2016考研数学：三个微分中值定理

多个函数多介值的微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数在一个闭区间上的平均斜率与某一点的瞬时斜率之间的关系。

这个定理在实际问题中有着广泛的应用，特别是在求解函数在某一点的导数时十分有用。

本文将介绍多个函数多介值的微分中值定理及其应用。

微分中值定理有三个形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和柯西-罗尔定理。

这个定理表明，在某些条件下，函数在一个闭区间上的平均斜率与某一点的瞬时斜率之间存在特定的关系。

1. 拉格朗日中值定理设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}这里f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数，而\frac{f(b) - f(a)}{b - a}则表示在闭区间[a, b]上的平均斜率。

这个定理的几何意义是：在一个闭区间上连续可微的函数中，必定存在至少一个点，这个点的瞬时斜率等于该区间上的平均斜率。

2. 柯西中值定理这个定理的几何意义是：在一个闭区间上连续可导的两个函数中，必定存在至少一个点，这个点的两个函数的导数的比值等于这两个函数在这个闭区间上的函数值之差的比值。

f'(c) = 0微分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍几个典型的应用。

1. 确定函数在某一点的斜率微分中值定理可以用来确定函数在某一点的斜率。

通过拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点使得它的瞬时斜率等于区间上的平均斜率。

这对于确定函数在某一点的变化率是非常有帮助的。

通过柯西中值定理，我们可以确定一个区间内函数的最大斜率和最小斜率。

因为柯西中值定理可以将两个函数的导数的比值与这两个函数的函数值的差的比值联系起来，从而可以确定函数在某一区间内的斜率情况。

微分中值定理可以帮助我们确定函数在某一区间内的凹凸性。

通过柯西-罗尔定理，我们可以确定在一个闭区间上连续可导的函数在两个端点相等的情况下，一定存在至少一个导数为0的点。

2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。

下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。

1.具体考点分析首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢?第一：闭区间连续函数的性质。

最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。

推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。

介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。

零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。

第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。

罗尔定理：如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。

第三：积分中值定理：如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立加强版：如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在(a, b)上至少存在一个点ξ，使下式成立第四：变限积分求导定理：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：第五：牛顿--莱布尼茨公式：如果函数f(x) 在区间[a,b] 上连续，并且存在原函数F(x) ，则2.注意事项针对上文中具体的考点，佟老师再给出几点注意事项，这几个注意事项也是在证明题中的“小信号”，希望大家理解清楚并掌握：1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。

卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理A 基本内容一、罗尔定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和()()b f b B ,之间是连续曲线；条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。

结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。

二、拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导；则存在()b a ,∈ξ，使得()()()ξf ab a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ有时也写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。

几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =是光滑曲线。

结论说明曲线()x f y =在B A ,之间至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。

推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。

推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且()()x g x f '≡'，则在()b a ,内()()c x g x f +=，其中c 为一个常数。

中值定理百科名片分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。

目录简介应用拉格朗日微分中值定理罗尔定理柯西中值定理积分中值定理编辑本段简介函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。

微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。

是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。

拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。

中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。

从而能把握住函数图象的各种几何特征。

在极值问题上也有重要的实际应用。

编辑本段应用（一）对于不等式与等式证明中的应用在一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明，很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明。

已知有这样一个推论，若函数在区间I上可导，且中值定理，则为I上的一个常量函数。

它的几何意义为：斜率处处为0的曲线一定是平行于y轴的直线。

这个推论的证明应用拉格朗日中值定理。

（二）关于方程根的讨论（存在性与根的个数）（三）在洛比达法则中证明的应用无穷小（大）量阶的比较时，看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在。

如果存在，其极限值也不尽相同。

称两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限为型或型不定式极限。

解决这种极限的问题通常要用到洛比达法则。

这是法则的内容，而在计算时往往都是直接的应用结论，没有注意到定理本身的证明，而这个定理的证明也应用到了中值定理。

三个中值定理
三个中值定理的公式：
罗尔定理：如果函数f(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ＜b)，使得f'(ξ）＝0。

柯西定理：如果函数f(x)及F(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导；（3)对任一x∈（a,b)，F'(x)≠0那么在（a,b)内至少有一点ξ，使等式［f(b)-f(a)]/=f'(ξ）／F'(ξ）成立。

拉格朗日定理：如果函数f(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导。

那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a)成立。

积分中值定理：
积分中值定理，是一种数学定律。

分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。

其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。

这个定理的几何意义为：若f(x)≥0，x∈［a,b]，则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a，宽为f(ξ)的矩形的面积。

卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第三章 微分中值定理与导数的应用§3.1 微分中值定理A 基本内容一、罗尔定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和()()b f b B ,之间是连续曲线；条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线 条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。

结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。

二、拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导；则存在()b a ,∈ξ，使得()()()ξf ab a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ有时也写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。

几何意义：条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =是光滑曲线。

结论说明曲线()x f y =在B A ,之间至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。

推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。

推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且()()x g x f '≡'，则在()b a ,内()()c x g x f +=，其中c 为一个常数。

