打包下载：2019版高考一轮创新思维文科数学练习(共58套)人教A版Word版含答案

课时规范练A 组 基础对点练1．(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}解析：由题意知A ∪B ＝{1,2,4,6}，∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}．答案：B2．(2018·郑州质检)已知集合M ＝{x |x 2<1}，N ＝{x |2x >1}，则M ∩N ＝( )A ．∅B ．{x |0<x <1}C ．{x |x <0}D ．{x |x <1} 解析：依题意得M ＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |x >0}，M ∩N ＝{x |0<x <1}，选B.答案：B3．设集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈N|(x －1)(x －4)<0}，则A ∩B ＝( )A ．{2,3}B ． {1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4}解析：因为B ＝{x ∈N|(x －1)(x －4)<0}＝{x ∈N|1<x <4}＝{2,3}，所以A ∩B ＝{2,3}，故选A. 答案：A4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( ) A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：根据题意，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，又∵a ≠0，∴a ＋b ＝0，即a ＝－b ，∴b a ＝－1，b ＝1.故a ＝－1，b ＝1，则b －a ＝2.故选C.答案：C5．设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B ＝( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：∵y ＝2x ＞0，∴A ＝{y |y ＞0}．又x 2－1＜0，∴－1＜x ＜1，∴B ＝{x |－1＜x ＜1}．故A ∪B ＝{x |x ＞－1}．故选C.答案：C6．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝()A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}解析：由题意，得B＝{1,4,7,10}，∴A∩B＝{1,4}．答案：D7．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝() A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：集合A＝(－1,2)，B＝(0,3)，∴A∪B＝(－1,3)．答案：A8．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B ＝()A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}解析：由于B＝{x|－2＜x＜1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.答案：A9．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝()A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}解析：因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故选B.答案：B10．(2018·天津模拟)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝() A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．答案：D11．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝()A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}解析：n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案：A12．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：由于Q ＝{x |x ≤－2或x ≥2}，∁R Q ＝{x |－2＜x ＜2}，故得P ∪(∁R Q )＝{x |－2＜x ≤3}．选B.答案：B13．(2018·山西大学附中模拟)给出下列四个结论：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素；④集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x ∈N 是有限集． 其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q 且6x ∈N 时，6x 可以取无数个值，所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x ∈N 是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A.答案：A14．已知集合A ＝{－1,2,3,6}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝________.答案：{－1,2}15．已知集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝________.解析：∁U B ＝{2}，∴A ∪∁U B ＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}16．已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝__________. 解析：{1,2,3,5}B 组 能力提升练1．已知全集U ＝{0,1,2,3}，∁U M ＝{2}，则集合M ＝( )A ．{1, 3}B ．{0,1,3}C ．{0,3}D ．{2}解析：M ＝{0,1,3}．答案：B 2．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{1，m }．若A ∩B ＝B ，则实数m 的值是( )A ．0B ．2C ．0或2D ．0或1或2 解析：∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴m ＝0或m ＝2.答案：C3．设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2＞0，B ＝{x ∈R|0＜x ＜2}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(1,2)D ．[1,2]解析：依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x ＜2}＝[1,2)，选B.答案：B4．(2018·福州五校联考)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －1x ＋2≤0，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．(－1,1]D ．[－1,1]解析：法一：依题意，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －1x ＋2≤0＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}＝{x |－x 2＋4x ＋5>0}＝{x |－1<x <5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥5}，A ∩(∁R B )＝(－2，－1]，选A. 法二：显然0∈B ，故0∉∁R B ，排除C 、D ；令x ＝－2，则集合A 中的不等式无意义，故－2∉A ，－2∉A ∩(∁R B )，排除B ，选A.答案：A5．(2018·惠州模拟)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8解析：由题意知，B ＝{0,1,2}，则集合B 的子集的个数为23＝8.故选D.答案：D6.设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎣⎡⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎦⎤32，3解析：A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <32，图中阴影部分表示的为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <32，故选B. 答案：B7．(2018·郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}解析：因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A.答案：A8．(2018·广雅中学测试)若全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )解析：由题意知，N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}，而M ＝{－1,0,1}，所以N M ，故选B. 答案：B9．已知集合A 满足条件{1,2}⊆A {1,2,3,4,5}，则集合A 的个数为( )A ．8B ．7C ．4D ．3解析：由题意可知，集合A 中必含有元素1和2，可含有3,4,5中的0个、1个、2个，则集合A 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共7个．