苏教版数学高二数学苏教版选修1-2知识必备2.1.2演绎推理

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最新版高中数学 2.1.2 演绎推理

知识梳理

1.演绎推理是一种由___________________的命题推演出___________________命题的推理方法，简单的说，演绎推理是由___________________到___________________的推理.

2.演绎推理的主要形式是____________，常用的格式为_______________________________.

3.三段论中包含了3个命题，第一个命题称为——___________________，它提供了一个一般性的原理；

第二个命题叫___________________，它指出了一个特殊对象.这两个判断结合起来，揭示一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——___________________.

知识导学

本节先以日常生活和数学学习中，以前经常遇到的一些问题为基础，介绍了演绎推理的定义.由一般到特殊的推理方法.从而得到了演绎推理的主要形式为三段论.认识三段论推理的一般模式包括三步：（1）大前提，（2）小前提，（3）结论.再从实际应用来认识数学中的证明，主要是通过演绎推理来进行的，从实例中认识其重要作用和具体的做法，最后对合情推理和演绎推理相比较，明确二者在数学中的不同作用.

在学习本节时，可以回顾已有知识中证明问题的一般方法及推导结论时依据与结论之间的联系.在学习时，要正确认识演绎推理在数学中的重要作用，既要利用合情推理来发现新的结论，也要用合适的方法来证明结论的成立.

疑难突破

1.演绎推理的含义和“三段论”.

所谓演绎推理是从一种一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论.简而言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.

三段论式推理是演绎推理的主要形式.常用的格式为：大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.从集合的角度来看，三段论是：若集合M的所有元素也都具有性质P,S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.

2.演绎推理与合情推理的主要区别：

归纳推理和类比推理都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理；类比是特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.

3.演绎推理的特点是什么？

（1）演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中.

（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.

（3）演绎推理是一种收敛性的思维方式，它较缺乏创造性，但却具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.

典题精讲

【例1】 用三段论的形式写出下列演绎命题.

（1）0.332·是有理数；

（2）y=sinx(x∈R）是周期函数；

（3）Rt△ABC的内角和为180°.

思路分析：演绎推理中如果大前提、小前提都是真实的，按照三段论形式推出的结论必然是真实的，因此演绎推理可比作为严格的推理方法. 高中数学-打印版

最新版高中数学 解：（1）所有的循环小数都是有理数，（大前提）

•233.0是循环小数，（小前提）

•233.0是有理数.（结论）

（2）三角函数是周期函数，（大前提）

sinx是三角函数，（小前提）

sinx是周期函数.（结论）

（3）三角形的内角和是180°（大前提）

Rt△ABC是三角形，（小前提）

Rt△ABC的内角和是180°（结论）

绿色通道：解决此问题时，常按照三段论的形式来解决.

【变式训练】 将下列演绎推理写成三段论的形式.

（1）已知△ABC的三边a、b、c，满足a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形.

（2）两直线平行，同位角相等.如果∠A、∠B是两平行直线的同位角，那么∠A=∠B.

（3）菱形的对角线互相平分.

解：（1）已知△ABC三条边a,b,c满足a2+b2=c2，则△ABC为直角三角形，（大前提）

△ABC中，AC2+BC2=AB2，（小前提）

△ABC是直角三角形.（结论）

（2）两直线平行，同位角相等，（大前提）

∠A、∠B是两平行直线的同位角，（小前提）

∠A=∠B.（结论）

（3）平行四边形对角线互相平分，（大前提）

菱形是平行四边形，（小前提）

菱形对角线互相平分.（结论）

【例2】 如图所示2-1-4所示，

图2-1-4

在锐角三角形ABC中，AD⊥BC,BE⊥AC,D、E是垂足.

求证：AB的中点M到D、E的距离相等.

思路分析：在本题中利用有一个内角是直角的三角形是直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这两个方面的大前提.在△ABD中，由AD⊥BC,得∠ADB=90°,判断△ABD为直角三角形.在Rt△ABD中，M为AB的中点，DM为斜边上的中线，从而DM=21AB，同理EM=21AB，故有DM=EM，从而结论得证.

证明：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，（大前提）

在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=90°,(小前提）

所以△ABD是直角三角形.（结论） 高中数学-打印版

最新版高中数学 同理，△ABE也是直角三角形.

（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，（大前提）

而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，（小前提）

所以DM=21AB.（结论）

同理EM=21AB，

所以：DM=EM.

黑色陷阱：在解决问题时一定要分清楚大前提，小前提和结论.

【变式训练】 用三段论证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，则∠B=∠C.

