2023-2024学年四川省成都市高一上册期末数学试题一、单选题1．命题“1x ∀>1>”的否定为（）A ．01x ∃>1≤B ．01x ∀>1≤C ．01x ∃≤1≤D ．01x ∃>1>【正确答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】命题“1x ∀>1>”为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>故选：A2．已知0a b <<，则下列不等式成立的是（）A ．22a b <B ．2a ab<C ．11a b>D ．1b a<【正确答案】D【分析】利用特殊值法和作差比较法比较即得正确选项.【详解】解：对于A 选项，取特殊值5,1a b =-=，满足0a b <<，但22a b <不满足，故错误；对于B 选项，因为0a b <<，所以0a b -<，所以()20a ab a a b -=->，故错误；对于C 选项，因为0a b <<，所以0,0b a ab -><，所以110b a a b ab--=<，即11a b <，故错误；对于D 选项，因为0a b <<，所以0b a ->，所以10b b aa a --=<，即1b a<，故正确.故选：D.(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.3．30α= 是1sin 2α=的什么条件（）A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要【正确答案】B【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定正确选项.【详解】当30α= 时，1sin 2α=；当1sin 2α=时，可能56πα=.所以30α= 是1sin 2α=的充分不必要条件.故选：B本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4．函数2()xx f x x x⋅=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】分类讨论得到分段函数，分析函数的单调性与特值即可得到答案.【详解】()()2,02()2,0x x x x x x f x x x x x ⎧->⋅⎪=-=⎨--<⎪⎩,当01x <<时，20x x ->，排除D 选项；当0x <时，2x y x =--在(),0∞-上单调递减，且1(1)102f -=-+>，排除BC ，故选：A 5．已知3sin 375︒=，则cos 593︒=（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-【正确答案】B【分析】根据三角函数的诱导公式结合题干所给条件计算即可.【详解】()()()()cos 593cos 720127cos 2360127cos 127cos 127︒=︒-︒=⨯︒-︒=-︒=︒()3cos 9037sin 375=︒+︒=-︒=-故选：B.6．已知2x >，则函数42y x x =+-的最小值是（）A ．8B ．6C ．4D ．2【正确答案】B【分析】根据基本不等式可求得最小值．【详解】∵2x >，∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--，当且仅当422x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6．故选：B ．7．已知函数()f x x =()f x有（）A ．最小值1，无最大值B ．最大值32，无最小值C ．最小值32，无最大值D ．无最大值，无最小值【正确答案】C【分析】先用换元法将()f x 变形为二次函数的形式，然后根据对称轴求解出二次函数的最值，则()f x 的最值情况可知.【详解】因为()f x x =[)0,t =∈+∞，所以232t x +=，所以()()()[)()2231110,22t f x g t t t t +==+=++∈+∞，因为()g t 的对称轴为1t =-，所以()g t 在[)0,∞+上递增，所以()()min 302g t g ==，无最大值，所以()f x 的最小值为32，无最大值，故选：C.8．已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【正确答案】A【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<.故选：A.本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、多选题9．以下说法中正确的有（）A ．幂函数12y x -=在区间()0+∞，上单调递减；B ．如果幂函数为奇函数，则图象一定经过()1，1--；C ．若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f f -=，则函数()f x 是偶函数；D ．若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上不是减函数；【正确答案】ABD【分析】对于A ，利用幂函数的性质即可求解；对于B ，利用幂函数的性质及奇函数的性质即可求解；对于C ，利用偶函数的定义即可求解；对于D ，利用函数的单调递减的定义即可求解.【详解】对于A ，由幂函数的性质可知，因为102-<，所以函数12y x -=在区间()0+∞，上单调递减，故A 正确；对于B ，由幂函数的性质知，幂函数的图象一定经过()11，，因为幂函数为奇函数，由奇函数的性质知，奇函数的图象关于原点对称，所以图象一定经过()1，1--；故B 正确；对于C ，函数为偶函数条件有2个，①定义域关于原点对称，②对R x ∀∈,都有()()f x f x =-，仅凭(2)(2)f f -=，无法得出，故C 错误；对于D ，若函数()f x 是R 上是减函数，则(2)(1)f f <，与条件“(2)(1)f f >”矛盾，故函数()f x 是R 上不是减函数，故D 正确.