故选B.答案：B10．已知集合A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0 D. 2解析：若k 2－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝4，得k ＝±6，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.答案：B11．用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )C (B )－C (A )，C (A )＜C (B )，若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则C (S )＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0等价于x 2＋ax ＝0①或x 2＋ax ＋2＝0 ②.因为A ＝{1,2}，且A *B ＝1，所以集合B 要么是单元素集合，要么是三元素集合．(1)集合B 是单元素集合，则方程①有两个相等的实数根，②无实数根，所以a ＝0；(2)集合B 是三元素集合，则方程①有两个不相等的实数根，②有两个相等且异于①的实数根，即⎩⎨⎧a ≠0Δ＝a 2－8＝0， 解得a ＝±2 2.综上所述，a ＝0或a ＝±22，所以C (S )＝3.故选C.答案：C12．设全集U ＝{n ∈N|1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________. 解析：依题意得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A ＝{4,6,7,9,10}，(∁U A )∩B ＝{7,9}． 答案：{7,9}13．集合A ＝{x ∈R||x －2|≤5}中的最小整数为________．解析：由|x －2|≤5，得－5≤x －2≤5，即－3≤x ≤7，所以集合A 中的最小整数为－3. 答案：－314．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________． 解析：由题意知，方程(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18. 答案：1或－ 1815．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可取值组成的集合为__________．解析：当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1 ≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}16．集合{－1,0,1}共有__________个子集．解析：集合{－1,0,1}的子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，共8个．答案：8课时规范练A组基础对点练1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.答案：A2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2＜0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20＜0D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0解析：命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20＜0”，故选C.答案：C3．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0＜0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0解析：把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C.答案：C4．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．∃x≤0，总有(x＋1)e x≤1解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1的否定是綈p：∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.答案：B5．设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为()A．∃x0∈R，x20＋1＞0B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0解析：全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“∃x0∈R，x20＋1≤0”，所以选B.答案：B6．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x0∉R，x20≠x0D．∃x0∈R，x20＝x0解析：全称命题的否定是特称命题：∃x0∈R，x20＝x0，选D.答案：D7．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则() A．綈p：∀x∈A,2x∉BB．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x0∉A,2x0∈BD．綈p：∃x0∈A,2x0∉B解析：由命题的否定易知选D，注意要把全称量词改为存在量词．答案：D8．命题“存在实数x0，使x0＞1”的否定是()A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x0，使x0≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x0，使x0≤1解析：由特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对任意实数x，都有x≤1，故选C.答案：C9．已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是() A．p∧q B．綈p∧qC．p∧綈q D．綈p∧綈q解析：对于命题p ，由于x ＝－1时，2－1＝12＞13＝3－1，所以是假命题，故綈p 是真命题； 对于命题q ，设f (x )＝x 3＋x 2－1，由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以f (x )＝0在区间(0,1)上有解，即存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，故命题q 是真命题．综上，綈p ∧q 是真命题，故选B.答案：B10．已知命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1＞0，则綈p 是( )A ．∀x ∈R ，e x －x －1＜0B ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0C ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1＜0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≤0解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1＞0，则綈p ：∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0.故选B.答案：B11．已知命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0.则下面结论正确的是( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∧q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．p 是假命题解析：对于p ：取α＝π2，则cos(π－α)＝cos α， 所以命题p 为真命题；对于命题q ：因为x 2≥0，所以x 2＋1＞0，所以q 为真命题．由此可得p ∧q 是真命题．故选A.答案：A12．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题，④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，所以选C.答案：C13．已知命题p ：“∃x 0∈R ，e x 0－5x 0－5≤0”则綈p 为__________．答案：∀x ∈R ，e x －5x －5>014．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是__________．①p ∧綈q ②綈p ∧q③綈p ∧綈q ④p ∧q解析：命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．答案：①15．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是__________． ①p 为真 ②綈q 为假③p ∧q 为假 ④p ∨q 为真⑤綈p ∧綈q 为真 ⑥綈(p ∨q )为真．解析：p 、q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，綈p ∧綈q 为真，綈(p ∨q )为真．答案：③⑤⑥B 组 能力提升练1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0，是假命题；q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，是真命题．因此p ∨q 是真命题，其他选项都不正确，故选A.答案：A2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：綈p ：甲没有降落在指定范围；綈q ：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p 或綈q 发生．