高中数学第一章解三角形1.2.2解三角形的实际应用举例_高度角度问题素养评价检测含解析5
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人教A版必修5
解三角形的实际应用举例——高度、角度问题
（20分钟 35分)
1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°,此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于 （ ）
A.240(+1) m B。180(—1） m C.120(—1） m D.30（+1) m
【解析】选C。如图，在△ACD中,∠CAD=90°-30°=60°，
AD=60 m，所以CD=AD·tan 60°=60（m)。
在△ABD中,∠BAD=90°—75°=15°，
所以BD=AD·tan 15°=60(2—)(m)。
所以BC=CD-BD=60—60(2-）=120(—1)(m）。
2.一艘客船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向上，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8海里,则灯人教A版必修5
塔S在B处的 （ ）
A。北偏东75°
B.南偏东15°
C。北偏东75°或南偏东15°
D。以上方位都不对
【解析】选C。根据题意画出示意图,如图,由题意可知AB=32×=16,BS=8，
∠A=30°.在△ABS中,由正弦定理得 =， sin S= ==，
所以S=45°或135°,
所以B=105°或15°,
即灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°。
3.如图,在O点测量到远处有一物体做匀速直线运动,开始时物体位于P点，1分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过1分钟，该物体位于R点,且∠QOR=30°,则tan∠OPQ的值为 ( ） 人教A版必修5
A。 B. C. D.3
【解析】选C.由题意知，PQ=QR,设其长为1，则PR=2。在△OPR中由正弦定理得=。
在△OQR中,由正弦定理得=，
则tan∠OPQ===。
4。如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C，D两个观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距500
m,则电视塔AB的高度是 ( )
A。100 m B。400 m C。200 m D.500 m
【解析】选D。设AB=x,在Rt△ABC中，∠ACB=45°,所以BC=AB=x；在Rt△ABD中,∠ADB=30°，所以BD=x.在△BCD中,∠BCD=120°，CD=500 m,由余弦定理得（x）2=x2+5002-2×500xcos
120°，解得x=500 m.
5。如图所示,为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角人教A版必修5
为75°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为 米.
【解析】在△ADC中,∠DAC=75°—30°=45°。
由正弦定理得AC==10,
所以AB=ACsin 75°=10×=5(+1）（米).
答案：5（+1）
6。如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上。
（1）求渔船甲的速度；
(2）求sin α的值.
【解析】（1）依题意,∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α，
在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2—2AB×AC×cos ∠人教A版必修5
BAC=122+202-2×12×20×cos 120°=784，解得BC=28, 所以渔船甲的速度为=14海里/小时。
（2)在△ABC中,因为∠BAC=120°，AB=12，BC=28,∠BCA=α，由正弦定理得=，
即sin α===，
所以sin α的值为。
（30分钟 60分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600
m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为( ）
A.200 m B。300 m C.400 m D.100 m
【解析】选B.如图所示,△BED,△BDC为等腰三角形,BD=ED=600，BC=DC=200。
在△BCD中,由余弦定理可得
cos 2θ==，
所以2θ=30°，4θ=60°。在Rt△ABC中， 人教A版必修5
AB=BC·sin 4θ=200×=300（m).
2.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时,一根长为2 m的竹竿如图所示放置（0°
A.15° B.30° C.45° D。60°
【解析】选B。设影子长为x m，竹竿与地面所成的角为α。由正弦定理得=，
得x=sin（120°—α）.因为30°<120°-α〈120°,
所以当120°-α=90°,即α=30°时,x有最大值.
即竹竿与地面所成的角是30°时,影子最长。
3。一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里,灯塔C在A的北偏西30°，距离为12海里,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的 （ )
A.正西方向 B。南偏西75°方向
C.南偏西60°方向 D。南偏西45°方向
【解题指南】利用方位角求出B的大小，利用正弦定理直接求解AD的距离,直接利用余弦定理求出CD的距离，然后求解∠CDA即可. 人教A版必修5
【解析】选C。如图,在△ABD中，因为在A处看灯塔B在游轮的北偏东75°的方向上,距离为12海里，AB=12.灯塔C在A的北偏西30°,距离为12海里,AC=12，
游轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，所以B=
180°-75°—60°=45°,由正弦定理 =，
所以AD===24海里;在△ACD中,AD=24，AC=12 ,∠CAD=
30°，由余弦定理可得CD2=AD2+AC2—2·AD·ACcos
30°=242+(12)2-2×24×12 ×=144，所以CD=12海里；
cos ∠CDA==.∠CDA=60°，
此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向.
4.(2020·珠海高一检测)如图,A，B两船相距10海里,B船在A船南偏西45°方向上，B船向正南方向行驶,A船以B船速度的倍追赶B船，A船若用最短的时间追上B船,A船行驶的角度为 （ ） 人教A版必修5
A。南偏西30° B.南偏西15°
C。南偏东30° D。南偏东15°
【解析】选B.由题意,设B船的速度为v,A船用最短的时间t在C处追上B船，可得△ABC中,AB=10,∠ABC=135°，BC=tv，AC=tv,
由余弦定理可得:（tv）2=（tv）2+102-2×10×tv×cos 135°，整理可得：(tv）2—10tv—100=0,解得tv=5+5,
可得BC=5+5,AC=10+10，
所以cos∠BAC= ==，
所以∠BAC=30°，可得A船行驶的角度为南偏西45°—30°=15°。
5.圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表"）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)。当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图,已知北京冬至正人教A版必修5
午太阳高度角(即∠ABC）为26。5°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC）为73。5°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长）为a，则表高(即AC的长)为 ( )
A。 B。 C. D.
【解析】选D.由题可知：∠BAD=73.5°-26。5°=47°，
在△BAD中，由正弦定理可知:=，即=，则AD=，又在△ACD中，=sin∠ADC=sin 73。5°,
所以AC=,故选：D。
二、填空题(每小题5分，共15分)
6。某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离,他站在地面C处，利用皮尺测得BC=9米,利用测角仪器测得仰角∠ACB=45°,测得视角∠ACD后通过计算得人教A版必修5
到sin∠ACD=，则AD的高度为 .
【解析】设AD=x，则BD=9-x,CD=，在△ACD中，由正弦定理得=，即=,所以2［92+(9—x)2］=26x2.整理得2x2+3x—27=0，即(2x+9)（x—3)=0，所以x=3（负值已舍去).
答案:3米
【补偿训练】
如图,要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分）,可在岸边一建筑物AB上进行有关的测量。已知AB=20米，且测出∠CAD=,∠ACB=,则灯塔CD的高度为 .
【解析】在Rt△ABC中,AC=
=20(米）.
在△ACD中,由正弦定理可知=,
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从而CD=。
又∠ADC=π—∠CAD—∠ACD=π-—=，
sin ∠ADC=sin=sin=，
所以CD==20(3—)(米).
答案:20（3—）米
7.如图所示,在山脚A测得山顶P的仰角为∠QAP=45°，沿倾斜角为∠QAB=15°的斜坡向上走146.4米到达B，在B测得山顶P的仰角为∠CBP=60°，则山高PQ=
(精确到0。1).
【解题指南】在△PAB中,可求得∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=146。4，∠ABP=135°，再利用正弦定理求得AP,从而可得山高PQ的长。
【解析】∠PAB=∠PAQ—∠BAQ=45°-15°=30°，∠APB=∠QPA-∠BPC=45°—(90°-60°)=15°.∠ABP=180°—（∠PAB+∠APB)=135°，
在△PAB中,由正弦定理得=,
即AP==
