第54届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三

第54届国际数学奥林匹克中国国家集训队名单姓名性别学校张灵夫男四川绵阳中学宋杰傲男上海中学刘宇韬男上海中学肖非依男华中师范大学一附中夏剑桥男郑州外国语学校陈嘉杰男华南师范大学附属中学高奕博男人大附中胥晓宇男人大附中柳何园男上海中学杨赛超男石家庄二中南校孟 涛男北京四中刘驰洲男乐清市乐成公立寄宿学校李大为男复旦大学附属中学郝晨杰男江苏省启东中学马玉聪男武汉二中余张逸航男华中师范大学一附中王 翔男深圳中学刘 潇男乐清市乐成公立寄宿学校宋一凡男石家庄二中饶家鼎男深圳市第三高级中学段柏延男人大附中陈凯文男鄞州中学顾 超男格致中学沈 澈男人大附中金 辉男镇海中学涂瀚宇男四川南充高中李辰星男郑州一中周韫坤男深圳中学陈 成男镇海中学朱晶泽男华东师范大学第二附属中学邓杨肯迪男湖南师大附中廖宇轩男郑州外国语学校任卓涵男郑州一中李 爽男育才中学高继杨男上海华育中学李 笑男湖南师大附中颜公望男武汉六中黄 开男华中师范大学一附中田方泽男中山纪念中学占 玮男合肥一中黄 迪男四川自贡蜀光中学杨卓熠男成都七中杨承业男成都七中丁允梓男上海中学姓名性别学校涂绪山男湖南师大附中王柏然女衡水中学张益深男清华附中韩松奇男耀华中学张 谦男成都市实验外国语学校董方宏男复旦大学附属中学杨羽轩男东北育才学校刘 飚男湖南师大附中张文瀚男石家庄二中李艺轩男耀华中学陈希睿男成都七中尤润琪男复旦大学附属中学张耿宇男上海中学刘 畅男上海中学姚金江男西安铁一中唐彦涛男长沙市长郡中学苏肇祺男厦门双十中学于科屹男耀华中学浦鸿铭男东北师大附中康宇衡男重庆第八中学。

根心定理根心定理：三个两两不同心的圆，形成三条根轴，则必有下列三种情况之一：（1）三根轴两两平行；（2）三根轴完全重合；（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。

该定理是平面几何上非常重要的定理。

一、点对圆的幂平面上任意一点对圆的幂定义为以下函数：考虑到圆的方程也可以写为圆心-半径的形式：由此也可以把点对圆的幂定义为：这里是点到圆心的距离，是圆的半径。

点对圆的幂的几何意义是明显的：若点在圆外，则幂为点到圆的切线长度的平方；若点在圆上，则幂为0；若点在圆内，则幂为负数，其绝对值等于过点且垂直于的弦长的一半的平方。

二、根轴平面上两不同心的圆显然，对两圆等幂的点集是直线：该直线称为两圆的根轴。

根轴必垂直于两圆的连心线。

若两圆相交，则根轴就是连接二公共点的直线；若两圆相切，则根轴就是过切点的公切线；若两圆相离或内含，则根轴完全位于两圆之外，但仍垂直于两圆的连心线。

当圆1和圆2相离或内含时，用尺规作出这两圆的根轴需要依赖“根心定理”（见第三部分）。

具体的做法是：另作一个适当的圆3与前两圆都相交，圆3分别与前两圆形成根轴，这两条根轴的交点即是圆1、圆2和圆3的根心，它必定在圆1和圆2所形成的根轴上；同理，再找一个适当的圆4，找到圆1、圆2和圆4的根心。

连接所找到的两个根心，即得到圆1和圆2的根轴。

三、根心与根心定理（解析几何证法）三个两两不同心的圆任意两圆形成一条根轴，因而共有三条根轴：这三条根轴的直线方程（以下简称为根轴方程）是线性相关的，即由其中两个根轴方程进行线性组合，可以得出第三个根轴方程。

因此：（i）若平面上某一点是其中两个根轴方程的公共解（亦即两根轴的公共点），则必定也是第三条根轴上的点。

（ii）若某两个根轴方程无公共解（即平行），则三个根轴方程中的任意两个均无公共解（即三条根轴两两平行）。

具体而言，三个两两不同心的圆的根轴，仅仅包含下面三种情况：（1）三根轴两两平行；（2）三根轴完全重合；（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（10月）选手须知：本卷共120分，第1-8题，每题6分，第9-10题，每题8分，第11-13题，每题10分，第14题12分，第15题14分。

