2015-2016学年浙江省舟山市普陀三中高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

到渐近线距离的 2 倍倍，则其渐近线方程为（ ．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±3y=0
D．3x±4y=0
8． （5 分）长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是边长为 a 的正方形，若在侧棱 AA1
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上至少存在一点 E，使得∠C1EB=90°，则侧棱 AA1 的长的最小值为（
17． （15 分）设等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn，已知 a1=1， （1）求{an}的通项公式 an； （2）bn= ，bn 的前 n 项和 Tn，求证；Tn＜ ．
18． （15 分） 如图， 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD⊥底面 ABCD， PD=DC，E 是 PC 的中点． （1）证明 PA∥平面 BDE； （2）证明：DE⊥面 PBC； （3）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的大小．
A．{x|﹣4≤x≤﹣2}
2． （5 分）下列函数既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（ A．y=﹣x2 B．y=x3 C．y=log2x D．y=﹣3﹣x 3． （5 分）设命题 p：∃ n∈N，n2＞2n，则￢p 为（ ）
A．∀ n∈N，n2＞2n B．∃ n∈N，n2≤2n C．∀ n∈N，n2≤2n D．∃ n∈N，n2=2n 4． （5 分） 已知等差数列{an}的公差为 2， 若 a 1， a 3， a4 成等比数列， 则 a2= （ A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10 5． （5 分）设函数 f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ） （|φ|＜ （ A． ） B． C． D． ）为偶函数，则 φ= ）
19． （15 分） 已知抛物线 C： y2=2px （p＞0） 上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5． （1）求抛物线 C 的方程； （2）设直线 y=kx+b 与抛物线 C 交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，且|y1﹣y2|=2，过 弦 AB 中点 M 作平行于 x 轴的直线交抛物线于点 D，求△ABD 的面积．

2015-2016学年浙江省舟山中学高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）已知集合∁R M={x|lnx＜e}，，则M∩N=（）A．（0，e） B．[e，e e）C．[e e，+∞）D．（e，+∞）2．（5分）已知a n=f（n），则“函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）为了得到函数y=cos（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移4．（5分）设函数f（x）=，若有f（x1）=f（x2）=a（x1≠x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，2e）B．[1，2e）C．（0，1]D．[1，+∞）5．（5分）若实数x，y满足（a＞1），z=x﹣2y的最大值是，则a的值是（）A．B．4 C．2 D．36．（5分）在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则•的值是（）A．5 B．C．6 D．87．（5分）在正三棱柱中，AB=AA1=1，P在平面ABC内运动，使得三角形AC1P的面积为，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线8．（5分）已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，4） C．（2，4） D．（4，9）二．填空题：本大题共7小题，其中9--12，每小题两空，每空3分，13--15每小题一空，每题4分，共36分.9．（6分）已知．则=；若f（x）≥1，则满足条件的x的集合为．10．（6分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，则BD=；该旋转体的表面积为．11．（6分）设公差不为零的等差数列{a n}满足：a1=3，a4+5是a2+5和a8+5的等比中项，则a n=，{a n}的前n项和S n=．12．（6分）已知lga+lgb=0，则满足不等式≤λ的实数λ的最小值是．13．（4分）过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴的上方，则|FA|的取值范围是．14．（4分）已知向量，满足||=2，||=•=1，（﹣2）•（﹣）=0，则|﹣|的最小值是．15．（4分）若关于x的不等式（ax﹣20）（lg2a﹣lgx）≤0对任意的x∈N+恒成立，则实数a的取值范围是．三．解答题（本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（14分）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanA=，（1）求角A的大小；（2）当a=时，求c2+b2的最大值，并判断此时三角形ABC的形状．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，BC=，且PC⊥CD，BC⊥PA，E是PB的中点．（1）求证：平面PBC⊥平面EAC；（2）若二面角P﹣AC﹣E的正弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的余弦值．18．（15分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lg（x+）（1）求f（﹣1）的值；（2）解不等式f（2﹣2x）＜f（x+3）；（3）若关于x的方程f（x）=lg（+2a）在（1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．19．（15分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别是F1、F2，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：x﹣y+2=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点F2作OP的平行线交椭圆与M、N两个不同的点，记S 1=S，S2=S，令S=S1+S2，求S的最大值．20．