高中物理竞赛模拟试题二

高中物理竞赛模拟试题二

一. 物体放在水平上，用与水平方向成30°角的力拉物体时，物体匀速前进，若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面间动摩擦因数μ。

分析：物体在大小相同的两个力的作用下均处于相同的运动状态，似乎力的作用效果与力的方向无关。实际上，当力F的方向改变时，地面的弹力和摩擦力均发生了变化。在以前弹力是一个被动力，往往随外力或运动状态的变化而变化。本题中，滑动摩擦力Nf，和N中的任何一个发生了变化，它将随之变化，对物体进行受力分析时，切不可事前形成定势，而应通过分析和思考得出正确的结论，本题的解法二是利用了摩擦角和矢量三角形进行求解，两种解法比较，应用摩擦角比较直观。

解法一：物体两次在大小相同、方向不同力的作用下，而处于相同的运动状态，分别作出物体在两种情况下的受力图如图11-2中的（1）和（2）所示。

对于（1）图有： GNFa30sin

NfFGNaa2

)2(30cosFGfFa

)223(GF (1)

对于（2）图有：GNb GNfbb FG （2）

由(1)(2)两式可得 27.032

解法二：物体受到三个力的作用，重力yG外力F和地面的作用力P，P是地面弹力和滑动摩擦力的合力，P与竖直方向的夹角为且Nftan，物体匀速运动，这三个力是平衡力，故可以组成一个封闭的矢量三角形，外力F的方向不同，但力P与竖直方向的夹角却不变，这两个封闭的矢量三角形如图11-3所示，由图可以得出两次作用力F与P之间的夹角（指锐角）均为

75230180

tan,15)7590(27.015tan。 FbNGGFaNafbf（2） （1）

图11-2

FFPG30º 图11-3

二. 两滑块A1和A2叠放在水平的桌面上，如图11-12所示，已知A1的质量为m1，A2的质量为m2，A2与桌面间的静摩擦系数为μ2，设用μ1表示A1与A2间的静摩擦系数，F表示作用于滑块A1上的水平拉力，则当μ1和F各取各种不同值时，A1与A2可能发生的运动情况有下列四种：

（1）A2相对于桌面滑动，但A1与A2相对静止。

（2）A2相对于桌面滑动，A1与A2间存在着相对运动。

（3）A2相对于桌面而静止，A1相对于桌面滑动。

（4）A1和A2相对于桌面均静止。

1．分别写出上述各种运动情况中μ1和F所满足的条件（不要求写出运算过程）。

2．以横坐标表示μ1，纵坐标表示F，试在F-μ1图上标出与上述各种运动情况相应的μ1和F的取值范围。

解：1、（1） 21211mmm

gmmmmFgmm))(()(212121212

（2） 21211mmm

gmmmmF))((212121

（3） 21211mmm

gmF11

（4） gmF11 F1A2A 图11-12

cbadFmg1gmmmmF))((212121图11-13

O

F gmmF)(212

2．上述各种运动情况相应的1和F的取值范围如图11-13所示。

三. 粗细均匀的绳质量为m，两端挂在等高的挂钩上，与水平方向夹θ角，如图11-14所示。求：

（1）绳子对挂钩的拉力。 （2）绳子在最低点的张力。

分析：（1）以整条绳子为研究对象，对其进行受力分析。依据三力平衡一定共点（非平行力）的性质以及拉力的对称性即可解出。

（2）以半条绳子为研究对象。对其进行受力分析与（1）同理，由水平方向合力为0即可解出。

解：（1）以整条绳子为研究对象，它受到钩子的拉力F，重力mg，如图11-14（甲）。根据三个非平行力平衡的共点性及拉力的对称性，由竖直方向合力为0得

mgFsin2

所以拉力大小为 sin2mgF

（2）以半条绳子为研究对象，受力如图11-14（乙）。设绳在最低点的张力为T，根据三个非平行力平衡的共点性，由竖直方向上的合力为0得

mgF21sin

,sin21mgF

再由水平方向上合力为0，得

cot21cosmgFT

点评：由此题可领会整体法与隔离法。整体法是以系统或全过程为研究对象，隔离法则是将研究对象从系统或全过程中隔离出来，其实质就是将内力转化为外力。一般先选整体法，尤其是未知力为系统或整体外力时，但在所求为系统内力时，就必须选择隔离法。解题时要能灵活的、交替地使用整体法和隔离法。