比赛期间，不得使用计算工具。

比赛完毕时，试卷及草稿纸会被收回。

本卷中所有附图不一定依比例绘成。

若计算成果是分数，请化至最简，并保证为真分数或带分数，或将计算成果写成小数。

六年级试题（A卷）（本试卷满分120分，比赛时间90分钟）一、填空题（每题6分，共48分）1、如图所示，图形有___________条对称轴。

2、国庆节，小明旳妈妈带他去旅游，妈妈给他带了蓝、红2件毛衣和黑白灰3条裤子，目前他要任意拿出一件毛衣和一条裤子配成一套，恰好是蓝毛衣和白裤子旳也许性是________。

3、一种长方体，不一样旳三个面分别是35平方厘米、21平方厘米、15平方厘米，且长、宽、高都是质数。

这个长方体旳体积是_____________立方厘米。

4、马和骡并排走着，背上都驮着包裹，马埋怨说它驮得太多了。

骡子回答说：“你埋怨什么呢？假如我从你背上拿过一包来，我旳承担就是你旳两倍。

假如你从我背上拿一包过去，你驮得也不过和我同样多。

”骡子驮了__________个包裹。

5、如图，一种直角梯形旳上底延长5厘米，就成了一种长方形，面积增长了10平方厘米。

假如本来梯形旳下底长9厘米，那么本来梯形旳面积是__________平方厘米。

6、哈尔滨冰雪大世界每年用旳冰大概能融化成6万立方米旳水，它相称于_______个长50米，宽20米，高1.2米旳游泳池旳储水量。

7、小英从上个星期五开始观测一株风信子，当时有些花已经开了。

从这天开始，每天新开旳花朵数刚好等于这天此前已开旳花朵总数，在这个过程中没有花凋落。

假如风信子旳花朵全开旳那一天是星期四，请问花刚好开完二分之一旳那一天是星期__________。

8、用红笔在一根木头上做了三次记号：第一次把木头提成12等分，第二次把木头提成15等分，第三次把木头提成20等分。

1 / 12017春季省级初赛考生须知：本卷考试时间60分钟,共100分。

考试期间,不得使用计算工具或手机。

七年级试题(A 卷)一、填空(每题3分，共30分)1、在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠A ＝60°，则∠BOC ＝________度.2、在等腰△ABC 中，AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为___________.3、凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是____________.4、凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，则n 的值是________.5、已知 是二元一次方程ay x -2=3的一个解，那么a 的值是________.6、若关于x 、y 的方程组 无解，则a 的值是________.7、正整数._______,698的最大值是则满足、m mn n m n m +=+8、已知关于x 的不等式组 无解，则a 的取值范围是________.9、 都是正数，那么N M 、的大小关系是________.10、若n 为不等式 的解，则n 的最小正整数的值是________.二、选择题(每题5分，共25分)11、三元方程 的非负整数解的个数有（ ）. A.20001999个 B.19992000个 C.2001000个 D.2001999个12、如图已知 分别 为ABC ∆的两个外角的平分线，给出下列结论：①CD CP ⊥; ②A D ∠-︒=∠2190;③AC PD //.其中正确的是（ ）. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③13、有一个边长为4米的正六边形客厅，用边长为50厘米的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（ ）块.A.200B.300C.384D.420 14、解方程组⎩⎨⎧=-=+472dy cx y ax 时，一个学生把a 看错后得到⎩⎨⎧==15y x ，而正确的解是⎩⎨⎧-==13y x ，则d c a 、、的值是：A.不能确定B.1,1,3===d c aC.d c 、不能确定，3=aD.2,2,3-===d c a 15、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了( )朵.A.4380B.4200C. 4750D.3750三、计算题(16~20题每题5分，21~22题每题10分，共45分)16、已知,9,27,81614131===c b a 则c b a 、、的大小关系是多少？17、计算：20002000200020001998357153)37(++⨯18、已知=+++--a y x y xy x 1437622)(32(b y x +-x 3y ++c），试确定c b a 、、的值。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。