故选A.答案：A3．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有4x >0；命题q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以p ∧q 是假命题，(綈p )∧(綈q )是假命题，(綈p )∧q 是假命题，p ∧(綈q )是真命题，故选D.答案：D4．(2018·开封模拟)已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，有3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：因为y ＝⎝⎛⎭⎫32x 在R 上是增函数，即y ＝⎝⎛⎭⎫32x >1在(0，＋∞)上恒成立，所以p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以命题p 2是假命题，綈p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)是真命题，选C.5．(2018·河北三市联考)命题p ：∃a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－14，使得函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎡⎦⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞上无零点，则下列命题中是真命题的是( )A ．綈pB ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．p ∧(綈q ) 解析：设h (x )＝x ＋a x ＋1.当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝⎛⎭⎫12＝16>0, 则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝⎛⎭⎫12＝－12<0，g (1)＝1>0， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，故选D. 答案：D6．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )>0 解析：∵f ′(x )＝3cos x －π，∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，∴p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，∴綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0.故选C.答案：C7．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[－6，－2]C ．(2,6)D ．(－6，－2)解析：由题意知不等式x 2＋mx ＋2m －3≥0对一切x ∈R 恒成立，所以Δ＝m 2－4(2m －3)≤0，解得2≤m ≤6，所以实数m 的取值范围是[2,6]，故选A.答案：A8．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x ＋1，则关于f (x )，g (x )的语句为假命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )>g (x )B ．∃x 1，x 2∈R ，f (x 1)<g (x 2)C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝g (x 0)D ．∃x 0∈R ，使得∀x ∈R ，f (x 0)－g (x 0)≤f (x )－g (x )解析：设F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝e x －1，于是当x <0时F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x >0时F ′(x )>0，F (x )单调递增，从而F (x )有最小值F (0)＝0，于是可以判断选项A 为假，其余选项为真，故选A.答案：A9．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 答案：A10．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(綈q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B ．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C ．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D ．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名解析：(綈q )∧r 是真命题意味着綈q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.答案：D11．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 解析：由题意可知，只需m ≥tan x 的最大值．∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，y ＝tan x 为增函数，当x ＝π4时，y ＝tan x 取最大值1. ∴m ≥1.答案：112．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________． 解析：由“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，可得－1≤tan x ≤1，∴0≤tan x ＋1≤2，∴实数m的最大值为0.答案：013．命题“存在x0＞－1，x20＋x0－2 018＞0”的否定是________．解析：特称命题的否定是全称命题，故命题“存在x0＞－1，x20＋x0－2 018＞0”的否定是“任意x＞－1，x2＋x－2 018≤0”．答案：“任意x＞－1，x2＋x－2 018≤0”14．已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p ∧q为假命题，则实数m的取值范围为__________．解析：由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1，由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，可得－2＜m＜2，若命题p、q均为真命题，则此时－2＜m≤－1.因为p∧q为假命题，所以命题p、q中至少有一个为假命题，所以m≤－2或m＞－1.答案：m≤－2或m＞－1课时规范练A 组 基础对点练1．(2017·高考天津卷)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由|x －1|≤1，得0≤x ≤2，∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤2⇒/ 0≤x ≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件，故选B.答案：B2．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.答案：C3．已知命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )A ．否命题 “若函数f (x )＝e x －mx 在 (0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”是真命题B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C ．逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D ．逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题解析：命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：D4．设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.答案：D5．设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．答案：D6．“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得x ＋1x ≥2⇔x ＞0，所以“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的充分不必要条件，故选A. 答案：A7．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，故选A. 答案：A8．(2018·天津模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立；当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立，故选B.答案：B9．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件，故选A.答案：A10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.答案：B11．“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．答案：B12．(2018·河南洛阳统考)已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±3，而当m＝3时，m2＋1＝4，∴“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．