故选：ABD.10．若4455x y x y ---<-，则下列关系正确的是（）A ．x y<B ．33y x-->C <D ．133yx-⎛⎫< ⎪⎝⎭【正确答案】ACD【分析】先由4455x y x y ---<-变形为4545x x y y ---<-，构造函数()45x xf x -=-，利用其单调性，得到x ，y 的大小关系，再逐项判断.【详解】由4455x y x y ---<-得4545x x y y ---<-，令()45x x f x -=-，则()()f x f y <，因为4x y =，5x y -=-在R 上都是增函数，所以()f x 在R 上是增，所以x y <，故A 正确；当1x =，2y =时，33118y x --<==，故B 错误；由x y <<，故C 正确；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，由x y <知，1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：ACD.11．已知函数()22f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，以下结论正确的是（）A ．1a <B ．若120x x ≠，则12112x x a+=C ．()()13f f -=D ．函数有()y f x =四个零点【正确答案】ABC【分析】根据零点和二次函数的相关知识对选项逐一判断即可．【详解】二次函数对应二次方程根的判别式2(2)4440,1a a a ∆=--=-><，故A 正确；韦达定理122x x +=，12x x a =，121212112x x x x x x a++==，故B 正确；对于C 选项，()1123f a a -=++=+，()3963f a a =-+=+，所以()()13f f -=，故C 选项正确；对于D 选项，当0a =时，由()0y f x ==得220x x -=，所以1230,2,2x x x ==-=故有三个零点，则D 选项错误．故选:：ABC12．已知函数()x xx x e e f x e e--+=-，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值【正确答案】BD【分析】求解0x x e e --≠，可判断A ；利用函数奇偶性的定义可判断B ；比较(1),(1)f f -可判断C ；分离常数得到()2211xf x e =+-，分析单调性及函数值域可判断D 【详解】选项A ，0x x e e --≠，解得0x ≠，故()f x 的定义域为{|0}x x ≠，选项A 错误；选项B ，函数定义域关于原点对称，且()()xxx xe ef x f x e e --+-==--，故()f x 是奇函数，选项B正确；选项C ，()121212121110,(1)011e e e e e ef f e e e e e e ----++++-==<==>----，故(1)(1)f f -<，即()f x 在定义域上不是减函数，选项C 不正确；选项D ，()22212111x x xx x x xe e ef x e e e e --++===+---，令20x t e =>，211y t =+-，由于2x t e =在R 上单调递增，211y t =+-在(0,1),(1,)+∞分别单调递减，故函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞分别单调递减，且x →-∞时，()1f x →-，0x -→时，()f x →-∞，0x +→时，()f x →+∞，x →+∞时，()1f x →，故函数()f x 的值域为(,1)(1,-∞-⋃+∞），无最小值，无最大值，选项D 正确故选：BD三、填空题13．已知一元二次方程220x x a ++-=有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】(),0∞-【分析】结合二次函数的图象与性质判断求解．【详解】令函数22y x x a =++-，则其图象开口向上，顶点坐标为19,24a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴是12x =-，若二次函数22y x x a =++-有两个零点，则必有一个零点小于0，即小于1，要使另一个零点比1大，则需满足1120a ++-<，解得a<0，即a<0时，二次方程220x x a ++-=有一个根比1大，另一个根比1小.所以满足题意的实数a 的取值范围是(),0∞-.故(),0∞-．14．已知60sin cos 169ϕϕ=且42ππϕ<<，则sin ϕ的值为_____________.【正确答案】1213【分析】先根据已知条件2sin cos ϕϕ的值，结合22sin cos 1ϕϕ+=得到()2sin cos ϕϕ+与()2sin cos ϕϕ-的值，根据ϕ的范围，分析sin cos ϕϕ+与sin cos ϕϕ-的正负，接下来开方得到sin cos ϕϕ+与sin cos ϕϕ-的值，进而解出sin ϕ的值.【详解】由已知条件得1202sin cos 169ϕϕ=，①又∵22sin cos 1ϕϕ+=，②∴①+②得，()2289sin cos 169ϕϕ+=，②-①得，()249sin cos 169ϕϕ-=，又∵42ππϕ<<，∴sin cos 0ϕϕ>>，即sin cos 0ϕϕ+>，sin cos 0ϕϕ->，因此，17sin cos 13ϕϕ+=，③7sin cos 13ϕϕ-=，④由③+④得.3in 1s 12ϕ=故答案为.1213本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数间的基本关系的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.15．若函数y ＝log a (2－ax )在[0，1]上单调递减，则a 的取值范围是________．