高中数学第二章平面向量章末测试B新人教A版
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学必求其心得，业必贵于专精
1 第二章平面向量
测评B
（高考体验卷)
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．(2013辽宁高考）已知点A(1，3),B（4，－1），则与向量eq \o(AB，\s\up6(→)）同方向的单位向量为( ）
A。eq \b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3，5),－\f(4,5）)） B.eq \b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（4,5)，－\f(3,5)）） C.eq \b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f（4,5)）） D。eq \b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f（3,5）））
2．（2013福建高考)在四边形ABCD中,＝（1,2),＝(－4，2），则该四边形的面积为( ）
A.eq \r(5) B．2eq \r（5) C．5 D．10
3．（2013安徽高考）在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|Oeq \o(A，\s\up6（→）)｜＝|Oeq \o（B,\s\up6（→））｜＝Oeq \o(A，\s\up6（→))·Oeq \o(B,\s\up6（→）)＝2,则点集{P｜Oeq \o(P，\s\up6(→）)＝λeq \o（OA，\s\up6(→））＋μeq \o(OB，\s\up6(→））,｜λ｜＋｜μ|≤1,λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )
A．2 B．2 C．4 D．4 学必求其心得，业必贵于专精
2
4．（2013陕西高考）已知向量a＝（1，m），b＝（m,2)，若a∥b，则实数m等于（ ）．
A．－ B。 C．－或 D．0
5．（2013大纲全国高考）已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥（m－n)，则λ＝( ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
6．（2013湖北高考)已知点A（－1，1)，B（1，2），C（－2,－1),D（3,4)，则向量在方向上的投影为( ）
A。eq \f(3\r（2）,2） B。eq \f（3\r（15）,2） C．－eq
\f(3\r（2），2） D．－eq \f(3\r(15），2)
7．（2013课标全国Ⅱ高考改编）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点,则·＝（ )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
8．（2013课标全国Ⅰ高考改编)已知两个单位向量a，b的夹角为60°,c＝ta＋(1－t）b。若b·c＝0，则t＝( )
A．1 B．－2 C．－1 D．2
9．(2012广东高考）若向量＝（2，3），＝（4,7)，则＝（ ）
A．(－2，－4) B．（2,4) C．(6,10） D．（－6,－10）
10．（2012重庆高考)设x，y∈R，向量a＝（x,1)，b＝（1，y)，学必求其心得，业必贵于专精
3 c＝（2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b｜＝（ ）
A。 B。 C．2 D．10
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）
11．（2013江苏高考）设D,E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC。若＝λ1＋λ2 （λ1，λ2为实数),则λ1＋λ2的值为__________．
12．（2013四川高考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ.则λ＝__________.
13．（2013江西高考)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．
14．（2013天津高考)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°,E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为 ．
15．（2013北京高考）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示,若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝__________。
三、解答题（本大题共4小题,共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（本小题6分）（2013山东高考改编）已知向量与的夹角为学必求其心得，业必贵于专精
4 120°，且｜｜＝3，|｜＝2，若＝λ＋，且⊥,求实数λ的值．
17．(本小题6分）(2013浙江高考改编)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B＝AB,且对于边AB上任一点P,恒有·≥·，求证AC＝BC.
18．（本小题6分）（2012江苏高考改编)如图，在矩形ABCD中,AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，求·的值．
19．(本小题7分)(2012上海高考改编)在平行四边形ABCD中，∠A＝,边AB，AD的长分别为2,1。若M，N分别是边BC，CD上的点,且满足＝，求·的取值范围． 学必求其心得，业必贵于专精
5 参考答案
1。 解析：与eq \o(AB,\s\up6(→）)同方向的单位向量为eq \f（\o（AB,\s\up6（→）），｜\o（AB,\s\up6（→）)｜)＝eq \f(3，－4，\r（32＋－42）)＝eq \b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)）)，故选A.
