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双曲线知识点及经典题型

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双曲线知识点及经典题型

1. 双曲线的定义与基本性质

1.1 定义

双曲线是平面上一类特殊的曲线，它的定义可以通过焦点和准线来描述。给定两个不重合的点F和F’，以及一个与两个焦点的连线垂直且交于O点的直线l，双曲线是满足离心率e大于1的所有点P，使得PF’ - PF = 2a（其中a为常数）。

1.2 基本性质

• 双曲线有两条渐近线，分别与x轴和y轴平行。

• 双曲线有两个顶点V和V’，位于x轴上方和下方。

• 双曲线关于x轴和y轴对称。

• 双曲线在顶点处与x轴和y轴相切。

2. 双曲线的标准方程

双曲线有两种标准方程形式：横轴双曲线和纵轴双曲线。

2.1 横轴双曲线

横轴双曲线的标准方程为：

𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1

其中，a为实数且大于0，b为实数且大于0。

2.2 纵轴双曲线

纵轴双曲线的标准方程为：

𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1 其中，a为实数且大于0，b为实数且大于0。

3. 双曲线的图像及性质

3.1 横轴双曲线的图像及性质

横轴双曲线的图像呈现出两个分离的弧段，并以原点O为对称中心。离心率e越大，两个弧段越接近直线；离心率e越小，两个弧段越弯曲。横轴双曲线的渐近线方程分别为y = ±(b/a)x。

3.2 纵轴双曲线的图像及性质

纵轴双曲线的图像呈现出两个分离的弧段，并以原点O为对称中心。离心率e越大，两个弧段越接近直线；离心率e越小，两个弧段越弯曲。纵轴双曲线的渐近线方程分别为x = ±(b/a)y。

4. 双曲线的经典题型

4.1 确定双曲线方程

已知焦点F和F’，准线l以及顶点V的坐标，求双曲线的方程。

例题： 已知焦点F(3, 0)和F’(-3, 0)，准线l过原点O(0, 0)，顶点V位于x轴上方。求双曲线的方程。

解答： 首先，我们可以确定横轴双曲线的方程形式为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1。 根据焦点和准线的定义，焦距为𝑃𝐹′−𝑃𝐹=2𝑎，其中P为横轴双曲线上的任意一点。 由于焦点F和F’的横坐标相等，所以a = 3。 由于准线l过原点O(0, 0)，所以准线l的方程为y = kx（k为常数）。 将顶点V代入准线l的方程得到k = b/a。 因此，横轴双曲线的方程为𝑥29−𝑦29𝑏2=1。

4.2 求解双曲线与直线的交点

已知双曲线方程和直线方程，求解它们的交点坐标。

例题： 已知双曲线方程𝑥29−𝑦216=1和直线方程y = 3x + 4，求双曲线与直线的交点坐标。 解答： 将直线方程代入双曲线方程得到𝑥29−(3𝑥+4)216=1。 化简得到16𝑥2−144−144𝑥−256=0。 解这个二次方程得到x = -5或x = 4。 将x值代入直线方程得到y = -11或y = 16。 因此，双曲线与直线的交点坐标为(-5, -11)和(4, 16)。

4.3 求解双曲线的渐近线

已知双曲线的方程，求解它的渐近线方程。

例题： 求解双曲线𝑥225−𝑦216=1的渐近线方程。

解答： 横轴双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x。 将a = 5和b = 4代入得到渐近线方程为y = ±(4/5)x。

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双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)

双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)

双曲线专题

一、学习目标：

1.理解双曲线的定义；

2.熟悉双曲线的简单几何性质；

3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.

