天体问题 模型精选精析Word 文档

地球
������1
空间站 月球
9.如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和 2M的行星做匀速圆周运动。下列说法正确的是( ) A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的运行周期比乙的小 C．甲的角速度比乙的大 D．甲的线速度比乙的大
10.如图所示，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步卫星q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周运动 速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则( )
押题班是最接近高考的实战演习
11. （2014·福建卷1） 若有一颗“宜居”行星，其质量为地球 的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫 星环绕速度的( )
A. ������������倍
B. ������倍
������
C. ������倍
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D. ������������3倍
押题班是最接近高考的实战演习
王悦
煜祺
王圣和 刘炙欣 胡越
付思颖
兰馨
种梓翔
徐凝
周熠 李承霖 肖涛
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CONTENTS
1.研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期 约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都 不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比（ ） A. 距地面的高度变大 B. 向心加速度变大 C. 线速度变大 D. 角速度变大
的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点 ������1建立 空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以������1、������2分别表示 该空间站和月球向心加速度的大小， ������3表示地球同步卫星向 心加速度的大小。以下判断正确的是（ ）
A. ������3 > ������2 > ������1 B. ������2 > ������1 > ������3 C. ������3 > ������1 > ������2 D. ������2 > ������3 > ������1

解决天体运动问题的方法一、基本模型计算天体间的万有引力时，将天体视为质点，天体的全部质量集中于天体的中心；一天体绕另一天体的稳定运行视为匀速圆周运动；研究天体的自转运动时，将天体视为均匀球体。

二、基本规律1．天体在轨道稳定运行时，做匀速圆周运动，具有向心加速度，需要向心力。

所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。

设质量为m的天体绕质量为M的天体，在半径为r的轨道上以速度v匀速圆周运动，由牛顿第二定律及万有引力定律有：。

这就是分析与求解天体运行问题的基本关系式，由于有线速度与角速度关系、角速度与周期关系，这一基本关系式还可表示为：或。

2．在天体表面，物体所受万有引力近似等于所受重力。

设天体质量为M，半径为R，其表面的重力加速度为g，由这一近似关系有：，即。

这一关系式的应用，可实现天体表面重力加速度g与的相互替代，因此称为“黄金代换”。

3．天体自转时，表面各物体随天体自转的角速度相同，等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力最大。

对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律有：，式中N为天体表面对物体的支持力。

如果天体自转角速度过大，赤道上的物体将最先被“甩”出，“甩”出的临界条件是：N=0，此时有：，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自转的角速度，由及可计算出天体不瓦解的最小密度。

三、常见题型1．估算天体质量问题由关系式可以看出，对于一个天体，只要知道了另一天体绕它运行的轨道半径及周期，可估算出被绕天体的质量。

例1．据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高200km，运行周期为127分钟。

若还知道引力常量和月球半径，仅利用以上条件不能求出的是A．月球表面的重力加速度B．月球对卫星的吸引力C．卫星绕月运行的速度D．卫星绕月运行的加速度解析：设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，卫星高度为h，运行周期为T，线速度为v，加速度为a，月球对卫星的吸引力为F。

天体运动知识点归类解析【问题一】行星运动简史 1、两种学说（1）地心说:地球是宇宙的中心，而且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。

支持者托勒密。

（2）.日心说：太阳是宇宙的中心，而且是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。

（3）.两种学说的局限性都把天体的运动看的很神圣，认为天体的运动必然是最完美，最和谐的圆周运动，而和丹麦天文学家第谷的观测数据不符。

2、开普勒三大定律开普勒1596年出版《宇宙的神秘》一书受到第谷的赏识，应邀到布拉格附近的天文台做研究工作。

1600年，到布拉格成为第谷的助手。

次年第谷去世，开普勒成为第谷事业的继承人。

第谷去世后开普勒用很长时间对第谷遗留下来的观测资料进行了整理与分析他在分析火星的公转时发现，无论用哥白尼还是托勒密或是第谷的计算方法得到的结果都与第谷的观测数据不吻合。

他坚信观测的结果，于是他想到火星可能不是按照人们认为的匀速圆周运动他改用不同现状的几何曲线来表示火星的运动轨迹，终于发现了火星绕太阳沿椭圆轨道运行的事实。

并将老师第谷的数据结果归纳出三条著名定律。

第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。

如图某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a ，近日点离太阳的距离为b ，过远日点时行星的速率为a v ，过近日点时的速率为b v由开普勒第二定律，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，取足够短的时间t ∆，则有：t bv t av b a ∆=∆2121①所以bav v a b = ② ②式得出一个推论：行星运动的速率与它距离成反比，也就是我们熟知的近日点快远日点慢的结论。

②式也当之无愧的作为第二定律的数学表达式。

第三定律：所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期平方的比值都相等。

用a 表示半长轴，T 表示周期，第三定律的数学表达式为k T a =23，k 与中心天体的质量有关即k 是中心天体质量的函数)(23M k T a =①。

天体问题专题一、存在问题。

运用万有引力定律、牛顿运动定律、向心力公式等力学规律求解天体（卫星）运动一直是高考命题频率较高的知识点。

要重视这类问题分析的基本规律。

解决本单元问题的原理及方法比较单一，应该不难掌握，但偏偏有相当多的学生颇感力不从心，原因何在？1、物理规律不到位，公式选择无标准。

2、研究对象找不准，已知求解不对应。

3、空间技术太陌生，物理情景不熟悉。

4、物理过程把不准，物理模型难建立。

二、应对策略。

1、万有引力提供向心力。

设圆周中心的天体（中心天体）的质量为M ，半径为R ；做圆周运动的天体（卫星）的质量为m ，轨道半径为r ，线速度为v ，角速度为ω，周期为T ，万有引力常数为G 。

