二次函数拱桥专题

专题五：利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题（有答案）➢知识指引拱桥是我们生活中常见的一种建筑物，可以把它近似的看作抛物线，，通过建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质可以解决相关的问题，下面我们来学习一下抛物线型拱桥问题：➢知识要点：解决抛物线型问题的一般步骤：（1）建立合适的平面直角坐标系；（2）把问题中的已知数据与坐标进行联系；(3)用待定系数法求出抛物线对应的解析式；（4）利用二次函数的图象及性质分析并解决问题.➢知识小结：（1）在建构二次函数模型，把实际问题转化为二次函数时，能够将实际距离准确的转化为点的坐标，并选择运算简便的方法进行计算（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.➢典型例题：类型一：与拱桥有关的水位升降问题【例1】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？【解析】（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2＋b（a≠0）∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m∴点C（0，2），点B（2，0）代入，得{b=2，4a＋b=0，解得{a＝−12，b＝2，∴拱桥所在抛物线的解析式为y=－12x2＋2（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为－1，由y=－12x2＋2，令y=－1，则－1=－12x2＋2.解得x=±√6.∴水面宽度为√6−(−√6)＝2√6【变式】如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？【解析】（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：设抛物线解析式为y=ax2，点D的坐标为D（5，m），则B（10，m－3），由抛物线经过点D和点B，可得{25a＝m，100a＝m−3，解得{a＝−125，m＝−1，∴抛物线的解析式为y=－125x2；（2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为10.2=5（小时）．∴从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶．类型二：与拱桥有关的方案设计选择问题【例2】某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m 加设不锈钢管（如图）做成立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．（1）求该抛物线的解析式（2）计算所需不锈钢管的总长度．【解析】（1）建立如图所示平面直角坐标系，由题意得B（0，0.5）、C（1，0）设抛物线的解析式为：y=ax2＋c，代入得{c=0.5，a+c=0，解得{a=－0.5，c=0.5，故解析式为y=－0.5x2＋0.5；（2）如图：∵当x=0.2时，y=0.48，当x=0.6时，y=0.32，∴B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4=2×（0.48＋0.32）=1.6米∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80米．【变式】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，在长度为8m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离为5m.（1）建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数解析式；（2）求支柱EF的长度.（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m 的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于0.3m ），行车道最宽可以铺设多少米？【解析】（1）根据题意，设拱桥抛物线的函数解析式为：y=a x 2+bx ， ∵相邻两支柱间的距离均为5m ，∴OA=4×5m=20m， ∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上，∴400200,10010 6.a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得3,506.5a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴236505y x x =-+． （2）设点F 的坐标为（15，y ），∴236915155052y =-⨯+⨯=．∴EF=8m －92m=72m=3.5m ． （3）当y=3＋0.3=3.3（m ）时，有2363.3505x x -+=， 化简，得220550x x -+=，解得x 1=10+3√5, x 2=10-3√5， ∴x 1− x 2=6√5≈13.4．答：行车道最宽可以铺设13.4米．