【正确答案】(1，2)【分析】分类讨论得到当1a >时符合题意，再令20ax ->在[0，1]上恒成立解出a 的取值范围即可.【详解】令log ,2a y t t ax ==-，当01a <<时，log a y t =为减函数，2t ax =-为减函数，不合题意；当1a >时，log a y t =为增函数，2t ax =-为减函数，符合题意，需要20ax ->在[0，1]上恒成立，当0x =时，20>成立，当01x <≤时，2a x <恒成立，即min22a x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，综上12a <<.故(1，2).16．已知函数)2()log f x x =，若对任意的正数a ，b ，满足()(32)0f a f b +-=，则31a b+的最小值为______.【正确答案】6【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根()(31)0f a f b +-=得31a b +=，最后根据基本不等式“1”的妙用求最值.0x ->恒成立，所以函数()f x 的定义域为R ，)22()()log log 0f x f x x +-== ，所以()f x 为奇函数，又2()log f x = ，当0x >时，2()log f x t =在(0,)+∞上单调递增，t =在(0,)+∞上单调递减，2()log f x ∴=在(0,)+∞上单调递减，则)2()log f x x =在(,0)-∞上单调递减，又()f x 在0x =处连续，所以()f x 在R 上单调递减，()(32)0f a f b +-= ，()(23)f a f b ∴=-，23a b ∴=-，即32a b +=，所以3113119(3)6333622b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当9b a a b =，即1a =，13b =时，等号成立，所以31a b +的最小值为6.故6.四、解答题17．已知函数()f x 是二次函数，(1)0f -=，(3)(1)4f f -==．(1)求()f x 的解析式；(2)解不等式(1)4f x -≥．【正确答案】(1)2()(1)f x x =+(2)(,2][2,)-∞-+∞ 【分析】(1)根据(3)(1)f f -=得对称轴为=1x -，再结合顶点可求解;(2)由（1）得24x ≥，然后直接解不等式即可.【详解】（1）由(3)(1)f f -=，知此二次函数图象的对称轴为=1x -，又因为(1)0f -=，所以()1,0-是()f x 的顶点，所以设2()(1)f x a x =+因为(1)4f =，即2 (11)4a +=所以得1a =所以2()(1)f x x =+（2）因为2()(1)f x x =+所以2(1)f x x -=(1)4f x -≥化为24x ≥，即2x ≤-或 2x ≥不等式的解集为(,2][2,)-∞-+∞ 18．已知cos(2)sin()tan()cos()()sin cos 22f πθθπθπθθππθθ--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）化简()f θ；（2）若θ为第四象限角，且cos 3θ=，求()f θ的值．【正确答案】（1）()sin f θθ=-；（2）3【分析】（1）利用诱导公式化简即可.（2）利用同角三角函数的基本关系可得sin 3θ=-，即求.【详解】解：（1）由三角函数诱导公式可知：cos (sin )tan (cos )()tan cos sin cos (sin )f θθθθθθθθθθ--=-=--．（2）由题意，sin 3θ==-，可得()f θ19．设集合{}{}220,4,2(1)10,R A B x x a x a x =-=+++-=∈.(1)若12a =-，求A B ⋃；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)314022A B ⎧⎫⋃=--⎨⎬⎩⎭，，，(2)(]{},11-∞-⋃【分析】（1）12a =-，求得B ，由并集的定义求解即可.（2）根据A B B = 得到B A ⊆，讨论B =∅，{}0B =，{}4B =-，{}0,4B =-四种情况分别计算得到答案.【详解】（1）当12a =-时，23310,,422B x x x x R ⎧⎫⎧⎫=+-=∈=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，又{}0,4A =-所以314022A B ⎧⎫⋃=--⎨⎬⎩⎭，，.（2）A B B = ，B A∴⊆当B =∅时，()()224141880a a a ∆=+--=+<，即1a <-；当{}0B =时，利用韦达定理得到()221010a a ⎧-+=⎨-=⎩，解得1a =-；当{}4B =-时，利用韦达定理得到()2218116a a ⎧-+=-⎨-=⎩，无解；当{}0,4B =-时，根据韦达定理得到()221410a a ⎧-+=-⎨-=⎩，解得1a =；综上，实数a 的取值范围是：(]{},11-∞-⋃20．某医疗器械工厂计划在2022年利用新技术生产某款电子仪器，通过分析，生产此款电子仪器全年需投入固定成本200万元，每生产x （千部）电子仪器，需另投入成本()R x 万元，且210100,025()90005104250,25x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每1千部电子仪器售价500万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完．(1)求出2022年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式；（利润＝销售额－成本）(2)2022年产量x 为多少千部时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?