利用导数处理最优化问题

1 利用导数处理最优化问题

在经济领域和日常生活中，人们总是追求投入最小、产出最大，以期达到最优化目标.导数是解决这类问题的得力工具——如果实际问题可以归结为求函数的最值问题，便可以应用导数来处理.

例1.某人在湖中划一小船，此刻离岸边最近的A处的距离为3km，如图3.4(7)—1.若现在他要尽快赶到岸边离A处6km的B处公干.设船速为3km/h，此人的步行速度为5km/h，问在离A处多远登岸，再弃船步行，能以最少时间赶到B处？

解：设在离A处xkm的C处登岸，再从C步行到B处，所用时间为

T(x)= √32+x23 + 6−x5 x∈[0，6]. ∵ T′(x)= x3√x2+9 − 15 ，

令T′(x)=0，解得5x-3√x2+9=0,⇒x=±2.25(负舍).

又∵ T(x)在区间[0，6]的端点及x=2.25处的函数值分别为T(0)=2.2，T(6)=5，T(2.25)=2.

答：在离A处2.25km的C处登岸再步行到B处，所用时间最少.

例2.在直径为1m的圆桌正上方安装一吊灯，桌面上各点的照度y=k∙sinφr2，其中r是吊灯与被照点间的距离，φ是光线与桌面的夹角，k为常数.为使桌面边缘最亮，吊灯应离桌面多高？

解：设吊灯离桌面中心的距离为x，桌面边缘照度为

f(x)= k∙sinφr2 =k∙ x(0.52+x2)32 =kx(0.52+x2)−32，x∈(0，+∞).

∵ f′(x)= k(0.52+x2)−32 - 32kx(0.52+x2)−52∙2x，

令f′(x)=0， 解得x= √0.25√2≈0.36. 注意到f(x)是单峰函数，

∴ 函数f(x)的极值点也是最值点，即x=0.36时，f(x)取得最大值.

答：离桌面高约为0.36m处安装吊灯可使桌边最亮.

例3.从椭圆 x2a2+y2b2 = 1形铁板中裁下四边平行于椭圆轴的矩形板材，其最大面积是多少？

解：设内接矩形在第一象限顶点坐标为(x，y)，则其面积

S(x)=4xy = 4bxa√a2−x2 ，(0

令S′(x)=0，得 a2−x2=x2，∴ x= √2a2. 由于S(x)在0

φ

图3.4(7)—2 小船 A

C

图3.4(7)—1 3km

x

B

2 值点，因此x0= √2a2是S(x)的最大值点.故

[S(x)]max=S(√2a2)=2ab.

说明：此题也可以设矩形的一个顶点坐标为P(acosθ，bsinθ)，则S(θ))=4abcosθsinθ

=2absin2θ≤2ab.来求解

例4.计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被圆心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit).为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于𝑛.为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．(1)是不是𝑟越小，磁盘的存储量越大？ (2)r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数. 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达R−rm.由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2πrn.所以，磁盘总存储量： f(r)=R−rm×2πrn= 2πrmn(R-r).

(1)它是一个关于r的二次函数，从解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大．

(2)∵ f′(r)=2πmn(R−2r)，令 f′(r)=0，解得r= R2，由单峰函数的特性知，

当r= R2时，磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为πR22mn.

例5.某企业拟建造如图3.4(7)—3的容器,(不计厚度.单位：米).

其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要

求容器的体积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用

仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3).设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.

解: (1)∵ 容积V=πr2l+43πr3，∴ l= V−43πr3πr2=803r2−43r=43(20r2−r)，由于l≥2r，得 0

∴ y=2πrl×3+4πr2c=4π(c-2)r2+160πr (0

(2)由(1)知，y′=8π(c−2)r−160πr2=8π(c−2)r2(r3−20c−2)，0

∵ c>3，∴ c−2>0，当r=√20c−23 时，y′=0. 令√20c−23 =m，m>0.

y′=8π(c−2)r2(r−m)(r2+rm+m2).

①当092时，r=m是函数的极小值点，也是最小值点. l

r

3.4(7)—3

3 ②当m≥2，即3

时，

r∈(0，2]时，y′<0，即函数为单减的函数，

∴ r=2是函数的最小值点.

综上所述，当392 时，r=√20c−23的建造费最少.

习题3.4(7)

1.铁路AB段之长为100km，在点A的正南方向40km的C处

有一工厂.要从B处运送物资到工厂C处，现计划在铁路

沿线选一点D修公路通向C.为使运费最省，D应选在何处？

已知铁路与公路单位里程运费之比为3:5. 如图3.4(7)—4.

2.两企业同在一条河的北侧，甲企业到河岸的垂直距离为AC=1km，

B企业到河岸的垂直距离为BD=2km，CD=3km.现计划在河岸M

处安装一台变压器供两企业使用，为使输电线路最短，问M应选

在何处？ 如图3.4(7)—5.