➢ 跟踪训练：1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为y=－－14x 2，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为（ ）A ．－6mB ．12mC ．16mD ．24m【解析】依题意，设A 点坐标为（－8，y ）， 代入抛物线方程得：y=－14×64=－16，即水面到桥拱顶点O 的距离为16米．故选：C ．2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=－16x 2＋bx ＋c 表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是（ ）A ．2mB ．4mC ．4√2 mD ．4√3m【解析】根据题意，得OA=12，OC=4．所以抛物线的顶点横坐标为6，即－b 2a =b13=6．∴b=2．∵C （0，4），∴c=4．∴抛物线解析式为y=－16x 2＋2x ＋4=－16（x －6）2＋10． 当y=8时，8=－16（x －6）2＋10．解得x 1=6＋2√3，x 2=6－2√3． 则x 1－x 2=4√3．所以两排灯的水平距离最小是4√3． 故选：D ．3.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．水面上升1.5m ，水面宽度为 m ．【解析】建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，由已知可得，点（2，－2）在此抛物线上，则－2=a×22，解得a=－12，∴y=－12x 2，当y=－0.5时，－12x 2=－0.5，解得x=±1，此时水面的宽度为2m ， 故填：2．4.某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？【解析】以C 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，根据题意知，A（－2，－4.4），B（2，－4.4），设这个函数解析式为y=kx2．将A的坐标代入，得y=－1.1x2，∵货车装货的宽度为2.4m，∴E、F两点的横坐标就应该是－1.2和1.2，∴当x=1.2时y=－1.584，∴GH=CH－CG=4.4－1.584=2.816（m），因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，∵2.8＜2.816，所以该货车能够通过此大门．5.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m．（1）在如图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上，最多涨多少米，不会影响过往船只？【解析】（1）设所求抛物线的解析式为：y=a（x－h）2＋k，∵由AB=20，AB到拱桥顶C的距离为4m，则C（10，4），A（0，0），B（20，0）把A，B，C的坐标分别代入得a=－0.04，h=10，k=4抛物线的解析式为y=－0.04（x－10）2＋4；（2）由题意得可设E （1，y ），把E 点坐标代入抛物线的解析式为y=－0.04（x －10）2＋4， 解得：y=－0.76， ∴DF=0.76m ．6.某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m 时，水面宽8m ．一木船宽4m ，高2m ，载货后，木船露出水面的部分为34m ．以拱顶O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，A 、B 为抛物线与水面的交点． （1）B 点的坐标为 ； （2）求抛物线解析式；（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？【解析】（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则点B （4，－5），故答案为（4，－5）；（2）设抛物线的解析式为y=ax 2，将点B 的坐标代入上式得－5=a×42，解得a=－516，∴该抛物线的解析式为y=－516x 2；（3）将x=2代入上式，得y=－516x 2=－54，∵54＋34=2，而1.8＜2， 当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．7.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【解析】（1）根据题意可知点F 的坐标为（6，－1.5），可设拱桥侧面所在二次函数解析式为：y 1═a 1x 2．将F （6，－1.5）代入y 1═a 1x 2有：－1.5═36a 1，求得a 1═−124， ∴y 1═−124x 2，当x═12时，y 1═−124×122═－6，∴桥拱顶部离水面高度为6m ．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其解析式为y 2═a 2（x －6）2＋1，将H （0，4）代入其解析式有：4═a 2（0－6）2＋1，求得a 2═112，∴右边钢缆所在抛物线解析式为：y 2═112（x －6）2＋1，左边钢缆所在抛物线解析式为：y 3═112（x ＋6）2＋1②设彩带的长度为Lm ，则L═y 2－y 1═112（x －6）2＋1－（−124x 2）═18x 2−x ＋4═18(x −4)2＋2，∴当x═4时，L 最小值═2， 答：彩带长度的最小值是2m ．。