中国国家队数学选拔考试
中国国家队数学选拔考试是针对通过中国数学奥林匹克（CMO，又称为数学冬令营）的前六十名学生的选拔考试。

这些学生已经没有升学压力，具有保送资格，基本都保送的北大或者清华。

第一阶段要经过四次考试每次4.5小时完成三个题，由成绩排名选拔出前15名左右的学生。

然后再进行第二阶段的选拔，决定6名学生代表中国参加今年7月份的国际数学奥林匹克(IMO)。

因为疫情原因，今年的选拔在线上举行，各省设置一个考点。

以上信息仅供参考，建议查阅官网获取更全面更准确的信息。

1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。

由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。

1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。

我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。

我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。

2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。

入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名）陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中）---------------------------------------------------------历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为：年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数1959 1 罗马尼亚罗马尼亚71960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克51961 3 匈牙利匈牙利 61962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利71963 5 波兰前苏联81964 6 前苏联前苏联91965 7 前东德前苏联81966 8 保加利亚前苏联91967 9 前南斯拉夫前苏联131968 10 前苏联前东德121969 11 罗马尼亚匈牙利141970 12 匈牙利匈牙利141971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利151972 14 波兰前苏联141973 15 前苏联前苏联161974 16 前东德前苏联181975 17 保加利亚匈牙利171976 18 澳大利亚前苏联191977 19 南斯拉夫美国211978 20 罗马尼亚罗马尼亚171979 21 美国前苏联231981 22 美国美国271982 23 匈牙利前西德301983 24 法国前西德321984 25 前捷克斯洛伐克前苏联341985 26 芬兰罗马尼亚421986 27 波兰美国、前苏联371987 28 古巴罗马尼亚421988 29 澳大利亚前苏联491989 30 前西德中国501990 31 中国中国541991 32 瑞典前苏联561992 33 俄罗斯中国621993 34 土耳其中国651994 35 中国香港美国691995 36 加拿大中国731996 37 印度罗马尼亚751997 38 阿根廷中国821998 39 中华台北伊朗841999 40 罗马尼亚中国、俄罗斯812000 41 韩国中国822001 42 美国中国832002 43 英国中国842003 44 日本保加利亚822004 45 希腊中国852005 46 墨西哥中国982006 47 斯洛文尼亚中国1042007 48 越南俄罗斯932008 49 西班牙中国1032009 50 德国中国1042010 51 哈萨克斯坦中国1052011 52 荷兰中国101------------------------------------------------------------------历届国际数学奥林匹克中国参赛学生分省市、分学校统计按学校排名（TOP16)1 武汉钢铁三中 152 湖南师大附中 113 华南师范大学附中 104 北大附中 94 人大附中 96 湖北黄冈中学 86 上海中学 88 上海华东师大二附中 5 8 东北育才学校 510 华中师大一附中 410 复旦大学附中 410 深圳中学 410 东北师范大学附中 4 14 上海向明中学 314 长沙市一中 314 哈尔滨师范大学附中 3 以下略。

2013年第54届国际数学奥林匹克IMO第二天中文试题
正在哥伦比亚的圣玛尔塔举行的第54届国际数学奥林匹克IMO于北京时间昨天晚上9：00进行了第二天的赛事，来自全球101个国家和地区的547名选手进行了比赛。

第二天共3个题，每题7分，用时4．5个小时。

在结束了二天的赛事后，选手们将参加游览活动，领略哥伦比亚独特的风光和人文特色，加强同其他国家和地区的选手的交流，同时，各代表队的领队和陪审团将进入紧张的阅卷、申述和裁定，选手的成绩会陆续公布，我们期待着中国队的表现……
以下就是54届IMO第二天的比赛试题，试题翻译来自网络，仅供参考！
2013年第54届国际数学奥林匹克IMO第二天中文试题
来源：畅想未来。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷（预赛）（A卷）一、填空题：本题共8小题，每小题8分，共64分。

1.若实数m>1满足log9(log8m)=2024，则log3(log2m)的值为______．2.设无穷等比数列{a n}的公比q满足0<|q|<1.若{a n}的各项和等于{a n}各项的平方和，则a2的取值范围是______．3.设实数a，b满足：集合A={x∈R|x2−10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b3}的交集为[4,9]，则a+b的值为______．4.在三棱锥P−ABC中，若PA⊥底面ABC，且棱AB，BP，BC，CP的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为______．5.一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b.若事件“a+b=7”发生的概率为17，则事件“a=b”发生的概率为______．6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2x)在区间[0,5)上的零点个数为25，则g(x)在区间[1,4)上的零点个数为______．7.设F1，F2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点)，记O为△PF1F2的外心，若PO⋅F1F2=2PF1⋅PF2，则Ω的离心率的最小值为______．8.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a,b,c)为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为______．二、解答题：本题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

