高中数学选修4-4历年高考题全国卷含答案,推荐文档

高中数学选修4-4习题(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值. 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与O 轴的正半轴重合，且长度单位相同。

直线O 的极坐标方程为：O =√2sin (O −O4)，点P (2cos O ,2sin O +2)，参数O ∈[0,2O ]． （I ）求点O 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点O 到直线O 距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-==所以点M 到直线l 距离的最大值为 1.r = 2、解：（Ⅰ）设P(x,y)，则{x =2cosαy =2sinα+2，且参数α∈[0,2π]，消参得：x 2+(y −2)2=4所以点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 （Ⅱ）因为ρ=√2sin(θ−π4)所以ρ√2sin (θ−π4)=10 所以ρsinθ−ρcosθ=10，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +10=0 法一：由（Ⅰ）点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 圆心为（0,2），半径为2． d =√22=4√2，P 点到直线l 距离的最大值等于圆心到直线l 距离与圆的半径之和， 所以P 点到直线l 距离的最大值4√2+2． 法二：d =√22=√2|cosα−sinα+4|=√2|√2cos (α+π4)+4|当a =74π时，d max =4√2+2，即点P 到直线l 距离的最大值为4√2+2．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =√3sinθ（θ为参数），曲线C 2的参数方程为{x =4−√22t y =4+√22t（t ∈R ，t 为参数）.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线C 1：cos 2θ=x 2，sin 2θ=y 23，∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 23=1．对曲线C 2消去参数t 可得t =(4−x)×√2,且t =(y −4)×√2, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0．又∵x =ρcosθ,y =ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ−8=√2ρsin (θ+π4)−8=0 从而曲线C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)。

2019年数学选修4-4真题及解析分析Ⅳ单选题（共5道）1、若实数x、y满足，则的范围是（）A[0，4]B（0，4）C（-∝，0]U[4，+∝）D（-∝，0）U（4，+∝））2、参数方程（θ为参数）表示的曲线为（）A圆的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分3、参数方程（θ为参数）表示的曲线为（）A圆的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分4、曲线C：）上两点A、B所对应的参数是t1，t2，且t1+t2=0，则|AB|等于（）A|2p（t1-t2）|B2p（t1-t2）C2p（t12+t22）D2p（t1-t2）25、已知点A的极坐标是（3，），则点A的直角坐标是（）A（3，）B（3，-）C（，）D（，-）填空题（共5道）6、直线(t为参数)的斜率为.7、(坐标系与参数方程选做题)曲线：上的点到曲线：上的点的最短距离为．8、将参数方程化为普通方程，所得方程是_________.9、直线被曲线截得的线段长为______10、如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为；-------------------------------------1-答案：tc解：∵，可令x=2•secx，y=tanx．则=2-=2-=2-，当-1＜sinx＜0时，-∞＜＜-2，2-＞4．当 0＜sinx＜1 时，2＜＜+∞，2-＜0，故2-的范围为（-∞，0）∪（4，+∞），故选：D．2-答案：tc解：利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，把参数方程（θ为参数）化为普通方程可得y=1-2x2 （-1≤x≤1），表示抛物线的一部分，故选D．3-答案：tc解：利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，把参数方程（θ为参数）化为普通方程可得y=1-2x2 （-1≤x≤1），表示抛物线的一部分，故选D．4-答案：tc解：∵两点A，B对应的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0，∴AB⊥x轴，∴|AB|=|2p（t2-t1）|．故选A．5-答案：tc解：x=ρcosθ=3×cos =，y=ρsinθ=2×sin =∴将极坐标是（3，），化为直角坐标是（，）．故选C．------------------------------------- 1-答案：解：，故斜率为2-答案：1：；则圆心坐标为．：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为，所以要求的最短距离为．3-答案：略4-答案：3略5-答案：略。