则应有：2rMm G =r v m 2① 2rMm G =m r 2ω ② 2rMm G =m （T 2π）2③ 2r Mm G =mg （g 表示轨道处的重力加速度） ④ 注意：当万有引力比物体做圆周运动所需的向心力小时，物体将坐离心运动。

2、在中心天体表面或附近，万有引力近似等于重力。

G 2Mm R =mg 0 （g 0表示天体表面的重力加速度） 注意：在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 0时，常运用GM ＝g 0R2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来。

由于这种代换的作用巨大，此时通常称为黄金代换式。

三、在一些与天体运行有关的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以运用。

①在地球表面物体受到的地球引力近似等于重力。

mg R Mm G2= ②在地球表面附近的重力加速度g=9.8m\s 2。

③地球自转周期T=24h④地球公转周期T=365天。

⑤月球绕地球运动的周期约为30天。

四、应用举例1、天体的运动规律。

①由222rv m r Mm G =可得：r GM v = r 越大，V 越小。

r R②由r m rMm G 22ω=可得：3r GM =ω r 越大，ω越小。

③由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π可得：GM r T 32π= r 越大，T 越大。

常见的物理模型（二）一、子弹打木块模型特点：子弹打木块模型：包括一物块在木板上滑动等。

Q E s F k N =∆=系统相μ，Q 为摩擦在系统中产生的热量；小球在置于光滑水平面上的竖直平面内弧形光滑轨道上滑动；一静一动的同种电荷追碰运动等。

两种常见类型：①木块放在光滑的水平面上，子弹以初速度v 0射击木块。

运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速运动。

图象描述：从子弹击中木块时刻开始，在同一个v —t 坐标中，两者的速度图线如下图中甲（子弹穿出木块）或乙（子弹停留在木块中）图2图中，图线的纵坐标给出各时刻两者的速度，图线的斜率反映了两者的加速度。

两图线间阴影部分面积则对应了两者间的相对位移。

方法：把子弹和木块看成一个系统，利用A ：系统水平方向动量守恒；B ：系统的能量守恒（机械能不守恒）；C ：对木块和子弹分别利用动能定理。

推论：系统损失的机械能等于阻力乘以相对位移，即ΔE ＝F f d②物块固定在水平面，子弹以初速度v 0射击木块，对子弹利用动能定理，可得：2022121mv mv d F t f -=- 两种类型的共同点：A 、系统内相互作用的两物体间的一对摩擦力做功的总和恒为负值。

（因为有一部分机械能转化为内能）。

B 、摩擦生热的条件：必须存在滑动摩擦力和相对滑行的路程。

大小为Q ＝F f ·s ，其中F f 是滑动摩擦力的大小，s 是两个物体的相对位移（在一段时间内“子弹”射入“木块”的深度，就是这段时间内两者相对位移的大小，所以说是一个相对运动问题）。

C 、静摩擦力可对物体做功，但不能产生内能（因为两物体的相对位移为零）。

例1 如图1所示，一个长为L 、质量为M 的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m 的物块（可视为质点），以水平初速度0v 从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动摩擦因数为μ，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q 。

问题1 开普勒三定律的理解问题2定量比较远日点和近日点的速度关系模型1地面模型典型问题：如何根据同一物体在两极和赤道处的弹簧秤的示数和地球半径求地球自转的角速度模型2 环绕模型典型问题：将同一物体放在赤道上、近地卫星轨道上、同步轨道上比较其线速度、角速度、向心加速度、向心力的大小模型3 三种宇宙速度典型问题：以第一宇宙速度抛出一个物体是否一定会做圆周运动？(1)变轨原理：卫星绕中心天体稳定运动时，万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有GMmr2＝mv2r.当由于某种原因卫星速度v突然增大时，有GMmr2＜mv2r，卫星将偏离圆轨道做离心运动；当v突然减小时，有GMmr2＞mv2r，卫星将做向心运动．(3)各物理量的比较①两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等．图中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ.②同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度v大小不相等．从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，动能增大(引力势能减小)．图中vⅡA＞vⅡB，E kⅡA＞E kⅡB，E pⅡA＜E pⅡB.③两个不同圆轨道上线速度v大小不相等．轨道半径越大，v越小，图中vⅠ＞vⅢ.④不同轨道上运行周期T不相等．根据开普勒行星运动第三定律r3T2＝k，内侧轨道的运行周期小于外侧轨道的运行周期．图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.⑤卫星在不同轨道上的机械能E不相等，“高轨高能，低轨低能”．卫星变轨过程中机械能不守恒．图中EⅠ＜EⅡ＜EⅢ.⑥在分析卫星运行的加速度时，只要卫星与中心天体的距离不变，其加速度(由万有引力提供)就一定与轨道形状无关，图中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ模型4 变轨模型典型问题：比较两轨道切点处的加速度、速度比较不同轨道之间的周期关系模型5 拓展变轨模型椭圆轨道2有两个切圆（内切圆1和外切圆2）典型问题：比较卫星在轨道1上的速度与椭圆远地点2上的速度模型6 转移轨道模型典型问题：分析转移轨道上卫星的速度、加速度的变化情况典例分析模型1 地面模型 1、模型分析： 2、典例分析：例题1 万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F 0.①若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F 1，求比值F 1F 0的表达式，并就h ＝1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；②若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F 2，求比值F 2F 0的表达式．解析：(1)设小物体质量为m .①在北极地面，G MmR2＝F 0在北极上空高出地面h 处，G Mm（R ＋h ）2＝F 1得F 1F 0＝R 2（R ＋h ）2 当h ＝1.0%R 时，F 1F 0＝11.012≈0.98.②在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有G Mm R 2－F 2＝m 4π2T 2R 得F 2F 0＝1－4π2R 3GMT 2. 例题2已知一名宇航员到达一个星球,在该星球的两极上用弹簧秤测量一物体的重力为mg,在赤道用弹簧秤测量该物体的重力为0.9mg,若该星球自转周期为T,求该星球平均密度? 参考答案 230GTπρ=例题3 (高考全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2g 0－g g 0 B ．3πGT 2g 0g 0－g C.3πGT 2 D ．3πGT 2g 0g解析：选B.在地球两极重力等于万有引力，即有mg 0＝G Mm R 2＝43πρmGR ，在赤道上重力等于万有引力与向心力的差值，即mg ＋m 4π2T 2R ＝G Mm R 2＝43πρmGR ，联立解得：ρ＝3πg 0GT 2（g 0－g ），B 项正确．二、接轨模型 问题1 问题21. 一组太空人乘穿梭机，去修理位于离地球表面5101.6⨯m 的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H,机组人员使穿梭机S 进入与H 相同的轨道并关闭推动发动火箭，而望远镜则在穿梭机前方数千米处，如图所示，设G 为万有引力常量,设ME 为地球质量（已知地球半径为6104.6⨯m,地球质量为241089.5⨯=E M kg ）（1）在穿梭机内，一质量为70Kg 的太空人的视重为多少？（2）计算轨道处的重力加速度的值 （3）穿梭机要追山望远镜，如何做？ 参考答案：（1）人处于完全失重，故视重为零 （2）由2')(h R GMm mg +=得重力加速度为2/0.8s m （3）先减速（向心），追上后再加速（离心）2.如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为。