9.(本小题16分)在△ABC中，已知cosC=sinA+cosA2=sinB+cosB2，求cosC的值．10.(本小题20分)在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x2−y2=1的右顶点为A.将圆心在y轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P，圆心距为d，求d|PA|的所有可能的值．11.(本小题20分)设复数z，w满足z+w=2，求S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值．参考答案1.40492.[−14,0)∪(0,2)3.74.345.196.117. 648.5919.解：由题意知，sinA +cosA =sinB +cosB ，所以 2sin (A +π4)= 2sin (B +π4)，所以A +π4=B +π4或(A +π4)+(B +π4)=π，即A =B 或A +B =π2，当A =B 时，C =π−2A ，且A ∈(0,π2)，由cosC =sinA +cosA 2，知cos (π−2A)=sinA +cosA 2，即−2cos2A =sinA +cosA ，所以2(sin 2A−cos 2A)=sinA +cosA ，所以2(sinA +cosA)(sinA−cosA)=sinA +cosA ，因为A ∈(0,π2)，所以sinA +cosA ≠0，所以sinA−cosA =12，又sin 2A +cos 2A =1，所以(12+cosA )2+cos 2A =1，解得cosA =7−14或cosA =− 7−14(舍负)，所以cosC =−cos2A =1−2cos 2A =1−2×(7−14)2= 74；当A +B =π2时，C =π2，所以cosC =0，此时sinA +cosA = 2sin (A +π4)=0，而A ∈(0,π2)，所以A +π4∈(π4,3π4)，所以sin (A +π4)>0，与sin (A +π4)=0相矛盾，所以cosC =0不成立，综上，cosC = 74． 10.解：考虑以(0,y 0)为圆心的好圆Ω0：x 2+(y−y 0)2=r 20(r 0>0)．由Ω0与Γ的方程联立消去x ，得关于y 的二次方程2y 2−2y 0y +y 20+1−r 20=0．根据条件，该方程的判别式Δ=4y20−8(y20+1−r20)=0，因此y20=2r20−2．对于外切于点P的两个好圆Ω1，Ω2，显然P在y轴上．设P(0,ℎ)，Ω1，Ω2的半径分别为r1，r2，不妨设Ω1，Ω2的圆心分别为(0,ℎ+r1)，(0,ℎ−r2)，则有(ℎ+r1)2=2r21−2，(ℎ−r2)2=2r22−2，两式相减得2ℎ(r1+r2)=r21−r22，而r1+r2>0，故化简得ℎ=r1−r22，进而(r1−r22+r1)2=2r21−2，整理得r21−6r1r2+r22+8=0①，由于d=r1+r2，A(1,0)，|PA|2=ℎ2+1=(r1−r2)24+1，而①可等价地写为2(r1−r2)2+8=(r1+r2)2，即8|PA|2=d2，所以d|PA|=22．11.解：根据z+w=2，得w=2−z，可得|z2−2w|=|z2−2(2−z)|=|z2+2z−4|=|z+1+5|⋅|z+1−5|．|w2−2z|=|(2−z)2−2z|=|z2−6z+4|=|z−3+5|⋅|z−3−5|．以上两式的最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点(−1−5,0)，(−1+5,0)，(3−5,0)，(3+5,0)的距离，将z=x+yi换成其实部x时，各个距离都不会增大，因此只需考虑函数f(x)=|x2+2x−4|+|x2−6x+4|在R上的最小值．由x2+2x−4=0的根为−1±5，x2−6x+4=0的根为3±5，且−1−5<3−5<−1+5<3+5，分以下几种情况讨论：①若x≤−1−5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在(−∞,−1−5]上的最小值为f(−1−5)=16+85；②若x∈(−1−5,3−5]，则f(x)=−8x+8，此时f(x)的最小值为f(3−5)=−16+85；③若x∈[3−5,−1+5]，则f(x)=−2x2+4x，此时f(x)的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=−16+85；④若x∈[−1+5,3+5]，则f(x)=8x−8，此时f(x)的最小值为f(−1+5)=−16+85；⑤若x≥3+5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在[3+5,+∞)的最小值为f(3+5)=16+85．综上所述，f(x)在R上的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=85−16．即S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值是85−16．。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分 设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（10月）选手须知：本卷共120分，第1-8题，每题6分，第9-10题，每题8分，第11-13题，每题10分，第14题12分，第15题14分。