2023-11-06•引言•拱桥问题建模•数值模拟与优化•实验设计与实施•结论与展望目录01引言背景介绍在过去的几十年中，随着科技的发展和工程材料的进步，拱桥设计得到了更多的创新和改进。

然而，拱桥问题仍然是一个具有挑战性的研究领域，需要进一步探索和研究。

拱桥作为一种传统的桥梁形式，具有悠久的历史和广泛的应用。

研究目的和意义研究拱桥问题的目的是为了更好地了解其力学性能和设计优化。

拱桥作为重要的交通枢纽，其安全性和可靠性对于保障人们的生命财产安全具有重要意义。

通过研究拱桥问题，有助于提高桥梁设计水平，促进交通基础设施的发展。

02拱桥问题建模拱桥结构与受力分析拱桥结构拱桥是一种常见的桥梁结构，其特点是在承受载荷时可以将压力转化为张拉力，因此具有较好的抗压性能。

拱桥的主体结构由拱圈和桥墩组成，拱圈是主要的承载结构，桥墩则起到支撑和固定拱圈的作用。

受力分析在承受载荷时，拱桥的拱圈主要承受压应力，而张拉应力则主要由钢筋承受。

桥面上的车辆等载荷通过桥面传递到拱圈上，进而传递到拱桥的支撑结构上。

根据载荷的大小和分布情况，拱桥的支撑结构需要满足一定的强度和稳定性要求。

二次函数在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，一般形式为f(x)=ax^2+bx+c。

二次函数的图像是一个抛物线，其形状受到二次项系数a的影响。

拱桥形状拱桥的形状是一个抛物线形，其跨度和拱高受到二次函数的影响。

通过调整二次函数的系数，可以改变拱桥的形状和跨度。

在实际设计中，通常需要根据桥梁的使用要求和地理条件来确定拱桥的形状和跨度。

二次函数与拱桥形状的关联物理意义在拱桥问题中，二次函数的参数具有明确的物理意义。

例如，二次项系数a代表拱桥的跨度，一次项系数b代表拱桥的高度，常数项c代表拱桥的宽度。

这些参数不仅影响拱桥的形状，还与桥梁的性能和使用要求密切相关。

约束条件在设计和建造拱桥时，需要满足一些约束条件。

例如，桥梁需要满足承载能力、稳定性、耐久性和施工可行性等方面的要求。

1、一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为10米。

若水面下降2米，则水面宽度会变为：A. 12米B. 14米C. 16米D. 18米（答案）C2、某拱桥的形状为抛物线，其最高点距地面6米，且桥拱跨度为10米。

若以桥拱最高点为原点建立坐标系，则桥拱所在的抛物线方程可能为：A. y = -3/25 * x2 + 6B. y = -6/25 * x2 + 6C. y = -9/25 * x2 + 6D. y = -12/25 * x2 + 6（答案）D3、一座抛物线形拱桥，桥下水面宽度为8米时，拱高为2米。

若一艘小船的顶部宽为4米，且高出水面1.5米，则该小船：A. 能顺利通过桥下B. 不能通过桥下C. 刚好能通过桥下D. 无法确定是否能通过桥下（答案）A4、某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高为5米。

若桥下水面宽度增加到16米，则水面距离拱顶的高度为：A. 2米B. 3米C. 4米D. 5米（答案）B5、一座抛物线形拱桥，其方程为y = -ax2 + 4（a > 0）。

若桥下水面宽度为6米时，水面距离拱顶2米，则a的值为：A. 1/9B. 4/9C. 1/3D. 2/3（答案）B6、某抛物线形拱桥的跨度为12米，拱高为3米。

若一货车的高度为2.5米，且货车的宽度不超过多少米时，货车能安全通过桥下？A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米（答案）C7、一座抛物线形拱桥，当水面宽度为12米时，拱高为4米。

若水面上升1米，则水面宽度会：A. 增加B. 减少C. 不变D. 无法确定（答案）B8、某抛物线形拱桥的方程为y = -kx2 + 4（k > 0），且当x = 2时，y = 2。

若桥下水面宽度增加到8米，则水面会：A. 上升B. 下降C. 保持不变D. 无法确定（答案）A9、一座抛物线形拱桥，其最高点距水面6米，且当水面宽度为8米时，拱高为2米。

若一艘小船高出水面1.5米，且顶部宽度不超过多少米时，小船能安全通过桥下？A. 2米B. 4米C. 6米D. 8米（答案）B10、某抛物线形拱桥的跨度为16米，拱高为4米。