漫谈天体运动问题的十种物理模型闫俊仁（山西省忻州市第一中学 034000）航空航天与宇宙探测是现代科技中的重点内容，也是高考理综物理命题的热点内容，所涉及到的知识内容比较抽象，习题类型较多，不少学生普遍感觉到建模困难，导致解题时找不到切入点．下面就本模块不同类型习题的建模与解题方法做一归类分析。

一、“椭圆轨道”模型指行星(卫星)的运动轨道为椭圆，恒星(或行星)位于该椭圆轨道的一个焦点上． 由于受数学知识的限制，此类模型适宜高中生做的题目不多，所用知识为开普勒第三定律及椭圆轨道的对称性。

例1 天文学家观察到哈雷彗星的周期约是75年，离太阳最近的距离是8.9X1010m ，但它离太阳的最远距离不能测出。

试根据开普勒定律计算这个最远距离，已知太阳系的开普勒常量k ＝3.354X1018m 3／s 2。

解析 设哈雷彗星离太阳的最近距离为，最远距离为R 2，则椭圆轨道半长 轴为221R R R += 根据开普勒第三定律k TR =23，得 13222R kT R -==m m 103218109.83600243657510354.38⨯-⨯⨯⨯⨯⨯）（=5.224⨯1012m二、“中心天体——圆周轨道”模型指一个天体(中心天体)位于中心位置不动(自转除外)，另一个天体（环绕天体）以它为圆心做匀速圆周运动，环绕天体只受中心天体对它的万有引力作用。

解答思路 由万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，据牛顿第二定律，得r Tm r mw r v m ma r Mm G n 2222)2(π==== 式中M 为中心天体的质量，m 为环绕天体的质量， a n 、v 、w 和T 分别表示环绕天体做圆周运动的向心加速度、线速度、角速度和周期．根据问题的特点条件，灵活选用的相应的公式进行分析求解。

此类模型所能求出的物理量也是最多的。

（1）对中心天体而言，可求量有两个：①质量M=2324GT r π，②密度ρ=3233R GT r π，特殊地，当环绕天体为近地卫星时(r ＝R)，有ρ=23GT π。

`天体运动问题的基本模型与方法天体运行问题的分析与求解，是牛顿第二定律与万有引力定律的综合运用，问题的分析与求解的关键是建模能力。

一、基本模型计算天体间的万有引力时，将天体视为质点，天体的全部质量集中于天体的中心；一天体绕另一天体的稳定运行视为匀速圆周运动；研究天体的自转运动时，将天体视为均匀球体。

二、基本规律1．天体在轨道稳定运行时，做匀速圆周运动，具有向心加速度，需要向心力。

所需向mMr的天体，在半径为的天体绕质量为心力由中心天体对它的万有引力提供。

设质量为v匀速圆周运动，由牛顿第二定律及万有引力定律有：。

这的轨道上以速度、角速度就是分析与求解天体运行问题的基本关系式，由于有线速度与角速度关系与周期关系，这一基本关系式还可表示为：或。

MR，其，半径为2．在天体表面，物体所受万有引力近似等于所受重力。

设天体质量为g，由这一近似关系有：，即表面的重力加速度为。

这一关系式的应用，可实现天体表面重力加速度g与的相互替代，因此称为“黄金代换”。

3．天体自转时，表面各物体随天体自转的角速度相同，等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力最大。

对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛N为天体表面对物体的支持力。

如果天体自转顿第二定律有：，式中N=0，此时有：角速度过大，赤道上的物体将最先被“甩”出，“甩”出的临界条件是：，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自转的角速度，由及可计算出天体不瓦解的最小密度。

三、常见题型1．估算天体质量问题由关系式可以看出，对于一个天体，只要知道了另一天体绕它运行的轨道半径及周期，可估算出被绕天体的质量。

文档Word`例1．据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高200km，运行周期为127分钟。

若还知道引力常量和月球半径，仅利用以上条件不能求出的是A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力C．卫星绕月运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度MRghT，卫星高度为半径为运行周期为，月面重力加速度为，解析：设月球质量为，，vaF。

