人教版八年级上册第5课时多项式除以单项式(348)1.计算：(1)(6x3y2−7x4y)÷xy；(2)(0.3a2b−13a3b2−16a4b3)÷(−0.5a2b)2.某天数学课上，小明学习了整式的除法运算．放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除以单项式的运算题：(21x4y3−+7x2y2)÷(−7x2y)=+5xy−y．被除式的第二项被污染了，商的第一项也被污染了，你能算出两处被污染的内容是什么吗？3.已知多项式2x3−4x2−1除以一个多项式A，得商式为x，余式为x−1，求这个多项式4.已知A=2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得x+12，则B+A=5.计算：(1)(23a4b7−19a2b6)÷(−13ab3)2；(2)(23a2b2)3÷(13ab2)2×34a3b2；(3)(−a n+1b2)÷(−a n b2)2·(−a n b n)2；(4)[(x+y)2−y(2x+y)−8x]÷2x．6.老师在课堂上与学生做猜数游戏，规则：学生在心里想好一个除0以外的数，然后按以下顺序进行计算：(1)把这个数加上2以后再平方；(2)减去4；(3)除以所想的那个数，得到一个商．最后把所得的商告诉老师，老师立即知道学生猜想的数，你能说出其中的奥妙吗？7.由(x−3)(x+4)=x2+x−12，可以得到(x2+x−12)÷(x−3)=x+4.这说明x2+x−12能被x−3整除，同时也说明多项式x2+x−12有一个因式为x−3.另外，当x=3时，多项式x2+x−12的值为0．根据上面的材料回答下列问题：(1)如果有一个关于字母x的多项式A，当x=a时，A的值为0，那么A与式子x−a 之间有何关系？(2)利用上面的结果求解：已知x+3能整除x2+kx−18，求k的值，在括号里应填的式子是8.对于等式6x2y6÷（）2=23a3平方米，那么这个9.一个长方体水池的容积为20a5立方米，它的底面积为53水池的高为米10.计算：(1)8x8÷2x3；(2)12m2÷3m；(3)20x3y5z÷(−5x2y3)；(4)(2ab)5÷(2ab)311.计算(12x3−8x2+16x)÷(−4x)的结果是（）A.−3x2+2x−4B.−3x2−2x+4C.−3x2+2x+4D.3x2−2x+412.一个长方体的体积是x2−2xy+x，高是x，则这个长方体的底面积是（）A.x−2yB.x+2yC.x−2y−1D.x−2y+113.计算8a3÷(−2a)的结果是（）A.4aB.−4aC.4a2D.−4a214.若8x3y m÷4x n y2=2y2，则m，n的值为（）A.m=1，n=3B.m=4，n=3C.m=4，n=2D.m=3，n=415.计算(−2xy2)3÷4x3y的结果是（）A.−2y3B.2y4C.−2y5D.−8xy216.计算a6b2÷(ab)2的结果是（）A.a3B.a4C.a3bD.a4b17.数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她发现有这么一道题：−3x2·(2x−+1)=−6x3+3x2y−3x2，那么横线上的一项是（）A.−yB.yC.−xyD.xy18.若a为整数，且x2a=5，则(2x3a)2÷4x4a的值为（）C.25D.10A.5B.5219.地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，太阳的体积约是地球体积的倍数是（）A.1.4×105B.1.4×106C.1.4×107D.1.4×10820.计算3x6÷x2的结果是（）A.2x4B.2x3C.3x4D.3x321.计算：(3a2−6a)÷3a=参考答案1(1)【答案】解：(6x3y2−7x4y)÷xy=6x2y−7x3.(2)【答案】解：(0.3a2b−13a3b2−16a4b3)÷(−0.5a2b)=−35+23ab+13a2b22.【答案】:解：被除式的第二项=(−7x2y)×5xy=−35x3y2.商的第一项=21x4y3÷(−7x2y)=−3x2y2.所以第一处被污染的内容为35x3y2,第二处被污染的内容为−3x2y23.【答案】:解：根据题意，得A=[2x3−4x2−1−(x−1)]÷x=(2x3−4x2−1−x+1)÷x=2x2−4x−14.【答案】:2x2+3x【解析】:根据题意,得2x（x+12）+2x=2x2+x+2x=2x2+3x5(1)【答案】解：原式=(23a4b7−19a2b6)÷19a2b6=23a4b7÷19a2b6−19a2b6÷19a2b6=6a2b−1.(2)【答案】解：原式=827a6b6÷19a2b4×34a3b2=2a7b4.(3)【答案】解：原式=−a n+1b2÷a2n b4·a2n b2n=−a n+1b2n−2．(4)【答案】解：原式=(x2+2xy+y2−2xy−y2−8x)÷2x =(x2−8x)÷2x=x2−46.【答案】:解：设此数为a，由题意，得[(a+2)2−4]÷a=(a2+4a)÷a=a+4.可以看出商减去4就是学生猜想的数7(1)【答案】解：多项式A能被x−a整除，同时也说明多项式A有一个因式为x−a．