【正确答案】(1)()210400200,0259000104050,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩(2)2022年产量为20千部时，该生产商所获利润最大，最大利润是3800万元【分析】（1）根据题意，建立分段函数模型得()210400200,0259000104050,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）结合（1）的函数模型，分类讨论求解最值即可得答案．【详解】（1）销售x 千部手机获得的销售额为：500x当025x <<时，()225001010020010400200W x x x x x x =--=--+-当25x ≥时，()900090005005104250200104050W x x x x x x=--+-=--+故()210400200,0259000104050,25x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩（2）当025x <<时，()210400200W x x x =-+-，当20x =时，()max 400080002003800W x =-+-=当25x ≥时，90009000()104050(10)405040503450W x x x x x =--+=-++≤+=，当且仅当900010x x=，即30x =时，等号成立因为38003450>，所以当20x =(千部)时，所获利润最大，最大利润为3800万元．21．已知2()21g x x ax =-+在区间[]1,3上的值域为[0,4].（1）求实数a 的值；（2）若不等式()240x x g k -⋅≥当[1,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【正确答案】（1）1；（2）1,4⎛⎤-∞ ⎝⎦.【分析】(1)函数是开口向上，对称轴是x a =，讨论对称轴与区间[1,3]的位置关系，确定相应的值域，从而求a ；（2）不等式()240x x g k -⋅≥在[1,)x ∈+∞上恒成立，参数分离后得2112122x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[1,)x ∈+∞上恒成立，转化为求2112122x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值，.换元即可.【详解】（1）22()()1g x x a a =-+-，当1a <时，()g x 在[1,3]上单调递增，min ()(1)220g x g a ∴==-=，即1a =，与1a <矛盾，舍去.当13a ≤≤时，2min ()()10g x g a a ==-=，即1a =±，故1a =.此时2()(1)g x x =-，满足[1,3]x ∈时其函数值域为[0,4].当3a >时，()g x 在[1,3]上单调递减，min ()(3)1060g x g a ==-=，即53a =，舍去.综上所述:1a =.（2）由已知得()2222140x x x a k -⨯+-⋅≥在[1,)x ∈+∞上恒成立⇔2112122x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[1,)x ∈+∞上恒成立，令12x t =，且10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则上式⇔2121,0,2k t t t ⎛⎤≤-+∈ ⎥⎝⎦恒成立，记2()21h t t t =-+10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦Q 时，()h t 单调递减，()min 4121h t h ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，故14k ≤.所以k 的取值范围为1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题主要考查了二次函数的问题，属于基础题型，二次函数定区间不定对称轴求最值，一是要看函数的开口，根据对称轴与区间的相对位置关系确定区间上的单调性，到函数的最值；而对于恒成立问题，参变分离转化为求函数的最值问题.22．设m 为给定的实常数，若函数y ＝f （x ）在其定义域内存在实数0x ，使得()()00()f x m f x f m +=+成立，则称函数f （x ）为“G （m ）函数”．（1）若函数()2x f x =为“G （2）函数”，求实数0x 的值；（2）已知()()f x x b b R =+∈为“G （0）函数”，设()|4|g x x x =-．若对任意的1x ，2[0,]x t ∈，当12x x ≠时，都有()()()()12122g x g x f x f x ->-成立，求实数t 的最大值．【正确答案】（1）24log 3；（2）1.【分析】（1）根据新定义函数的性质，写出f (x )满足的等式进而求解出结果；（2）由f(x )是新定义函数，求解出f (x )的解析式，再根据不等式恒成立求解参数的最值.【详解】解：（1）由()2x f x =为“G （2）函数”，得()()002(2)f x f x f +=+，即0022222x x +=+，解得024log 3x =，故实数0x 的值为24log 3；（2）由()()f x x b b R =+∈为“G （0）函数”，得()()000(0)f x f x f +=+成立，即f (0)＝0，从而b ＝0，则f (x )＝x ，不妨设12x x >，则由()()()()12122g x g x f x f x ->-成立，即()()12122g x g x x x ->-，得()()112222g x x g x x ->-，令()()2F x g x x =-，则F （x ）在[0，t ]上单调增函数，又226,4()422,4x x x F x x x x x x x ⎧-=--=⎨-<⎩，作出函数图象如图：由图可知，01t <，故实数t 的最大值为1.。