第二讲 坐标系与参数方程(选修4－4)1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．4．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．热点一极坐标方程及其应用[例1] (1)(2014·江西高考改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)(2014·东北三校联考)已知点P (1＋cos α，sin α)，参数α∈[0，π]，点Q 在曲线C ：ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4上．①求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； ②求点P 与点Q 之间距离的最小值．1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ<2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．热点二 参数方程及其应用[例2] (2014·福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．2．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．[例3] (2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．3．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ＝8cos θ.热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．第二部分题1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．答案解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．[师生共研] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2，即所求线段的极坐标方程为ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (2)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，消去α，得点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又由ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝9sin θ＋cos θ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝9.所以曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.②因为半圆(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42， 所以|PQ |min ＝42－1.解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．热点二参数方程及其应用[师生共研] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32， 整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝⎛⎦⎤1289，64. 热点三极坐标方程与参数方程的综合应用[师生共研] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得t 2sin 2 α－8t cos α－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2 α＝64>0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α<0，故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．第二部分题答案：1．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.3．解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.4． 解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.5． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6.(2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.6．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．。

数学选修 坐标系与参数方程基础训练 组一、选择题．若直线的参数方程为12()23x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）．23 ．23- ．32 ．32- ．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）．1(,2．31(,)42- ． ．．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） ．2y x =- ．2y x =+ ．2(23)y x x =-≤≤ ．2(01)y x y =+≤≤．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）．201y y +==2x 或 ．1x = ．201y +==2x 或x ．1y =．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）．(2,)3π ．(2,)3π- ．2(2,)3π ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ ．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）．一条射线和一个圆 ．两条直线 ．一条直线和一个圆 ．一个圆二、填空题．直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为。

．参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为 。

．已知直线113:()24x t l t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ， 则AB = 。

．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为。

．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为 。

三、解答题．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，（ ）求2x y +的取值范围；（ ）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。