牛顿万有引力定律
总结词
牛顿万有引力定律是描述任意两个质点之间引力关系的定律，指出任意两个质 点相互吸引，引力大小与质量的乘积成正比，与距离的二次方成反比。
详细描述
牛顿万有引力定律是经典力学中非常重要的基本定律之一，它解释了天体之间 的相互作用，特别是行星绕太阳运动的向心力的来源。
轨道运动的基本原理
地球的倾斜角度导致四季的变 化。
由于地球的轴线相对于公转轨 道平面倾斜，因此随着地球公 转，太阳的直射点在赤道两侧 来回移动，导致四季的变化。
行星的运动
01 总结词
行星围绕太阳旋转，形成了太 阳系中行星的轨道运动。
02
详细描述
太阳系中的行星都沿着椭圆轨 道绕太阳旋转，太阳位于其中 一个焦点。行星的轨道运动遵 循开普勒三定律，其中第一定 律也被称为行星轨道定律，即 行星以太阳为中心沿椭圆轨道 运动。
挑战
新发现的挑战在于如何对这些现象进行理论解释和模型构建，以更好地理解宇宙的本质和演化过程。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
天文观测是利用望远镜、卫星等工具 观测天体的位置、运动轨迹、亮度等 参数，通过长期观测可以发现天体的 周期性运动规律，如地球的自转、月 球的绕地球运动等。
地面实验验证
总结词
地面实验验证是通过模拟天体运动的环 境和条件，对天体运动的规律和理论进 行验证。
VS
详细描述
地面实验验证通常是在实验室中模拟天体 的运动环境，如重力、摩擦力等，通过实 验结果来验证天体运动的规律和理论，如 万有引力定律、开普勒定律等。
1
描述两个质点在万有引力作用下的运动规律。

2
适用于研究行星和卫星等天体的简单运动。
3

高考中的天体运动问题模型探析一、重力与万有引力关系模型1．考虑地球（或某星球）自转影响，地表或地表附近的随地球转的物体所受重力实质是万有引力的一个分力由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力，向心力必来源于地球对物体的万有引力，重力实际上是万有引力的一个分力，由于纬度的变化，物体作圆周运动的向心力也不断变化，因而地球表面的物体重力将随纬度的变化而变化，即重力加速度的值g随纬度变化而变化；从赤道到两极逐渐增大．在赤道上，在两极处，。

例1如图１所示，Ｐ、Ｑ为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个均匀球体，Ｐ、Ｑ两质点随地球自转做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是：（）A．P、Q做圆周运动的向心力大小相等 B．P、Q受地球重力相等C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 D．P、Q做圆周运动的周期相等2．忽略地球（星球）自转影响，则地球（星球）表面或地球（星球）上方高空物体所受的重力就是地球（星球）对物体的万有引力．例2荡秋千是大家喜爱的一项体育活动．随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。

假设你当时所在星球的质量是、半径为，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为。

那么，（1）该星球表面附近的重力加速度等于多少？（2）若经过最低位置的速度为,你能上升的最大高度是多少？二、卫星（行星）模型卫星（行星）模型的特征是卫星（行星）绕中心天体做匀速圆周运动，如图2所示。

1．卫星（行星）的动力学特征中心天体对卫星（行星）的万有引力提供卫星（行星）做匀速圆周运动的向心力，即有：。

2．卫星（行星）轨道特征由于卫星（行星）正常运行时只受中心天体的万有引力作用，所以卫星（行星）平面必定经过中心天体中心。

3．卫星（行星）模型题型设计1)讨论卫星（行星）的向心加速度、绕行速度、角速度、周期与半径的关系问题。

３ ）数 学推 导 ， 得 到 公式
ｏｍ 由Ｇ —ｍ —ｍｇ得 Ｇ ｍ。 一ｇ Ｒｚ ， 此 式 称 为 黄 金 代 。 。
』 、
换式， 不 仅适 用 于地球 ， 也 适 用 于太 阳 、 月球 等 其 他 天
◇ 广东 李 虎
体． 对 黄金代 换 式 Ｇ 。 一ｇ Ｒ。 作 如下 说 明 ：ａ ）Ｇ 是 引
．
所 受 到 的 支 持 力 之 比为
Ｇ 亍 ｍ ｏ Ｔ ￣
，
选项 Ａ 正 确．
２ “ 公 转” 模 型
１ ）认 识 “ 公 转” 模 型
能完 全 用 来 提 供 向 心 力 ， 只 能是 万 有引 力 的一 个分 力 来
一
如 图 ２所 示 ， 一 个 天 体 绕 另
提供 向 心 力 ， 那 么 另 外 一 个 分力 是 什么 呢 ？就 是我 们 常 图１ 说 的“ 地球 表面 或附 近 的物体 由于 地球 的吸 引 而受 到
的重力 ” ． 万 有 引 力 Ｆ、 向心力 Ｆ 及 重 力 ｍｇ 的关 系 如 图 １所 示 ． 万 有 引 力 Ｆ— Ｇ
∞ ｒ ， 重 力 ｍｇ ．
２ ）近 似 处 理 ， 形 成结论
个 天体 做 近 似匀 速 圆周 运 动．
一
“
个 天体 ” 可 以是 自然 天 体 （ 如
Ｇｍ ０ Ｔ
１ ）万 有 引力 Ｆ、 向心力 Ｆ 及 重力 ｍｇ 的关 系
天文 观测 发 现 ， 宇 宙 中 的任 何 一 个 天 体 ， 公 转 的
同时 还在 自转 ． 以地球 为例 ， 它 一 方 面绕 着 太 阳公 转 ，
物 体在南 极 静 止 时 受 到 的 支 持 力 等 于 万 有