3.设过椭圆x2a2+y2b2 =1上点C的一条切线交x轴、y轴分别于A，B两点.求(S∆AOB)min.

4.用铁板做一个容积为128πm3的圆柱形有盖储油罐，为使用料最省，油罐的底部半径和高度分别是多少m?

5.某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费𝑡 (百万元)，可增加销售额约为−𝑡2+5𝑡 (百万元)(0≤𝑡≤5).

(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？

(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费𝑥百万元，可增加的销售额约为−13𝑥3+𝑥2+3𝑥 (百万元)；请设计一个资金分配方案，使公司由此获得的收益最大. (注：收益=销售额-投入资金).

6.设某物体一天中的温度𝑇(°𝐶)是时间𝑡(ℎ)的函数：𝑇(𝑡)=𝑎𝑡3+𝑏𝑡2+𝑐𝑡+𝑑(𝑎≠0)；𝑡=0表示12点，𝑡>0，表示12点以后，𝑡<0表示12点以前，若测得该物体在8点的温度为8°𝐶，12点的温度为60°𝐶，13点的温度为58°𝐶，并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率.

(1)写出该物体的温度𝑇与时间𝑡之间的函数表达式；

(2)该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点)，何时温度最高？最高值时多少？

【参考答案】 C M D B

A

图3.4(7)—5

A

C D B

图3.4(7)—4

4 习题3.4(7)

1.设AD=xkm. 则运费f(x)=5√x2+402+3(100−x)，(0≤x≤100). 求导后计算知x=12km.

2.设CM=xkm.则输电线总长s(x)=√1+x2+√4+(3−x)2 (0≤x≤3).计算得x=1km.可用导数求解，也可用对称求解.

3.设切点C(x0，y0)，则过点C的切线方程为x0xa2+y0yb2 =1，从而可得S∆AOB= a2b22x0y0.可用导数求解，也可以用椭圆的参数方程(三角代换)求解. (S∆AOB)min=ab.

4.设圆柱的底面半径为r，高为h. 则油罐的表面积S(r)=2πr2+256πr.可用求导，也可用均值不等式求解.r=4，h=8.

5.(1) 设投入𝑡 (百万元)的广告费后增加的收益为𝑓(𝑡) (百万元)，则𝑓(𝑡)=−𝑡2+5𝑡−𝑡=−𝑡2+4𝑡=−(𝑡−2)2+4(0<𝑡≤2).

∴ 当𝑡=2 (百万元)时，𝑓(𝑡)取得最大值4百万元

因此投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大.

(2)设用于技术改造的资金为𝑥 (百万元)，则用于广告促销的资金为(3−𝑥) (百万元)(0≤𝑥≤3)，设由此获得的利润为g(x)，则

g(x)=(−13x3+x2+3x)+[−(3−x)2+5(3−x)]−3=−13x3+4x+3(0≤x≤3)

∴ g′(x)=−x2+4，令𝑔′(𝑥)=0；解得：𝑥=2或𝑥=−2 (舍去).

当0≤𝑥<2时，𝑔′(𝑥)>0；当2<𝑥≤3时，𝑔′(𝑥)<0；

∴ g(x)在[0，2]上增函数，在[2，3]上是减函数，因此，当𝑥=2时，𝑔(𝑥)取得最大值.

所以，将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的利益最大.

6. (1)由题意得：{𝑇(−4)=8𝑇(0)=60𝑇(1)=58;∴{−64𝑎+16𝑏−4𝑐+𝑑=8𝑑=60

𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=58 ；∵ 该物体的温度在8点和16点有相同的变化率；T′=3at2+2bt+c;∴T′(−4)=T′(4);∴48a−8b+c=48a+8b+𝑐.

得b=0；将𝑏=0代入上述方程组得：𝑎=1,𝑏=0,𝑐=−3,𝑑=60；∴𝑇=𝑡3−3𝑡+60

(2) 由(1)得，𝑇′(𝑡)=3𝑡2−3=3(𝑡−1)(𝑡+1)(−2≤𝑡≤2)；令𝑇′(𝑡)=0得𝑡=±1

当𝑡变化时，𝑇′(𝑡)和𝑇(𝑡)的变化情况如下表：

𝑡 [−2,−1) −1 (−1,1) 1 (1,2]

𝑇′(𝑡) + 0 − 0 +

𝑇(𝑡)

可知𝑡=−1时是函数的极大值点，且极大值为𝑇(−1)=62;𝑡=1时是函数的极小值点，且极小值为𝑇(1)=58；

而函数在区间[−2,2]的端点函数值为𝑇(−2)=58,𝑇(2)=62；

∴ 当𝑡=2或−1时，𝑇(𝑡)取得最大值；即在11点、14点时物体的温度最高，最高温度为620C.