(2)【答案】解：由上面的材料可知，如果x+3能整除x2+kx−18，就是说当x+3=0时，多项式x2+kx−18的值也为0，因此当x=−3时，x2+kx−18=0，所以(−3)2−3k−18=0，解得k=−3．8.【答案】:±3xy3【解析】:设括号里的式子为A，则A2=6x2y6÷23=9x2y6，所以A2=(3xy3)2，所以A=±3xy39.【答案】:12a2【解析】:由题意可得20a5÷53a3=20×35×a5÷a3=12a210(1)【答案】解：8x8÷2x3=4x5.(2)【答案】解：12m2÷3m=4m．(3)【答案】解：20x3y5z÷(−5x2y3)=−4xy2z．(4)【答案】解：(2ab)5÷(2ab)3=4a2b211.【答案】:A【解析】:(12x3−8x2+16x)÷(−4x)=−3x2+2x−412.【答案】:D【解析】:根据题意，得(x2−2xy+x)÷x=x−2y+1. 故这个长方体的底面积是x−2y+1. 故选D13.【答案】:D14.【答案】:B【解析】:原式=2x3−n y m−2=2y2,∴3−n=0，m−2=2，∴n=3，m=415.【答案】:C【解析】:原式=−8x3y6÷4x3y=−2y516.【答案】:B【解析】:a6b2÷(ab)2=a417.【答案】:B【解析】:−3x2·(2x−y+1)=−6x3+3x2y−3x2.故选 B18.【答案】:A【解析】:∵x2a=5，∴(2x3a)2÷4x4a=4(x3a)2÷4x4a=4x6a÷4x4a=x2a=519.【答案】:B20.【答案】:C21.【答案】:a−2。
《多项式除以单项式》典型例题例1 计算:(1)— 36x4+4x3+9x2〕+9x2; (2) 0.25a3b2—1a4a5—1a4b3L(—0.5a3b2). I 3 丿2 6 丿例2 计算：(2)2(a + b 5 -3(a +(-a-b j»a(a + b 3】.3 例3 (1)已知一多项式与单项式-7x5y4的积为21x5y7一28x6y5• 7y 2x3y2, 求这个多项式.(2)已知一多项除以多项式a24a - 3所得的商是2a 1，余式是2a 8 ,求这个多项式.例5计算题：(1) (16x4_8x3—4x)“4x ；(2) (-4a312a2b-7a3b2) “(-4a2);(3)(4a m18a m 2-12a m)，4a m」.例6 化简：(1)[(2x y)2-y(y 4x)-8x]」2x ；(2)4(4x2-2x 1)(； * (4X6-X3)“(-*X3)3 22 1例7 计算[(p q) -2(p q) --(p q)?: [-(p q)]-3 3参考答案例1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式(1) 3a n16a n2-9a「3a n」除以单项式的运算，进而求出最后的结果.解：（1）原式--36x4-〉9x2• 4 x^ 9x29x29x2 3=-4x2x 127（2）原式= 0.25a3b2*（—0.5a3b2）十—1 a4b54 （—0.5a3b2片〔丄a4b3h（—0.5a3b2）I 2 丿I 6 丿---ab3-ab2 3= ab3 -ab」3 2说明：运算结果，应当按某一字母的降幕（或升幕）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处.例2分析：（1）题利用法则直接计算.（2）题把a b看作一个整体，就是多项式除以单项式.解：（1）原式=3a n1'3a n」-6a n3a n4 -9a^:'3a n4二a22a3-3a= 2a3a2-3a（2）原式=2（a + b 5—3（a + b f +（—a —b『卜a（a + b 3】= （a+bi -^（a+b）-£2 22 23 3 1=a 2ab b a a --2 2 2例 3 解：（1）所求的多项为21x5y7-28x6y5+7y（2x3y2 3哄—7x5y4）二21x5y7-28x6y556x9y7亠-7x5y4--3y34xy -8x4y3(2)所求多项式为a24a -3 2a 1 2a 8= 2a‘ 8a2-6a a24a -3 2a 83 2=2a 9a 5说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
多项式除以单项式：∵（a+b ）m=am+bm,∴（am+bm ）÷m=a+b,又am ÷m+bm ÷m=a+b,∴（am+bm ）÷m=am ÷m+bm ÷m.一般的，多项式除以单项式，先把这个‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗除以这个‗‗‗‗‗‗‗‗‗，再把所得的商‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.1、计算.