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西南财经大学出版社主编董君成《运筹学》课后题解

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西南财经大学出版社主编董君成 《运筹学》 课后题解参考答案第一章 线性规划及单纯形法1.（1）3. 解：（ 1）z25,x 1 15,x 2 5,x3 0 （2）有无穷多个最优解 ，例如 x 1 4,x 2 0, x3（3） z *5.4 , x 1 0.2,x 2 0, x 3 1.6（5） z 15 .x 1 2.5,x 2 2.5,x 3 2.5,x 4（7） 无可行解。

（ 8） z0 .x 1 0,x 2 0（9） z 7.08 .x 1 0,x 2 0, x 3 1.35 , x 4（11）z 35.6 .x 1 9.8, x 2 4.2,x 3 0, x 4； 或x 1 （4） 0,x 2*z * 0,x 3 8等 ，此时 z *8. .5 ,x 11,x 2 1,x 3 0.5（6） z 260 . x 1 6,x 2 2,x 3 0.x34,x 4.0.21 （10） z 70 . x 1 16,x 2 0,x 3 10 3.4 （12） z46 . x 1 14, x 2 0,x 3 44. 解：设决策变量 x11 , x12分别表示第一年投资到项目Ⅰ、Ⅱ的资金额；x21, x23分别表示第二年投资到项目Ⅰ、Ⅲ的资金额； x31, x34 分别表示第三年投资到项目Ⅰ、Ⅳ的资金额。

则得线性规划模型如下：maxZ 0.2x 11 0.2x 210.2x 31 0.5x 12 0.6x 230.4x 34x11 x123000000.2x 11x 21 x 12x 233000000.2x 11 0.2x 21x 31 0.5x 12x23 x 34300000x 12200000x23150000x34100000x 11 ,x 21 ,x 31 ,x 12 ,x 23 ,x 34 02x 1 5x 2 3x 3 5x 4 5x 4 x 6 3 x 1 x 2 3x 3 x 4 x 4 x 5 14 2x 4x 4x 5x 5x 18 1 2 3 4 4 2x 1 3x 2 x 3 2x 4 2x 4 x 6 2x 0,x 0,x 0,x 0,x 0 1 2 3 4 4x 1,x 2,x 3,x 4, x 4 , x 5, x 6*2. （ 1） 有唯一最优解， z9 2 ,x 1 3 2,x 2 12 ； （ 2 ）无可行解； （3）有无穷多个最优解， z *66；（ 4）有唯一最优解， z 15,x1maxz 3x 1 2x 2 4x 3 8x 4 8x 4 min z3x 1 4x 2 2x 3 5x 4 5x 4x 1 2x 2 5x 3 6x 4 6x 4 x 5 8 4x 1 x 2 2x 3 x 4 x 425,x 2 10 5. 解： (1)d 0,c10, c 2 0 ；(2) d0,c 1 0, c 2, 但c 1 ,c 2中至少有一个为零 ；3） d 0 ，或 d 0 ，而 c 1 0 ，且d 43 a2 ；( 4 ) c10，d 4 3 a 2；(5)c 2 0, a 16） x 5为人工变量，且 c 1 0,c 2.；6. 解：（ 1）解得 z440000 ,x 1 40, x 2 602)解得z 380000 , x 1 40, x 2 60(2)7.设 x ij 为生产 i 种糖果所使用的 j种原材料数，i1,2,3分别代表甲、乙、丙， j 1,2,3 分别代表 A 、B 、C其数学模型为max z (3.4 0. 5)( x 11 x 12x 13 ) (2.85 0 .4)( x 21 x 22 x 23 (2.25 0.3)( x 31 x 32x 33) 2.0(x 11 x 21 x 31) 1.5(x 12x 221.0(x 13 x 23 x 33 )x32 )578第二章 对偶理论与灵敏度分析min w 10y 1 17y 2 12y 3 25y 4min w 10y 1 17y 2 12y 3 25y 4 3y 5y 1 y 2 6y 3 12y 4 1y 2y y 21. (1)y 1 y 2 7y 3 9y 4 2 21 2 33y 2 3y 3 y 4 y 5 3 y 1 y 2 3y 3 9y 4 3 y 1 y 2 4y 3 7 3y 1 3y 2 5y 3 9y 4 4 2y 1 2y 2 83y 1 3y 2 5y 3 9y 4 4y 1，无约束 ， y 2,y 3, y 4,y 5 0y 1，y 2,y 3,y 4 02 原 问 题 的 最 优 解 为 ： （0,0,4,4）Tx 11x21x312000x12x22x322500x13 x23x33 1200x110.6x210.15x 11x12x13x21 x22x23x130.2x230.6x11 x12 x13 x21x22x23x330.5xx31 x32x33ij8. 解：设x i (i1，2，3，4，5， 6）为第 i 班开始上班的服务员人数。