22.3（3.2）---拱桥问题中能否通过问题一．【知识要点】1.常用“定宽比高”法解决拱桥问题中能否通过问题。

二．【经典例题】1.一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度16m，为了安全起见，分别在桥的两侧安装如图1所示的不锈钢护栏（护栏包括支柱和衡量），相邻两支柱间的距离均为4m．（1）如图所示建立直角坐标系，求这条抛物线的函数表达式；（2）求安装护栏所需钢管的总长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道，其中的一条行车道能否并排行驶宽2.4m，高3m的两辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．2.有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽20m,拱顶距离水面4m.(1)在如图1所示的坐标系中,求抛物线的解析式;(2)在正常水位基础上,当水位上升h（m）时,桥下水面的宽度为d（m）,试写出用d表示h 的函数解析式;(3)设正常水位时桥下的水深2m,且桥下水面的宽度不得小于18m才能保证过往船只顺利通行,当水深超过多少米时,会影响过往船只在桥下通行?3.某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，篮圈距地面3m，设篮球运行的轨迹为抛物线．（1）建立如图的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）此球能否准确投中？（3）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？4.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？、5.如图，有一个横截面是抛物线的运河，一次，运河管理员将一根长6m的钢管（AB）一端在运河底部A点，另一端露出水面并靠在运河边缘的B点，发现钢管4m浸没在水中（AC ＝4米），露出水面部分的钢管BC与水面部分的钢管BC与水面成30°的夹角（钢管与抛物线的横截面在同一平面内）（1）以水面所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求该运河横截面的抛物线解析式；（2）若有一艘货船从当中通过，已知货船底部最宽处为12米，吃水深（即船底与水面的距离）为1米，此时货船是否能安全通过该运河？若能，请说明理由；若不能，则需上游开闸放水提高水位，当水位上升多少米时，货船能顺利通过运河？（船与河床之间的缝隙忽略不计）6．（2021年绵阳期末第22题）如图①是一条抛物线形状的拱桥，水面宽AB为6米，拱顶C离水面的距离为4米．（1）建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式；（2）一艘货船的截面如图②所示，它是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，货船的宽度KH为5米，货物高度MN为3米．若船弦离水面的安全距离为0.25米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由．三．【题库】【A】1.地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时速度为0；②小球在空中经过的路程是40m；③小球的高度h＝30m时，t＝1.5s；④小球抛出3秒后，速度越来越快．其中正确的是（）A．①④B．①② C．①②④D．②③【B】【C】1.如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，大棚在地面上的宽为AB（单位：米），AB＝10，以AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系，y轴与抛物线交于点C，抛物线解析式为y＝﹣x2+h．（1）求点C坐标；（2）若菜农身高为米，则在她直立的情况下，在大棚内的横向活动范围有几米？【D】1.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4＝7）（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2＝5）。

