双曲线焦点三角形性质练习题

双曲线中的焦点三角形江苏省盱眙中学 赵福余1.设双曲线19422=-y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，若︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积为 .设双曲线为()0,012222>>=-b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上， 性质1 ：若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为 .性质2：通过以上求解过程，若θ=∠21PF F ，则=21PF PF ；21PF PF 的最小值是 .（1）设双曲线14422=-y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的周长为 .（2）若1F 、2F 分别是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且6=AB ，则2ABF ∆的周长是 .2.双曲线焦点三角形21PF F ∆的内切圆与21F F 相切于点A ，则=21.AF AF . 性质3：切点A 的位置为 .3.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，O 是中心，则OP PF PF t 21+=的范围是 .性质4：21.PF PF 与OP 的等式关系为 .4.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线右支上一点若离心率2=e ，则=2tan2tanβα .性质5：=2tan2tanβα .（用离心率e 表示） 5.双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF ∆的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，若4=BA ，2=AP ，则离心率=e .性质6：=e .（用BA ，AP 表示）Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

双曲线知识点总结及经典练习题圆锥曲线（三）------双曲线知识点一：双曲线定义平面内与两个定点F i , F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F I F2| ）的点的轨迹称为双曲线•即：||MF1 | |MF2 || 2a,（2a | F1 F2 |）。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：『囲-f耳卜力兰區禺|，这可以借助于三角形中边的相关性质两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的绝对值”常数□满足约束条件：1纠卜戸场1“—1瓦码1^ - ■），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若|^|-|^| = 2^<|^|严>0 ），贝劇点轨迹仅表示双曲线中靠焦点Fi的一支；3•若常数a 满足约束条件：||珂T輕卜加=|垃也则动点轨迹是以F i、F2为端点的两条射线（包括端点）；若常数a满足约束条件：||〃1卜『码|| =加二・冈珂|，则动点轨迹不存在；5 •若常数a 0,贝劇点轨迹为线段F i F2的垂直平分线。

知识点二：双曲线的标准方程1•当焦点在工‘轴上时，双曲线的标准方程，其中/二F十沪.2•当焦点在，轴上时，双曲线的标准方程：—L -………V ，其中r a—沖+护注意：1 •只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；2•在双曲线的两种标准方程中，都有''-；3•双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当匕的系数为正时，焦点在工轴上，双曲线的焦点坐标为■；当厂的系数为正时，焦点在T轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线性质1、双曲线, 下（a> 0，b> 0）的简单几何性质一 f y(1)对称性：对于双曲线标准方程r 丁(a>0, b>0),把x换成一x,或把y换成一y,或把x、y同时换成一X、一y,方程都不变，所以双曲线一-- (a> 0, b> 0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

双曲线性质总结及经典例题双曲线知识点总结1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）例题分析定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y轴上时，23=b a ，313=e4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。

1已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22b y =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B. ()a m -21 C. 22a m -D.am -()1221m PF PF m∴+=，()1222a PF PF a∴-=±，()()()2212121244PF PF m a PF PF m a-⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PMPF 21+最小，则P 点的坐标为XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127922=-y x 中，令3y =，得2122 3.xx x =⇒=±∴0，取23x =所求P 点的坐标为23（，）.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求.【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ） A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。

双曲线知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线的轨迹叫作双曲线..这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距两焦点的距离叫作双曲线的焦距. . 注意：注意：1. 1. 双曲线的定义中，常数双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；的一支；3. 3. 若常数若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。

的垂直平分线。

知识点二：双曲线与的简单几何性质标准方程图形性质焦点， ，焦距范围，，对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 轴长 实轴长=，虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.2.等轴双曲线等轴双曲线等轴双曲线 : : :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。

