张量分析第三章

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第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步

为了对张量有一个全面的了解，本章对一般曲线坐标系中的张量分析做一个初步的介绍。

3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量

在一般曲线坐标系中，由于必须要用两套基矢量，因此指标要分上标和下标，在正交曲线坐标系中经常用的ij应分为ij和ji，ijk也常分为ijk和ijk。

设给定曲线坐标(1q,2q,3q)，过空间任一点M沿每一坐标曲线可得一个切矢量，记为

iiqrg

ig是线性独立的矢量，在正交曲线坐标系中，选ig/ig为基矢量。由于ig的正交性，有ijjijigggg。而在一般曲线坐标系中，ig不一定是相互正交，但任选ig为基矢量（不为单位矢量），称为协变基矢量，在协变基矢量ig的基础上，我们还可以选ig，使得1g与2g，3g正交，且111gg，其他类似。ig也是一组基矢量，称为逆变基矢量，ig与ig是正交的，他们称为互逆基矢量。

我们令

jiijggg

jiijggg

iiijjjggggg

分别称为协变度量张量，逆变度量张量及混合度量张量。

由协变基矢量ig与逆变基矢量ig的正交性，有

ijjiijggg

逆变基矢量可以用协变基矢量表示，可以推出

jijiggg 2

因为

jjikijkijkikikgggggggg

同理有

jijiggg

可以看到协变度量张量和逆变度量张量起着升标和降标的作用。

注意，在这里我们用了约定求和，不过这里求和中的指标应是一个是上标，另一个是下标。

由于

jlillkjliklkjlikljlkikjiijgggggggggggggg)()(

可知ijg和ijg互为逆矩阵。

由于有两组基矢量，一个矢量a对于不同的基矢量有不同的分量，即

iiiigagaa

晶体物理性能

南京大学物理系

序言

由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如

力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，

都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤

波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多

年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域．

《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光

电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基

本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决

问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面

作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用．

鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为

线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各

种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学

参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称

性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，

我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容．

由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．

目录

第一章 张量的基础知识

§１．１标量、矢量和二阶张量„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„２

1 第三章 张量分析

将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变导数是另一个张量，这是张量分析发展中最重要的里程碑碑。张量的协变导数是本章讨论的重点。

§3.1 基矢量的偏导数与克里斯托费尔符号

求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乗积之和求导：

j,iiiij,j,iij,jgVgV)gV(VxV (3.1-1a)

ij,iij,ij,iigVgV)gV( (3.1-1b)

上式中的“，”号表示偏导数，本书以后均采用此记法。

（3.1-1a）、（3.1-1b）式中有基矢量ig和对偶基矢量ig对于曲线坐标jx的偏导数j,ig和ij,g。下面分别进行讨论。

一、基矢量ig的偏导数j,ig

由基矢量的定义[（1.4-4）式]可以写出

sjis2sisjj,iixxz)ixz(xg

这表示基矢量ig对于坐标jx的偏导数也是矢量，它也可以分解成沿对偶基矢量ig或基矢量ig方向的分量：

kkijkijkj,iggg （3.1-2）

式中ijk是j,ig沿kg方向的分量；kij是j,ig沿kg方向的分量。

从它们的意义可以理解，为什么ijk和kij中包含I,j,k三个指标。若用另一基矢量点乘（3.1-2）式，就得到

ijklkijlklijlkj,igggg (3.1-3a)

kijkllijkllijkj,igggg (3.1-3b)

ijk称为第一类克里斯托费尔（Christoffel）符号；kij称为第二克里斯托费尔符号。（3.1-2）式或（3.1-3）式都可以作为克里斯托费尓符号的定义。 2 二、克里斯托费尔符号的性质及其计算

1 各章要点

第一章：矢量和张量

指标记法：

哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和

自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上

协变基底和逆变基底：

kikiixrge jjiigg

iikkxge

123233112 gggggggggggg

张量概念

ii'i'igg i'i'iigg ikikjj

i'i'iivv ii'i'ivv i'j'i'j'klij..k'l'ijk'l'..klTT

iiiivvvgg ..klijijklTTgggg

度量张量

ijiiijiigGgggggg

vGGvvTGGTT

.jkjiikTTg

张量的商法则

lmijkT(i,j,k,l,m)SU ijk...lmT(i,j,k,l,m)T

置换符号

312n1n123niiiii123n1niii...iAaaa......aae

ijkLmnijk.L.m.naaaeeA

ijk.L.m.nijkLmnaaaeeA

置换张量 2 ijkijkijkijkεgggggg

ijkijkijk()egggg ijkijkijke()gggg

ijkijkijkijkabab()::()abggabεεab

广义符号

iiirstjjjijkijkijkrstrstrstrstkkkrstee

ijkjkjkjkiststtsst

ijkkijtt2