比赛期间，不得使用计算工具。

比赛完毕时，试卷及草稿纸会被收回。

本卷中所有附图不一定依比例绘成。

若计算成果是分数，请化至最简，并保证为真分数或带分数，或将计算成果写成小数。

四年级试题（A卷）（本试卷满分120分，比赛时间90分钟）一、填空题（每题6分，共48分）1、小明在做小数减法题时，把减数3.1当作3.7，成果得12.5，对旳旳成果应当是__________。

2、同学们进行行军训练，3小时走了12千米，照这样旳速度，还要走2小时才能抵达目旳地，这次行军旳旅程是__________千米。

3、一般把从冬至之日起每九天分为一段，依次称之一九、二九……九九。

旳冬至为12月22日，旳立春是2月4日，立春之日是__________九。

4、王叔叔买了时间为18:08分旳火车票，他从家到火车站需要40分钟，开车前6分钟停止检票，他最晚要在___:____分从家里出发才不会误火车。

5、如图一种长50米、宽25米旳原则游泳池。

它旳四面铺设了宽2米旳白瓷砖。

地砖旳面积是________平方米。

6、一头牛和一匹马在一起称体重是1吨500公斤，这头牛和一只大象在一起称体重是4吨500公斤，这头大象和这匹马在一起称体重是4吨。

这头牛、这匹马尚有这只大象在一起称体重共重____________吨。

7、回收1吨废纸能生产再生纸500公斤。

假如每人每天回收1公斤废纸，四年级有8个班，每班同学50人，那么四年级10天回收旳废纸大概能生产_____________公斤再生纸。

8、王大妈家养了1只白兔，第一年生2只白兔，次年起每只白兔又生2只小白兔，按照这样旳规律，到第四年终，王大妈家共有_________只白兔。

二、计算题（每题8分，共16分）9、748＋163＋137－148＋382＋1810、25×9×125×4×8三、解答题（11、12、13题，每题10分，14题12分，15题14分，共56分。