．求直线11:()5x t l t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离。

高中数学选修4-4经典综合试题〔含详细答案〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是〔 〕．A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是〔 〕．A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 3．假设直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，那么直线的斜率为〔 〕．A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩的〔 〕．A ．内部B ．外部C ．圆上D ．与θ的值有关5．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是〔 〕．A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线6．两圆⎩⎨⎧+=+-=θθsin 24cos 23y x 与⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x 的位置关系是〔 〕．A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含7．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为〔 〕． A ．2214y x += B ．221(01)4y x x +=≤≤ C ．221(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4y x x y +=≤≤≤≤8．曲线5cos ()5sin 3x y θπθπθ=⎧≤≤⎨=⎩的长度是〔 〕．A ．5πB ．10πC ．35π D ．310π 9．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，那么2x y +的最大值为〔 〕．A． B． CD10．直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，那么AB 的中点坐标为〔 〕．A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,11．假设点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，那么||PF 等于〔 〕．A ．2B ．3C ．4D ．5 12．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为〔 〕．AB ．1404CD二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________． 14．直线2()3x t y ⎧=--⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的点的坐标是_______． 15．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，那么θ=_______________．16．设()y tx t =为参数，那么圆2240x y y +-=的参数方程为____________________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔本小题总分值10分〕求直线11:()5x tl t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P与(1,5)Q -的距离．18．〔本小题总分值12分〕过点2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求||||PM PN ⋅的值及相应的α的值． 19．〔本小题总分值12分〕ABC ∆中，(2,0),(0,2),(cos ,1sin )A B C θθ--+(θ为变数)，求ABC ∆面积的最大值．20．〔本小题总分值12分〕直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，〔1〕写出直线l 的参数方程．〔2〕设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积． 21．〔本小题总分值12分〕分别在以下两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：〔1〕θ为参数，t 为常数；〔2〕t 为参数，θ为常数．22．〔本小题总分值12分〕直线l 过定点3(3,)2P --与圆C ：5cos ()5sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数相交于A 、B 两点．求：〔1〕假设||8AB =，求直线l 的方程；〔2〕假设点3(3,)2P --为弦AB 的中点，求弦AB 的方程．答案与解析：1．B 当0x =时，25t =，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5； 当0y =时，12t =，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1(,0)2．2．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制． 3．D 233122y t k x t --===--． 4．A ∵点(1,2)到圆心(1,0)-8=<(圆半径)∴点(1,2)在圆的内部．5．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线．6．B5=，两圆半径的和也是5，因此两圆外切．7．D 22222,11,1,0,011,0244y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得． 8．D 曲线是圆2225x y +=的一段圆弧，它所对圆心角为233πππ-=． 所以曲线的长度为310π． 9．D 椭圆为22164x y +=，设,2sin )P θθ，24sin )x y θθθϕ+=+=+≤10．D221(1)()162t ++-=，得2880t t --=，12128,42t t t t ++==，中点为114324x x y y ⎧=+⨯⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=-⎪⎩ 11．C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，||PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4．12．C222112x x t y t y ⎧=-+⨯⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⨯⎪⎩，把直线21x t y t =-+⎧⎨=-⎩ 代入22(3)(1)25x y -++=，得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=，12||t t -==12|t t -13．221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222tt t t tty x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩． 14．(3,4)-,或(1,2)-22221()),,22t t +===±． 15．6π，或56π 直线为tan y x θ=，圆为22(4)4x y -+=，作出图形，相切时，易知倾斜角为6π，或56π．16．2224141t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 22()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =，或241t x t =+； 而y tx =，即2241t y t =+，得2224141t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩． 17．解：将15x ty =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，代入0x y --=，得t =，得(1P +，而(1,5)Q -，得||PQ ==．18．解：设直线为cos ()sin x t t y t αα⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数，代入曲线并整理得223(1sin ))02t t αα+++=， 那么12232||||||1sin PM PN t t α⋅==+， 所以当2sin 1α=时，即2πα=，||||PM PN ⋅的最小值为34，此时2πα=． 19．解：设C 点的坐标为(,)x y ，那么cos 1sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩，即22(1)1x y ++=为以(0,1)-为圆心，以1为半径的圆． ∵(2,0),(0,2)A B -，∴||AB ==且AB 的方程为122x y+=-， 即20x y -+=，那么圆心(0,1)-到直线AB=． ∴点C 到直线AB的最大距离为1 ∴ABC S ∆的最大值是1(132⨯=+． 20．解：〔1〕直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 〔2〕把直线12112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入422=+y x ，得2221(1)(1)4,1)202t t t ++=+-=， 122t t =-，那么点P 到,A B 两点的距离之积为2．21．解：〔1〕当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且； 当0t ≠时，cos ,sin 11()()22t tt t x y e e e e θθ--==+-，而221x y +=，即2222111()()44tt t t x y e e e e --+=+-；〔2〕当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2t tx e e -=±+，即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2t ty e e -=±-，即0x =；当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t tt t x e e y e e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即222cos sin 222cos sin tt x y e x ye θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222222()()cos sin cos sin t t x y x y e e θθθθ-⋅=+-，即22221cos sin x y θθ-=． 22．解：〔1〕由圆C 的参数方程225cos 255sin x x y y θθ=⎧⇒+=⎨=⎩，设直线l 的参数方程为①3cos ()3sin 2x t t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数， 将参数方程①代入圆的方程2225x y += 得2412(2cos sin )550t t αα-+-=， ∴△216[9(2cos sin )55]0αα=++>， 所以方程有两相异实数根1t 、2t ，∴12||||8AB t t =-==， 化简有23cos 4sin cos 0ααα+=， 解之cos 0α=或3tan 4α=-， 从而求出直线l 的方程为30x +=或34150x y ++=．〔2〕假设P 为AB 的中点，所以120t t +=，由〔1〕知2cos sin 0αα+=，得tan 2α=-，故所求弦AB 的方程为2242150(25)x y x y ++=+≤．备用题：1．点00(,)P x y 在圆38cos 28sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩上，那么0x 、0y 的取值范围是〔 〕．A ．0033,22x y -≤≤-≤≤B ．0038,28x y ≤≤-≤≤C ．00511,106x y -≤≤-≤≤D ．以上都不对1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C ． 2．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为〔 〕．A ．125 BCD2．B11221x x t y t y ⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=，1212||5t t -===12|t t -=3．曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么||MN =_______________．3．14||p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x 轴，121||2||2|2|MN p t t p t =-=． 4．参数方程cos (sin cos )()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩为参数表示什么曲线？4．解：显然tan y xθ=，那么222222111,cos cos 1y y x xθθ+==+，2222112tan cossin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=+=⨯++， 即22222221112111y yx x x y y y x x x+=⨯+=+++，22(1)1y y x x x +=+，得21y yx x x+=+， 即220x y x y +--=．5．点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，〔1〕求2x y +的取值范围；〔2〕假设0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围． 5．解：〔1〕设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，22cos sin 1)1x y θθθϕ+=++=++，∴121x y ≤+≤．〔2〕cos sin 10x y a a θθ++=+++≥，∴(cos sin )1)14a πθθθ≥-+-=+-恒成立，即1a ≥．。

