正弦函数、余弦函数的性质

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1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质

知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性

1、(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．

2、Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，Asinωx＋2πω＋φ＝Asin(ωx＋φ)，即fx＋2πω＝f(x)，

所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．

3、由sin(x＋2kπ)＝sin_x，cos(x＋2kπ)＝cos_x(k∈Z)知，y＝sinx与y＝cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.

知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性

(1)对于y＝sinx，x∈R，恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．

(2)对于y＝cosx，x∈R，恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函数y＝cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．

知识点三 正弦、余弦函数的单调性

解析式 y＝sinx y＝cosx

图象

值域 [－1,1] [－1,1]

单调性 在－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z上递增，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ，k∈Z上递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，

在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减

最值 当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；

当x＝－π2＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；

当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1

类型一 三角函数的周期性

对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T＝2π|ω|来求解，对于y＝|Asinωx|的周期情况常结合图象法来求解．

- 1 - 作业24：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（1）

1．函数1tan24yx的定义域是

A．{|2,}2xxkkZ B．{|4,}2xxkkZ

C．{|,}28kxxkZ D．{|,}8xxkkZ

2．在[0,2]内，不等式1cos2x的解集是

A．0,3 B．50,3 C．5,33 D．,23

3．如图所示曲线对应的函数解析式可以是

A．|sin|yx B．sin||yx C．sin||yx D．|sin|yx

4．方程2cosxx的解的个数为

A.0 B.1 C.2 D.无穷多个

5．函数2[0in],,3sxyx的值域为_______；函数2cos,[0,]3yxx的值域为______．

6．利用函数cosyx的图象解不等式：31cos22x

7．已知函数cos2(,,0)6yabxabRb的最大值为3，最小值为1.

（1）求,ab的值；（2）当求5,46x时，函数()4sin3gxabx的值域.

8. 已知函数axxxfsinsin)(2.

（1）当0)(xf有实数解时，求实数a的取值范围；

（2）若417)(1xf对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。

正弦函数余弦函数的性质（单调性）

正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的三角函数，它们的图像和性质十分重要。本文将初步介绍正弦函数和余弦函数的性质（单调性）。

一、正弦函数

正弦函数的标准式为 y = sin x，表示角度 x 所对应的正弦值。正弦函数的周期为

2π，即 sin(x + 2π) = sin x。正弦函数的图像如下：

从图中可以发现，正弦函数在定义域上是周期性的、振动的。而其振动情况是单调递增，即在每个周期内都是由最小值逐渐增加到最大值，然后再回落到最小值。

例如，当 x ∈ [0,π/2] 时，sin x 在该区间中的值是单调递增的。当 x ∈ [π/2,π]

时，sin x 在该区间中的值是单调递减的。当 x ∈ [π,3π/2] 时，sin x 在该区间中的值是单调递增的。当 x ∈ [3π/2,2π] 时，sin x 在该区间中的值是单调递减的。

总结来说，正弦函数在一个周期内是单调递增-单调递减的交替变化。每个周期的最大值为 1，最小值为 -1。当 x = kπ （k∈Z）时，正弦函数的值为 0。

总结

在高中数学中，我们需要掌握正弦函数、余弦函数的相关性质，特别是它们的单调性。正弦函数在一个周期内是单调递增-单调递减的交替变化；余弦函数在一个周期内是单调递减-单调递增的交替变化。掌握这些性质可以更好地理解和运用三角函数。

1 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）

教学目标：1、结合正余弦曲线理解三角函数的奇偶性、对称性和单调性；

2、掌握正余弦函数的奇偶性的判断，并能求出正余弦函数的对称轴、对称中心及单调区间，并能利用单调性比较两个三角函数值的大小；

教学重点：正余弦函数的奇偶性、对称性和单调性；

教学难点：正余弦函数对称性和单调性的理解与应用

课 型：新授课 上课时间：2010年12月1日

教学过程：

一、知识回顾：

正余弦函数的性质（1）：

函数 xysin xycos

定义域 Rx Rx

值域 ]1,1[sinx ]1,1[cosx

周期性 T T

最值 最大值 )(22Zkkx时，1maxy )(2Zkkx时，1maxy

最小值 )(22Zkkx时，1miny )(2Zkkx时，1miny

（请学生上黑板完成上述表格）

二、新知探究：

1、根据正余弦曲线（见课件），学习小组讨论，完成下表（表格见黑板），并请学习小组代表填写：

函数 xysin xycos

奇偶性 奇函数 偶函数

对称性 对称中心 ))(0,(Zkk ))(0,2(Zkk

对称轴 )( 2Zkkx )( Zkkx

单调性 增区间 [2,2]22kk)(Zk [2,2]kk)(Zk

减区间 3[2,2]22kk)(Zk [2,2]kk)(Zk

说明：1、结合正余弦曲线，分析说明正余弦曲线的对称中心、对称轴的“数字特征”；

2、强调研究周期函数性质的基本方法：先选定一个周期，在该周期内研究其性质，再根据周期性拓展到整个定义域范围内．

2 三、例题分析：

例1、（1）写出函数xy2sin3的对称中心．

（2）写出函数)4sin(xy的对称轴．