则数学模型 min Zx 1 x 2x 3x 4 x 5 x 6x 6x 180x 1x 290x 2x 3 80x 3x 4 70x 4x 5 40x 5x 630x j0 ( j 1, ,6)9. 解： 设x j (j 1,2,3,4)为第 j 种产品的生产数量，则有max Z 49x 1 55x 238x 3 52x 4 27.5x 1 32.5x 2 29.6x 3 25 x 4x 1x 2 x 415010 20 20 x 1 x 3 x 44 12020 10 10x 2x 3 70 10 15x 1 ,x 2,x 3 ,x 4 0其中： 49=65-16 ； 27.5=200/20 + 150/10 ，依次类推。

10. 解：设 x i j（i 1,2,3,4; j 1,2,3）为第 j 台制衣机生产第 i种服装的天数，则有：4 4 4minZ 80 x i1 100 x i 2 150 x i3i1 i 1 i1300x 11 280x 21 200x 31 150 x 41 x i j 0600x 12 450x 22 350x 32 410 x 42 800x 13 700 x 23 680x 33 450x 43 (i 1,2,3,4; j10000 9000 7000 8000 1,2,3)579min w 60y 1 40y 2 80y 33. (1) 对偶问题 是：3y1 2y2 y324y 1 y 2 3y 3 4 y 3 y 4 12y 1 2y 2 2y 3 3 y 1,y 2,y 3 0（4）对偶单纯形法实质上是将单纯形法应用于对偶问题的求解，又对偶问题的对偶即原 问题，因此（2）、（3） 的计算结果完全相同。

4. ( 1) 对 偶 问 题 最 优 解 为 ： x 123 ，x 28 3 ，min w 10 32 ） 对 偶 问 题 的 最 优 解 为 ： （ 3,0,0,0,6,7,0） ）minz 9X （0,5,5,0,0） ； maxz 90（ 2）］ 7 0， 所以线性规划 问题的最 优解 不变5)X (0,25 2,5 2 ,0 ,15,0) ；maxz 956）线性规划的最优解不发生变化 x代表原稿 纸、日记本和练习本的每月生产量。

建 立线性规划模22007.（1）X （33815,1165,223,0,0,0）；maxz 202915（2）设 备 B 的影子价格为415（千元/ 台时），而借用设备的租金为1860（千元/台时） 415（千元/台时），所以借用 B 设备不合算。

（3） 8 37 300 0， 所 以 生 产 产 品 Ⅴ 合 算（4）93 4 7 9253 ， 所 以 改 进 技 术 后 能 够 带 来 更 多 的 经 济 效 益 。