（15分）已知S n为等比数列{a n}的前n项和，且a1+a4=﹣，且对于任意的n∈N*，有S n、S n+2、S n+1成等差数列，{b n}的前n项和T n=n2+n（n∈N*，k＞0），且T n的最小值为1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{b n}中落入区间（2m+，4m+）内的个数记为c m，求数列{c m}的前m项和；（3）记P n=||+||+||+…+||，若（n﹣1）2≤m（P n﹣n﹣1）对于n ≥2恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年浙江省舟山中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）已知集合∁R M={x|lnx＜e}，，则M∩N=（）A．（0，e） B．[e，e e）C．[e e，+∞）D．（e，+∞）【解答】解：集合∁R M={x|lnx＜e}=（0，e e），∴M=（﹣∞，0]∪[e e，+∞），=（0，+∞），∴M∩N=[e e，+∞），故选：C．2．（5分）已知a n=f（n），则“函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增”⇒“数列{a n}是递增数列”，反之不成立．例如f（x）=，n∈N*．∴函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增”是“数列{a n}是递增数列”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）为了得到函数y=cos（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移【解答】解：将函数y=sin2x=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y=cos[2（x+）﹣]=cos（2x﹣）的图象，故选：D．4．（5分）设函数f（x）=，若有f（x1）=f（x2）=a（x1≠x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，2e）B．[1，2e）C．（0，1]D．[1，+∞）【解答】解：由解析式知函数f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，在[2，+∞）上也是增函数．由于f（x1）=f（x2）=a（x1≠x2），故函数f（x）在（﹣∞，+∞）上不是增函数．当x＜2时，f（x）∈（0，2e）；当x≥2时，f（x）≥f（2）=1，即f（x）∈[1，+∞）．由题意可得直线y=a和函数f（x）的图象有2个交点，故有1≤a＜2e．故选：B．5．（5分）若实数x，y满足（a＞1），z=x﹣2y的最大值是，则a的值是（）A．B．4 C．2 D．3【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最小，此时z最大，为z=x﹣2y=，由，解得，即A（，﹣），同时A也在直线y﹣ax+1=0，即﹣﹣a+1=0，得a=，解得a=3．故选：D．6．（5分）在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则•的值是（）A．5 B．C．6 D．8【解答】解：如图，设BC的中点为O，由，得==，∵，∴，由此可得：，而===|AO|2﹣|OM|2，由已知，∴|AO|2﹣|OM|2=，∴=6．故选：C．7．（5分）在正三棱柱中，AB=AA1=1，P在平面ABC内运动，使得三角形AC1P 的面积为，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：过点P作PH⊥AC1，则AC1=，∵三角形AC1P的面积为，∴=，∴PH=，在空间和AC1距离为定长的轨迹是以AC1为轴，半径为的圆柱面，且AC1和平面ABC所成角为45°，∴动点P的轨迹是一段椭圆弧．故选：B．8．（5分）已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，4） C．（2，4） D．（4，9）【解答】解：由题意作图如下，，∵结合图象可知，点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，∴点M是F1N的中点，又∵点O是F1F2的中点，∴|OM|=|F2N|，∵0＜|F2N|＜8，∴0＜|OM|＜4．故选：B．二．填空题：本大题共7小题，其中9--12，每小题两空，每空3分，13--15每小题一空，每题4分，共36分.9．（6分）已知．则=；若f（x）≥1，则满足条件的x的集合为{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z} ．【解答】解：．则=2sin（2×﹣）=2sin=，∵f（x）≥1，∴2sin（2x﹣）≥1，∴sin（2x﹣）≥，∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴满足条件的x的集合为{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}．故答案为：，{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}．10．（6分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，则BD=2；该旋转体的表面积为．【解答】解：由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，体积V=•4•（a+4）×4=16，解得a=BD=2；在RT△ABD中，AB=4，BD=2，AD=6，过B作AD的垂线BH，垂足为H，得BH=，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH=，所以圆锥底面周长为C=2π•=，两个圆锥的母线长分别为4和2，故该旋转体的表面积为S=×（2+4）=．故答案为：2，11．（6分）设公差不为零的等差数列{a n}满足：a1=3，a4+5是a2+5和a8+5的等比中项，则a n=8n﹣5，{a n}的前n项和S n=4n2﹣n．【解答】解：由已知可得，（a4+5）2=（a2+5）•（a8+5）∴（8+3d）2=（8+d）（8+7d）∵d≠0，∴d=8∴a n=8n﹣5由等差数列的前n项和公式可得，S n==4n2﹣n．故答案为：8n﹣5；4n2﹣n．12．（6分）已知lga+lgb=0，则满足不等式≤λ的实数λ的最小值是1．【解答】解：∵lga+lgb=0，∴lgab=0，ab=1，则b=，∴==．∴则满足不等式≤λ的实数λ的最小值是1．故答案为：1．13．（4分）过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴的上方，则|FA|的取值范围是（，1+] ．【解答】解：∵抛物线方程为y2=x，∴其焦点F（，0），∵点A在x轴上方，∴|FA|cosθ=x A﹣，由抛物线定义可知：|FA|=x A+，∴|FA|=，∵θ∈[，π），∴cosθ∈（﹣1，]，∴|FA|=∈（，1+]，故答案为：（，1+]．14．（4分）已知向量，满足||=2，||=•=1，（﹣2）•（﹣）=0，则|﹣|的最小值是．【解答】解：∵||=2，||=•=1，=（1，），=（1，0），=（x，y），由（﹣2）•（﹣）=0，得（1﹣x）（1﹣2x）+（﹣2y）（﹣y）=0．整理得方程C的曲线方程为：（x﹣）2+（y﹣）2=，C（，），r=，则|﹣|=表示A（1，）到圆上的点（x，y）的距离，最小值为AC﹣r=；故答案为：．15．（4分）若关于x的不等式（ax﹣20）（lg2a﹣lgx）≤0对任意的x∈N+恒成立，则实数a的取值范围是[3，] ．