其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.3.与双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）轴上）4.4.焦点三角形的面积焦点三角形的面积2cot221qb SF PF =D ，其中21PF F Ð=q 5.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.7.椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=|=±±2aa ＞c ＞0， a 22－c 22=b 22（b ＞0）0＜a ＜c ， c 22－a 22=b 22（b ＞0）， ，（a＞b＞0）（a＞0，b＞0，a不一定大于b）典型例题1、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）D．A．B．C．试题分析：由题意可知，因为渐近线方程为 所以渐近线的方程为 2、已知分别是双曲线的左右焦点，过做垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为钝角三角形，则双曲线的离心率的范围是A．B．C．D．试题分析：由题意为钝角三角形，则,所以,又，，所以，所以，所以．考点：双曲线离心率．3、已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：由已知得，又在双曲线中有，所以得到；故选A．4、若双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为_________. 试题分析：双曲线的两准线的距离为：，两焦点间的距离为：，根据题意可由：化简为：解得：，所以答案为：. 5、双曲线的离心率 ．试题分析：双曲线即为，其中6、如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．4B．C．D．试题分析：因为为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，，为双曲线上一点，则，，由，则，在中应用余弦定理得：，得，则7、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：的一条渐近线方程与抛物线只有一个公共点，把代入中，得，由，，则8、过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（）A．18B．C．D．试题分析：可化为；由双曲线的定义，得的周长为.9、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．试题分析：双曲线的顶点为，渐近线方程为，即；则顶点到其渐近线的距离为. 10、双曲线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：由题意知，又，∴，∴. 11、双曲线的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4试题分析：双曲线方程可变形为，所以. 12、双曲线：的渐近线方程是（）A．B．C．D．试题分析：由双曲线的渐近线方程的公式可知的渐近线方程是．13、斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率,故选D. 14、过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．试题分析：双曲线的焦点在y轴上，通过双曲线的图象与性质可知当直线与双曲线有两交点时直线的斜率k>1或k<-1，因此答案选B。

双曲线中的焦点三角形江苏省盱眙中学 赵福余1.设双曲线19422=−y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，若︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积为 .设双曲线为()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上， 性质1 ：若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为 .性质2：通过以上求解过程，若θ=∠21PF F ，则=21PF PF ；21PF PF 的最小值是 .（1）设双曲线14422=−y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的周长为 .（2）若1F 、2F 分别是双曲线191622=−y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且6=AB ，则2ABF ∆的周长是 .2.双曲线焦点三角形21PF F ∆的内切圆与21F F 相切于点A ，则=21.AF AF . 性质3：切点A 的位置为 .3.设双曲线()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，O 是中心，则OP PF PF t 21+=的范围是 .性质4：21.PF PF 与OP 的等式关系为 .4.设双曲线()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线右支上一点若离心率2=e ，则=2tan2tanβα .性质5：=2tan2tanβα .（用离心率e 表示） 5.双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF ∆的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，若4=BA ，2=AP ，则离心率=e . 性质6：=e .（用BA ，AP 表示）。