2023中考数学专题复习：二次函数应用之拱桥问题（提优篇）1.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )A．4√3米B．5√2米C．2√13米D．7米2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按x2+bx+c表示．在抛物线形拱壁上照如图所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−16需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是( )A．2m B．4m C．4√2m D．4√3m3.【测试2】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为( )A．1m B．2m C．√3m D．2√3m4.【例4】如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加( )A．1m B．2m C．3m D．6m5.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为( )的关系式为y=−125A．−20m B．20m C．10m D．−10m6.某大学的校门（如图所示）是抛物线形水泥建筑物，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门的高是米．7.如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米、高6米.车辆双向通行，若规定车辆必须米的空在中心线两侧、距离道路边缘2米的能围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13隙，则通过隧道的车辆的高度限制应为米.8.闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1），如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水，流（如图2），其上的水珠的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=−x2+4x+94那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．9.中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征．如图所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水面宽AB为20m，由于持续降雨，水位上升3m，若水面CD宽为10m，则此时水面距桥面距离OE的长为．10.如图，这是一传媒公司寓意为“大鹏展翅”的大门建筑截面图，它是两条关于线段AB的中垂线对称的抛物线，开口朝向左右，顶点是边长为4米的正方形中心，且分别过正方形的两个顶点．若入口水平宽BE为10.5米，则最高点F到地面的高度FE为米．11.一个拱形桥架可以近似看做是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成的．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45∘，AC1=4米，点D2的坐标为(−13,−1.69)，则桥架的拱高OH=米．12.有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现将它的示意图放在平面直角坐标系中，如图，则抛物线的解析式是．13.如图，某广场设计的一座建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无须证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）14.如图①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=110x2−45x+3的绳子．(1) 求绳子最低点离地面的距离．(2) 因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图②），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长．(3) 将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，数始终为14求m的取值范围．15.在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图（1）所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．(1) 求该抛物线的函数表达式．(2) 当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．①求OD的长．②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E(4,1.3)，东东起跳后所持球离地面高度ℎ1(m)（传球前）与东东起跳后时间t(s)满足函数关系式ℎ1=−2(t−0.5)2+2.7(0≤t≤1)；小戴在点F(1.5,0)处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度ℎ2(m)与东东起跳后时间t(s)的函数关系如图（2）所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中运动时间忽略不计）．16.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−6)2+ℎ．已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m．(1) 当ℎ=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2) 当ℎ=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3) 若球一定能越过球网，又不出边界，求ℎ的取值范围．17.在水平的地面BD上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆AB，CD，以点B为坐标原点，直线BD为x轴建立平面直角坐标系，得到图1．已知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线y=1100x2−45x+30．(1) 求电线杆AB和线段BD的长．(2) 因实际需要，电力公司在距离AB为30米处增设了一根电线杆MN（如图2），左边抛物线F1的最低点离MN为10米，离地面18米，求MN的长．(3) 将电线杆MN的长度变为30米，调整电线杆MN在线段BD上的位置，使右边抛物线F2的二次项系数始终是140，设电线杆MN距离AB为m米，抛物线F2的最低点离地面的距离为k米，当20≤k≤25时，求m的取值范围．18.如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系．求：(1) 以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；(2) 一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？19.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，以AB的中点O为原点，按如图②所示建立平面直角坐标系．(1) 求该抛物线对应的函数关系式；(2) 通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．20.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−16m．距离为3m，到地面OA的距离为172(1) 求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离．(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？(3) 在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少？21.秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥非常令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形，水面宽度AB=10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m．(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．22.如图1，某穿山隧道纵截面为半圆形，圆心O的左右两边各有一条宽为3.75m的机动车道（OC，OD）和宽为1.25m的非机动车道（AC，BD）．（备注：机动车与非机动车通行时都只能在各自车道行驶，不能越线）(1) 若有一辆宽3.3m的卡车载物从该隧道通行，则其最大高度不能超过多少米？（结果精确到0.1m）(2) 为改善通行条件，地方政府另外修建了一条单向隧道，并打算将如图1所示的隧道改建成如图2所示的抛物线形隧道，并要求：①隧道宽度AB及最大高度均保持不变；②只需保留一条单向机动车道(MN)；③两条非机动车道（AM，BN）均拓宽为2m．问：改建后，若有一辆宽3.8m的卡车载物从该隧道通行，则其最大高度不能超过多少米？（结果精确到0.1m）23.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系中始于原点O的一段抛物线，图中数据为已知条件．在跳某个规定动作时，正常米，入水处距池边的距离为4米，同时，运情况下，这个运动员在空中的最高处距水面1023动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1) 求这段抛物线的表达式．(2) 在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中米，问此次跳水是否会失误，为什么？调整好入水姿势时，距池边的距离为33524.校园景观设计：如图1，学校计划在流经校园的小河上建造一座桥孔为抛物线的小桥，桥孔的跨径为8m，拱高为5m．(1) 把该桥拱看作一个二次函数的图象，建立适当的平面直角坐标系，写出这个二次函数的表达式；(2) 施工时，工人师傅先要制作如图2的桥孔模型，请你帮助工人师傅设计计算模型中左侧第二根立柱的高．25.如图是立交路上方一座抛物线型拱桥的示意图，桥的跨度AB=12米，拱高OM=4米．按规定，汽车通过桥下时，车顶与桥拱之间的距离CD不小于0.5米．(1) 以AB为x轴，以OM为y轴建立平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线的表达式．(2) 一辆宽4米、高2.5米（车顶与地面AB的距离）的平顶货车能否通过拱桥？为什么？。

