不等式的性质1

学习目标

1、掌握不等式的基本性质。

2、会应用不等式的基本性质对不等式进行化简。

3、知道等式与不等式性质的联系与区别。

重点难点

重难点：不等式的性质及其应用。

学习过程

一、课前预习

1、不等式的性质1：

字母表示为：如果a＞b，那么

2、不等式的性质2：

字母表示为：如果a＞0,c＞0,那么

3、不等式的性质3：

字母表示为：如果a＞0,c＜0,那么

二、课堂研讨

（一）重点研讨

4、将下列不等式化成“χ＞a”或“χ＜a”的形式。

（1）χ+12＞6 （2）2χ＜-2

（3）χ-2＞0.9 （4）-3χ＜-6

5、思考：等式的性质和不等式的性质有什么异同？

相同点： 不同点：

（二）拓展训练

6、解不等式2x—1﹤5x-5并在数轴上表示解集。

7、已知a﹥b,ac一定大于bc吗？

（三）达标测试

8、填写不等号或变形依据。

（1）∵0<1∴a a+1，依据 ；

（2）若2x>-6，两边同除以2，得 ，依据 ；

（3）若-123xf，两边同乘以-3，得 ，依据 。

9、若x>y，判断下列不等式变形是否正确，并说出你的理由。

（1）x-6

（3）-2x<-2y （4）2x+1>2y+1

1

基本不等式

【知识框架】

1、基本不等式原始形式

（1）若Rba,，则abba222

（2）若Rba,，则222baab

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*,Rba，则abba2

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*,Rba，则abba2

（2）若*,Rba，则22baab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

（1）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（2）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（3）若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“=”）

（4）若Rba,，则2)2(222babaab

（5）若*,Rba，则2211122babaabba

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

6、柯西不等式

（1）若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd

2 （2）若123123,,,,,aaabbbR，则有：

22222221231123112233()()()aaabbbababab

（3）设1212,,,,,,nnaaabb与b是两组实数，则有

22212(naaa)22212)nbbb(21122()nnababab

【题型归纳】

题型一：利用基本不等式证明不等式

题目1、设ba,均为正数，证明不等式:ab≥ba112

题目2、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222

题目3、已知1abc，求证：22213abc

题目4、已知,,abcR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(

1 基本不等式

一、基础知识

基本不等式：在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式．

平均值不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有2abab，且等号当且仅当ab时成立.

证明：对于正数a、b，要证明定理所述之平均值不等式，只要证明

2abab，

即

20abab.

由

22ababab.

上式显然成立，且只有当ab时，原不等式两边才相等.

常用不等式：对于任意的正数a、b，有22abab，且等号当且仅当ab时成立.

三角不等式：对于任意的实数a、b，有abab，且等号当且仅当0ab时成立.

证明：为证明abab，只需证明

22abab，

即222222aabbaabb，也即22abab，这是显然的，且等号当且仅当a、b同号，即0ab时成立.

二、拓展知识

基本不等式：如果a，b，cR，那么3333abcabc（当且仅当abc时取“”）

证明：33333223333abcabcabcabababc

223abcababccababc 2 22223abcaabbacbccab

222abcabcabbcac

22212abcabacbc

a，b，cR，222102abcabacbc

从而3333abcabc

推论：如果a，b，cR，那么33abcabc（当且仅当abc时取“”）

基本不等式：1212nnaaaaaan，*nN，iaR，1in.

证明可用数学归纳法，二项式定理证明，这里证明省略；

柯西不等式：222222211221212nnnnabababaaabbb

,1,2,,iiabRin，等号当且仅当120naaa或iibka时成立（k为常数，1,2,,in）

证明：构造二次函数

2221122nnfxaxbaxbaxb

2222222121122122nnnnaaaxabababxbbb

《不等式的性质（1）》教学设计

一、引入

展示任务单的数据分析，向学生明确本堂课的教学内容。

二、预习检测

学生回答“什么是不等式的性质”

不等式的性质1

不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变

不等式的性质2

不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

不等式的性质3

不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

三、应用1：利用不等式的性质比较大小

小结：利用不等式的性质比较大小的一般思路：

利用不等式的性质将“已知”逐步化成“目标

（1）教师对任务单中错误率较高的题目进行讲解；

（2）设置类似的问题作为例题，并进行巩固训练和变式训练。

四、应用2：利用不等式的性质解不等式

（1）针对任务单中学生解不等式时在步骤中出现的问题，教师规范解题步骤；

（2）教师分享某位同学任务单中对“不等式的性质与等式性质的异同？”的回答，小组讨论利用不等式的性质解不等式步骤中需要注意的问题；

（3）学生综合范例和讨论结果，进行巩固训练和变式训练。

.2323,1的大小关系与判断】若【例baba.___,75752;___43431babababa则）若（，则）若（【巩固】.________112.______,)1()1(,1的取值范围是，则变形可得）由（的取值范围是则且）若（【巩固】kkxkxkbkakba.321242yy不等式：】利用不等式的性质解【例523221yy式：用不等式的性质解不等【巩固】bkakbkakba22221___1)1___()1(,②①则：【变式一】若.,的大小与试比较【变式二】若kbkaba

五、课堂小结

小组讨论分享：通过本节课的学习，“我知道了„„”“我掌握了„„”。

六、课堂检测

学生独立完成课堂检测，由数据反馈出本堂课的达成度

七、课后思考

布置课后思考题

.)26(35232212yyyy，化简已知【变式】.021）的大小（与，比较利用不等式性质aaa.022）的大小（与，比较利用不等式性质aaa