①);)(32(356334xy xy x y y x -÷-+ ②)32()53243532(xy y x y x y x -÷+-③)31(3)9132(26274b a b a b a -÷- ④;)()(23222y y y xy x x x x y x ÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⑤[]b a a b a b ab b a a 22322)()(÷----易出现一下几种常见的错误·：（1）忽略符号；（2）遗漏被除式中单独存在的字母；（3）当字母的指数是1时往往忽略不写，但在计算时，易忽略该指数.2、①计算=÷⨯⨯))103(106(46‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗. ②若))((22x x x n m n m -÷÷与2x ³是同类项，且m+5n=13，则m ²-25n ²的值为‗‗‗‗‗‗‗. 平方差公式：（a+b ）（a-b)=a ²－ab+ab －b ²=a ²－b ².两个数的和与这两个数的差的积，等于‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗，即（a+b ）（a-b)=a ²－b ². 这个公式叫做（乘法的）平方差公式.1、①（2m+3）（2m －3）=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗；②（2a －b ）（b+2a ）=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗； ③2015×2013=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗；④（－1+2a ）（2a+b ）=‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.2、下列各式能用平方差公式计算的是（ ）.A 、（x －3）（3－x ）B 、（－2x －1）（1－2x ）C 、（x －3）（2x+3）D 、（－x －3）（x ＋3）3、下列多项式中，与－x+y 相乘的结果为x ²－y ²得多项式是（ ）.A 、x+yB 、x －yC 、－x+yD 、－x －y3、对于任意整数n ，式子（2n+3）（2n －3）+（3+n ）(3－n)的结果一定能被‗‗‗‗‗数整除A 、3B 、4C 、5D 、64、（1+x ²）（x ²－1）的计算结果是（ ）.A 、x ²－1B 、x ²+1C 、x －1D 、1－x5、下列计算正确的是（ ）.A 、－3x ²y ∙5x ²y=2x ²yB 、－2x ²y ³∙2x ³y=－2x yC 、35x ³y ²÷5x ²y=7xyD 、（－2x －y ）（2x+y ）=4x ²－y ²6、①若a ，b ，c 是三角形的三边长，则代数式（a －b ）²－c ²的值（ ）A 、大于0B 、小于0C 、等于0D 、不能确定②一个三角形的三边分别是a ，b ，c ，则式子（a －c ）²－b ²的值（ ）A 、一定是正数B 、一定是负数C 、可能是正数，也可能是负数D 、可能是07、计算（x+3y ）(x －3y)的结果是（ ）A 、x ²－3y ²B 、x ²－6y ²C 、x ²－9y ²D 、2x ²－6y ²8、若（9+a ²）（a+3）‗‗‗‗‗‗‗=a －81，则横线内的式子是（ ）.A 、a+3B 、a －3C 、3－aD 、a －99、计算：（m+1）²－m ²=‗‗‗‗‗‗‗‗‗.10、计算：①（a+3）（a －3）+a （4－a ） ②);21)(21(b a b a ---11、用简便方法计算：①2013²－2012×2014 ② 20132015201420142⨯-12、先化简，再求值：x （x+1）－（x+1）（x －1），计算：(2+1)(2²+1)（2 +1）（2 +1）+1. 其中x=2014.14小红家有一块L 形菜地，要把L 形菜地按如图所示的那样分成面积相等的两个梯形以种上不同的蔬菜，已知这两个梯形的上底都是a 米，下底都是b 米，高都是（b －a ）米.（1） 请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？（2） 当a=10米，b=30米时，面积是多少？完全平方公式：由于（a+b ）²=（a+b ）（a+b ）=a ²+ab+ab+b ²=a ²+2ab+b ²，（a －b ）²=（a －b ）（a －b ）=a ²－ab －ab+b ²=a ²－2ab+b ²， 即（a+b ）²=a ²+2ab+b ²，（a －b ）²=a ²－2ab+b ².两个数和的平方，等于它们的‗‗‗‗‗‗‗，加上它们的积的‗‗‗‗‗‗；两个数差的平方，等于它们的‗‗‗‗‗‗‗，减去它们的积的‗‗‗‗‗‗；1、 计算：（1）（4m+n ）²； （2）)212( y（3）（2x+y ）（2x －y ）+(x+y)²－2（2x ²－xy ）(4)(2a －3b)²－（2a+3b ）(2a －3b)+（2a+3b ）²2、 先化简，再求值：（1） a （a+3b ）－（a+b ）²－（a+b ）（a －b ）.其中a=1，b=2；（2）[（x+y ）²－y(2x+y)－8x]÷2x ，其中x=－2.3、 用简便方法计算:(1)20.1² （2）201²－198×2024、 已知x+y=3,xy=－6，求下列各式的值：（1） x ²+y ²；（2）x ²－xy+y ²; (3)(x －y)².5、 若x+y=3,xy=1,则x ²+y ²=‗‗‗‗‗.6、 若（2x+a ）²=4x ²+bx+1，则a=‗‗‗‗‗，b=‗‗‗‗‗.