专题11双曲线及其性质【知识梳理】知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为{}12122(02)MMF MF a a F F -=<<．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当122a F F =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线．（3）122a F F >时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“122F F a >”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222a b c +=的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质A 222121sinsin21cos tanFr r bθθθ==⋅=-考点2：双曲线方程的充要条件考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4：双曲线上两点距离的最值问题考点5：双曲线上两线段的和差最值问题考点6：离心率的值及取值范围考点7：双曲线的简单几何性质问题考点8：利用第一定义求解轨迹考点9：双曲线的渐近线考点10：共焦点的椭圆与双曲线【典型例题】考点1：双曲线的定义与标准方程1．（2022·江西科技学院附属中学高二期中（理））已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝（）A．1B．2C ．4D ．122．（2022·黑龙江·铁人中学高二期中）双曲线222112x y a -=（0a >）的左、右两个焦点分别是1F 与2F ，焦距为8；M 是双曲线左支上的一点，且15MF =，则2MF 的值为（）A ．1B ．9C ．1或9D ．9或133．（2022·天津·耀华中学高二期中）与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=4．（2022·河北·高二期中）已知双曲线22221x y a b-=的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，1210F F =，点M 是双曲线左支上的一点，若OM =1243MF MF =，则双曲线的标准方程是（）A ．224121x y -=B ．221214x y -=C ．22124y x -=D ．22124x y -=5．（2022·北京工业大学附属中学高二期中）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（）A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=6．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点()13,0F -，()23,0F ，下列条件中满足动点P 的轨迹为双曲线的是（）A ．127PF PF -=±B ．126PF PF -=±C ．124PF PF -=±D ．22126PF PF -=±7．（2022·福建·南靖县第一中学高二期中）（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.（2）已知双曲线焦点在y 轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为20x y ±=，求双曲线的方程．8．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点分别为(0,6)-，(0,6)，且经过点(5,6)A -；(2)经过点，(4,--；考点2：双曲线方程的充要条件9．（多选题）（2022·全国·高二期中）已知曲线22:1C mx ny +=.则（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆B ．若m =n >0，则C 是圆C ．若mn <0，则C 是双曲线D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线10．（2022·河南·高二期中（文））已知k ∈R ，则“23k <<”是“方程22162x y k k -=--表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期中（理））“0mn <”是“方程221x y m n+=表示的曲线为双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题12．（2022·安徽·淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知1F 、2F 是等轴双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=，则12PF PF ⋅等于___________.13．（2022·上海金山·高二期中）已知1F ､2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 到该双曲线的渐近线的距离为2，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠=︒，则三角形12F PF 的面积为___________.14．（多选题）（2022·湖南省汨罗市第二中学高二期中）已知点P 是双曲线E ：221169x y -=的右支上一点，1F ，2F 为双曲线E 的左、右焦点，12PF F △的面积为20，则下列说法正确的是（）A ．点P 的横坐标为203B ．12PF F △的周长为803C ．12F PF ∠小于3πD ．12PF F △的内切圆半径为3415．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知12F F ，为双曲线C ：221164x y-=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．16．（2022·广东·江门市第二中学高二期中）双曲线2216416y x -=上一点P 与它的一个焦点的距离等于1，那么点P 与另一个焦点的距离等于___________.17．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知双曲线22145x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线左支上一点且128PF PF +=，则1221sin sin PF F PF F ∠=∠______．18．（2022·天津市咸水沽第二中学高二期中）已知1F ，2F 分别是双曲线221916x y -=的左､右焦点，AB 是过点1F 的一条弦（A ，B 均在双曲线的左支上），若2ABF 的周长为30，则||AB =___________.19．（2022·吉林·白城一中高二期中）双曲线221916x y -=的两个焦点为12,F F ,点P 在双曲线上，若1PF ·2PF ＝0，则点P 到x 轴的距离为________．20．（2022·上海市崇明中学高二期中）已知双曲线221169x y -=的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=，则12F PF △的面积为_________.21．（2022·江苏·高二专题练习）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过焦点1F 的弦AB ，A 、B 两点在同一支上且长为m ，另一焦点为2F ，则2ABF 的周长为（）．A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m22．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设1F ，2F 是双曲线22146x y-=的左、右焦点，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则12PF F △的面积等于（）A ．6B ．12C．D．23．（2022·辽宁大连·高二期中）已知1F ，2F 分别是双曲线221916x y -=的左､右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1232PF PF ⋅=.