第27讲 卫星（天体）追及相遇模型（全国高考）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。

当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。

据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。

已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径（AU ）1.01.55.29.51930B ．在2015年内一定会出现木星冲日C ．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D ．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 答案：BD解析：考察角追及和万有引力定律。

由引力提供向心力可知22ωmr rMm G= 相邻两次冲日的时间间隔XD t ωωπ-=2其中D ω表示的是地球的公转角速度，X ω表示的是行星的公转角速度。

将第一式中的结果代入到第二式中有332XDr GM r GMt -=π设行星的半径是地球半径的k 倍，则上式可化为1112333333-⋅=-=-=kk Y k Y r k GM r GMt DDπ上式中32Dr GM Y π=，也就是地球绕太阳公转的周期，即一年的时间。

对于火星k=1.5，Y Y Y t 25.112.15.12.15.115.15.133=-⨯⨯≈-=对于木星k=5.2，Y Y Y t 09.113.22.53.22.512.52.533=-⨯⨯≈-=至此可知，后面的行星冲日时间间隔大约都是1年，但又大于1年，因为只有∞→k 时才恰恰为一年。

一.知识回顾如果有两颗卫星在同一轨道平面内两个不同轨道上同向绕地球做匀速圆周运动，a 卫星的角速度为ωa ，b 卫星的角速度为ωb ，某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示，则当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。

专题天体运动的“四个热点”问题双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。

如图1所示。

图1(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω21r1，Gm1m2L2＝m2ω22r2②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离系为r1＋r2＝L(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m1m2＝r2r1。

2.多星模型模型三星模型(正三角形排列)三星模型(直线等间距排列)四星模型图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力另外三星球对其万有引力的合力【例1】(多选)(2018·全国Ⅰ卷，20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。