答案：A13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的__________条件．解析：由正弦定理，得asin A＝bsin B，故a≤b⇔sin A≤sin B.答案：充要14．“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的__________条件． 解析：由log 12(x ＋2)＜0，得x ＋2＞1，解得x ＞－1，所以“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的充分不必要条件．答案：充分不必要15．命题“若x >1，则x >0”的否命题是__________．答案：若x ≤1，则x ≤016．如果“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__________．解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1B 组 能力提升练1．设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：q ：2x >1⇔x >0，且(1,2)⊆(0，＋∞)，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：A2．若x ，y ∈R ，则x >y 的一个充分不必要条件是( )A ．|x |>|y |B ．x 2>y 2 C.x >y D ．x 3>y 3解析：由|x |>|y |，x 2>y 2未必能推出x >y ，排除A ，B ；由x >y 可推出x >y ，反之，未必成立，而x 3>y 3是x >y 的充要条件，故选C.答案：C3．l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A. 答案：A4．“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.故选A. 答案：A5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α，∴当sin α＝cos α时，cos 2α＝0，充分性成立；当cos 2α＝0时，∵cos 2 α－sin 2 α＝0，∴cos α＝sin α或cos α＝－sin α，必要性不成立，故选A. 答案：A6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 3>0”是“数列{S n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝－1，…时，{S n }不是递增数列，反之，若{S n }是递增数列，则S n ＋1>S n ，即a n ＋1>0，所以a 3>0，所以“a 3>0”是“{S n }是递增数列”的必要不充分条件，故选B.答案：B7．“a ≤－2”是“函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：结合图象可知函数f (x )＝|x －a |在[a ，＋∞)上单调递增，易知当a ≤－2时，函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A.答案：A8．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：结合平面向量的几何意义进行判断．若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 答案：D9．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4， ∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件． 答案：B10．(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，选A. 答案：A11．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x ，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．当f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，所以2a ＝0，故a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的充要条件，故选C.答案：C12．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”⇒/ “k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A. 答案：A13．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是 “a 是无理数”的充要条件； ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件． 其中真命题的序号是__________．解析：①中“a ＝b ”可得ac ＝bc ，但c ＝0时逆命题不成立，所以不是充要条件，②正确，③中a >b 时a 2>b 2不一定成立，所以③错误，④中“a <5”得不到“a <3”，但“a <3”可得出“a <5”，“a <5”是“a <3”的必要条件，正确． 答案：②④14．已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的__________条件．解析：若函数y ＝2x ＋m －1有零点，则m ＜1；若函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m ＜1. 答案：必要不充分15．(2018·江西九校联考)下列判断错误的是__________． ①若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题②命题“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 30－x 20－1＞0”③“若a ∥c 且b ∥c ，则a ∥b ”是真命题 ④“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的否命题是假命题解析：选项①、②中的命题显然正确；选项④中命题的否命题为：若am 2≥bm 2，则a ≥b ，显然当m ＝0时，命题是假命题，所以选项④正确；对于选项③中的命题，当c ＝0时，命题是假命题，故填③. 答案：③16．下列四个结论中正确的个数是__________． ①“x 2＋x －2＞0”是“x ＞1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0＞1”； ③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.解析：对于①，由x 2＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞1，故“x 2＋x －2＞0”是“x ＞1”的必要不充分条件，故①错误；对于②，命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0＞1”，故②正确；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误；对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32，∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误． 答案：1课时规范练 A 组 基础对点练1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：a 4＝S 4－S 3＝20－12＝8. 答案：C2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n ＝( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝2a 1－4，∴a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，故选A. 答案：A4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38解析：由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.答案：C5．(2018·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝__________.解析：∵S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32，∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12. 答案：126．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 3＋a 4＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12. 答案：127．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解析：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝n (n ＋1)2.显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.8．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解析：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．B 组 能力提升练1．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ·⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23.