1 4.5 , , 12 01100 15 150 30048. ( 1)当0 t 83时，最 优解为X (0,10,10,0);maxz(t) 220当8 3 t 5时 ， 最 优 解 为X (0,15,0,5); max z(t) 180 15t 当 t 5时，最优解 为 X (15,0,0,5); max z(t) 105 30t5. ( 1) X (0,0,9,3,0)；maxz 117(3)此时 x 的检 验数为8 [52) 304）此时 x 的 检验数为11 0 05 (5,0) 4 1 5，所以线性规划问题的最优解不变506. （ 1） 分 别 用 x 1、x2 、答案4.580( 2 ) 当 0 t 5 时 ， 最 优 解 为 X (10 2t,0,10 2t,5 t,0); max z(t) 6t 30(0 t 5)当 t 5 时 ， 最 优 解 为 X (10 2t,15 t,0,0,t 5);maxz(t) 5t 35(5 t 25)第三章 运输问题复习思考题答案1～8 答案 略 9.1)×； 2)×； 3)√ ；4)√；5)√；6)×； 7)√；8)√；9)√ ；10)√ ； 11) ×； 习题答案2)地销地产B1B2B3B4B5产量A 15050A 2256015100 A36565130 A415520销量25 115 60 30 702. 1销 产地产地B 1B2B3B4B5B6产量A1203050A 2202040A 31039 1160 A413031销量3050 20 4030113.1. 解：( 1)最优调运方案为2)c 13 1,c 35 2,c 41 2581最大赢利为：max z 105. 解：该厂的生产安排如下：产销地产地A1A2A3A4供应量B 1112B133 B 222 4 B 322 B311B333 S22销量3347总运费为： maxz500 1 540 1 600 2 500 1 620 3 40 2 4730（元）6.c 33值应满足c 33 14 0 ， c 33 10 0 ，16 c 33 014 c 33 167.8. （1239.10. 解：（1）制定最优生产计划单位运价表中的数字表示成本，其计算：当季生产当季销售，总成本＝生产成本；前季生产后季销售，总成本＝生产成本+储存成本；后季生产前季销售不可能，总成本为M ,于是得单位运价表和产销平衡表如下：产销平衡表与单位运价表需求生产季度1 2 3 4 生产量季度1 5 6 7 8 142 M 5 6 7 153 M M 6 7 154 M M M 6 13需求量10 14 20 8最优生产计划需求总成本：292 万元（2）加班生产计划产销平衡表与单位运价表需求生产季度1 2 3 4 生产量季度1 季正常生产 5 6 7 8 14生产季度 1 2 3 4 生产量季度1 10 4 142 14 1 153 15 154 8 8需求量10 14 20 8最优生产计划需求生产季度1 2 3 4 生产量季度1 季正常生产10 3 125825831 季加班生产 6 7 8 92 1 季加班生产2 季正常生产 M 5 6 7 15 2 季正常生产12315 2 季加班生产 M 67 8 2 2 季加班生产223 季正常生产 M M 6 7 15 3 季正常生产15153 季加班生产 M M 7.28.2 2 3 季加班生产4 季正常生产 M M M 6 13 4 季正常生产884 季加班生产MMM7.224 季加班生产需求量1014208需求量1014208第四章 整数规划复习思考题答案1～ 5 答 案 略6.1)×；2)√；3)×； 4)×；5)√；6)√；7)√；8) √ ；9) √ ；10) √11)× ； 1 2) √；习 题答案1.(1)X(4,2)T ,Z340 (2)X (2,4)T ,Z 58(3) X (4,2)T,Z 14 (4) X 1 (4,1)T ,X 2(5,0)T Z 52. (1) x ( 1)(3,1), x (2)( 0,7); z 7 (2) 最优解 x(5,2); z 16(3) x 11,x 23,Z 4 (4) x 14,x 21,Z 53. (1)54maxZi1 j 1C ij xijx i1 x i2 xi3 xi431,2,L ,5x1j x2 jx3 jx4 jx5 j1j1,2,3,454i1x ij 10j1x ij1或0,i 1,2,L ,5; j 1,2,3,45. 解 :数学模型为5847maxz c i x ii17b i x i Bi1s.t.x 1 x 2 x 3 2 x 4 x 5 1 x 6 x 7 1, x i 0或1从而得最优解 (x *,x *,x *) (1,0,1) ，最优值 z *8。

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运筹学教材习题答案第七到第十二章

运筹学教材习题答案第七到第十二章

习题七7.2(1)分别用节点法和箭线法绘制表7-16的项目网络图，并填写表中的紧前工序。

(2) 用箭线法绘制表7-17的项目网络图，并填写表中的紧后工序表7-16工序 A B C D E F G紧前工序－－－ A C A F、D、B、E紧后工序D,E G E G G G－表7-17工序 A B C D E F G H I J K L M紧前工序- - - B B A,BBD,GC,E,F,HD,GC,E IJ,K,L紧后工序F E,D,F,GI,KH,JI,KIH,JI L M MM－【解】（1）箭线图：节点图：（2）箭线图：7.3根据项目工序明细表7-18：（1）画出网络图。