二次函数拱桥应用题.doc 二次函数拱桥应用题拱桥是一种常见的建筑结构，在城市和乡村中都可以见到。

它不仅能够承载重量，还可以美化环境。

在设计和建造拱桥时，数学是一个重要的工具。

其中二次函数在解决与拱桥相关的问题时起到了重要的作用。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数，且a不等于0。

二次函数的图像是一个抛物线，具有对称轴和顶点。

在拱桥的设计中，二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。

例如，我们可以用二次函数来描述一座拱桥的高度与横轴距离之间的关系。

假设我们要设计一座拱桥，使得拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，那么我们可以使用二次函数来描述这个关系。

首先，我们需要确定二次函数的顶点位置。

顶点是二次函数的最高点或最低点，它位于对称轴上。

对于拱桥来说，我们希望拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，因此我们需要找到二次函数的最高点。

假设拱桥的起点为原点(0,0)，终点为坐标为(x,y)的点。

我们可以通过求解二次函数的顶点来确定拱桥的最高点。

顶点的横坐标可以通过求解二次函数的对称轴方程得到，对称轴方程为x=-b/(2a)。

将这个值代入二次函数的表达式中，我们可以求得顶点的纵坐标。

拱桥的高度与横轴距离之间的关系可以用二次函数来描述。

这个二次函数的顶点就是拱桥的最高点，拱桥的形状由这个二次函数的图像来表示。

在实际的拱桥设计中，我们需要考虑到许多因素，如桥梁的承重能力、材料的强度、施工的成本等。

因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的二次函数来描述拱桥的形状。

例如，我们可以选择一个顶点为(0,0)的二次函数y=ax^2来描述拱桥的形状。

在确定a的值时，我们需要考虑到桥梁的承重能力。

如果a的值过大，那么拱桥的曲线将会很陡峭，不利于行人和车辆的通行。

如果a的值过小，那么拱桥的曲线将会很平缓，可能无法承受桥梁的重量。

因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的a的值。

22.3（4.1）---（拱桥问题）一．【知识要点】1.现实生活中的抛物线：喷射的水流、投出的篮球运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子、一些拱桥、涵洞等，都给人留下抛物线的印象。

如果把它们放到平面直角坐标系中，结合实际数据即可求解得出抛物线的解析式，再通过二次函数的性质来解决测量问题、最值问题等.二．【经典例题】1.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加__________m。

2.（6分）如右图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，•是否采取紧急措施？三．【题库】【A】1.如图，是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，建立适当坐标系．则两盏景观灯之间的水平距离_________.【B】1.如图,某大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的解析式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_____________ s.【C】1．一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时达到最大高度4m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是m．【D】1.小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m，y2m，y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．（1）小丽出发时，小明离A地的距离为m．（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，①两人何时相距180m？②两人何时相距最近？最近距离是多少？。

第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数22.3.2拱桥问题【知识点梳理】建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：（1）根据题意建立适当的____________________________；（2）把已知条件转化为______________________________；（3）合理设出函数__________________________________；（4）利用____________________法求出函数解析式；（5）根据求出的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。

A.基础过关1.如图，广场中央建一个喷水池，在距地面1.5米高的柱子顶端A处安装喷头，向外喷水，水流在各个方向呈抛物线形落下，在如图坐标系中，水流喷出的高度y与水平距离x之间关系是，则水池半径至少是( )。

A．0.5米 B．3米 C．2米 D．1.5米第1题图第2题图第3题图2.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示）．对应的两条抛物线关于y 轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）。

A． B． C． D．3.某公园的草坪防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间隔0.4米，加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5米，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）。

A.50mB. 100mC. 160mD.200m4.某工厂的大门是一抛物线形状的水泥建筑，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高为（精确到0.1米）（）。

A． 6.9米 B． 7.0米 C． 7.1米 D． 6.8米第4题图 第5题图 第6题图5.图所示，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米。