则12F PF △的面积为（）A ．8B．C ．16D．考点4：双曲线上两点距离的最值问题24．（2022·上海中学东校高二期末）过椭圆221(9)9x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:4O x y +=外切，该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹记为曲线C ，若P 为曲线C 上的一动点，则FP 长度最小值为（）A ．0B ．12C ．1D ．225．（2022·安徽省宣城市第二中学高二阶段练习（理））已知12,F F 分别是双曲线2214xy -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为（）A ．2B1C ．1D226．（2022·101中学高二期末）双曲线22142x y C -=：的右焦点为F ，点P 在椭圆C 的一条渐近线上.O 为坐标原点，则下列说法错误的是（）A2B ．双曲线22142-=y x 与双曲线C 的渐近线相同C ．若PO PF ⊥，则PFO △D ．PF27．（2022·北京八中高二期中）已知定点A 、B ，且|AB |＝4，动点P 满足||PA |﹣|PB ||＝3，则|PA |的最小值是（）A ．12B ．32C ．72D ．5考点5：双曲线上两线段的和差最值问题28．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二期中）设双曲线C ：22124y x -=的左焦点和右焦点分别是1F ，2F ，点A 是C 右支上的一点，则128AF AF +的最小值为___________.29．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校高二期中）P 是双曲线22145x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2232x y ++=和()2231x y -+=上的点，则|PM |－|PN |的最大值为_________.30．（2022·黑龙江·哈九中高二期中）已知双曲线的方程为2214y x -=，如图所示，点()A ，B是圆(221x y +=上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA MB +的最小值为______31．（2022·北京·高二期中）已知点()2,0A -，()2,0B ，(11C ，动点M 到A 的距离比到B 的距离多2，则动点M 到B ，C 两点的距离之和的最小值为___________.32．（2022·湖南·嘉禾县第一中学高二阶段练习）过双曲线2218y x -=的右支上的一点P 分别向圆221:(3)4C x y ++=和圆222:(3)1C x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．1133．（2022·四川省江油市第一中学高二期中（文））已知12F F ，为双曲线222:1(0)16x yC a a -=>的左､右焦点，点A 在双曲线的右支上，点(72)P ，是平面内一定点.若对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行，则2AP AF +的最小值为（）A ．2376B ．1035-C ．837D ．25234．（2022·吉林市田家炳高级中学高二期中）设F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为（）A ．5B ．543+C ．7D ．935．（2022·江西南昌·高二期中（理））设(),P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则代数22222169x y y x y x +-++-+）A 10B ．2510C 105D 563考点6：离心率的值及取值范围36．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二阶段练习）已知0a b >>，1F ，2F ，是双曲线22122:1x y C a b-=的两个焦点，若点Р为椭圆22222:1x y C a b +=上的动点，当P 为椭圆的短轴端点时，12F PF ∠取最小值，则椭圆2C 离心率的取值范围为（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．23⎫⎪⎢⎪⎣⎭37．（2022·四川省仁寿县文宫中学高二阶段练习（文））已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）ABC ．2D 138．（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于M ，N 两点，且2OM ON =，则C 的离心率为（）A ．43B C D ．239．（2022·江西省万载中学高二阶段练习（理））已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A ．2B C ．2D ．1240．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（）A ．2BCD41．（2022·广东汕头·高二期末）已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-）ABC ．D ．242．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设12PF F △的面积为S ，若()21212PF PF S +=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2C D ．43．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，M 是双曲线C 上一点，若120MF MF ⋅=，2212OM OF c ⋅=，则双曲线C 的离心率为（）AB 1C D 144．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为122,,c F F 为其左右两个焦点，直线l 经过点(0,)b 且与渐近线平行，若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线C 离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．)+∞考点7：双曲线的简单几何性质问题45．（多选题）（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知曲线C ：221mx ny +=，则（）A ．若0m n =>，则曲线CB ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y 轴上C ．若曲线C 过点(，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则C 是双曲线D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形46．（多选题）（2022·江苏连云港·高二期中）关于,x y 的方程2222126x y m m+=+-（其中26m ≠）表示的曲线可能是（）A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．圆心为坐标原点的圆C ．焦点在x轴上的双曲线D ．长轴长为47．（多选题）（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期中）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中正确的是（）A ．若13t <<，则曲线C 为椭圆B ．若曲线C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则23t <<C ．若曲线C 为双曲线，则3t >或1t <D ．曲线C 可能是圆.48．（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知曲线22:124x y C m m+=+-，则（）A ．当2m =时，则C 的焦点是)1F ，()2F B ．当6m =时，则C 的渐近线方程为12y x =±C ．