根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。

将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。

答案 BC1.(2019·吉林模拟)我国发射的“悟空”号暗物质粒子探测卫星，三年来对暗物质的观测研究已处于世界领先地位。

天体运动问题中的几个基本要点剖析万有引力定律的发现为研究天体运动奠定了理论基础．天体运动问题是历年高考中的一个重要考点，此类问题涉及牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动以及功能关系等知识的灵活应用．回顾历年高考以及平时复习训练对天体运动的考查，要掌握好天体运动问题，须把握“一条基本定律、两条解题思路、三种天体模型、四组概念辨析、五个常量的应用”这五个基本要点，下面对这些要点作一剖析．一．一条基本定律一条基本定律是指万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．公式：221rm m GF =． 适用条件：适用于两质点间的相互作用，具体应掌握以下三种情况：①两物体间的距离远大于物体本身的线度，两物体可视为质点处理，其距离为两质点间的距离；②两个质量分布均匀的球体间，其距离为两球心间的距离；③一个均匀球体和一个可视为质点的物体之间，其距离为质点到球心的距离．例1 如图1，在一个半径为R ，质量为M 的均匀球体中紧贴球边缘挖去一个半径为2R的球形空穴后，对位于球心和空穴中心线上，与球心相距d 的质点m 的引力是多大？解析：完整的均匀球体对球外质点m 的引力为：21dMm G F =．设挖去的半径为2R 的小球质量为M 1，易得M M 811=，若小球未被挖去时，此小球对质点m 的引力为2212)2(8)2(R d MmG R d m M GF -=-=，所以挖去球穴后剩余部分对质点m 的引力为：222221)2(8287Rd d R dR d GMm F F F -+-=-=．点评：此题应用等效的思想运用先“补”后“割”的方法求得不规则物体间的引力大小，方法值得借鉴．二．两条解题思路思路一：根据万有引力提供天体做圆周运动时所需的向心力，由牛顿第二定律有：ma r Mm G ==2（其中r v a 2=、r 2ω、r T224π）．思路二：对地球表面或在其表面附近绕其做圆周运动的物体有：1图mg RMmG=2（其中2/8.9s m g =）此式也适用于其它天体，只是不同的天体因质量和半径不同，g 的值也不同，g 一般称为天体表面的重力加速度．例２ 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内．若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东京98°和北纬040=α，已知地球半径为R ，地球自转周期T ，地球表面重力加速度g （视为常量）和光速c ，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）．解析 设m 为卫星质量，M 为地球质量，r 为卫星到地球中心的距离，T 为卫星绕地心转动的周期，也就是地球自转周期，由万有引力定律和牛顿第二定律得：r T m r Mm G22)2(π= ①式中G 为万有引力恒量，再由mg RMmG=2得： 2gR GM = ②把②代入①得32224πgT R r =． 设嘉峪关到卫星的距离为L ，如图２所示，由余弦定理得：a rR R r L cos 222-+=，故所求时间为cLt =，由以上各式得： ca g T R R R g T R t cos )4(2)4(3/122223/2222ππ-+=． 点评：抓住以上两条解题思路是解天体运动问题的关键，同时还要注意其它相关知识的应用．三．三种天体模型 模型一：“自转”天体此类天体在绕通过自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动，而此类天体表面上的物体（相对天体静止）则以转轴上某一点为圆心做与天体自转角速度相同的匀速圆周运动．例3 如图３所示，P 、Q 为质量均为m 的两个质点，分别置于地球表面上的不同纬度处，如果把地球看成是一个均匀球体，则( ) A ．P 、Q 受地球引力大小相等B ．P 、Q 做圆周运动的向心力大小相等C ．P 、Q 做圆周运动的周期相等D ．P 、Q 做圆周运动的线速度大小相等解析： 设地球质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，P 、Q 两质点受引力均为2图3图2R MmGF =引，A 正确；P 、Q 做圆周运动的角速度等于地球自转角速度ω，则P 、Q 做圆周运动周期均为ωπ=2T ，C 正确；因P 、Q 做圆周运动的半径r 不同，由r m F 2ω=向和r v ω=知B 、D 均错，故选A 、C ． 模型二：“公转”天体此类天体在绕另一天体（称为中心天体，认为静止）做匀速圆周运动，其做圆周运动所需的向心力由中心天体对其引力提供，如人造卫星绕地球运动，月球绕地球运动等．例4 如图4所示，a 、b 、c 是环绕地球的圆形轨道上运行的三颗人造卫星，下列叙述正确的是( )A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B ．b 、c 的周期相等，且大于a 的周期C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度D ．b 、c 所需的向心力大小相等 解析： 设地球质量为M ，卫星与地心间距离为r ，由卫星做圆周运动所需的向心力由地球对其引力提供有：向ma r Tm r v m r Mm G =π==22224式中v 、T 、向a 分别表示卫星绕地球运转时的线速度、周期、向心加速度． 得rGMv =，r 越小，线速度越大，A 错； GMr T 32π=，r 越大，周期越大，B 正确；2r MGa =向，r 越小，向心加速度越大，C 错； 2rMmG F F ==引向，因b 、c 卫星质量m 未知，其向心力大小无法比较，D 错，故应选B ．模型三：“双星”天体“双星”是宇宙中两颗相隔一定距离，且都在围绕其连线上的某点做匀速圆周运动的天体，两颗星做圆周运动的角速度相等．例5 两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须以一定的角速度绕二者连线上的一点转动才不至于由于万有引力作用而吸在一起，已知两颗星的质量分别为1m 、2m ，相距L ，试求这两颗星的中心位置和转动的周期．解析：设两颗星做圆周运动的周期均为T ，转动中心Ｏ距1m 距离为1R ，由两颗星做圆周运动的向心力由两颗星间万有引力提供，有：12212214R T m L m m G π=，)(41222221R L Tm L m m G -=π．4图解得2121m m L m R +=，)(221m m G LL T +=π四．四组概念辨析１．发射速度与环绕速度的区别当卫星绕地球做稳定的圆周运动时，由r v m rMm G 22==，得r GMv =，则卫星离地越高，其环绕半径r 越大，其环绕速度v 则越小；因发射人造卫星时需克服地球引力做功，则要将卫星发射到离地越高的轨道绕地球做圆周运动，则发射速度需越大．例６ 某人试图发射一颗绕地球做圆周运动的卫星，设地球半径为6400km ，地球表面的重力加速度为9.8m/s 2，下列设想中哪些是可以实现的（ ）A 、环绕速度为9.7km/sB 、环绕速度为6.5km/sC 、周期为12hD 、周期为1h解析：由地球对卫星的引力提供其绕地球做匀速圆周运动的向心力有：r v m rMm G 22=和r T m r Mm G 22)2(π=得r GM v =，GMrr T ⋅π=2 由上述表达式可看出，r 越小，v 越大，T 越小．当r 近似为地球半径R 时，v 最大，T 最小．在地球表面有mg RMm G ==2，即g R GM 2=，则可解得： s km R g R v /9.72max ==，min 8522min ≈π=gR RR T ． 故应选Ｂ、Ｃ．点评：s km v /9.7=称为第一宇宙速度，是发射人造卫星的最小发射速度，同时也是所有绕地飞行的人造卫星中的最大环绕速度．２．重力与引力的区别重力是由于地球吸引而产生的，但由于地球的自转而导致地面上物体的重力与引力略有差异，在高中阶段，只要能区分赤道和两极处重力与引力的差异即可，相关知识要点如下：① 物体在两极处时，因物体并不绕地轴做圆周运动，则两极处物体重力与引力相等，即2RMmGmg =极，其中M 为地球质量，R 为地球半径．② 物体在赤道处时，物体因随地球一起转动，物体在绕地心做匀速圆周运动，物体受到地球对其引力中将有一部分提供其绕地心做圆周运动时所需的向心力，此时物体重力为R m RMm Gmg 22ω-=赤，其中ω为地球自转角速度，易知极赤g g <．③ 对绕地球做匀速圆周运动的卫星而言，其重力等于引力，只是重力全部用来提供其做圆周运动时所需的向心力，从而处于完全失重状态，并非物体此时不受重力，当卫星在离地h 高处绕地球运行时有：2)(h R MmGmg h +=．