第八章 数学与哲学

数学与哲学

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数学与哲学

高 2014 级供给纲要：

数学和哲学相联合，一定具备两个条件：

一是精晓哲学，二是精通数学。而恩格斯作为马克思主义数学哲学的首创人之一，对数学有着深刻的认识，在两部著作中对数学哲学进行了深刻而精粹的论述，事实上好多大师在研究数学的过程用也运用了哲学的方法论。本论文联合古今数学思想以及此中包含的哲学思潮侧重于以三个方面：

数学哲学的萌芽，后现代数学的危机来商讨数学哲学的发展与应用。

这两个方面能够很好的指出数学哲学的历史进度，此中主要议论了精通数学的哲学大师们与应用哲学的数学家们的多次争辩，这也是本文商讨的主要基础。

一．数学哲学的萌芽

很早以来，在米索不达米亚的巴比伦和埃及就已经对与数学有了必定的认识，但是并未与哲学相联系，不过是数的运算与几何的简单认知。等到了希腊期间，人们的思虑更为深入，将数学与思辨进行了历史上的第一次交融。人来

把数学的抽象化科学归功于希腊人，这一重要贡献有其不行估计的意义和价值。在古希腊罗马期间，哲学还没有与其余学科明确分开，很多哲学家自己就是自然科学家，哲学与数学是一个学科，无疑它们是联系在一同的。并且这期间的哲学家商讨的主假如自然哲学和本体论问题，为了搞清客观世界及其原由和规律终究是什么，人们创建了数学方法、辩证法和逻辑，这是西方理性思想的萌芽期间。所以，西方哲学在古希腊出生的同时也就是西方科学精神的出生。与此同时，这些哲学家们在思虑自然科学识题的时候也就自但是然产生了哲学

的看法。同时这些看法是以学派的形式产生的，比如 pathagoras 学派 ,plato 学

派,eudoxus 学派 ,aristotle 学派，爱奥尼亚学派，巧辩学派等等。在这里我们这要集中在柏拉图以及毕达哥拉斯学派的思想研究上，因为这两个学派一方面在哲学与数学方面做出了巨大的贡献，另一方面后代学派对与他们多有模拟。

数学与哲学

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一、“万物皆数”观点的破灭与再生——第一次数学危机与实数理论 1、毕达哥拉斯学派：数是万物的本原。数产生万物，数的规律统治万物。 万物皆数，就是万物皆可用自然数或分数表示。

2、 毕达哥拉斯（也许是他的门徒）发现，2既不是自然数，也不是分数。

2又是什么?他是不是数？不是数，它为什么能表示确定的集合量？是

数，为什么求不出它的准确值。 3、任何两个分数无论多么近，居然还不能表示出线段上某些点的长度。

数的万能的力量被否定，这便是所谓第一次数学危机。（人们发现了无理

数，又不敢承认它是数） 4、电影实际上是由许多不同的画面构成的，它不是连续变化的，但因为相继的两个画面相差甚微，我们便以为它是连续的了。 莱布尼茨提出“连续性定律”，认为世界上的连续性是用无穷小量来定义

的一个理想概念。 5、戴德金与康托几乎同时提出了实数理论。

6、辩证法认为一切事物都包含着矛盾，即“一分为二”.也许，这正是因为事物的变化归根结底可以用数量的变化来描述。而数量变化，分解到每一

维上，无非是增加与减少。表现出来，当然是矛盾的双方，而不是三方或

多方。

二、那种几何才是真的 1、选择一些不加证明而承认下来的命题作为基本命题。把这些基本命题叫做公理或公设。公理是许多学科都用到的量的关系，如“与同一物相等的一

些物，它们彼此相等”，“全量大于部分”，等等。而公设则是专门为了几

何对象而提出的。有五条公理和五条公设。 2、公设：

①从一点到另一点可作一条直线； ②直线可以无限延长；

③已知一点和一距离，可以该点为中心，以该距离为半径作一圆；

④所有的直角彼此相等；

⑤若一直线与其他两直线相交，以致该直线一侧的两内角之和小于两直角，

则那两直线延伸足够长后笔相交与该侧。

三、变量无穷小量的鬼魂

1、赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二

次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。他用这个生动的

数学教学中的哲学思想教育

提要 纵观数学发展的历史可以看到，数学与哲学是相互渗透、相互联系、共同发展的。因此，我们在数学教育教学过程中，要引导学生用辩证唯物主义思想去认识事物，透过事物的现象揭示事物的本质。培养学生运用马克思主义哲学思想分析社会现象，研究经济规律，解决实际问题的能力。