二、知识点梳理

定 义 1、到两个定点1F与2F的距离之差的绝对值等于定长（小于21FF）的点的轨迹

2、到定点F与到定直线l的距离之比等于常数1eee（＞1）的点的轨迹

标准方程 22ax22by=10,0ba 22ay22bx=10,0ba

图

形

性质 范围 ax或ax，Ry Rx，ay或ay

对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点

渐近线 xaby xbay

顶点

坐标 0,1aA，0,2aAbB,01，bB,02 aA,01，aA,020,1bB，0,2bB

焦点 0,1cF，0,2cF cF,01，cF,02

轴 实轴21AA的长为a2 虚轴21BB的长为b2

离心率 1ace，其中22bac

准线 准线方程是cax2 准线方程是cay2

三、课堂练习

1、双曲线方程为2221xy，则它的右焦点坐标为（ ）

A、2,02

B、5,02 C、6,02

D、3,0

1.解析：C

2.设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）

A．

﹣=1 B．

﹣=1

C．

﹣=1 D．

﹣=1

2.解析A：在椭圆C1中，由，得

椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），

曲线C2是以F1、F2为焦点，实轴长为8的双曲线，

故C2的标准方程为：﹣=1，

故选A．

3.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2=( )

双曲线知识点总结和典型习题

双曲线知识点总结和典型习题

1 1．双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F1F2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程 x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0) y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)

图形

性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R

对称性 对称轴：坐标轴

对称中心：原点

顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线 y＝±bax y＝±abx

离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)

a，b，c的关系 c2＝a2＋b2

实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；

线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；

a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．

设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略．

①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；②若2a＞|F1F2|，则点M的轨迹不存在；

③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？

提示 若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A<0，B>0，表示焦点在y轴上的双曲线．所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.

2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

双曲线专题知识点梳理(优秀经典专题练习及答案详解)

双曲线专题知识点梳理(优秀经典专题练习及答案详解)

双曲线专题

一、学习目标：

1.理解双曲线的定义；

2.熟悉双曲线的简单几何性质；

3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.

二、知识点梳理

定 义 1、到两个定点1F与2F的距离之差的绝对值等于定长（小于21FF）的点的轨迹

2、到定点F与到定直线l的距离之比等于常数1eee（＞1）的点的轨迹

标准方程 22ax22by=10,0ba 22ay22bx=10,0ba

图

形

性质 范围 ax或ax，Ry Rx，ay或ay

对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点

渐近线 xaby xbay

顶点

坐标 0,1aA，0,2aAbB,01，bB,02 aA,01，aA,020,1bB，0,2bB

焦点 0,1cF，0,2cF cF,01，cF,02

轴 实轴21AA的长为a2 虚轴21BB的长为b2

离心率 1ace，其中22bac

准线 准线方程是cax2 准线方程是cay2

三、课堂练习

1.椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值是( )

A.12 B．1或－2

C．1或12 D．1

2.已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．

3．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1||PF2|＝( )

A．2 B．4

C．6 D．8

4.已知双曲线的两个焦点F1(－10，0)，F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且MF1→·MF2→＝0，|MF1→|·|MF2→|＝2，则该双曲线的方程是( )

A.x29－y2＝1 B．x2－y29＝1

期末双曲线复习题

期末双曲线复习题

1 圆锥曲线习题——双曲线

班别 _________ 姓名 ___________ 序号________评分__________

一、选择题：

题号 1 2 3 4 5 6

7

8

选项

1、如果双曲线经过点P(6,3)，渐近线方程为13yx，则此双曲线方程为（ ）

22.1183xyA 22.19xBy

22.1819xyC 22.1369xyD

2、已知双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，实轴长为23，且两条渐近线的夹角为60，则双曲线方程为 （ ）

22.13xAy

22.139xyB

2222.111236124xyxyC或

2222.11339xxyDy或

3、双曲线的渐近线方程为xy43，则双曲线的离心率为（

）

A、35

B、25

C、25或315 D、35或45

4、已知双曲线的离心率为2，焦点坐标是（－4,0）（4,0），则双曲线的方程（ ）

A、112422yx B、141222yx C、161022yx D、110622yx

5、曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为 （ ）.

A．14 B．4 C．4 D．14

6．已知方程0,,0(022cbaabcbyaxabbyax其中和，它们所表示的 2 曲线可能是 （ ）

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

7、过点（2，－2）与双曲线2222yx有共同渐近线的双曲线方程是（ ）

A、－12422yx B、12422yxC、14222yx－D、14222yx

8、已知双曲线的两个焦点为)0,5(1F，)0,5(2F，P双曲线上一点，且21PFPF,221PFPF,则该双曲线的方程是 （ ）