【解答】解：由题可知x＞0，a＞0，原不等式可转化为（ax﹣20）（2a﹣x）≤0，即不等式（x﹣）（x﹣2a）≥0对任意x∈N恒成立，+当a≥时，≤2a，此时，不等式的解决为（0，]∪[2a．+∞），而2∈[，2a]，所以≥6用2a≤7，解得a≤，故a∈[，]；同理，当a＜时，a∈[3，）综上[3，]故a的范围为[3，]，故答案为：[3，]三．解答题（本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（14分）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanA=，（1）求角A的大小；（2）当a=时，求c2+b2的最大值，并判断此时三角形ABC的形状．【解答】解：（1）∵锐角三角形ABC中，tanA=，∴由余弦定理：c2+b2﹣a2=cosA•2bc可得：，从而解得：sinA=，∴由于A为锐角，可解得：A=．（2）∵A=，∴B+C=当a=时，由（1）及余弦定理可得：3=b2+c2﹣2bc×，可得：3=b2+c2﹣bc≥（当且仅当b=c时等号成立），解得c2+b2的最大值是6．此时，b=c，故△ABC的形状为等腰三角形．∵A=，∴△ABC的形状为等边三角形．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，BC=，且PC⊥CD，BC⊥PA，E是PB的中点．（1）求证：平面PBC⊥平面EAC；（2）若二面角P﹣AC﹣E的正弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面PBC⊥平面EAC．解：（2）取AB中点F，以C为原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=2AD=2CD=2，BC=，且PC⊥CD，BC⊥PA，E是PB的中点，∴则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），=（1，1，0），=（0，0，a），=（）．设平面PAC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0）．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则，取x=a，得=（a，﹣a，﹣2），∵二面角P﹣AC﹣E的正弦值为，∴依题意，|cos＜＞|===，解得a=2．于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sin θ=|cos＜，＞|==，直线PA与平面EAC所成角的余弦值为=．18．（15分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lg（x+）（1）求f（﹣1）的值；（2）解不等式f（2﹣2x）＜f（x+3）；（3）若关于x的方程f（x）=lg（+2a）在（1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lg （x+）∴（2）函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）图象关于直线x=1对称，且在（1，+∞）上单调递增故原不等式可化为|2﹣2x﹣1|＜|x+3﹣1|，即|2x﹣1|＜|x+2|，得（3）若关于x的方程f（x）=lg（+2a）在（1，+∞）上有解，即x2﹣2ax+1﹣a=0在（1，+∞）上有解①在（1，+∞）上有两等根，即，无解②一根大于1，一根小于1，即1﹣2a+1﹣a＜0，得到③一根为1，则，解得另一根为，不符综上所述，19．（15分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别是F1、F2，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：x﹣y+2=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点F2作OP的平行线交椭圆与M、N两个不同的点，记S 1=S，S2=S，令S=S1+S2，求S的最大值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆C：=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：x﹣y+2=0相切，即b==，又椭圆的离心率e===，解得：a2=4，椭圆C的方程为：；（2）由（1）可知：椭圆的右焦点F2（，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），∵OP∥F2M∴S=，∴S=S 1+S2=S OMN=•丨OF2丨丨y1﹣y2丨=，设直线MN：x=ky+，，整理得：（k2+2）y2+2ky﹣2=0，y1+y2=，y1•y2=，∴S==2，=2=2×，由+≥2，S≤2×=，当且仅当=时，即k=0时，取等号，S的最大值．20．（15分）已知S n为等比数列{a n}的前n项和，且a1+a4=﹣，且对于任意的n∈N*，有S n、S n+2、S n+1成等差数列，{b n}的前n项和T n=n2+n（n∈N*，k＞0），且T n的最小值为1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{b n}中落入区间（2m+，4m+）内的个数记为c m，求数列{c m}的前m项和；（3）记P n=||+||+||+…+||，若（n﹣1）2≤m（P n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵对于任意的n∈N*，有S n、S n+2、S n+1成等差数列，∴2（a1+a1q+a1q2）=a1+a1+a1q．整理得：2a1（1+q+q2）=a1（2+q）．∵a1≠0，∴2+2q+2q2=2+q．∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=﹣．又a1+a4=a1（1+q3）=﹣，把q=﹣代入，得a1=﹣．∴a n=a1q n﹣1=（﹣）×（﹣）n﹣1=（﹣）n．∵{b n}的前n项和T n=n2+n（n∈N*，k＞0），且T n的最小值为1．∴T1=b1==1，解得k=1，当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=n，n=1时，上式成立，∴b n=n．（2）由2m+＜n＜4m+，得数列{b n}中落入区间（2m+，4m+）内的个数c m=4m﹣2m，∴数列{c m}的前m项和S m=（4+42+43+…+4m）﹣（2+22+23+…+2m）=﹣=．（3）∵b n=n，a n=（﹣）n，∴||=||=n•2n ，∴P n =1×2+2×22+3×23+…+n•2n ．2P n =1×22+2×23+3×24+…+（n ﹣1）•2n +n•2n +1． ∴﹣P n =2+22+23+…+2n ﹣n•2n +1=﹣n•2n +1，∴P n =﹣（﹣n•2n +1）=（n ﹣1）•2n +1+2．若（n ﹣1）2≤m （T n ﹣n ﹣1）对于n ≥2恒成立，则（n ﹣1）2≤m [（n ﹣1）•2n +1+2﹣n ﹣1]对于n ≥2恒成立，也就是（n ﹣1）2≤m （n ﹣1）•（2n +1﹣1）对于n ≥2恒成立， ∴m ≥对于n ≥2恒成立，令f （n ）=，∵f （n +1）﹣f （n ）=﹣=＜0∴f （n ）为减函数，∴f （n ）≤f （2）==．∴m ≥．∴（n ﹣1）2≤m （T n ﹣n ﹣1）对于n ≥2恒成立的实数m 的范围是[，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn mna a a m n N+=>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmn n na a m n Na a-+==>∈且1)n>．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R=>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