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点xOy l 12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线O x 的极坐标方程为 .C 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=（1）求的普通方程和的直角坐标方程；l C （2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.M C M l 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长O x 度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数l ρ=102sin (θ‒π4)P (2cosα,2sinα+2)．α∈[0,2π]（I ）求点轨迹的直角坐标方程；P （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．P l1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-=因为，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以，即222440x y x y ++++=22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心到直线，(1,2)--10x y +-==所以点到直线距离的最大值为M l 1.r +=+2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，P (x ,y ){x =2cosαy =2sinα+2 α∈[0,2π]消参得：x 2+(y ‒2)2=4所以点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4（Ⅱ）因为ρ=102sin (θ‒π4)所以ρ2sin (θ‒π4)=10所以，ρsinθ‒ρcosθ=10所以直线的直角坐标方程为l x ‒y +10=0法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4圆心为（0,2），半径为2．，d =|1×0‒1×2+10|12+12=42点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，P l l 所以点到直线距离的最大值．P l 42+2法二：d =|2cosα‒2sinα‒2+10|12+12=2|cosα‒sinα+4|=2|2cos (α+π4)+4|当时，，即点到直线距离的最大值为．a =74πd max =42+2P l 42+26.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲C 1{x =cosθy =3sinθθ线的参数方程为（，t 为参数）.C 2{x =4‒22ty =4+22tt ∈R(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；C 1C 2(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.C 1C 24．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数，以坐标原xOy 1C cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩α点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C .sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C 2C （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.P 1C Q 2C ||PQ P3、【详解】（1）对曲线：，，C 1cos 2θ=x 2sin 2θ=y 23∴曲线的普通方程为．C 1x 2+y 23=1对曲线消去参数可得且C 2t t =(4‒x )×2,t =(y ‒4)×2,∴曲线的直角坐标方程为． C 2x +y ‒8=0又，∵x =ρcosθ,y =ρsinθ∴ρcosθ+ρsinθ‒8=2ρsin (θ+π4)‒8=0从而曲线的极坐标方程为。