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题09 二次函数的实际应用—拱桥问题考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·虹口期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A ．B ．10米C ．米D ．12米【答案】B 【解析】【解答】以O 点为坐标原点，AB 的垂直平分线为y 轴，过O 点作y 轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，∵O 点到水面AB 的距离为4米，∴A、B 点的纵坐标为-4，∵水面AB 宽为20米，∴A（-10，-4），B （10，-4），将A 代入y=ax 2，-4=100a ，∴125a =-，∴2125y x =-，∵水位上升3米就达到警戒水位CD ，∴C 点的纵坐标为-1，∴21125x -=-∴x=±5，∴CD=10，故答案为：B ．【思路引导】先建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，再求出解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。

2．（2分）（2021九上·安阳期中）有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝125 x 2＋ 58x B ．y ＝－125 x 2＋ 85 x C ．y ＝－ 58 x 2－ 125 x D ．y ＝－ 125 x 2＋ 85 x ＋16【答案】B 【解析】【解答】解：由图可知，该抛物线开口向下，对称轴为x ＝20，最高点坐标为（20，16），且经过原点，由此可设该抛物线解析式为 ()22016y a x =-+ ，将原点坐标代入可得 400160a += ，解得： 125a =- ，故该抛物线解析式为 ()22118201625255y x x x =--+=-+.故答案为：B.【思路引导】由题意可设抛物线解析式为y=a(x-20)2+16，将（0，0）代入可得a的值，据此可得抛物线的解析式.3．（2分）（2021九上·诸暨月考）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（ ）A．1m B．2mC．（﹣4）m D．（﹣2）m【答案】C【解析】【解答】解：如图，建立直角坐标系，设y=a（x-2）（x+2），∴2=a（0-2）（0+2），∴a=-12，∴y=-12（x-2）（x+2），当水面下降1米时，y=-1，∴-1=-12（x-2）（x+2），解得，∴水平宽度增加：（-4）m.故答案为：C.【思路引导】根据题意建立直角坐标系，结合数据求出二次函数解析式，再把y=-1代入抛物线解析式，则可求出此时的水面宽度，即可得出答案.4．（2分）（2020九上·郁南期末）如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为 2125y x =- ，当水面宽度 AB 为20m 时，此时水面与桥拱顶的高度 DO 是（ ）A ．2mB ．4mC ．10mD ．16m【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得B 的横坐标为10，把x=10代入 2125y x =-，得y=-4，∴OD=4m，故答案为：B ．【思路引导】将x=10代入函数解析式求出y=-4，再求解即可。