普陀区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体）1111] D ．不是定值，随点M 的变化而变化且=2， =2， =2，则则几何体的体积为（ ） 34意在考查学生空间想象能力和计算能86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好 ） 是=2）z=（ ） ，则使得﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）．．（﹣） D ．7． 已知f （x ）=ax 3+bx+1（ab ≠0），若f （2016）=k ，则f （﹣2016）=（ ）A ．kB ．﹣kC ．1﹣kD ．2﹣k8． 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59． 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ． B ．12+ C ．122+ D ．122+ 10．经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（ ） A ．20x y +-= B ．10x y +-=C ．1x =或1y =D ．20x y +-=或0x y -= 11．若命题p ：∃x ∈R ，x ﹣2＞0，命题q ：∀x ∈R ，＜x ，则下列说法正确的是（ ）A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧（￢q ）是真命题C ．命题p ∧q 是真命题D ．命题p ∨（￢q ）是假命题12．已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（ ） A ．1或﹣3 B ．﹣1或3 C ．1或3D ．﹣1或﹣3二、填空题13．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积S =， 则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．14．已知f （x ）=，则f （﹣）+f （）等于 ．15．已知函数f （x ）=有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．16．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点B 是圆心为C 的圆（x ﹣1）2+y 2=16上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 与点M ，则动点M 的轨迹方程为 ．17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则{a n }的通项公式a n = ．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=4，AA 1=3，沿该长方体对角面ABC 1D 1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 ．三、解答题19．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．21．（本小题满分12分）从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：上一年的出险次数012345次以上（含5次）下一年保费倍率85%100%125%150%175%200%连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(,)x y （其中x （万元）表示购车价格，y （元）表示商业车险保费）：(8,2150)、(11,2400)、(18,3140)、(25,3750)、(25,4000)、(31,4560)、(37,5500)、(45,6500)，设由这8组数据得到的回归直线方程为：1055y bx =+．（1）求b ；（2）广东李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车， （i ）估计李先生购车时的商业车险保费；（ii ）若该车今年2月已出过一次险，现在又被刮花了，李先生到4S 店询价，预计修车费用为800元，保险专员建议李先生自费（即不出险），你认为李先生是否应该接受建议？说明理由．（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）22．已知函数f （x ）=2x ﹣，且f （2）=． （1）求实数a 的值； （2）判断该函数的奇偶性；（3）判断函数f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并证明．23．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，(1,2P 是椭圆上1122|,||PF F F PF 成等差数列．（1）求椭圆C 的标准方程；、（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直 于轴的直线，直线2l 垂直于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M . （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积 的最小值.普陀区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．2．【答案】D【解析】解：如图所示，△ABC中，=2，=2，=2，根据定比分点的向量式，得==+，=+，=+，以上三式相加，得++=﹣，所以，与反向共线．【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题，是基础题目．3．【答案】D【解析】4．【答案】D【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确故选D．【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．5．【答案】D【解析】解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①又z+=2 ②由①②解得z=1﹣i故选D．6．【答案】A【解析】解：函数f（x）=31+|x|﹣为偶函数，当x≥0时，f（x）=31+x﹣∵此时y=31+x为增函数，y=为减函数，∴当x≥0时，f（x）为增函数，则当x≤0时，f（x）为减函数，∵f（x）＞f（2x﹣1），∴|x|＞|2x﹣1|，∴x2＞（2x﹣1）2，解得：x ∈，故选：A ．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．7． 