考研数学基础复习指导之微分中值定理【引理】Th 1费马(Fermat)引理设函数在的某邻域内有定义，若有()且在可导．【注】若是一个极值点且在可导(驻点/稳定点)．Th 2导数极限定理设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，且极限0lim ()x x f x →'存在，则()f x 在点0x 处可导，且00()lim ()x xf x f x →''=【例1】求分段函数的导数2sin ,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩【例2】下述命题：① 设0lim ()x x f x -→'与0lim ()x x f x +→'均存在，则()f x 在0x x =处必连续； ② 设0()f x -'与0()f x +'均存在，则()f x 在0x x =处必连续；③ 设()f x 在0x x =处连续，且0lim ()x x f x →'存在等于A ，则0()f x '存在等于A④ 设()f x 在0x x =的某邻域可导，且0()f x A '=，则0lim ()x x f x →'存在等于A则正确的个数为：(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3()f x 0x 0()U x 0()x U x ∀∈0()()f x f x ≤0()()f x f x ≥()f x 0x ⇒0()0f x '=0x ()f x 0x ⇒0()0f x '=3.导函数两大特性：1) 导函数没有第一类间断点设函数()f x 在(,)a b 内处处有导数()f x '，则(,)a b 中的点或为()f x '的连续点，或为()f x '的第二类 间断点．2) 导函数具有介值性（G.Darboux 定理）设函数()f x 在[],a b 上处处可导（端点指单侧导数），()()f a f b ''<，则:()()c f a c f b ''∀<<，(,)a b ξ∃∈，使得()f c ξ'=【微分中值定理】 1.罗尔(Rolle)定理设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．【应用】①证明含有中值ξ等式的证明；②导函数和高阶导函数零点的存在性的证明和个数的估计．2.拉格朗日(Lagrange)定理（微分基本定理）设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．【推论】：①若()0,f x x I '=∈，则(),f x C x I =∈． 如：arcsin arccos 2x x π+=.②若()(),f x g x x I ''=∈，则()(),f x g x C x I =+∈. 【应用】①证明含有中值ξ的等式．形如证明：[,,(),(),,(),()]0(,)G a b f a f b f f a b ξξξξ'=∈，②不等式的证明； ③研究函数的性态．3.柯西(Cauchy)定理设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点(,)a b ξ∈， 使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-．【应用】①证明含有中值,ξη的等式； ②不等式的证明4.泰勒(Taylor)公式定理1 带拉格朗日余项的泰勒公式设()f x 在0x 的某邻域I 内(1)n +阶可导，那么对x I ∀∈，至少存在一个ξ，使得()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+，ξ在0x 与x 之间．定理2 带皮亚诺余项的泰勒公式设()f x 在0x 的某邻域I 内n 阶可导，那么对x I ∀∈，有()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中00()()nn R x o x x x x =-→，． 【应用】①求极限，判断无穷小的阶数； ②建立函数与高阶导数的关系．辅助函数的构造：证明：(,)a b ξ∃∈，使得[,(),()]0G f f ξξξ'=．方法：构造辅助函数(,())F x f x ，再用罗尔定理．(,())F x f x 的构造方法如下： （1）积分法① 将ξ换成x 得[,(),()]0G x f x f x '=； ② 恒等变形，便于积分；③ 积分，分离变量得(,())F x f x C =．（2）公式法：若欲证等式可变形为()()()0f x p x f x '+=，则应取辅助函数为()()()p x dxF x f x e ⎰=．（3）观察法：观察要证明的结论形式，如果与以下等式的右边式子较为类似，则往往可以直接写出辅助函数：；；【注】若题目条件或结论中有定积分，则辅助函数为被积函数，且一般要使用积分中值定理（验证端点值相等）．[()]()()xf x xf x f x ''=+2()()()f x xf x f x x x ''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦[()][()()]x x e f x f x f x e ''=+[()][()()]x x e f x f x f x e --''=-【2013】设奇函数()f x 在[1,1]-上具有2阶导数，且(1)1f =， 证明：(I)存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=； (II)存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=．【1999】设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导()()1010,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，(I)存在1(,1)2η∈，使()f ηη=； (II)存在(0,)ξη∈，使()[()]1f f ξλξξ'--=(这里λ为任意实数)．【2001】设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足21130(1)3()x f e f x dx -=⎰.证明：在()0,1内存在一点ξ，使()2()f f ξξξ'=.【2001】数设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足：()()()11011x k f k xe f x dx k -=>⎰，证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()()11f f ξξξ-'=-．【1996】 在区间(,)-∞+∞内，方程1142cos 0x x x +-=（ ） (A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根(C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根【1994】设当0x >时，方程211kx x+=有且仅有一个解，求k 的取值范围【2011】证明：(I)对任意正整数n ，都有111ln(11n n n<+<+； 【熟记结论】①ln(1),101xx x x x x<+<>-≠+且②均值不等式：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数即：1212+++nnx x x nnx x x +≤≤++ ，其中0(1,2,,)i x i n >= (II)设111ln (1,2,)2n a n n n =+++-= ，证明数列{}n a 收敛.【2002】设0a b <<，证明不等式：222ln ln a b a a b b a -<<+-【1992】设()0,(0)0f x f ''<=，证明：对任意的0x >有1212()()()f x x f x f x +<+【1998】设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()1f a f b ==证明：存在(),,a b ξη∈，使得[()()]1e f f ηξηη-'+=【练习】设函数()f x 在区间上连续，在内可导，， 证明：存在(),,a b ξη∈使得[,]a b (,)a b 0a b <<()().2a bf f ξηη+''=【2001】设()y f x =在(1,1)-内具有二阶连续导数且()0f x ''≠，证明：(I) 对于(1,1)-内的任一0x ≠，存在唯一的()(0,1)x θ∈，使()(0)[()]f x f xf x x θ'=+成立； (II) 01lim ()2x x θ→=【1996】设函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负实数，c 是()0,1内任一点证明：()22b fc a '≤+【1999】设函数()f x 在闭区间[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0f -=，(1)1f =，(0)0f '= 证明：在开区间(1,1)-内至少存在一点ξ，使()3f ξ'''=。