选修4-4 坐标系与参数方程1.(2014·安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C 截得的弦长为( ) A.14B.214 C.2D.2 21.D [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3消去t 得x －y －4＝0，C ：ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ,∴C ：x 2＋y 2＝4x ,即(x －2)2＋y 2＝4,∴C (2，0),r ＝2. ∴点C 到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，∴所求弦长＝2r 2－d 2＝2 2.故选D.]2.(2014·北京，3)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上2.B [曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1,该曲线为圆,圆心(－1，2)为曲线的对称中心,其在直线y ＝－2x 上,故选B.]3.(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π43.A [∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.]4．（2018天津，12）已知圆 的圆心为C ，直线( 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则 的面积为___________.4.由题意可得圆的标准方程为： ，直线的直角坐标方程为： ，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.5．（2018北京，10）在极坐标系中，直线 与圆 相切，则a =__________． 5. 因为 ，由 ，得 ，由 ，得 ，即 ，即 ，因为直线与圆相切，所以， ，，6.（2017•北京,11）在极坐标系中，点A 在圆ρ2﹣2ρ θ﹣4ρ θ+4 0上，点P 的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________．6.1 设圆ρ2﹣2ρ θ﹣4ρ θ+4 0为圆C ，将圆C 的极坐标方程化为：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0， 再化为标准方程：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1；如图，当A 在CP 与⊙C 的交点Q 处时，|AP|最小为： |AP|min =|CP|﹣r C =2﹣1=1，故答案为：1．7.（2017·天津,11）在极坐标系中，直线4ρ （θ﹣）+1=0与圆ρ 2 θ的公共点的个数为________．7.2 直线4ρcos （θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sin θ即ρ2=2ρsin θ，化为直角坐标方程：x 2+y 2=2y ，配方为：x 2+（y ﹣1）2=1．∴圆心C （0，1）到直线的距离d= = ＜1=R ．∴直线4ρcos （θ﹣）+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为2．故答案为：2．8.(2016·北京，11)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________.8.2 [直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0,圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ,即(x －1)2＋y 2＝1.圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1.点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.]9.(2015·广东，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________.9.522[依题已知直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2和点A ⎝⎛⎭⎫22，7π4可化为l ：x -y +1＝0和A (2,-2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522.]10.(2015·北京，11)在极坐标系中，点⎝⎛⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________. 10.1 [在平面直角坐标系下,点⎝⎛⎭⎫2，π3化为(1,3),直线方程为：x ＋3y ＝6,∴点(1,3)到直线的距离为d ＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1.]11.(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________.11.6 [由ρ＝8sin θ得x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，由θ＝π3得y ＝3x ，即3x －y ＝0，∴圆心(0,4)到直线y ＝3x 的距离为2,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6.]12.(2015·重庆，15)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________.12.(2,π) [直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2,由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4,直角坐标方程为x 2－y 2＝4,把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2,因此交点为(-2，0),其极坐标为(2,π).]13.(2014·湖北，16)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________. 13.(3，1) [曲线C 1为射线y ＝33x (x ≥0).曲线C 2为圆x 2＋y 2＝4.设P 为C 1与C 2的交点,如图,作PQ 垂直x 轴于点Q .因为tan ∠POQ ＝33，所以∠POQ ＝30°，又∵OP ＝2，所以C 1与C 2的交点P 的直角坐标为(3，1).]14.(2014·重庆，15)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.14.5 [直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(1，2).故该点的极径ρ＝x 2＋y 2＝ 5.]15.(2014·天津，13)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.若 AOB 是等边三角形，则a 的值为________.15.3 [圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，直线的直角坐标方程为y ＝a ，因为 AOB 为等边三角形，则A (±a 3，a )，代入圆的方程得a 23＋a 2＝4a ，故a ＝3.]16.(2014·湖南，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 16.2·ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1 [曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，由直线l 与曲线C 相交所得的弦长|AB |＝2知，AB 为圆的直径，故直线l 过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为π4，即斜率为1，从而直线l 的普通方程为y ＝x －1，从而其极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ－1，即2·ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1.]17.(2014·广东，14)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________. 17.(1，1) [由ρsin 2θ＝cos θ得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，其直角坐标方程为y 2＝x ，ρsin θ＝1的直角坐标方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1得C 1和C 2的交点为(1，1).]18．（2018全国Ⅰ，22）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求 的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.18.（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为10，半径为的圆．由题设知，是过点02且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．19．（2018全国Ⅱ，22）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．19.（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点12在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．20．（2018全国Ⅲ，22）[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点，且倾斜角为的直线与交于，两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．20.（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．21.（2018江苏，21C）[选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．21.C.因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0），倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=．，连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=2所以．因此，直线l被曲线C截得的弦长为．22.（2017•新课标Ⅰ,22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（10分）(1)若a=﹣1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a．22.（1）解：曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d= = ，φ满足tanφ= ，又d的最大值d max= ，所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17，得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17，即a=﹣16或a=8．23.（2017•新课标Ⅱ,22）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ θ 4．（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP| 1 ，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．23.解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0= ，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+ ）=16，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（Ⅱ）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d= = ，∴△AOB的最大面积S= |OA|•（2+ ）=2+ ．24.（2017•新课标Ⅲ,22）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）写出C的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（ θ+ θ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．24.（Ⅰ）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；又直线l2的参数方程为，（m为参数），同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；（Ⅱ）∵l3的极坐标方程为ρ（ θ+ θ）﹣=0，∴其普通方程为：x+y﹣=0，联立得：，∴ρ2=x2+y2= + =5．∴l3与C的交点M的极径为ρ ．25.（2017•江苏,21C）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．25.直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P 到直线l 的距离d= = ，∴当s= 时，d 取得最小值= ．26.(2016·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 26.解(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2,C 1是以(0，1)为圆心,a 为半径的圆. 将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2＝0,由已知tan θ＝2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ＝0，从而1-a 2＝0，解得a ＝-1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上. 所以a ＝1.27.(2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),l 与C 交于A 、B 两点,|AB |＝10,求l 的斜率.27.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.28.(2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 28.解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.29.(2015·江苏，21)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径. 29.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.30.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy 中,直线C 1：x ＝－2,圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求 C 2MN 的面积.30.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得ρ2－32ρ＋4＝0,解得ρ1＝22,ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2,即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以 C 2MN 为等腰直角三角形， 所以 C 2MN 的面积为12.31.(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R ). ①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.31.解 ①消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0. 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.②依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.32.(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值. 32.解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.33.(2014·辽宁，23)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.33.解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝2sin t (t 为参数).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.34.(2014·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.34.解 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.。