解：

如上图所示延长BA、CD交于点M，

由平行线分线段成比例，（大前提）

△MBC中，AD∥BC（小前提）

MCMDMBMA；（结论）

等量代换，（大前提）

AB=CD，（小前提）

MB=MC；（结论）

三角形中，等边对等角，（大前提）

△MBC中，MB=MC，（小前提）

∠B=∠C.（结论）

【例3】(2006年上海高考卷，文22)已知函数y=x+xa有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，a］上为减函数，在［a，+∞)上是增函数.

（1）如果函数y=x+xb2在（0，4］上是减函数.在［4，+∞)上是增函数，求实常数b的值；

（2）设常数c∈［1,4］,求函数f(x)=x+xc,x∈［1,2］的最大值和最小值；

（3）当n是正整数时，研究函数y(x)=xn+nxc(c＞0)的单调性，并说明理由.

思路分析：本题设计新颖，层层递进，是演绎推理的典型应用.要正确理解题意根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法进行证明，推理，寻找题目中的大前提和小前提.

解：（1）由函数y=x+xa的性质知：y=x+xb2在［0，2b］上是减函数，在［b2,+∞)上是增函数，∴b2=4，即2b=16=24,∴b=4. 高中数学-打印版

最新版高中数学 (2)∵c∈［1、4］

∴c∈［1、2］.

又∵f(x)=x+xc在（0，c］上是减函数，在［c，+∞)上是增函数.∴在x∈［1,2］上，当x=c时，函数取得最小值2c.又f(1)=1+c,f(2)=2+2c f(2)-f(1)=1-2c.

当c∈［1,2)时，f(2)-f(1)＞0,f(2)＞f(1)

此时f(x)的最大值为f(2)=2+2c.

当c=2时f(2)-f(1)=0,f(2)=f(1).

此时f(x)的最大值为f（2)=f(1)=3.

当x∈（2，4］时，f(2)-f(1)＜0,f(2)＜f(1),此时f(x)的最大值为f(1)=1+c.

(3)g′(x)=nxn-1-nnxnxc21•

令g′(x)=0，得x2n=c,∴x=±nc2.

又∵x≠0,列表分析，如下：

x (0, nc2) nc2 (nc2,+∞)

f′(x) - 0 +

f(x) 极小值

于是函数y(x)在（0，nc2］上是减函数，在［nc2，+∞)上是增函数.

当n是正奇数时，g(x)=xn+nx1在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数，于是g(x)在（-∞,-nc2］上是增函数，在［-nc2，0］上是减函数；

当n是正偶数时，g(x)=xn+nx1在(-∞,0)∪(0,+∞)是偶函数,于是g(x)在(-∞,-nc2］上是减函数，在［-nc2，0］上是增函数.

【变式训练】(2006年重庆高考卷，文20)如图2-1-5，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BB1=3+1，E为BB1上使B1E=1的点，平面AEG交DD1于F，交A1D1的延长线于G，求：

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最新版高中数学 图2-1-5

（1）异面直线AD与C1G所成角的大小；

（2）二面角A-C1G-A1的正切值.

解：（1）由AD∥D1G知∠C1GD1为异面直线AD与C1G所成的角.如上图所示，连结C1F，因为AE和C1F分别是平行平面ABB1A1和CC1D1D与平面AEC1G的交线，所以AE∥C1F,由此可得D1F=BE=3.

再由△FD1G∽△FDA,得D1G=3

在Rt△C1D1G中，由C1D1=1，D1G=3得，

∠C1GD1=6.

（2）如上图所示，作D1H⊥C1G于H，连结FH，由三垂线定理知，FH⊥C1G,故∠D1HF为二面角F—C1G—D1即二面角A—C1G—A1的平面角.

在Rt△GHD1中，由D1G=3，∠D1GH=6得

D1H=23,从而tanD1HF=223311HDFD.

问题探究

问题1：设f(n)=2n-1(n∈N*)，试问：n是怎样的自然数时，f(n)是素数还是分数？

导思：对于此类问题，我们在推理的过程中，可以采用归纳推理，也可应用演绎推理，把两种方法结合起来，由归纳获得猜想假定，通过鉴别猜想假定的真伪，获得确定结果后，再给予演绎证明.

探究：试验——归纳——猜想.

取n=1,2, …,10,所得结果列表如下：

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f(n)=2n-1 1 3 7 15 31 63 127 255 511 1 023

由上表可知，当n为素数2，3，，5，7时，f(n)为素数；当n为合数4，6，8，9时，f(n)为合数.

继续试探，当n=11时，f(n)=211-1=2047=23×89为合数.因此要放弃“n为素数时，f(n)为素数”的猜想.

再继续试验，当n=12，14时，f(n)仍为合数，于是进一步猜想“n为合数时，f(n)为合数.”

用演绎法推证：

设n为合数，令n=ml(m、l为大于1的自然数），则