【答案】D【解析】解：∵f （x ）=ax 3+bx+1（ab ≠0），f （2016）=k ， ∴f （2016）=20163a+2016b+1=k ， ∴20163a+2016b=k ﹣1，∴f （﹣2016）=﹣20163a ﹣2016b+1=﹣（k ﹣1）+1=2﹣k ． 故选：D ．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8． 【答案】C【解析】解：函数f （x ）=+6x ﹣1，可得f ′（x ）=x 2﹣8x+6，∵a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，∴a 2014，a 2016是方程x 2﹣8x+6=0的两实数根，则a 2014+a 2016=8．数列{a n }中，满足a n+2=2a n+1﹣a n ， 可知{a n }为等差数列，∴a 2014+a 2016=a 2000+a 2030，即a 2000+a 2012+a 2018+a 2030=16， 从而log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）=log 216=4． 故选：C ．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．9． 【答案】B 【解析】试题分析：化简为标准形式()()11122=-+-y x ，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半径，22211=--=d ，半径为1，所以距离的最大值是12+，故选B.考点：直线与圆的位置关系 1 10．【答案】D 【解析】考点：直线的方程.11．【答案】B【解析】解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；x＜0时，＜x无解，∴命题q是假命题；∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；故选：B．【点评】考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．12．【答案】A【解析】解：两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，所以=≠，解得a=﹣3，或a=1．故选：A．二、填空题13．【答案】114．【答案】4．【解析】解：由分段函数可知f（）=2×=．f（﹣）=f（﹣+1）=f（﹣）=f（﹣）=f（）=2×=，∴f（）+f（﹣）=+．故答案为：4．15．【答案】（，1）．【解析】解：∵函数f（x）=有3个零点，∴a＞0 且y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．16．【答案】=1【解析】解：由题意得，圆心C（1，0），半径等于4，连接MA，则|MA|=|MB|，∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，故点M的轨迹是：以A、C为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1，∴b=，∴椭圆的方程为=1．故答案为：=1．【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，考查学生转化问题的能力，属于中档题．17．【答案】．【解析】解：∵数列{S n}是首项和公比都是3的等比数列，∴S n =3n．故a1=s1=3，n≥2时，a n=S n ﹣s n﹣1=3n﹣3n﹣1=2•3n﹣1，故a n=．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，数列的前n项的和Sn与第n项an 的关系，属于中档题．18．【答案】114．【解析】解：根据题目要求得出：当5×3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（5×4+5×5+3×4）×2=114．故答案为：114【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则．因为sin∠APB=sin∠MPN，所以所以=即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为．【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08， 由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a 1，a 2，a 3，[90，100）之间的2个分数编号为b 1，b 2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．21．【答案】 【解析】（1）1200(811182525313745)2588x =+++++++==万元， 13200(21502400314037504000456055006500)400088y =+++++++==元，直线1055y bx =+经过样本中心(,)x y ，即(25,4000)． ∴105540001055117.825y b x---===．（2）（i ）价值为20万元的新车的商业车险保费预报值为：117.82010553411⨯+=元． （ii ）由于该车已出过一次险，若再出一次险， 则保费增加25%，即增加341125852.75⨯%=元．因为852.75800>，若出险，明年的保费已超800，故接受建议．22．【答案】【解析】解：（1）∵f （x ）=2x ﹣，且f （2）=， ∴4﹣=， ∴a=﹣1；（2分） （2）由（1）得函数，定义域为{x|x ≠0}关于原点对称…（3分）∵=，∴函数为奇函数．…（6分）（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，…（7分）任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则=…（10分）∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x2﹣x1＞0，2x1x2﹣1＞0，x1x2＞0∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（1，+∞）上是增函数…（12分）【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．【答案】【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-恒成立． 当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由1x ty =+及2212x y +=，得22(2)210t y ty ++-=， 所以0∆>，∴12122221,22t y y y y t t +=-=-++． 111x ty =+，221x ty =+，∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2(1)t +121211()416y y t y y -++＝22222211212217(1)242162(2)1616t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++． 综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得716QA QB ⋅=-恒成立．24．【答案】（1）x y 82=；（2）964.