（2）计算工序的最早开始、最迟开始时间和总时差。

（3）找出关键路线和关键工序。

表7-18工序 A B C D E F G紧前工序- A A B,C C D,E D,E工序时间（周）9 6 12 19 6 7 8【解】(1)网络图(2)网络参数工序 A B C D E F G最早开始0 9 9 21 21 40 40最迟开始0 15 9 21 34 41 40总时差0 6 0 0 13 1 0(3)关键路线：①→②→③→④→⑤→⑥→⑦；关键工序：A、C、D、G；完工期：48周。

7.4 表7-19给出了项目的工序明细表。

表7-19工序 A B C D E F G H I J K L M N 紧前工序- - - A,B B B,C E D,G E E H F,J I,K,L F,J,L 工序时间(天) 8 5 7 12 8 17 16 8 14 5 10 23 15 12（2）在网络图上求工序的最早开始、最迟开始时间。

（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差。

（4）找出所有关键路线及对应的关键工序。

（5）求项目的完工期。

【解】(1)网络图（2）工序最早开始、最迟开始时间（3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差工序t T ES T EF T LS T LF 总时差S 自由时差FA 8 0 89 1790B 5 0 50 500C 7 0 77 700D 12 8 2017 2999E 8 5 13 5 1300F 17 7 247 2400G 16 13 2913 2900H 8 29 3729 3700I 14 13 2733 472020J 5 13 1819 246 6K 10 37 4737 4700L 23 24 4724 4700M 15 47 6247 6200N 12 47 5950 623 3(4)关键路线及对应的关键工序关键路线有两条，第一条：①→②→⑤→⑥→⑦→○11→○12；关键工序：B,E,G,H,K,M 第二条：①→④→⑧→⑨→○11→○12；关键工序：C,F,L,M（5）项目的完工期为62天。

运筹学部分课后习题解答

运筹学部分课后习题解答

运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题a）12121212min z=23466 ..424,0x xx xs t x xx x++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为min 3z=23032⨯+⨯= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题a）12121212max z=10x5x349 ..528,0x xs t x xx x++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即112122134935282xx xx x x=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，即最优解为*31,2Tx⎛⎫= ⎪⎝⎭这时的最优值为max335z=101522⨯+⨯=单纯形法： 原问题化成标准型为121231241234max z=10x 5x 349..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ j c →10 5B CB Xb 1x2x3x4x0 3x 9 3 4 1 0 04x8[5] 2 0 1 j j C Z -105 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 101x8/51 2/5 0 1/5 j j C Z -1 0 -2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 101x11 0 -1/72/7j j C Z --5/14 -25/14所以有*max 33351,,1015222Tx z ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭P78 2.4 已知线性规划问题：1234124122341231234max24382669,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

《运筹学》课后答案

《运筹学》课后答案

《运筹学》课后答案《运筹学》是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识。

掌握运筹学的方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。

下面是《运筹学》课后习题的答案：1. 什么是线性规划问题？线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。

线性规划问题具有优化的特点，即找到一组满足约束条件的解，使得目标函数取得最大（最小）值。

2. 线性规划问题的标准形式是什么？线性规划问题的标准形式是指将目标函数和约束条件都写成标准形式，即目标函数为最大化（最小化）一个线性函数，约束条件为一组线性不等式和线性等式。

3. 线性规划问题的解的存在性和唯一性是什么？线性规划问题的解的存在性和唯一性是由线性规划问题的特殊结构决定的。

如果线性规划问题有有界解（即目标函数有最大（最小）值），则存在解；如果线性规划问题的目标函数有最大（最小）值，且该最大（最小）值只有一个解，则解是唯一的。

4. 什么是单纯形法？单纯形法是一种解线性规划问题的常用方法，它通过迭代计算来逐步接近最优解。

单纯形法的基本思想是从一个初始可行解出发，通过一系列变换（包括基变换、基可行解的改进等）来逐步接近最优解。

5. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划问题的一个重要理论基础，它通过将原问题转化为对应的对偶问题来研究线性规划问题。