添括号：由去括号法则：a+(b+c)=a+b+c;a －（b+c ）=a －b －c.反过来，就得到添括号法则：a+b+c= a+(b+c)a －b －c= a －（b+c ）也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.1、运用乘法公式计算：（1）（x+2y-3）（x －2y+3）； （2）（a+b+c ）².（3）（3a+b －2）（3a －b+2） （4）（x+2y －1）²2、若x ²+2（m －3）x ＋16是完全平方式，则m 的值等于（ ）A 、3B 、－5C 、7D 、7或－13、已知x ²－kx+41是一个完全平方式，那么k 的值为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗. 4、若a ，b 均为正数，a －b=1,ab=2，则a+b 等于（ ）A 、3B 、－3C 、3±D 、95、a ²－b ²=20，且a+b=－5，则a －b 的值是‗‗‗‗‗‗‗‗.6、已知a+101=a ，则a －a1的值为（ ）A 、2 B 、6 C 、6± D 、22± 6、观察下列各式探索发现规律：2²－1=1×3；4²－1=15=3×5；6²－1=35=5×7；8²－1=63=7×9；10²－1=99=9×11；…用含正整数n 的等式表示你所发现的规律为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗.。
1 / 4《多项式除以单项式》典型例题例1 计算：（1）2234993436x x x x ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-；（2）()233454235.0612125.0b a b a a a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--．例2 计算：（1）；（2）()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+．例3 （1）已知一多项式与单项式457y x -的积为()3235675272821y x y y x y x +-，求这个多项式．（2）已知一多项除以多项式342-+a a 所得的商是12+a ，余式是82+a ，求这个多项式．例4 ()()()2232232521525b a b ab a a ab -⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅-． 例5 计算题：（1）x x x x 4)4816(34÷--； （2）)4()7124(22323a b a b a a -÷-+-；（3）1214)1284(-++÷-+m m m m a a a a ．例6 化简：（1）x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+；（2）)41()4()412)(124(43362x x x x x x -÷-+++-例7 计算)].(31[)](32)(2)[(23q p q p q p q p +÷+-+-+参考答案例 1 分析：此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算，进而求出最后的结果．解：（1）原式()22232499934936x x x x x x ++÷+÷-= 127442++-=x x （2）原式()()()2334235423235.0615.0215.025.0b a b a b a b a b a b a -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷= ab ab 31213++-= 21313-+=ab ab 说明：运算结果，应当按某一字母的降幂（或升幂）排列，这样对于检验运算的正确性极有好处．例2 分析：（1）题利用法则直接计算. （2）题把()b a +看作一个整体，就是多项式除以单项式．解：（1）原式11211393633--+-+÷-÷+÷=n n n n n n a a a a a aa a a 3232-+=a a a 3223-+=（2）原式=()()()[]()[]334532b a a b a b a b a +÷--++-+ ()()21232-+-+=b a b a 212323222---++=a a b ab a 例3 解：（1）所求的多项为()[]()4532356757272821y x y x y y x y x -÷+- ()()457956757562821y x y x y x y x -÷+-=343843y x xy y -+-=（2）所求多项式为 ()()()8212342+++-+a a a a3 / 48234682223++-++-+=a a a a a a59223++=a a说明：乘法和除法互为逆运算在多项式中经常运用。