【关键字】数学数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A组]一、选择题1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．2．下列在曲线上的点是（）A．B．C．D．3．将参数方程化为普通方程为（）A．B．C．D．4．化极坐标方程为直角坐标方程为（）A．B．C．D．5．点的直角坐标是，则点的极坐标为（）A．B．C．D．6．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆2、填空题1．直线的斜率为______________________。

2．参数方程的普通方程为__________________。

3．已知直线与直线相交于点，又点，则_______________。

4．直线被圆截得的弦长为______________。

5．直线的极坐标方程为____________________。

三、解答题1．已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。

2．求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。

3．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离取最小值。

数学选修4-4 坐标系与参数方程[综合训练B组]一、选择题1．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A．B．C．D．2．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线3．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A．B．C．D．4．圆的圆心坐标是（）A．B．C．D．5．与参数方程为等价的普通方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．直线被圆所截得的弦长为（ ）A ．B ．C ．D ． 2、填空题1．曲线的参数方程是，则它的普通方程为__________________。

2．直线过定点_____________。

3．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。

4．曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为________________。

数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ） A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ） A．1(,2 B ．31(,)42- C． D．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y =5．点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x t l t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。

4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。

高中数学选修 4-4 经典综合试题〔含详细答案〕一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的 ． x 2 5ty 1 2t1．曲线(t 为参数 ) 与坐标轴的交点是〔〕．21 1 1B ．(0, )、( ,0)5、A ． (0, ) ( ,0)C ．(0, 4)、(8,0)〕．D ． (0, )、(8,0)5 2 5 292．把方程 xy 1化为以 参数的参数方程是〔t 1x sin t1 x costx tant2 x ty tA ．B ．C ．1 D ．1 12yyysin t cost tan tx 1 2t y 2 3t(t 为参数) ，那么直线的斜率为〔〕．3．假设直线的参数方程为2 2 33 23 2A ．B ．C ．D ．3x 1 8cosy 8sin4．点 (1, 2) 在圆A ．内部的〔〕．B ．外部C ．圆上D ．与 θ的值有关1x tt 为参数 暗示的曲线是〔(t ) 5．参数方程为〕．y 2A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线 x 3 2 cosy 4 2 s inx 3 cos y 3 s in6．两圆与的位置关系是〔〕．A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含 x t(t为参数 等价的普通方程为〔 ) B ． x 2D ． x 2〕．7．与参数方程为y 2 1 t2y 2 4 yA ． x 2C ． x 211(0 x 1)4y 2 4y 2 41(0 y 2)1(0 x 1,0 y 2)x 5cos8．曲线() 的长度是〔〕．y 5sin 35 10 5 B ．10A ．C ．D ．33229．点 P(x, y) 是椭圆 2x3y12 上的一个动点，那么 x 2y的最大值为〔〕．22 23 1122A ．B ．C ．D ．1 x 1 t2 2210．