当C 表示双曲线时，则m 的取值范围为2m <-D ．存在m ，使C 表示圆49．（多选题）（2022·江苏江苏·高二期中）已知双曲线C ：2213x y -=，则（）A ．双曲线C 的焦距为4B ．双曲线C 的两条渐近线方程为：3y =±C ．双曲线CD ．双曲线C 有且仅有两条过点()1,0Q 的切线50．（多选题）（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）双曲线的标准方程为2213y x -=，则下列说法正确的是（）A ．该曲线两顶点的距离为B ．该曲线与双曲线2213x y -=有相同的渐近线C ．该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1D ．该曲线与直线l ：)2y x =-，有且仅有一个公共点51．（2022·上海市新场中学高二期中）当0ab <时，方程22ax ay b -=所表示的曲线是（）A ．焦点在x 轴的椭圆B ．焦点在x 轴的双曲线C ．焦点在y 轴的椭圆D ．焦点在y 轴的双曲线考点8：利用第一定义求解轨迹52．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））若双曲线C 的方程为22145x y -=，记双曲线C 的左、右顶点为A ，B ．弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 交点为M ，其轨迹为曲线T ，则曲线T 的离心率为________．53．（2022·吉林·白城一中高二期中）已知ABC 的两个顶点A B ，分别为椭圆2255x y +=的左焦点和右焦点，且三个内角A B C ，，满足关系式1sin sin sin 2B AC -=.(1)求线段AB 的长度；(2)求顶点C 的轨迹方程.54．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，已知定圆1F ：()2251x y ++=，定圆2F ：()22516x y -+=，动圆M 与定圆1F ，2F 都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．55．（2022·福建·厦门一中高二期中）已知动圆M 与圆221:(4)4C x y ++=外切与圆222:(4)4C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹C 的方程为___________.56．（2022·上海市新场中学高二期中）已知两点()(),3,03,0A B -，若4PA PB -=±，那么P 点的轨迹方程是______.57．（2022·吉林一中高二期中）若动圆过定点A ()3,0-且和定圆C ：()2234x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹方程是_________.58．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）高二期中）已知点(3,0),(3,0),(1,0)M N B -，动圆C 与直线MN 相切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)8y x x -=>B ．221(1)8y x x -=<-C ．221(0)8y x x +=>D ．221(1)10y x x -=>59．（2022·江苏省镇江中学高二期中）动圆M 与圆1C ：()2241x y ++=，圆2C ：22870x y x +-+=，都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．22115x y +=B ．22115y x -=C ．()221115y x x -=≥D ．()221115y x x -=≤-60．（2022·新疆·博尔塔拉蒙古自治州蒙古中学高二期中）动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线61．（2022·江西·景德镇一中高二期中（理））已知定圆221:10240F x y x +++=，定圆222:100F x y x +-=，动圆圆M 与定圆12F F 、都内切，则动圆M 的圆心的轨迹方程为（）A ．221(0)421x y x -=>B ．221(0)421x y x -=<C ．221(0)421x y y -=≠D ．224121x y -=62．（2022·浙江·效实中学高二期中）与圆()2222x y ++=外切，且与圆2240x y x +-=内切的圆的圆心在（）A ．抛物线上B ．圆上C ．双曲线的一支上D ．椭圆上63．（2022·天津河西·高二期中）与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（）A ．椭圆上B ．双曲线的一支上C ．线段上D ．圆上考点9：双曲线的渐近线64．（2022·全国·高二期中）以双曲2214x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程为______．65．（2022·陕西汉中·高二期末（理））已知双曲线2221(0)x y a a -=>的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则a =（）A ．13B ．3C ．3D 66．（2022·湖南·高二期末）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>则直线b x a=与两条渐近线围成的三角形的面积为（）A ．B ．4C ．D 67．（2022·北京市十一学校高二期末）椭圆1C ：22143x y +=与双曲线2C ：22221x ya b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为（）A ．π6，π6-B ．π3，π3-C ．π6，5π6D ．π3，2π368．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点Q ，且223PF F Q =，则双曲线的渐近线方程为（）A ．34y x=±B ．43y x =±C ．23y x=±D ．32y x=±69．（2022·河南·封丘一中高二期末（文））已知点()F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，若△OMF （点O 为坐标原点）的面积为8，则C 的实轴长为（）A ．8B ．C ．6D ．70．（2022·福建三明·高二期中）双曲线2214y x -=的右顶点到渐近线的距离为（）A B C ．1D ．2考点10：共焦点的椭圆与双曲线71．（2022·全国·高二期末）已知椭圆2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）与双曲线2222x y m n-=1（m ＞0，n ＞0）具有相同焦点F 1、F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 23π=，记椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则3e 12+e 22的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．572．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆()221112211:10,0x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12F F 、，P 点是曲线1C 与2C 的一个公共点，12,e e 分别是1C 和2C 的离心率，若12PF PF ⊥，则22124e e +的最小值为（）A ．35B ．92C ．112D ．13273．（2022·江苏·南通市海门实验学校高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（）A ．22145x y -=B ．221810x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=74．（2022·吉林·延边二中高二期中（理））若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12cos F PF ∠的值为__________．。