故选C. 答案：C2．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.15D.110解析：∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.答案：C3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1 B.2n (n ＋1) C.6(n ＋1)(n ＋2)D.5－2n 3解析：由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n (n ＋1)，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 答案：B4．(2018·临沂联考)观察下列各图，并阅读图形下面的文字，则10条直线相交，交点的个数最多是()A ．40B ．45C ．50D ．55解析：设n 条直线的交点个数为a n (n ≥2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，……a 10－a 9＝9.累加得a 10－a 2＝2＋3＋…＋9， a 10＝1＋2＋3＋…＋9＝45. 答案：B5．现定义a n ＝5n ＋⎝⎛⎭⎫15n ，其中n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫110，15，12，1，则a n 取最小值时，n 的值为__________． 解析：令5n ＝t >0，考虑函数y ＝t ＋1t ，易知其在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当t ＝1时，y 的值最小，再考虑函数t ＝5x ，当0<x ≤1时，t ∈(1,5]，则可知a n ＝5n ＋⎝⎛⎭⎫15n在(0,1]上单调递增，所以当n＝110时，a n取得最小值．答案：1106．已知数列{a n}中，a1＝1，若a n＝2a n－1＋1(n≥2)，则a5的值是__________．解析：∵a n＝2a n－1＋1，∴a n＋1＝2(a n－1＋1)，∴a n＋1a n－1＋1＝2，又a1＝1，∴{a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n＋1＝2×2n－1＝2n，∴a5＋1＝25，即a5＝31.答案：317．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝4S n－1(n∈N*)．(1)证明：a n＋2－a n＝4；(2)求{a n}的通项公式．解析：(1)证明：∵a n a n＋1＝4S n－1，∴a n＋1a n＋2＝4S n＋1－1，∴a n＋1(a n＋2－a n)＝4a n＋1，又a n≠0，∴a n＋2－a n＝4.(2)由a n a n＋1＝4S n－1，a1＝1，求得a2＝3，由a n＋2－a n＝4知，数列{a2n}和{a2n－1}都是公差为4的等差数列，∴a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1，a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，∴a n＝2n－1.8．已知数列{a n}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和S n满足S n＋S n－2＝2S n－1＋2n－1(n≥3)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝log2256a2n－1，n∈N*，设数列{b n}的前n项和为S n，当n为何值时，S n有最大值？并求最大值．解析：(1)由题意知S n－S n－1＝S n－1－S n－2＋2n－1(n≥3)，即a n＝a n－1＋2n－1(n≥3)，∴a n＝(a n －a n－1)＋…＋(a3－a2)＋a2＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋5＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋1＋2＝2n＋1(n≥3)，经检验，知n＝1,2时，结论也成立，故a n＝2n＋1.(2)b n＝log2256a2n－1＝log22822n＝log228－2n＝8－2n，n∈N*，当1≤n≤3时，b n＝8－2n>0；当n＝4时，b n＝8－2n＝0；当n≥5时，b n＝8－2n<0.故n＝3或n＝4时，S n有最大值，且最大值为S3＝S4＝12.课时规范练 A 组 基础对点练1．(2018·嘉兴调研)已知a n ＝32n －101(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( )A ．99B ．100C ．101D ．102解析：由通项公式得a 1＋a 100＝a 2＋a 99＝a 3＋a 98＝…＝a 50＋a 51＝0，a 101＝3101>0，故选C.答案：C2．(2018·昆明七校调研)在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若q ＝2，且a 2与2a 4的等差中项为18，则S 5＝( ) A ．62 B ．－62 C ．32D ．－32解析：依题意得a 2＋2a 4＝36，q ＝2，则2a 1＋16a 1＝36，解得a 1＝2，因此S 5＝2×(1－25)1－2＝62，选A. 答案：A3．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 3，a 4＋52，a 11成等比数列．若p －q ＝10，则a p －a q ＝( ) A ．14 B ．15 C ．16D ．17解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意分析知d >0，因为a 3，a 4＋52，a 11成等比数列，所以⎝⎛⎭⎫a 4＋522＝a 3a 11，即⎝⎛⎭⎫72＋3d 2＝(1＋2d )·(1＋10d )，即44d 2－36d －45＝0，所以d ＝32⎝⎛⎭⎫d ＝－1522舍去，所以a n ＝3n －12.所以a p －a q ＝32(p －q )＝15. 答案：B4．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x 2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( ) A ．0 B ．－9 C ．9D ．1解析：由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝1. ∵f (π－x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2.∵a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9. 答案：C5．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2D.n (n －1)2解析：因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×2＝n (n ＋1)．故选A.答案：A6．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.解析：因为{a n }为等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2a 1＝2，所以S 8＝64. 答案：647．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n.∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－28．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：由3S 1,2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，则3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 答案：3n －19．已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *. (1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n .解析：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故 a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1.由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3， 所以a 3＝2a 2，故q ＝2， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)可知，a n ＝q n －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝ 1＋q 2(n －1).由e 2＝1＋q 2＝2解得q ＝ 3.所以e 21＋e 22＋…＋e 2n ＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q2(n －1)] ＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n －1)] ＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12(3n －1)．10．(2018·西安质检)已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧q (2＋d )＝6q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1q ＝2，或 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－43q ＝9(舍去)．。