例７ 人造卫星在绕地球做匀速圆周运动时，对卫星内物体，下列说法正确的是（ ）Ａ、处于完全失重状态，所受重力为零 Ｂ、处于完全失重状态，所受引力为零 Ｃ、处于平衡状态，所受合外力为零Ｄ、所受重力等于引力，且所受的重力是维持它跟卫星一起绕地球做匀速圆周运动时所需的向心力解析：做匀速圆周运动的卫星及其内部的物体，受到地球的万有引力等于重力，其全部用来提供其做圆周运动时所需的向心力，虽物体处于完全失重状态，但本身的真实重力不等于零．物体有向心加速度，合外力不等于零，正确答案为Ｄ．例８ 某行星自转周期为６ｈ，在该行星上用弹簧秤称某物体重力，在该行星赤道上称得物体重力是两极处测得读数的９０％，若该行星看作球体，则它的平均密度为多少？（保留一位有效数字）解析：设该行星质量为M ，半径为R ，则物体在两极有：2R MmGmg =极 ① 在赤道有：R Tm R Mm G mg 2224π-=赤 ②依题意有：极赤mg mg 109=③ 联立以上三式解得：22340GTR M π= 则行星密度为：)/(103)36006(1067.614.33030343321123m Kg GT R M ⨯=⨯⨯⨯⨯=π=π=ρ- ３．向心加速度与重力加速度的区别向心加速度是当物体做圆周运动时具有指向圆心的加速度，重力加速度则是物体受重力而使物体产生的加速度，相关知识要点如下：① 先看向心加速度：对地面上的物体（相对地球静止），在两极处时，因物并未做圆周运动，其向心加速度0=向a ；在赤道处时，R a 2ω=向，其中ω为地球自转角速度；在其它任意一位置（如例３中图３的Ｐ处）时，其随地球转动而绕地轴上O 1做半径为r 的匀速圆周运动，则r a 2ω=向．② 再看重力加速度：对地面上的物体（相对地球静止），若不考虑地球自转引起的地球上不同地方物体的重力差异，则地球上各处重力加速相同，为22/8.9s m R M Gg ==；若考虑地球自转，在赤道处为R RM G g 22ω-=赤；在两极处时，无论考不考虑地球自转，均为22/8.9s m R M G g ==．③ 对绕地球做圆周运动的人造卫星而言，此时重力等于引力，其向心加速度与重力加速度相同，由向ma mg h R MmGh ==+2)(得：2)(h R GMg a h +==向，即离地面越高处，重力加速度则越小． 例９ 设地球同步卫星的轨道半径为r ，运行速率为1v ，加速度大小为1a ，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为2a ，第一宇宙速度为2v ，地球半径为R ，则（ ）A 、2221r R a a = Ｂ、R r a a =21 Ｃ、2221r R v v = Ｄ、rRv v=21 解析：设地球自转角速度为ω，因地球同步卫星和地球自转角速度相同，有：r a 21ω=，R a 22ω=，R ra a =∴21．对绕地球做圆周运动的同步卫星有r v m rMm G 212=，则r GM v =1；因第一宇宙速度大小等于近地卫星绕地球的运行速率，则RGMv =2，rRv v =∴21，正确答案为Ａ、Ｄ． 4、同步卫星与一般卫星的区别因人造卫星受地球引力指向地心，所有人造卫星的轨道圆心都必须是地心，此时卫星才能稳定运行，一般卫星的轨道圆心只要以地心为圆心即可，其轨道平面无特殊限制．因同步卫星要与地球保持相对静止，所有同步卫星的轨道都相同，轨道的圆心为地心，轨道平面与赤道平面共面，因地球同步卫星的同期与地球自转周期相同，为sT 360024⨯=，则由)(4)(222h R Tm h R Mm G +=+π和2gR GM =可得R T gR h -π=32224，将m R 6104.6⨯=等量代入可得m h 7106.3⨯=，即所有同步卫星离地面高度h ，环绕速率))(2(T h R v +π=，角速度)2(Tπω=均为相同的确定值． 值得注意的是，赤道平面上空的卫星并不一定是同步卫星．例１０ 可以发射一颗人造地球卫星，需使其圆轨道（ ） A ．在地球表面上某一纬度（非赤道）是共面同心圆 B ．与地球表面某一经度线所决定的圆是共面同心圆C ．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D ．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的 解析： 万有引力完全用于提供人造卫星绕地球作圆周运动的向心力．A 选项的情景中，万有引力在某一纬度面内的一分力提供向心力，而万有引力的另一分力会使卫星轨道离开该纬度平面，A 错；B 选项的情景，万有引力全部提供了卫星做圆周运动的向心力，使其轨道平面相对地心、两极固定下来，但由于地球不停自转，轨道平面不会固定于某一经度决定的平面，B 错误；赤道轨道上卫星受到的万有引力全部提供向心力，除同步卫星采用“地球静止轨道”外，赤道轨道上的其他卫星都相对地球表面是运动的，故选Ｃ、Ｄ．五、五个常量的应用在解天体运动问题时，经常涉及到一些天文常识和一些常量的应用，题目中一般不明确告诉，属隐含条件，须自觉加以应用，下面五个常量就是解天体运动问题时常用到的：①万有引力常量：2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-②地球表面上或表面附近的重力加速度值：2/8.9s m g =③地球自转周期以及同步卫星绕地球的运转周期：s h T 36002424⨯== ④地球绕太阳的运转周期：s d T 360024365365⨯⨯== ⑤月球绕地球的运转周期：s d T 36002430⨯==例11 已知地球半径为m 6104.6⨯，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为多少？（结果只保留一位有效数字）解析：设地球质量为M ，半径为R ，月球质量为m ，月球到地心距离为r ，月球绕地球做圆周运动的周期为T ，由月球绕地球做圆周运动的向心力由地球对其万有引力提供有：r Tm r Mm G 2224π= ① 又由地球表面物体重力近似等于万有引力有2R m M Gg m '=' ② 联立①、②两式得32224πgT R r = 代数据，地球表面重力加速度2/8.9s m g =，月球绕地球做圆周运动周期s d T 3600243030⨯⨯==得：m m r 832226104)14.3(48.9)36002430()104.6(⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 21．经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双性系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离.一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理.现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动. （1）试计算该双星系统的运动周期T 计算；（2）若实验上观测到的运动周期为T 观测，且T 观测﹕T 计算=11N >）．为了解释T 观测与T 计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，若不考虑其它暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度． 【答案】（1）π（2）33(1)2N m L π- 解析：（1）对每个星体，有222242m L G m L Tπ= 则T π=计算（2）考虑暗物质的引力，对星体，有2222242()2m mML G G m L L T π+=观测又1T T 观测计算∶= 联立解得3313(1)442()32N M N mM m L L ρππ--===17．（1990年·全国）假如一作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则A ．根据公式v r ω=，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍B ．根据公式2v F m r=，可知卫星所需的向心力将减小到原来的12C ．根据公式2MmF GR =，可知地球提供的向心力将减小到原来的14D ．根据上述B 和C 中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的238．神舟六号飞船飞行到第5圈时，在地面指挥控制中心的控制下，由椭圆轨道转变为圆轨道．轨道的示意图如图所示，O 为地心，轨道1是变轨前的椭圆轨道，轨道2是变轨后的圆轨道．飞船沿椭圆轨道通过Q 点的速度和加速度的大小分别设为v 1和a 1，飞船沿圆轨道通过Q 点的速度和加速度的大小分别设为v 2和a 2，比较v 1和v 2、a 1和a 2的大小，有A ．B ．C ．D ．63．一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r =2R （R 为地球半径），卫星的运动方向与地球自转方向相同．已知地球自转的角速度为ω，地球表面处的重力加速度为g ． （1）求人造卫星绕地球转动的角速度．（2）若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物上方需要的时间．【答案】（1（2解析：地球对卫星的万有引力提供作圆周运动的向心力22卫ωmr r Mm G= 地面表面附近的重力加速度g =2R M G 把r ＝2R 代入，解方程可得Rg 8=卫ω （2）卫星下次通过该建筑物上方时，卫星比地球多转弧度，所需时间ωπωωπ--=Rgt 822＝卫。