双曲线的焦点三角形问题秒杀秘籍：双曲线的焦点三角形长度问题定理一：双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点为1F 、2F ，弦AB 过左焦点1F （A 、B 都在左支上），l AB =，则2ABF ∆的周长为l a 24+（如图1）图1例1:已知双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线与该双曲线的右支交于A 、B 两点,若5=AB ,则1ABF ∆的周长为_________.解：5=AB ，1ABF ∆的周长为26101624=+=+l a 双曲线焦长公式已知双曲线的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F 1，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，则（1）当AB 交双曲线于一支时，α2222cos 2||c a ab AB -=，ααcos 110cos 222<<⇒>-e c a （图2）；（2）当AB 交双曲线于两支时，2222cos 2||ac ab AB -=α，ααcos 10cos 222>⇒<-e c a （图3）。

证明：如图2直线与双曲线的两个交点A 、B 在同一支上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长。

如图3，直线l 与双曲线交点A、B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，整理可得，则例2:过双曲线1322=-y x 的左焦点F 1作倾斜角为6π的直线l 交双曲线于A 、B 两点，则||AB =_________.解：024341cos 222<-=⨯-=-αc a ,故直线l 交双曲线于两支；3136cos 2||2222=-=-=a c ab AB α。

1.过双曲线22143x y -=左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为（）A ．6B ．8C ．10D ．162.如果12,F F 分别是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点F 1的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是________．3.过双曲线x 2-4y 2=4的焦点F 1且在双曲线一支上的弦AB 的长度为5，F 2为另一焦点，则△ABF 2的周长为_______.4.1F 、2F 是双曲线19222=-my x 的左、右焦点，A 、B 都在左支上，且AB 过1F ，若2AFB ∆的周长为30，则弦AB 的长为_________．5..斜率为2的直线l 过双曲线12222=-b y a x (0,0>>b a )的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的离心率e 的取值范围是()A.e <2B.1<e <3C.1<e <5D.e >56.已知双曲线12222=-by a x 的右焦点为F,若过点F 且倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点,则此双曲线离心率的范围是() A.(]2,1 B.()2,1 C.[)+∞,2 D.()+∞,27.过双曲线116922=-y x 的左焦点F 1作倾斜角为4πα=的直线与双曲线交于A ，B 两点，求|AB|.8.经过双曲线1322=-y x 的右焦点F 2作倾斜角为300的弦AB ，求：（1）|AB|；（2）∆F 1AB 的周长（F 1是双曲线的左焦点）。