关键词：数学与哲学；数学与生活

数学是人们在认识自然和改造自然的历史进程中，产生和发展起来的古老学科，哲学自诞生之日起就与数学结下了不解之缘。追溯起来可以发现，数学的发展需要科学的哲学思想指导，哲学的变化则需要数学的激发。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学进行深入研究的基础上，得出了“万物皆数”的著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，曾在他的哲学学校门口张榜声明，不懂几何学的人不要进他的哲学学校，并创立了数学上的“柏拉图主义”；20世纪后数学与哲学更加紧密的交织在一起发展变化，并且逐步达到了高峰。因此，在数学的概念、定义、定理、推论、公式、计算、证明和解析判断过程中，处处放射出哲学的思想光芒。我们在数学教育教学中要善于引导学生用马克思主义哲学的辩证唯物主义思想去认识事物，分析事物间的联系和事物的发展变化，透过现象揭示事物的本质。促进学生形成辩证唯物主义世界观和方法论，培养学生运用马克思主义哲学思想分析社会现象，研究经济规律，提高解决实际问题的能力。具体教学过程中，可以通过以下三种途径对学生进行哲学思想教育：

第一，纵观数学发生和发展历史，可以发现数学离不开生活，生活也离不开数学，数学知识源于社会实践而又指导社会实践。我们要把这一辩证唯物主义认识论的理念渗透到数学教育教学的各个环节。如在函数导数教学中，使学生正确理解导数概念是从：（1）求曲线在某点切线斜率；（2）求变速直线运动的物体某时刻的速度；（3）求质量非均匀分布的细杆任一点的线密度等问题中，经过由特殊到一般的分析综合，抽象出来的数学概念，并且使学生体会到研究了导数定义、性质和求法后，再用求导公式去求以上三个问题的解，显得十分简单。重要的是使学生体会到学习了定积分定义、性质和计算方法后，用微积分基本公式解以上三个问题，显得十分简单。再如，函数连续的概念是在函数极限理论的基础上建立起来的，学习了初等函数在定义域上的连续后，反过来又用函数连续性来求函数的极限。函数导数概念也是在极限理论后研究的，学习了微分中值定理和罗比达法则后，反过来可用导数求函数的极限并显得十分简单等，都能起到对学生进行理论来源于实践而又指导实践的教育作用。

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代数学的新生

18世纪末出现的数学悲观主义具有深刻的认识论背景．从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关，对自然的探索是数学研究最丰富的源泉，而几乎所有数学分支中那些最初的和最古老的问题都是由外部世界产生的．但是，数学的发展对于现实世界又表现出相对的独立性．一门数学分支或一种数学理论一经建立，人们便可在不受外部影响的情况下，仅靠逻辑思维而将它向前推进，并由此导致新理论与新思想的产生．因此，内在逻辑的需要也是数学进步的重要动力之一．数学悲观主义的出现恰恰表明，以揭示自然和宇宙的“数学设计”为己任的17、18世纪的数学家们过于将数学的进展与天文、力学的进展等同起来，对于数学靠内在逻辑需要推动而发展的前景则缺乏充分的预见．

实际上，就在18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革．当时数学家们面临一系列数学发展进程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：

1．高于四次的代数方程的根式求解问题；

2．欧几里得几何中平行公理的证明问题；

3．牛顿、莱布尼茨微积分算法的逻辑基础问题．

在19世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避．它们引起数学家们集中的关注和热烈的探讨，并导致了数学发展的新突破．与上世纪末人们的悲观预料完全相反，数学在19世纪跨入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期．以下我们就以代数、几何、分析这三大领域的变革为主要线索，分3章来介绍19世纪数学的发展．本章要介绍的是代数学中的革命性变化。

8.1 代数方程的可解性与群的发现

8.1.1 阿贝尔与一般五次方程的不可解性

我们曾在前面讲过，中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问．直到19世纪初，代数学研究仍未超出这个范围．不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上．我们知道，二次方程的解法古巴比伦人就已掌握．在中世纪，阿拉伯数学家又将二次方程的理论系统化．而三、四次方程的求解曾在文艺复兴时期的意大利引起数学家之间的激烈挑战并获得解决．接下来，数学家自然要考虑一般的五次或更高次的方程能否像二、三、四次方程一样来求解，也就是说对于形如