2011Quiz 1Day 11In ABC we have BC >CA >AB .The nine point circle is tangent to the incircle,A -excircle,B -excircle and C -excircle at the points T,T A ,T B ,T C respectively.Prove that the segments T T B and lines T A T C intersect each other.2We call a positive interger n is good number,if n 10k>n 1010for k =1,2,...,9.How many good numbers?{x }=x −[x ].3A positive integer n is known as an interesting number if n satisfiesn 10k>n 1010for all k =1,2,...9.Find the number of interesting numbers.Day 21Let one of the intersection points of two circles with centres O 1,O 2be P .A common tangent touches the circles at A,B respectively.Let the perpendicular from A to the line BP meet O 1O 2at C .Prove that AP ⊥P C .2Let S be a set of n points in the plane such that no four points are collinear.Let {d 1,d 2,···,d k }be the set of distances between pairs of distinct points in S ,and let m i be the multiplicity of d i ,i.e.the number of unordered pairs {P,Q }⊆S with |P Q |=d i .Prove that k i =1m 2i ≤n 3−n 2.3For a given integer n ≥2,let a 0,a 1,...,a n be integers satisfying 0=a 0<a 1<...<a n =2n −1.Find the smallest possible number of elements in the set {a i +a j |0≤i ≤j ≤n }.This file was downloaded from the AoPS Math Olympiad Resources PagePage 12011Quiz2Day11Let n≥2be a given integer.Find all functions f:R→R such thatf(x−f(y))=f(x+y n)+f(f(y)+y n),∀x,y∈R.2Let be a positive integer,and let m,n be positive integers with m≥n,such that A1,A2,···,A m,B1,···,B m are m+n pairwise distinct subsets of the set{1,2,···, }.It is known that A i∆B j are pair-wise distinct,1≤i≤m,1≤j≤n,and runs over all nonempty subsets of{1,2,···, }.Findall possible values of m,n.3For any positive interger d,prove there are infinitely many positive integers n such that d(n!)−1is a composite number.Day21Let AA ,BB ,CC be three diameters of the circumcircle of an acute triangle ABC.Let P be an arbitrary point in the interior of ABC,and let D,E,F be the orthogonal projectionof P on BC,CA,AB,respectively.Let X be the point such that D is the midpoint of A X,let Y be the point such that E is the midpoint of B Y,and similarly let Z be the point suchthat F is the midpoint of C Z.Prove that triangle XY Z is similar to triangle ABC.2Let{b n}∞n≥1be a sequence of positive integers.The sequence{a n}∞n≥1is defined as follows: a1is afixed positive integer anda n+1=ab n n+1,∀n≥1.Find all positive integers m≥3with the following property:If the sequence{a n mod m}∞n≥1is eventually periodic,then there exist positive integers q,u,v with2≤q≤m−1,such thatthe sequence{b v+ut mod q}∞t≥1is purely periodic.3Let n be a positive integer.Find the largest real numberλsuch that for all positive real numbers x1,x2,···,x2n satisfying the inequality1 2n2ni=1(x i+2)n≥2ni=1x i,2011 the following inequality also holds1 2n2ni=1(x i+1)n≥λ2ni=1x i.2011Quiz3Day11Let n≥3be an integer.Find the largest real number M such that for any positive real numbers x1,x2,···,x n,there exists an arrangement y1,y2,···,y n of real numbers satisfyingn i=1y2iy2i+1−y i+1y i+2+y2i+2≥M,where y n+1=y1,y n+2=y2.2Let n>1be an integer,and let k be the number of distinct prime divisors of n.Prove that there exist an integer a,1<a<nk+1,such that n|a2−a.3Let G be a simple graph with3n2vertices(n≥2).It is known that the degree of each vertex of G is not greater than4n,there exists at least a vertex of degree one,and between any two vertices,there is a path of length≤3.Prove that the minimum number of edges that Gmight have is equal to(7n2−3n)2.Day21Let H be the orthocenter of an accute trangle ABC with circumcircleΓ.Let P be a point on the arc BC(not containing A)ofΓ,and let M be a point on the arc CA(not containingB)ofΓsuch that H lies on the segment P M.Let K be another point onΓsuch that KMis parallel to the Simson line of P with respect to triangle ABC.Let Q be another point on Γsuch that P Q BC.Segments BC and KQ intersect at a point J.Prove that KJM is an isosceles triangle.2Let a1,a2,...,a n,...be any permutation of all positive integers.Prove that there existinfinitely many positive integers i such that gcd(a i,a i+1)≤34i.3Let m and n be positive integers.A sequence of points(A0,A1,...,A n)on the Cartesian plane is called interesting if A i are all lattice points,the slopes of OA0,OA1,···,OA n are strictlyincreasing(O is the origin)and the area of triangle OA i A i+1is equal to12for i=0,1,...,n−1.Let(B0,B1,···,B n)be a sequence of points.We may insert a point B between B i and B i+12011if −−→OB=−−→OB i+−−−−→OB i+1,and the resulting sequence(B0,B1,...,B i,B,B i+1,...,B n)is calledan extension of the original sequence.Given two interesting sequences(C0,C1,...,A n)and (D0,D1,...,D m),prove that if C0=D0and C n=D m,then we may performfinitely many extensions on each sequence until the resulting two sequences become identical.。

2013年中国队出征国际各学科奥林匹克成绩统计
2013年国际各学科奥林匹克竞赛已经陆续结束，目前数学、物理、化学、生物与信息五科学科奥林匹克竞赛中国队成绩已统计完毕，中国队以数学、物理、化学、信息4项团体总分均列第1的成绩收官。

以下即为2013年中国队出征国际各学科奥林匹克成绩统计表详情：
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中国数学会主办的第28届中国数学奥林匹克2013年1月10-14日在沈
阳举行，由东北育才中学承办。

来自各省、市、自治区，香港、澳门特别行政区和俄罗斯的300
多名中学生参加了这次赛事。

比赛设有一至三等奖。

成绩优异的学生进入国家集训队，最后将在
其中选拔6名同学组成国家队参加今年的国际数学奥林匹克。

此次共有317人参加2013中国数学奥林匹克竞赛，有301人获奖。

获奖分为三个等级：
一等奖61人（93-126分）；
二等奖133人（48分-90分）；
三等奖107人（9分-45分）；
未获奖的学生成绩在0-6分。

重庆市此次共有14人参赛，均获奖，具体的获奖学生及所属学校统计如下：
最终，入选第54届国际数学奥林匹克中国国家集训队（总共有44人）名单的重庆学生有两
人：育才中学的李爽和重庆八中的康宇衡。