直线(t 为参数 ) 和圆 xy16 交于两点，A,B3 y3 3t 2那么 AB 的中点坐标为〔〕．A ．(3, 3)B ．( 3,3)C ． ( 3, 3)D ．(3, 3)2x 4t y 4t11．假设点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线(t为参数 上，那么 | PF |等于〔〕．) 2 3 4 5 A ．B ．C ．D ．x 2 ty 1 t 2212．直线(t 为参数 ) 被圆 (x 3)(y 1) 25 所截得的弦长为〔〕．14A ． 98B ．40C ．82D ． 93 4 3二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．x e t e t(t为参数 的普通方程为 __________________． ) 13．参数方程tty 2(e e )x 22t为参数 上与点 A( 2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是 _______．14．直线(t ) y 32tx t cos y t sinx 4 2cos y 2sin15．直线与圆相切，那么_______________．2216．设 y tx(t 为参数) ，那么圆 x y 4y 0的参数方程为 ____________________．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步调．17．〔本小题总分值 10 分〕 x 1 t 求直线 l 1 :(t 为参数 )和直线 l 2 : x y 2 3 0 的交点 的坐标，及点PP y53t与Q (1, 5)的距离．18．〔本小题总分值 12 分〕10 222过点 P(,0) x12y1 交于点，M , N作倾斜角为的直线与曲线求| PM | | PN | 的值及相应的 的值．19．〔本小题总分值 12 分〕ABC 中， A( 2,0), B (0,2), C (cos , 1 sin ) ( 为变数 )， 求 ABC 面积的最大值． l P(1,1),倾斜角20．〔本小题总分值 12 分〕直线颠末点，6〔1〕写出直线 l 的参数方程．x 2y 2〔2〕设 l 与圆4订交与两点 A, B ，求点 P 到 A,B 两点的距离之积．21．〔本小题总分值 12分〕1 t tx y (e e ) cos2 1 2别离在以下两种情况下，把参数方程化为普通方程： t t(e e )sint t 〔1〕 为参数， 为常数；〔 2〕 为参数， 为常数．22．〔本小题总分值 12 分〕x 5cos y 5sin32 直线 l 过定点 P( 3,C 与圆 ： ( 为参数 ) 订交于 A 、 B 两点． )| AB | 8l ，求直线 的方程； 求：〔 1〕假设3〔2〕假设点 P( 3, 答案与解析： x 0时， )AB 为弦的中点，求弦 AB 的方程． 2 2 111．B当 t ，而 y 1 2t ，即 y y ，得与 轴的交点为 (0, ) ；5 1 5 5 1 1当 y 0时， t ，而 x 2 5t ，即 x ，得与 轴的交点为 ( ,0) ．x2 2 2 2．D xy 1， 取非零实数，而 A ，B ，C 中的 的范围有各自的限制． x x y 2 x 13t 2t3 23．Dk．(1 1)2 222 2 8 4．A∵点 (1,2) 到圆心 ( 1,0) 的距离为∴点 (1,2) 在圆的内部．(圆半径 )5．Dy 2 暗示一条平行于 x 轴的直线，而x 2,或x 2，所以暗示两条射线．( 3 0)2 (4 0) y 2 255，两圆半径的和也是，因此两圆外切．6．B 两圆的圆心距为y 2 x 2t , 1 t 1 x 2, x 21,而t 0,0 1 t 1,得0 y 2．7．D442 228．D 曲线是圆x y 25的一段圆弧，它所对圆心角为．3310 所以曲线的长度为．3x 2 y 2 9．D 椭圆为1，设 P( 6 c os ,2sin ) ，64x 2y 1 6 cos 4sin 22 sin( ) 22．3 t 1 t 222 210． D(1t)2 ( 3 3 t ) 16 ，得 t 8t 8 0 ，t t 8,4，1 2 2 21 x 1 y4x 3 y2 ．中点为333 34 211．C 抛物线为y 2 4x ，准线为 ， 为 到准线 x1 | PF | P(3, m) x 14的距离，即为．22 x22t x 2 tx 2 t12． C，把直线 y 1 ty 1 t 2 y 12t 222222代入 (x 3) ( y 1)25，得 ( 5 t)(2 t)25,t7t 2 0 ，2|t t | (t t ) 4t t 41 ，弦长为 2 | t t |82．1 2 1 2 1 2 1 2 y 2y x e t e y t2 e t 2e x xx 2y 2 416y y 13．1,( x 2)(x) x () ．4etett 2222122 2t)2 ( 2t) 2 ( 2) ,2t2, t ．14． ( 3, 4) ,或( 1,2) (25 2215．，或直线为 y x tan ，圆为 (x 4)y4，作出图形，相切时，665 易知倾斜角为，或．664t xy2 21 t 4t22x(tx)4t x 0 ，当x 0 时， y 0，或x ； 16．2 1 t 24t1 t4t xy2 24t1 t 而 y tx ，即 y，得．22 1 t4t 2 1 tx 1 t，代入x y 2 3 0，得 t 2 3 ，17．