【解析】试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接2MF ，由垂直平分线的性质可得2MF MP =，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形ABCD 面积22b S =．当直线AC 和BD 的斜率都存在时，不妨设直线AC 的方程为()2-=x k y ，则直线BD 的方程为()21--=x ky ．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC ，BD ．利用四边形ABCD 面积BD AC S 21=即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．（2）当直线AC 的斜率存在且不为零时，直线AC 的斜率为，),(11y x A ，),(22y x C ，则直线BD 的斜率为k1-，直线AC 的方程为)2(-=x k y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148)2(22y x x k y ，得0888)12(2222=-+-+k x k x k .111]∴2221218k k x x +=+，22212188k k x x +-=.12)1(324)(1||22212212++=-+⋅+=k k x x x x k AC .由于直线BD 的斜率为k 1-，用k 1-代换上式中的。

2016年浙江省舟山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分1．﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．在以下“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．计算2a2+a2，结果准确的是（）A．2a4B．2a2C．3a4D．3a24．13世纪数学家斐波那契的（计算书）中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（）A．42 B．49 C．76D．775．某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数 D．方差6．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．97．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．把一张圆形纸片按如下列图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°9．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A．B．C．1 D．10．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分11．因式分解：a2﹣9=．12．二次根式中字母x的取值范围是．13．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为．14．把抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是．15．如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是多少？16．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q 随之在x轴的非负半轴上运动，假设PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为．三．解答题：（此题有8小题，第17-19题每题6分，第20.21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）17．（1）计算：|﹣4|×（﹣1）0﹣2（2）解不等式：3x＞2（x+1）﹣1．18．先化简，再求值：（1+）÷，其中x=2016．19．太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）20．为了落实省新课改精神，我是各校都开设了“知识拓展类”、“体艺特长类”、“实践活动类”三类拓展性课程，某校为理解在周二第六节开设的“体艺特长类”中各门课程学生的参与情况，随机调查了部分学生作为样本实行统计，绘制了如下列图的统计图（部分信息未给出）根据图中信息，解答以下问题：（1）求被调查学生的总人数；（2）若该校有200名学生参加了“体艺特长类”中的各门课程，请估计参加棋类的学生人数；（3）根据调查结果，请你给学校提一条合理化建议．21．如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A（﹣4，m），且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数y2=的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B（1）求m的值；（2）求一次函数的表达式；（3）根据图象，当y1＜y2＜0时，写出x的取值范围．22．如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路能够证明四边形EFGH是平行四边形：（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；（3）在（2）条件下求出正方形CFGH的边长．23．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．24．小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系如图2所示，在加速过程中，s与t满足表达式s=at2（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a的值；（2）求图2中A点的纵坐标h，并说明它的实际意义；（3）爸爸在乙处等代理7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系也满足s=at2，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．2016年浙江省舟山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分1．﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】相反数．【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．应选：A．2．在以下“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念实行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，应选项错误；B、是轴对称图形，应选项准确；C、不是轴对称图形，应选项错误；D、不是轴对称图形，应选项错误．应选：B．3．计算2a2+a2，结果准确的是（）A．2a4B．2a2C．3a4D．3a2【考点】合并同类项．【分析】根据合并同类项法则合并即可．【解答】解：2a2+a2=3a2，应选D．4．13世纪数学家斐波那契的（计算书）中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（）A．42 B．49 C．76D．77【考点】有理数的乘方．