对偶理论可以帮助我们理解线性规划问题的性质和结构，并且可以通过对偶问题的解来得到原问题的解。

6. 什么是整数规划问题？整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，将决策变量的取值限制为整数的问题。

整数规划问题具有更为复杂的性质，其解的搜索空间更大，求解难度更大。

7. 什么是分支定界法？分支定界法是解整数规划问题的一种常用方法，它通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题，通过不断分支和约束来逐步缩小解的搜索空间，最终找到最优解。

8. 什么是动态规划？动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它通过将问题分解为一系列子问题，并且利用子问题的解来构建整体问题的解。

运筹学课后习题解答_1.(DOC)

运筹学课后习题解答_1.(DOC)

运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题min z=2x1 3x2a4x1 6x2 6 ）2x2 4 st.. 4x1x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集 MABCN，且可知线段 BA上的点都为最优解，即该问题有无量多最优解，这时的最优值为3z min =23 0 3 2P47 1.3 用图解法和纯真形法求解线性规划问题max z=10x1 5x 2a ）3x1 4x2 95x1 2x2 8st..x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知 B 点为最优值点，3x1 4x2x1 1 T 9 3，即最优解为x*1,3即2x2 8x2 2 5x1 2这时的最优值为 z max =10 1 5 3 35 2 2纯真形法：原问题化成标准型为max z=10x15x23x1 4 x2x39st.. 5x12x2x48x1 , x2 , x3 ,x4 010 5 0 0c jC B X B b x1 x2 x3 x49 3 4 1 0x38 [5] 2 0 1x410 5 0 0C j Z j21/5 0 [14/5] 1 -3/5 x38/5 1 2/5 0 1/5 10x10 1 0 -2C j Z j53/2 0 1 5/14 -3/14 x21 1 0 -1/7 2/7 10x10 0 -5/14 -25/14C j Z j1,3 T1015335因此有 x*, zmax2 2 2P78 2.4 已知线性规划问题：max z 2 x1 4x2 x3 x4x1 3x2 x4 82x1 x2 6x2 x3 x4 6x1 x2 x3 9x1 , x2 , x3,x4 0求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X* (2,2,4,0) ，试依据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：min w 8 y1 6 y2 6 y3 9 y4y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1y1 y3 1y1, y2 , y3 ,y4 0（2）由原问题最优解为X* ( 2,2,4,0) ，依据互补废弛性得：y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1把 X * (2,2,4,0) 代入原线性规划问题的拘束中得第四个拘束取严格不等号，即 2 2 4 8 9 y4 0y1 2 y2 2进而有3y1 y2 y3 4y3 1得 y 4 , y2 3, y31, y 01 5 5 4( 4,3,1,0)T，最优值为w min16因此对偶问题的最优解为y*5 5P79 2.7考虑以下线性规划问题：min z 60x140x280x33x12x2x3 24x1x23x3 42x12x22x3 3x1, x2 , x30（ 1）写出其对偶问题；（ 2）用对偶纯真形法求解原问题；解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：max w 2y1 4 y23y33y1 4 y2 2 y3602 y1 y22y340y13y22y380y1, y2 , y30（2）在原问题加入三个废弛变量x4 , x5 , x6把该线性规划问题化为标准型：max z 60x1 40x2 80x33x1 2x2 x3 x4 24x1 x2 3x3 x5 42 x1 2x2 2x3 x6 3x j 0, j 1, ,6c j-60 -40 -80 0 0 0 C B X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6x4-2 -3 -2 -1 1 0 0x5-4 [-4] -1 -3 0 1 0x6-3 -2 -2 -2 0 0 1 C j Z j-60 -40 -80 0 0 0x41 0 -5/4 5/4 1 -1/12 080x11 1 1/4 3/4 0 -1/4 0x6-1 0 [-3/2] -1/2 0 -1/2 1C j Zj0 -25 -35 0 -15 0x411/6 0 0 5/3 1 1/3 -5/680x15/6 1 0 2/3 0 -1/3 1/640x22/3 0 1 1/3 0 1/3 -2/3C j Zj0 0 -80/3 0 -20/3 -50/3x* ( 5 , 2 ,0) T , z max 60 5 40 2 80 0 2306 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、资料等相关数据见下表。