解：将y 5 3t得P(1 2 3,1)，而 Q (1, 5)， 262 4 3．得| PQ | (2 3)10 x t cos 18．解：设直线为2(t 为参数) ，代入曲线y t sin3 22并整理得 (1 sin )t( 10 cos )t0，23 2 那么| PM | | PN | |t 1t 2 |， 1 sin 23 42所以当 sin1时，即，| PM || PN |的最小值为，此时．22x cos C (x, y)，那么，19．解：设 点的坐标为 y1 sin22即 x( y 1)1 为以 (0, 1)1为圆心，以 为半径的圆．∵ A( 2,0), B(0,2) ， ∴| AB|4 4 2 2 ，xy且 AB 的方程为 1，2 2即 xy 2 0 ，| ( 1) 2| 3那么圆心 (0, 1) 到直线 AB 的距离为 2 ． 12 ( 1)22 3 C AB ∴点 到直线 的最大距离为 1 2，21 23 2∴ S ABC 的最大值是2 2 (12) 3 2．3x 1 t cos y 1 t sin x 1 t6 6 2 20．解：〔 1〕直线的参数方程为，即 ，1y 1 t23x 1 t2 2 2〔2〕把直线，代入 x y4，1 y 1 t23 1 2 t)2 (1 t)24,t 2 ( 3 1)t 2 0，得 (12t t1 22，那么点 P 到 A,B 两点的距离之积为2 ．21．解：〔 1〕当t 0时， y 0, x cos ，即x 1,且y 0；x y 当t 0时， cos,sin ，1 21 tt t t (e e )(e e ) 222而 xy1，x 22y即1；1 4 1 4t t 2 t t 2 (e e ) (e e ) 1 2t t〔2〕当k , k Z 时， y 0， x (e e ) x 1,且y 0； ，即 1 2 t t当k,k Z x 0 ， y (e e )x 0 ； ，即 时， 22x ete tk cos 2y 当, k Z ，时，得2e tetsin2x 2ysin 2y sin 2e t2e 2x2y2x2y cos，得 2e t 2e t 即即( )( )，t2x coscos sin cos sinx 2cos 2 y 2 sin 21 ．x 5cos y 5sin22C xy25，22．解：〔 1〕由圆 的参数方程x3 t cos 3 设直线 l 的参数方程为①(t 为参数 ) ，y t sin222将参数方程①代入圆的方程x y 25得4t 212(2cossin )t 55 0，∴△16[9(2cos sin )2 55] 0，所以方程有两相异实数根t t 、 ，122∴ | AB | |t t | 9(2cos sin ) 55 8，1 化简有 3cos2 解之 cos2 4sincos 0 ，3 40 或 tan，从而求出直线 l 的方程为 x 3 0 或 3x 4y 15 0．〔2〕假设 P 为 AB 的中点，所以 tt0 ，12由〔1〕知 2cossin 0 ，得 tan2 ，22故所求弦 AB 的方程为 4x 2y 15 0(xy25)．备用题： x 3 8cos 1．点P(x , y )在圆上，那么 x 、 y 的取值范围是〔 〕．0 0 00 y2 8sinA ．3 x 3, 2 y 2 0 0B ．3 x 8, 2 y 8 0 0C ．5 x 11, 10 y 60 0D ．以上都不合错误1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选 C ．x 1 2t 22(t 为参数 ) 被圆 xy 9截得的弦长为〔〕．2．直线y 2 t12 12 9 9 A ． B ．5C ．5D ．10555525 x 1 5t x 1 2t y 2 tx 1 2t y 2 t 2．B，把直线 代入1 y 15t522222xy9得 (1 2t) (2 t) 9,5t8t 4 0 ，8 16 12 5 5 12 522 | t t | (t t )4t t ( ) ，弦长为 5 | t t | 5 ． 1 2 1 2 1 21 2 5 x 2 pt 2y 2pt(t为参数, 为正常数 p ) 上的两点 M , N 对应的参数别离为t 1和t 2, ，3．曲线且t t 0 | MN | _______________．，那么 1 24p |t 1 |x |MN | 2p |t t | 2p | 2t | 3． 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴，即轴， ． 12 1 x cos (sin y sin (sin cos ) cos )4．参数方程4．解：显然 ( 为参数) 暗示什么曲线？y y 2 x 2 1 12tan ，那么1 ,cos ，x cos 2y 2x 2 1 1212 tanx cos 2sin cossin 2 ycos 2cos 2 ，22 1 tany2 1 1 1 y 2 x 2y 2y xxx 即x ， x(1 ) 1，y 2 x 2yx 22x 2 21 1 1 y2 xy 得 x1，x22即x yx y 0 ．225．点 P(x, y) 是圆 x y2y 上的动点，〔1〕求 2x y 的取值范围； x y a0 恒成立，求实数的取值范围．a〔2〕假设x cos 5．解：〔 1〕设圆的参数方程为，y 1 sin 2x y 2cossin15sin(5 1 2x y5 1．) 1，∴〔2〕 x y a cossinsin ) 11 a 0 ，∴ a (cos2 sin() 1恒成立， 4a2 1．即。