四．容积均为V=4升，高度均为H=40厘米的两个同质料的热水瓶，其中一个是圆形截面，另一个是方形截面，在室温为零度时，两只瓶中均灌满100ºC的水，经过一段时间后，圆筒形瓶内的水温降为95ºC，问另一瓶内的水温降到了多少度？

分析：经同样时间，相同材料的热水瓶向外传送的热量跟内外面的温度差和瓶的表面积的乘积成正比。

解：设导热系数为α，瓶面积为S，室温为0T，沸水温度为T，当圆瓶中水温降为1T时，F F

θ θ

mg

（甲）

FTmg21)(乙图11-14

方瓶中水温降为2T，瓶中水的质量为m，水的比热为C，圆瓶中的水温由T降至1T时所经过的时间为t，则

对于圆瓶 )()(011TTtSTTCm

对于方瓶 )()(022TTtSTTCm

两式相除得

2121SSTTTT

由数学知识易得

HVHVS221，HVHVS422

代入上式化简并代入数据后得

KT4.3672 即降为C4.94

注：本题中因瓶中热水温度比室温高许多，且两瓶热水降温后温度相差不大，故在计算散热时未考虑热水温度的降低对散热的影响。

五．将一个半径为r长度为2L的保险丝，夹在A块和B块的二端，如图21-4（a）所示，两端和周围保持恒定温度。电流I通过保险丝使其达到热稳定状态，假定保险丝中离A点为χ的任一截面的温度是均匀的，并以T表示这一截面高于周围的温度值，试导出T的微分方程。保险丝热传导系数为λ，电阻率为ρ，每单位表面向周围损失能量的速率为cT，这里c是常数。

证明关于T和x的微分方程形式为

yadxyd222

式中 2222rclTy

rca/22

以指数形式解此方程，并画出适用于较长（相对于1/）保险丝的T与x的函数曲线，如果需要升高温度MT以熔化保险丝，那么需要熔化限定长度保险丝的电流是多少？

解释为什么对于较短的保险丝这一微分方程并不适用。 xdrxABl2图21-4（a）

解：在热稳定状态下，保险丝中位于x处，宽为dx，截面为2r的单元，由于存在电阻而产生热量，它的速率等于内部热传导和向表面外辐射的速率，即

rdxcTdxdxdTTdxddxdTrxrdxI2222

rcTdxdxdxTdr2222

TrcdxTdrI222422

即 422222rITrcdxTd

或 yadxTd222 （1）

这里 TrcITy3222/ （2）

32222//2rcIrca和 （3）

给出微分方程的解

axaxBeAey （4）

这里A和B是常数。

应用边界条件，确定A和B。在0x处的T=0，从等式（2）和（4）可得：

BA （5）

在lx2处T=0，从等式（2）和（4）可得

lalaBeAe22 （6）

从等式（6）又可得

lalaBeAe42

（7）

将等式（5）代入等式（7）

图21-4（b） 小的 l大的 l大的 llll2小的 lxBAl2la11/T21)1()1(42lalaeBe

所以 )1()1(42lalaeeB （8）

最后从等式（2），（4）（7）和（8）得

xllxleeeeeeT424211111

或 )()1()1(142zzllxeeeeeT

）（zeellcosh)1(212

取)cosh(az的最小值，即)(0lxz就可得T/B的最大值。

对于小的la值

llT11221

对于大的la值

121leT （图21-4（b））

当熔化时最高温度出现在1x处。

对小的la

lTM11

所以 1)()(llTM

从等式（3）

2/13212lTlrcIM

对大的la 1MT

从等式（3）

2/1322MTrcI

对于短的保险丝，同一截面上的温度是不均匀的，所以这微分方程不适用。

六．一个电炉的加热元件是在20°C时电阻率ρ20=1.2×10-5Ω·m，截面S=1mm2的镍铬电热丝，它必须在15分钟内将10升水从20°C加热到100°C，已知电炉与220V电源相连，电炉的温度为常数（450°C），并且水加热的效率为0.9，电热丝在450°C时的电阻率ρ450=1.6×10-6Ω·m，水的密度d=1000kg/m3，水的比热c=4185J/kg·K，试确定：

1．电炉电热丝的长度；

2．假定电热丝电阻率与温度的关系是线性的，画出20°C~450°C之间电阻率与温度的依赖关系；

3．利用所得到的曲线画出电炉的功率随温度变化的关系，取下述温度的功率值画出曲线：20°C、100°C、200°C、300°C、450°C。