三角函数积分公式求导公式

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一．三角函数

二．常用求导公式

三．常用积分公式

第一部分三角函数

同角三角函数的基本关系式

倒数关系: 商的关系：平方关系：

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α

诱导公式

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

sin（π/2－α）＝cosα sin（π－α）＝sinα sin（3π/2－α）＝－cosα sin（2π－α）＝－sinα cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

(其中k∈Z)

两角和与差的三角函数公式万能公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ 2tan(α/2)

sinα＝—————— sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα ·tanβ 1＋tan2(α/2)

1－tan2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—

22 1

sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

2 1

sinα ·sinβ＝－ -[cos（α＋β）－cos（α－β）]

化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式)

第二部分求导公式

1．基本求导公式

⑴ 0)(C（C为常数）⑵ 1)(nnnxx；一般地，1)(xx。

特别地：1)(x，xx2)(2，21)1(xx，xx21)(。

⑶ xxee)(；一般地，)1,0( ln)(aaaaaxx。

⑷ xx1)(ln；一般地，)1,0( ln1)(logaaaxxa。

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）)()())()((xgxfxgxf；

（Ⅱ）)()()()())()((xgxfxgxfxgxf，特别)())((xfCxCf（C为常数）；

（Ⅲ）)0)(( ,)()()()()())()((2xgxgxgxfxgxfxgxf，特别21()()()()gxgxgx。

3．微分函数()yfx在点x处的微分：()dyydxfxdx

第三部分积分公式

1.常用的不定积分公式（1）

cxdxxxdxxcxxdxcxdxCxdxx43,2,),1( 11433221；

（2） Cxdxx||ln1； Cedxexx； )1,0( lnaaCaadxaxx；

（3）dxxfkdxxkf)()(（k为常数）

2.定积分

⑴ bababadxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()]()([2121

⑵ 分部积分法

设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数)(),(xvxu，则

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导公式：

1.一元函数求导公式：

- 反函数求导法则：若y=f(u)，则u=f^(-1)(y)，则有(dy)/(dx) =

1/(du/dy)

- 常数乘法法则：若y=kf(x)，则(dy)/(dx) = kf'(x)

-基本初等函数求导法则：

- 常数函数求导法则：若y=c，则(dy)/(dx) = 0

- 幂函数求导法则：若y=x^n，则(dy)/(dx) = nx^(n-1)

- 指数函数求导法则：若y=a^x，则(dy)/(dx) = (lna) * a^x

- 对数函数求导法则：若y=loga(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (xlna)

- 三角函数求导法则：若y=sin(x)、cos(x)、tan(x)、cot(x)、sec(x)、csc(x)，则(dy)/(dx) = cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)、-csc^2(x)、sec(x)tan(x)、-csc(x)cot(x)，对应地还有反三角函数的求导公式

- 反函数求导法则：若y=f^(-1)(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (dx/dy)

-两个函数的和、差、积、商求导法则：

- 和、差法则：若y=u+v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) + (dv)/(dx)，若y=u-v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) - (dv)/(dx)

- 积法则：若y=uv，则(dy)/(dx) = u(dv)/(dx) + v(du)/(dx) - 商法则：若y=u/v，则(dy)/(dx) = (v(du)/(dx) - u(dv)/(dx))

/ v^2

2.多元函数求导公式：

-偏导数：对多元函数，其对其中其中一个自变量求导，其它自变量当作常数，即得到偏导数

-偏导函数的求导法则：对偏导函数重复使用一元函数求导公式

常用不定积分基本方法：

1.基本初等函数的不定积分法则：

微积分三角函数公式

1 / 15 锐角三角函数公式

sin α=∠α的对边 / 斜边

cos α=∠α的邻边 / 斜边

tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边

cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

2 / 15 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a

3 / 15 =sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

4 / 15 降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

5 / 15 1-cos2α=2sin^2α

三角函数的积分与定积分

积分与定积分是微积分中重要的概念。在三角函数的积分与定积分中，有着一系列与三角函数相关的公式和技巧，用于求解积分和定积分的问题。本文将通过介绍三角函数的基本积分与定积分公式、特殊积分与定积分以及应用实例等方面，详细探讨三角函数的积分与定积分。

一、三角函数的基本积分与定积分公式

对于基本的三角函数（如正弦、余弦、正切）以及它们的幂函数和复合函数，有着一系列的积分和定积分公式。

1. 正弦函数的积分与定积分：

∫ sin(x)dx = -cos(x) + C

其中C为常数，表示不定积分的任意常数项。

对于确定区间[a, b]的定积分，有：

∫[a, b] sin(x)dx = -cos(b) + cos(a)

2. 余弦函数的积分与定积分：

∫ cos(x)dx = sin(x) + C

其中C为常数。

对于确定区间[a, b]的定积分，有：

∫[a, b] cos(x)dx = sin(b) - sin(a) 3. 正切函数的积分与定积分：

∫ tan(x)dx = -ln|cos(x)| + C

其中C为常数。

对于确定区间[a, b]的定积分，由于正切函数在π/2 + kπ（其中k为整数）处有无穷间断点，定积分∫[a, b] tan(x)dx需特殊处理。

二、特殊积分与定积分

除了基本的三角函数以外，还有一些特殊的三角函数的积分与定积分需要特别注意。

1. 正切函数的平方的积分与定积分：

∫ tan^2(x)dx = ∫ (sec^2(x) - 1)dx = tan(x) - x + C

其中C为常数。

对于确定区间[a, b]的定积分，有：

∫[a, b] tan^2(x)dx = tan(b) - b - (tan(a) - a)

2. 正切函数的立方的积分与定积分：

∫ tan^3(x)dx = ∫ (tan^2(x) * tan(x))dx

可通过积分公式的递归方式求解。