【分析】有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．依此即可求解．【解答】解：依题意有，刀鞘数为76．应选：C．5．某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数 D．方差【考点】统计量的选择．【分析】总共有9名同学，只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断．【解答】解：知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，即中位数．应选B．6．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】多边形内角与外角．【分析】首先根据一个正多边形的内角是140°，求出每个外角的度数是多少；然后根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可．【解答】解：360°÷=360°÷40°=9．答：这个正多边形的边数是9．应选：D．7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，实行判断即可．【解答】解：∵a=2，b=﹣3，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，应选：A．8．把一张圆形纸片按如下列图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°【考点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）．【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如下列图：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故的度数是150°．应选：C．9．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A．B．C．1 D．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论．【解答】解：过F作FH⊥AE于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∴DE=BF，∴AF=3﹣DE，∴AE=，∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，∴∠DAE=∠AFH，∴△ADE∽△AFH，∴，∴AE=AF，∴=3﹣DE，∴DE=，应选D．10．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．【考点】二次函数的最值．【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性实行解答即可．【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=，所以m+n=﹣2+=．应选：D．二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分11．因式分解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．【考点】因式分解-使用公式法．【分析】a2﹣9能够写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．12．二次根式中字母x的取值范围是x≥1．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．13．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为．【考点】概率公式．【分析】确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：∵标号为1，2，3，4，5的5个小球中偶数有2个，∴P=．故答案为：．14．把抛物线y=x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是y=（x﹣2）2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得对应点的坐标为（2，3），所以平移后抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+3．故答案为y=（x﹣2）2+3．15．如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是多少？【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长，【解答】解：∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF=9，AB=12，∴EF：AB=9：12=3：4，∴△CEF和△CBA的面积比=9：16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF=7k，∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比，∴DF：EF=7k：9k，∴DF=7．故答案为7．16．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q 随之在x轴的非负半轴上运动，假设PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为4．【考点】解直角三角形．【分析】首先根据题意准确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况实行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ 的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O 时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO==，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴cos30°=∴AQ==2∴OQ=2﹣1=1则点Q运动的路程为QO=1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4故答案为：4三．解答题：（此题有8小题，第17-19题每题6分，第20.21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）17．（1）计算：|﹣4|×（﹣1）0﹣2（2）解不等式：3x＞2（x+1）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；解一元一次不等式．【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂法则计算即可得到结果；（2）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．【解答】解：（1）原式=4﹣2=2；（2）去括号得：3x＞2x+2﹣1，解得：x＞1．18．先化简，再求值：（1+）÷，其中x=2016．【考点】分式的化简求值．【分析】首先计算括号里面的加法，再把除法化成乘法，约分得出化简结果，再代入x的值计算即可．