎪⎝⎭, 所以()2222222122b WF u c v u cu c b u a=+++++-22222222122b c u cu a u cu a a a ⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭二次函数22222cy u cu a a=++的开口向上,对称轴22222c a x a c ca =-=-<-, 所以二次函数在[],a a -上单调递增,所以1WF ()()()222222c a c a a a c a c a -+⨯-+-=-.(3分)由题意可得124a c c -=⋅,∴23a c =,椭圆的离心率为23c e a ==.(5分) (2)①由(1)可知2294a c =,2254b c =,∴3,02A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设椭圆方程为222244195x y c c +=,(6分)法一:由题意可知直线PQ 的斜率显然不为0,设直线PQ 方程为:x my c =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,联立222203645x y c x my c ⎧+=⎨=+⎩, 消去x 整理得()222203640250m y mcy c ++-=,由题意知0∆>恒成立,则1221059mc y y m -+=+,2122252036c y y m -=+, 则()2222121212115515142224APQm SAF y y c y y y y c +=⋅-=⋅+-,(9分) 令21t m +则1t ≥,∴22275751445445APQ t S c c t t t =⋅=⋅++△, 因为45y t t=+在[)1,+∞上单调递增, 当1t =时,APQS有最大值,()2max751254543APQ Sc =⋅=+, ∴24c =,∴2c =,3a =,5b =椭圆方程为:22195x y +=.(11分)法二:当直线PQ 的斜率存在时,由题知,0k ≠, 此时,设PQ :()y k x c =-,联立()222203645x y c y k x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,得()22222220367236450k x k cx k c c +-+-=, 设()11,P x y ,()22,Q x y ,由题意知0∆>恒成立,2122722036k c x x k +=+,22212236452036k c c x x k -⋅=+, ()2212121212115542224APQSAF y y c kx kx c x x x x =⋅⋅-=⨯⋅-=⋅+-222222222572364575144203620364k c k c c k c c k k k ⎛⎫-+=⋅-⋅=⋅ ⎪++⎝⎭)22211750549k c k k +=≠+, 令2111t k =+,∴()2222275757514445445195APQc t c t c St t t t=⋅=⋅=⋅+-++,(9分)因为45y t t=+在()1,∞+上单调递增, ∴()4591t t t+>>, ∴222751751254449125APQ c c c S t t=⋅<⋅=+△,当直线PQ 的斜率不存在时,此时:PQ x c =,代入222244195x yc c+=中,得53cPQ =,∴22115525222312APQS AF PQ c c c =⋅⋅=⋅⋅=,∴APQ △面积的最大值为22525123c =,∴24c =,椭圆方程为22195x y +=.(11分)②法一:由(i )知()3,0A -,()22,0F , ∴113AP y k x =+, 223AQ y k x =+,∴直线AP 的方程为:()1133y y x x =⋅++,直线AQ 的方程为:()2233yy x x =⋅++, ∴()11153,443y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭,()22153,443y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭,∴()121155,443y F M x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭,()222155,443y F N x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭,由2c =,得1222059my y m -+=+,1222559y y m -=+,2x my =+,(14分) ∴()()12221225225161633y y F M F N x x ⋅=+⋅++ ()()121225225161655y y my my =+⋅++ ()1221212252251616525y y m y y m y y =+⋅+++ 1222225225252016165255959y y m m m m m =+⋅--⋅+⋅+++252251016169⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭,(16分) ∴22F M F N ⊥,∴以MN 为直径的圆恒过右焦点.(17分) 法二:由(i )知()3,0A -,()22,0F ,当直线PQ 的斜率不存在时,有52,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,52,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线1:13AP y x =+,令34x =,得35,44M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,同理35,44N ⎛⎫- ⎪⎝⎭,此时225555,,04444F M F N ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当直线PQ 的斜率存在时,()2y k x =-, ∴113AP y k x =+,223AQ y k x =+,∴直线AP 的方程为:()1133y y x x =⋅++,直线AQ 的方程为:()2233yy x x =⋅++, ∴()11153,443y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭,()22153,443y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭,∴()121155,443y F M x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭,()222155,443y F N x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭,由2c =,21223659k x x k+=+,2122364559k x x k -⋅=+,(14分) ∴()()()()()()21212221212222522525225161633161633k x x y y F M F N x x x x --⋅=+⋅=+⋅++++()()2222221212221212223645362424595925225252253645361616391616395959k k k k x x x x k k k k x x x x k k ⎡⎤--⋅+⎢⎥⎡⎤-++++⎣⎦⎣⎦=+⋅=+⋅-++++⋅+++ 222222222364572203625225252252501616364510845811616225k k k k k k k k k⎡⎤--++⎣⎦=+⋅=-⋅=-+++,(16分) ∴22F M F N ⊥,∴以MN 为直径的圆恒过右焦点.(17分)19.(17分)解:(1)由已知可得数列A 共有5项,所以5n =, 当1i =时,有15264a a +=-+=,当2i =时,有24224a a a +=+=,所以22a =, 当3i =时,有334a a +=,所以32a =.(4分) (2)数列A 具有性质0P ,且12,n a a a n <<<为奇数,令21n k =+,可得10k a +=, 设12212310k k k k k a a a a a a a ++++=<<<<<<<<,由于当(),01,i j a a i j n >≤≤时,存在正整数k ,使得j i k a a a -=, 所以324252212,,,k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++----这1k -项均为数列A 中的项,且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<-<-<-<-<,因此一定有3224235242122,,,,,k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++-=-=-=-=即3224324322122,,,,k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++-=-=-=-=,这说明:23421,,,,k k k k a a a a ++++为公差为2k a +的等差数列,再数列A 具有性质0P ,以及10k a +=可得,数列A 为等差数列;(10分)(3)当()42N n k k *=+∈时,设A :1a ,2a ,3a ,4a ,212,k k a a -,212223244142,,,,,,k k k k k k a a a a a a ++++++由于数列具有性质c P ,且满足212k k a a m -+=, 由212k k a a m -+=和212k k c a a -=+,得c m =±,当c m =时,不妨设12a m a +=,此时:21a a m =-,411k a a +=,此时结论成立, 当c m =-时,同理可证,所以结论成立.当()4N n k k *=∈时,不妨设0,1c m ==,反例如下:2,21,22,23,,1,1,2,,23,22,21,2,k k k k k k k k ---+---+--+当()43N n k k *=+∈时,不妨设0,1c m ==,反例如下:()()()()()()()()12111,1,,1,0,1,2,11,1,11k kk k kk k k k k +---⋅+-⋅---⋅--⋅-⋅+综上所述,()42N n k k *=+∈符合题意. (17分)。