答案：A
2。 解析:因为·＝1×(－4)＋2×2＝0，所以⊥.又||＝eq \r（1＋22)＝eq \r(5)，｜|＝eq \r（－42＋22）＝eq \r(16＋4)＝2eq \r(5），S四边形ABCD＝｜||｜＝5。
答案：C
3。 解析：以Oeq \o(A，\s\up6（→）），Oeq \o(B，\s\up6(→)）为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A，B两点关于x轴对称,由已知｜Oeq \o（A，\s\up6(→)）｜＝|Oeq \o(B，\s\up6(→）)|＝Oeq \o(A，\s\up6(→))·Oeq \o(B,\s\up6（→）)＝2,可得出∠AOB＝60°，点A(，1),点B（，－1),点D(2，0)．
现设P（x，y），则由Oeq \o(P,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→）)＋μeq \o(OB，\s\up6(→）)得(x，y）＝λ(，1)＋μ（，－1),即eq \b\lc\{\rc\
（\a\vs4\al\co1（\r(3）λ＋μ＝x，，λ－μ＝y.)）
由于|λ｜＋|μ｜≤1，λ,μ∈R，
可得eq \b\lc\｛\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\r（3）≤x≤\r（3），，－1≤y≤1，）)学必求其心得，业必贵于专精
6 画出动点P（x,y）满足的区域为如图阴影部分，故所求区域的面积为2×2＝4.
答案：D
4。 解析：由a∥b知1×2－m2＝0，即m＝或－.
答案：C
5。 解析：由(m＋n)⊥（m－n）⇒｜m|2－|n｜2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2）2＋4]＝0⇒λ＝－3。故选B.
答案:B
6。 解析：由题意可知＝（2，1)，＝(5，5）,故在方向上的投影为eq \f（\o（AB，\s\up6(→))·\o（CD,\s\up6（→））,｜\o（CD,\s\up6(→))｜)＝eq \f(15，\r(50)）＝eq \f（3\r(2),2）。
答案：A
7。 解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为（0,0），点B的坐标为(2,0），点D的坐标为(0，2），点E的坐标为（1，2),则＝（1，2），＝（－2,2），所以·＝2.
答案：B
8。 解析：因为c＝ta＋（1－t）b，
所以b·c＝ta·b＋(1－t）｜b|2。 学必求其心得，业必贵于专精
7 又因为|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，
所以0＝t|a｜｜b|cos 60°＋（1－t)，
0＝t＋1－t.所以t＝2。
答案：D
9。 解析：因为＝（2,3)，＝(4，7)，
所以＝＋＝－
＝（2,3)－(4，7)＝(2－4，3－7)＝(－2，－4）．
答案：A
10. 解析:由a⊥c，得a·c＝2x－4＝0，解得x＝2。
由b∥c得＝，解得y＝－2，
所以a＝(2,1)，b＝（1，－2），a＋b＝(3，－1），|a＋b|＝,故选B.
答案：B
11。 解析：由题意作图如图．
因为在△ABC中，＝＋＝＋＝＋ （－）
＝－＋＝λ1＋λ2，
所以λ1＝－，λ2＝.故λ1＋λ2＝。
答案：
12。 解析:由平行四边形法则知＋＝＝2，
所以λ＝2。 学必求其心得，业必贵于专精
8 答案：2
13. 解析：因为a·b＝(e1＋3e2）·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×12×cos＝5，所以a在b上的射影为＝.
答案：
14．解析：如图所示，在平行四边形ABCD中,＝＋，＝＋Ceq \o（E,\s\up6(→）)＝－＋.
所以·＝(＋）·＝－｜|2＋||2＋·＝－||2＋｜|＋1＝1，解方程得｜|＝ (舍去｜｜＝0），所以线段AB的长为.
答案：
15。 解析:可设a＝－i＋j，i，j为单位向量且i⊥j，
则b＝6i＋2j，c＝－i－3j。
由c＝λa＋μb＝（6μ－λ）i＋(λ＋2μ)j，
所以解得所以＝4.
答案：4
16. 解:因为＝λ＋，⊥,又＝－，
所以（－）·（＋λ）＝0。
所以2＋λ·－·－λ2＝0，
即4＋(λ－1)×3×2×－9λ＝0，
即7－12λ＝0，所以λ＝. 学必求其心得，业必贵于专精
9 17. 解:设＝t （0≤t≤1），
所以Peq \o（C,\s\up6(→））＝＋＝t＋，
所以·＝（t)·（t＋)
＝t22＋t·。
由题意·≥·，
即t22＋t·≥·
＝eq \b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,4)))22＋eq \f（1，4）·，
即当t＝时·取得最小值．
由二次函数的性质可知：－＝，
即：－·＝2，所以·＝0。
取AB中点M，则＋＝＋＝，
所以·＝0，即AB⊥MC.
所以AC＝BC.
18。 解：由·＝得，
·（＋）＝，
即·＋·＝，
又因为⊥,所以·＝0，
所以·＝,
故·＝（＋）·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋·(－)＋｜|2＋0＝·－·＋2＝－