专题07 二次函数与实际应用（拱桥问题）一、填空题1．（2024·安徽肥东·中考二模）如图，一座悬索桥的桥面OA 与主悬钢索MN 之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM 与AN 相等．小强骑自行车从桥的一端O 沿直线匀速穿过桥面到达另一端A ，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA 共需_____________秒．2．（2024·江苏工业园区·中考一模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为80m ，高度分别为300m 和225m ，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（AB 的长）为_________m ．第1题图 第2题图3．（2024·浙江·温州市中考一模）2024年1月12日世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥主体成功合拢．如图2所示，已知桥底呈抛物线，主桥底部跨度400OA =米，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，桥面//BF OA ，抛物线最高点离路面距离10EF =米，120BC =米，CD BF ⊥，O ，D ，B 三点恰好在同一直线上，则CD =________米．第3题图 第4题图4．（2024·江苏工业园区·中考二模）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为8m ，24m AB =，D ，E 为拱桥底部的两点，且//DE AB ，若DE 的长为36m ，则点E 到直线AB 的距离为______．二、解答题5．（2024·浙江衢州·中考真题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱项部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．6．如图，某水库上游有一单孔抛物线型拱桥，它的跨度AB为100米．最低水位（与AB在同一平面）时桥面CD距离水面25米，桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD，中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱EF长5米．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；（2）在最低水位时，能并排通过两艘宽28米，高16米的游轮吗？（假设两游轮之间的安全间距为4米）（3）由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出13米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？7．（2024·山西·长治市实验中学九年级期末）景德桥，俗称西关大桥，是我国一座著名的古代石拱桥．景德桥位于山西省东南部的晋城西门外，横跨沁水河，过去，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，故曾又名沁阳桥．桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米，若水面上升3米至EF处．（1）把拱桥看作抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，求水面宽度EF．（2）把拱桥看作圆的一部分，则可构造如图2所示的图形，求水面宽度EF．8．（2024·山东即墨·中考一模）即墨古城某城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（OMNE为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴，OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．（1）求出上半部分抛物线的函数表达式，并写出其自变量的取值范围；（2）有一辆宽3米，高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城，请问该消防车能否正常进入？（3）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中AB，AD，CD为三根承重钢支架，A、D在抛物线上，B，C在地面上，已知钢支架每米50元，问搭建这样一个矩形“装饰门”，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？9．（·山东青岛·中考真题）某公司生产A 型活动板房成本是每个425元．图①表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长4AD m =，宽3AB m =，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用()20y kx m k =+≠表示，求该抛物线的函数表达式；（2）现将A 型活动板房改造为B 型活动板房．如图②，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元2/m ．已知2GM m =，求每个B 型活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？10．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM 为16米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A ．D 点在抛物线上．B 、C 点在地面OM 线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．11．（2024·辽宁海城·九年级月考）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC 构成．矩形一边OA 的长是12m ，另一边OC 的长是1m ．抛物线上的最高点D 到地面OA 的距离为7m ．以OA 所在直线为x 轴，以OC所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m ，求两排灯之间的水平距离；（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于1m 3的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m 处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．12．（·陕西·子长县齐家湾中学九年级期末）小明将他家乡的抛物线型彩虹桥按比例缩小后，绘制成如下图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称，经过测算，右边抛物线的表达式为21(30)520y x =--+． （1）直接写出左边抛物线的解析式； （2）求抛物线彩虹桥的总跨度AB 的长；（3）若三条钢梁的顶点M 、E 、N 与原点O 连成的四边形OMEN 是菱形，你能求出钢梁最高点离桥面的高度OE 的长吗？如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由．13．（2024·山东黄岛·九年级期末）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m 的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．14．（2024·福建厦门·九年级期末）某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为100m（如图所示）．由于潮汐变化，该海湾涨潮5h后达到最高潮位，此最高潮位维持1h，之后开始退潮．如：某日16时开始涨潮，21时达到最高潮位，22时开始退潮．该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间t 变化的情况大致如表所示．（在涨潮的5h 内，该变化关系近似于一次函数） 涨潮时间t （单位：h ）1 2 3 4 5 6桥下水位上涨的高度（单位：m ）4585 1251654 4 （1）求桥下水位上涨的高度（单位：m ）关于涨潮时间t （06t ≤≤，单位：h ）的函数解析式； （2）某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表所示： 涨潮时间t （单位：h ） 5452 154桥下水面宽（单位：m ）202420232022现有一艘满载集装箱的货轮，水面以上部分高15m ，宽20m ，在涨潮期间能否安全从该桥下驶过？请说明理由．15．（·河北·中考一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为18米，拱顶O 离水面AB 的距离OM 为9米，建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求此抛物线的解析式；（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF .①如果限定矩形的长CD 为12米，那么要使船通过拱桥，矩形的高DE 不能超过多少米？ ②若点E ，F 都在抛物线上，设L EF DE CF =++，当L 的值最大时，求矩形CDEF 的高.16．（·安徽无为·九年级期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面常度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔水面宽度BC＝6米，顶点N距水面4.5米．航管部门设定警戒水位为正常水位上方2米处借助于图中的平面直角坐标系解答下列问题：（1）在汛期期间的某天，水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3米，顶部宽4米的巡逻船要路过此处，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由．（2）在问题（1）中，同时桥对面又有一艘小船准备从小孔迎面通过，小船的船顶高出水面1.5米，顶部宽3米，请问小船能否安全通过小孔？并说明理由．17．（2024·贵州安顺·中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽8m OA =，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处．有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线()20y ax bx c a =++≠，该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．。