ʏ河北省张家口市第一中学 郝荩华双曲线的焦点三角形问题,既能考查同学们对双曲线定义的理解和灵活运用,又能考查大家的解三角形技能和数学运算素养,因此备受命题者青睐㊂那么这类问题主要有哪些呢?下面举例说明㊂1.焦点三角形的面积问题例1 已知双曲线C :y2m -x 28=1m >0 的上㊁下焦点分别为F 1㊁F 2,P 为双曲线C 上一点,且满足øF 1P F 2=120ʎ,则әP F 1F 2的面积为( )㊂A.833B .83C .3m3D .3m 分析:记|P F 1|=r 1,|P F 2|=r 2,øF 1P F 2=θ,根据双曲线定义结合余弦定理可得r 1r 2=2b21-c o s θ,再利用三角形面积公式可推得S әF 1P F2=b2t a nθ2,即可求得答案㊂解:记|P F 1|=r 1,|P F 2|=r 2,øF 1P F 2=θ㊂因为|r 1-r 2|=2a ,所以(r 1-r 2)2=4a 2㊂在әF 1P F 2中,由余弦定理得r 21+r 22-2r 1r 2c o s θ=(2c )2,配方得(r 1-r 2)2+2r 1r 2-2r 1r 2c o s θ=4c 2,即4a 2+2r 1r 2(1-c o s θ)=4c 2㊂所以r 1r 2=2(c 2-a 2)1-c o s θ=2b21-c o s θ㊂由面积公式得S әF1P F2=12r 1r 2s i n θ=b 2s i n θ1-c o s θ=b 22s i n θ2c o s θ22s i n 2θ2=b 2t a nθ2㊂所以S әF1P F2=b2t a nθ2,本题中b 2=8㊂又因为θ=120ʎ,所以S әP F 1F 2=8t a n 60ʎ=833㊂本题选A ㊂2.焦点三角形的周长问题例2 已知双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点为F ,P 是双曲线C 的左支上一点,M (0,2),则әP F M 的周长的最小值为( )㊂A.2+42 B .4+22C .32D .26+3分析:设双曲线C 的左焦点为F 1,则|P F |-|P F 1|=2a ㊂由题意可得әP F M 的周长为|M F |+|M P |+|P F |=22+2+|M P |+|P F 1|,当M ,P ,F 1三点共线时,|M P |+|P F 1|的值最小,从而可得答案㊂解:设双曲线C 的左焦点为F 1,则|P F |-|P F 1|=2a ㊂由题可知a =1,c =2㊂所以|P F |=2+|P F 1|,F 1(-2,0),F (2,0)㊂易得|M F |=22㊂әP F M 的周长为|M F |+|M P |+|P F |=22+2+|M P |+|P F 1|㊂因为当M ,P ,F 1三点共线时,|M P |+|P F 1|的值最小,最小值为|M F 1|=22,所53解题篇 经典题突破方法 高二数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.以әP F M 周长的最小值为2+42㊂故本题选A ㊂3.焦点三角形的内角问题例3 在平面直角坐标系x O y 中,曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 是以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线C 在第一象限内的交点,过点A 且与直线A O 垂直的直线与x 轴相交于点B ,若øB A F 2=15ʎ,则双曲线C 的离心率为( )㊂A.2 B .3 C .2 D .5分析:根据圆的性质㊁同角的余角相等,结合双曲线的定义㊁双曲线离心率公式㊁辅助角公式进行求解即可㊂图1解:如图1,设双曲线C的焦距为2c ㊂因为øF 1A F 2=90ʎ,øO A B =90ʎ,所以øO A F 2+øO A F 1=øO A F 2+øB A F 2=90ʎ,可得øO A F 1=øB A F 2=15ʎ㊂又由|O A |=|O F 1|,可得øA F 1O =15ʎ㊂在R t әA F 1F 2中,|A F 1|=2c c o s 15ʎ,|A F 2|=2c s i n 15ʎ㊂由双曲线的定义得2a =|A F 1|-|A F 2|,也即2a =2c (c o s 15ʎ-s i n 15ʎ),解得a =2c c o s 60ʎ,则e =2㊂故选A ㊂4.焦点三角形的内切圆问题例4 已知点F 1(-3,0)㊁F 2(3,0)分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点,M 是双曲线C 右支上的一点,M F 1与y 轴交于点P ,әM P F 2的内切圆在边P F 2上的切点为Q ,若|P Q |=2,则双曲线C 的离心率为㊂分析:设әM P F 2的内切圆与M F 1,M F 2的切点分别为A ,B ,然后根据切线长定理结合双曲线的定义列方程可求出a ,从而求出离心率㊂解:设әM P F 2的内切圆与M F 1,M F 2的切点分别为A ,B ㊂由切线长定理可知|M A |=|M B |,|P A |=|P Q |,|B F 2|=|Q F 2|㊂又|P F 1|=|P F 2|,所以|M F 1|-|M F 2|=|M A |+|A P |+|P F 1|-(|M B |+|B F 2|)=|P Q |+|P F 2|-|Q F 2|=2|P Q |㊂由双曲线的定义可知|M F 1|-|M F 2|=2a ,所以|P Q |=a =2㊂又因为c =3,所以双曲线的离心率e =c a =32㊂故答案为32㊂5.焦点三角形的综合应用例5 已知F 1㊁F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点,点B 为双曲线C 的左顶点,动点A 在双曲线C 上,当A F 2ʅB F 2时,|A F 2|=|B F 2|,且|A F 1|-|A F 2|=2,则双曲线C 的方程为( )㊂A.x 23-y 2=1 B .x 2-y 24=1C .x 24-y 2=1 D .x 2-y 23=1分析:先根据双曲线的定义求出a ,再根据直角三角形中|A F 1|2=|A F 2|2+|F 1F 2|2建立方程求出c ,根据双曲线的系数关系即可求得方程㊂解:因为|A F 1|-|A F 2|=2a =2,所以a =1㊂所以|A F 2|=|B F 2|=|O B |+|O F 2|=a +c =1+c ㊂又因为|A F 1|-|A F 2|=2,所以|A F 1|=|A F 2|+2=3+c ㊂因为A F 2ʅB F 2,所以在R tәA F 1F 2中,由勾股定理得|A F 1|2=|A F 2|2+|F 1F 2|2,于是4c 2+(1+c )2=(3+c )2,即c 2-c -2=0㊂解得c =-1(舍去)或c =2㊂由a 2+b 2=c 2,得b 2=3,故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1,选D ㊂(责任编辑 徐利杰)63 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