峙对市爱惜阳光实验学校例析常见天体和问题模型刘月刚〔第二 276300〕一、追及模型【例1】〔2006卷第14题〕 如图3所示，A 是地球的同步卫星。

另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h 。

地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球外表的重力加速度为g ，O 为地球中心。

图3 〔1〕求卫星B 的运行周期。

〔2〕如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近〔O 、B 、A 在同一直线上〕，那么至少经过多长时间，他们再一次相距最近？【解析】〔1〕由万有引力律和向心力公式得 )(4)(222h R T m h R Mm G B+=+π mg RMmG=2 联立解得23)(2gR h R T B +=π〔2〕由题意得πωω2)(0=-t B 而32)(2h R gR T BB +==πω故032)(2ωπ-+=h R gRt拓展1：假设问何时第3次相距最近呢？提示由 πωω22)(0⨯=-t B 得32)(4ωπ-+=h R gRt拓展2：相距最近的条件是n t B πωω2)(0=-，〔其中n=1，2，3 … …表示第2，3，4 … … 次〕变式：假设同步卫星A 绕地球运转半径是R ，周期是T ，设卫星A 、B 的轨道都是圆轨道，求两颗卫星的最近距离是多少。

提示：设卫星B 绕地球的周期为T B ，T B 〉 T,卫星A 、Ｂ每隔时间t 相遇一次，那么由BT t-Tt ＝1 得T B ＝Tt tT +设卫星B 绕地球轨道半径为B R ,万有引力提供向心力有B BB B B R T m R Mm G 2224π=同理对于卫星Ａ绕地球运动也有 RTm R Mm G 2224π=由上面两式有 2323T R T R B B =〔也可直接由开普勒律得出〕R T t t R B 3/2⎪⎭⎫⎝⎛+=所以当卫星Ａ、Ｂ最近时二者的距离有 ｄ＝B R －R ＝R T t t 3/2⎪⎭⎫⎝⎛+－R提醒：围绕同一个天体运行的两颗卫星模型，用开普勒第三律求解时间问题会更加简洁.二、探测模型【例2】2007年10月24日18时05分04秒我国的第一颗探月卫星“嫦娥一号〞——从西昌起飞升空，迈出了探测月球的第一步，考察月球上是否存在水是其中的探测内容之一。

专题3 天体运动的常见模型考点一 双星及多星模型1.模型特征(1)多星系统的条件:各星彼此相距较近,离其他星体很远(忽略其他星体的影响);各星绕同一圆心做匀速圆周运动。

(2)双星及多星模型示例类型双星模型三星模型四星模型结构图向心力 来源 两星之间的万有引力提供各星做匀速圆周运动的向心力,故两星的向心力大小相等每颗星运行所需的向心力都由其余星对其的万有引力的合力提供运动参量各星转动的周期、角速度相等2.解题思路例 (多选)(2018课标Ⅰ,20,6分)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。

根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s 时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。

将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度答案BC 本题考查万有引力定律的应用等知识。

双星系统由彼此间万有引力提供向心力,得Gm1m2L2=m1ω12r1,G m1m2L2=m2ω22r2,且T=2πω,两颗星的周期及角速度相同,即T1=T2=T,ω1=ω2=ω,两颗星的轨道半径r1+r2=L,解得m1m2=r2r1,m1+m2=4π2L3GT2,因为r2r1未知,故m1与m2之积不能求出,则选项A错误,B正确。

各自的自转角速度不可求,选项D错误。

速率之和v1+v2=ωr1+ωr2=ω·L,故C项正确。

考向1 宇宙双星模型1.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,不至因为万有引力的作用而吸引到一起。

如图所示,某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动,它们的轨道半径之比rA ∶rB=1∶2,则两颗天体的( )A.质量之比mA ∶mB=2∶1B.角速度之比ωA ∶ωB=1∶2C.线速度大小之比vA ∶vB=2∶1D.向心力大小之比FA ∶FB=2∶1答案 A A、B绕O点做匀速圆周运动,它们的角速度相等、周期相等,两者之间的万有引力提供向心力,F=mA ω2rA=mBω2rB,所以mA∶mB=2∶1,选项A正确,B、D错误;由v=ωr可知,线速度大小之比vA ∶vB=1∶2,选项C错误。