【解答】解：（1+）÷=×=×=，当x=2016时，原式==．19．太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）【考点】解直角三角形的应用．【分析】在直角三角形BCD中，由BC与sinB的值，利用锐角三角函数定义求出CD的长，在直角三角形ACD中，由∠ACD度数，以及CD的长，利用锐角三角函数定义求出AD的长即可．【解答】解：∵∠BDC=90°，BC=10，sinB=，∴CD=BC•sinB=10×0.59=5.9，∵在Rt△BCD中，∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°，∴∠ACD=∠BCD﹣∠ACB=54°﹣36°=18°，∴在Rt△ACD中，tan∠ACD=，∴AD=CD•tan∠ACD=5.9×0.32=1.888≈1.9（米），则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米．20．为了落实省新课改精神，我是各校都开设了“知识拓展类”、“体艺特长类”、“实践活动类”三类拓展性课程，某校为理解在周二第六节开设的“体艺特长类”中各门课程学生的参与情况，随机调查了部分学生作为样本实行统计，绘制了如下列图的统计图（部分信息未给出）根据图中信息，解答以下问题：（1）求被调查学生的总人数；（2）若该校有200名学生参加了“体艺特长类”中的各门课程，请估计参加棋类的学生人数；（3）根据调查结果，请你给学校提一条合理化建议．【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据“总体=样本容量÷所占比例”即可得出结论；（2）根据“样本容量=总体×所占比例”可求出参加C舞蹈类的学生人数，再由总体减去其他各样本容量算出参加E棋类的学生人数，求出其所占总体的比例，再根据比例关系即可得出结论；（3）根据条形统计图的特点，找出一条建议即可．【解答】解：（1）被调查学生的总人数为：12÷30%=40（人）．（2）被调查参加C舞蹈类的学生人数为：40×10%=4（人）；被调查参加E棋类的学生人数为：40﹣12﹣10﹣4﹣6=8（人）；200名学生中参加棋类的学生人数为：200×=40（人）．（3）因为参加A球类的学生人数最多，故建议学校增加球类课时量，希望学校多展开拓展性课程等．21．如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A（﹣4，m），且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数y2=的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B（1）求m的值；（2）求一次函数的表达式；（3）根据图象，当y1＜y2＜0时，写出x的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；切线的性质．【分析】（1）直接将A点代入反比例函数解析式求出答案；（2）直接利用切线的性质结合正方形的判定与性质得出C，B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）利用A点坐标结合函数图象得出x的取值范围．【解答】解：（1）把点A（﹣4，m）的坐标代入y2=，则m==﹣1，得m=﹣1；（2）连接CB，CD，∵⊙C与x轴，y轴相切于点D，B，∴∠CBO=∠CDO=90°=∠BOD，BC=CD，∴四边形BODC是正方形，∴BO=OD=DC=CB，∴设C（a，a）代入y2=得：a2=4，∵a＞0，∴a=2，∴C（2，2），B（0，2），把A（﹣4，﹣1）和（0，2）的坐标代入y1=kx+b中，得：，解得：，∴一次函数的表达式为：y1=x+2；（3）∵A（﹣4，﹣1），∴当y1＜y2＜0时，x的取值范围是：x＜﹣4．22．如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路能够证明四边形EFGH是平行四边形：（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；（3）在（2）条件下求出正方形CFGH的边长．【考点】平行四边形的判定．【分析】（1）连接BD根据三角形的中位线的性质得到CH∥BD，CH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，由平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据三角形的中位线的性质和正方形的性质即可得到结果；（3）根据勾股定理得到BD=，由三角形的中位线的性质得到FG=BD=，于是得到结论．【解答】（1）证明：如图2，连接BD，∵C，H是AB，DA的中点，∴CH是△ABD的中位线，∴CH∥BD，CH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，∴CH∥FG，CH=FG，∴四边形CFGH是平行四边形；（2）如图3所示，（3）解：如图3，∵BD=，∴FG=BD=，∴正方形CFGH的边长是．23．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．【解答】解：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，设EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴=，即=，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；则S四边形ACBD′（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，∴四边形ECBD′是矩形，∴ED′=BC=3，在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE==，∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．24．小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系如图2所示，在加速过程中，s与t满足表达式s=at2（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a的值；（2）求图2中A点的纵坐标h，并说明它的实际意义；（3）爸爸在乙处等代理7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系也满足s=at2，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案；（2）利用图形，得出速度和时间，再结合h=48+12×（17﹣8）得出答案；（3）首先求出OB的解析式进而利用二次函数解析式得出关于x的等式求出答案．【解答】解：（1）由图象得：小明家到乙处的路程为180m，∵点（8，48）在抛物线s=at2上，∴48=a×82，解得：a=；（2）由图及已知得：h=48+12×（17﹣8）=156，故A点的纵坐标为：156，表示小明家到甲处的路程为156m；（3）设OB所在直线的表达式为：v=kt，∵（8，12）在直线v=kt上，则12=8k，解得：k=，∴OB所在直线的表达式为：v=t，设妈妈加速所用时间为：x秒，由题意可得：x2+x（21+7﹣x）=156，整理得：x2﹣156+208=0，解得：x1=4，x2=52（不符合题意，舍去），∴x=4，∴v=×4=6（m/s），答：此时妈妈驾车的行驶速度为6m/s．。