双曲线中焦点三角形的探索 基本条件：1：该三角形一边长为焦距2c ，另两边的差的约对值为定值2a 。

2：该三角形中由余弦定理得||||2||||||cos 21221222121PF PF F F PF PF PF F ⋅-+=∠结合定义，有 性质一、设若双曲线方程为2222x y 1a b -=（a ＞0，b＞0），F1,F2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：若12F PF ,∠=θ则122F PF S b cot 2θ=；特别地，当12F PF 90∠=时，有122F PF S b =。

证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的定义得在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ 由任意三角形的面积公式得：2cot 2sin 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=-⋅==∆b b b r r S PF F . 特别地，当θ＝︒90时，2cot θ＝1，所以122F PF S b =同理可证，在双曲线12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立.例4 若P 是双曲线1366422=-y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积.解法一：在双曲线1366422=-y x 中，,10,6,8===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF ==点P 在双曲线上，∴由双曲线定义得：.16221==-a r r 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：=+-21221)(r r r r 400 .25640021=-∴r r 从而.14421=r r解法二：在双曲线1366422=-y x 中，362=b ，而.60︒=θ考题欣赏（2010全国卷1理）(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)2(B)2【答案】 B（2010全国卷1文）（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8【答案】B 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +- 12||||PF PF =4 【解析2】由焦点三角形面积公式得：12||||PF PF =4性质一推论：在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，左右焦点分别为1F 、2F ，当点P 是双曲线左支上任意一点，若θ=∠21F PF ，则θθcos sin 221c a c b S PF F +=∆.特别地，当︒=∠9021F PF 时，有a c b S PF F 221=∆。