行星轮减速器的数学建模

行星齿轮减速器的数学建模优化设计

行星齿轮减速器（简称为行星减速器）具有体积小、重量轻、传动比大等突出优点，是一种应用十分广泛的机械传动装置，亦多用于包装机械的传动系统。但是，这种减速器的设计计算比较复杂。

行星减速器的体积、重量及其承载能力主要取决于传动参数的选择。设计问题一般是在给定传动比和输入转矩的情况下，确定行星轮的个数、各轮齿数、模数和齿轮宽度等参数。由于行星减速器在结构上的特殊性，各齿轮的齿数不能任意选取，必须严格的按照一定的配齿条件进行计算。常规的设计方法是，先选择行星轮的个数，再按配齿条件进行配齿。这种配齿计算的结构不是唯一的，能获得多种配齿方案，设计者可根据其经验和结构布置，从中选择一组齿数方案，再按强度要求计算模数、齿宽等参数。在选择参数方案时，往往无明确的评价指标，如果要选择一个既能满足要求有比较好的设计方案，则必须从多种方案的大量计算中通过比较来选择。即使如此，亦不能保证得到最优的方案。因此，探讨行星减速器的优化设计，是一个具有实际意义的课题。

图1为应用最为广泛的单排HK2行星减速器（N G W型）的简图。其中，1、3为中心轮，2是行星轮，H为系杆。齿轮1为输入件，H为输出件。

已知：传动比64.4i，输入转矩mNT11171，齿轮材料均用SiMnMo38钢，表面淬火硬度5545HRC，选取行星轮个数3C，221Z，292Z，803Z,齿宽

mmb52，模数mmm5。

试按减速器获得最小体积准则确定该减速器的主要参数，要求传动比相对误差01.0i△。

行星减速器的结构简图

一．配齿计算的基本公式

行星减速器各轮齿数的关系必须同时满足下面四个条件：传动比条件、装配条件、同轴条件和邻接条件，此即所谓的配齿条件。这里，先按前三个条件列出配齿计算公式，以便建立目标函数，最后一个条件在涉及约束中考虑。

（1）传动比条件

由轮系运动学公式可知，单排HK2机构的传动比是

ZZi131

由此得齿数关系式之一

ZiZ13)(1 （1）

（2）装配条件

装配条件指C个行星轮应在同一圆周上均匀分布，而且同时与两个中心论1、3的轮齿正确啮合所必须满足的条件。按机械原理知识可写出

TCZZ31

式中，T为任意正整数。由此得齿数关系是之二

CTZZ31 （2）

（3）同轴条件

所谓同轴条件，是指齿轮1与齿轮3的轴心线必须在同一条直线上，即

ddd3212

由于相互啮合的齿轮必须具有相同的模数，本节只讨论标准齿轮，因此有齿数关系式之三

ZZZ3212 （3）

式（1）、式（2）、式（3）是配齿计算的基本公式。

二、优化设计数学模型

（1）设计变量

当行星轮个数C确定后，减速器的体积取决于齿轮的齿数ZZZ321、、，齿宽b和模数m。但各齿轮的齿数并不都是独立变量，而是受式（1）——式（3）的制约，对应于某一齿数，Z1只可能有一组齿数方案，故只能把Z1取作独立变量，于是该问题的设计变量是

xxxmbZX3211 （4）

（2）目标函数

若要求按减速器体积最小为设计准则，则可取中心轮1和行星轮2的体积和作为目标函数，即

bdCdV22214 （5）

式中 dd21，——分别为齿轮1，2的分度圆直径。

将 ZmdZmd2211，代入上式，并引入配齿关系式（2）和式（3），经整理得

CibZmV22122416 （6）

考虑到式（4），并将364.4Ci，代入式（6）中，建立起目标函数

xxxXf23221891.4 （7）

（3）约束条件

 齿面接触强度

该轮系中有一对外啮合齿轮和一对内啮合齿轮。由于后者的接触强度高于前者，放在齿面接触疲劳强度计算时只考虑外啮合副的接触强度条件作为设计约束，按齿面接触强度公式

321132.2HEudZZKTd

式中 ：

T1——齿轮1的输入转矩，mN

d——齿宽系数，dbd1；

H——齿轮的接触疲劳许用应力，MPa；

K——载荷系数。

若令2332.2HEUHZZKA，则强度公式可简化为

TAbmZH1221

于是得约束条件

01232211)(TAxxxXgH （8）

 齿根弯曲强度

若各齿轮的材料好及热处理均相同，则应考虑小齿轮1根部弯曲强度强弱，因此取其弯曲强度来建立约束条件。齿根弯曲疲劳强度计算公式为

32211FsFdYYZKTm

式中：

F——齿轮的弯曲疲劳许用应力，MPa；

FY——齿形系数，近似取为4.69—0.63InZ1；

sY——应力校正系数。

令FsFYKA2，则上式简化为

InZTAbmZF112163.069.4(）

于是得约束条件

063.069.4)()(1123212InxTAxxxXgF （9）

 行星轮的邻接条件

行星轮的邻接条件是指行星之间不应因互相碰撞而无法安装。

由图知，邻接条件应满足

Cadasin22

式中 ：

da2——行星轮齿顶圆直径， ；222hZmdaa

a——1,2两轮间的中心距， ZZma212。

0.1ha。

由于ZiZ12221，故邻接条件可写作

2sin22122211iZZi

于是得约束条件

0222sin22113)(xiCiXg （10）

（4） 其他界限约束

齿宽限制mmb10，有

01024)(xXg （11）

模数限制mmm2，即

0235)(xXg （12）

齿宽推荐范围：mbm175，故

05326)(xxXg （13）

017237)(xxXg （14）

小齿轮不发生根切，171Z，于是有

01718)(xXg （15）

从而建立了行星减速器优化设计的数学模型，它是一个具有8个不等式约束的三维非线性规划问题。

三． 优化方法及结果

本设计采用复合形法求解，复合形顶点数取6k，迭代终止精度410。初始复合型的一个顶点取自原设计方案的参数，它是一个可行点

552220X

其余顶点由随机法产生。通过设计，得连续型最优解为

3461.42585.535544.22X

36)(105028.2mmXf

四． 计算结果的分析与处理

上述连续型最优解需要离散化，齿数Z1必须取整，而且取整后的Z1与相应所取的Z2和Z3仍需满足配齿条件。为此要进行如下的配齿计算，对于齿轮1从无根切的最小齿数171Z开始，以后逐齿增加，按式（1）、式（2）、式（3）计算齿数，每得一组整数齿方案，要对传动比误差按下式

01.0△'iiii进行检验。

式中 ：i'——各齿数方案的实际传动比；

i——题目要求的传动比。

在检验过程中，将其中超误差线的方案舍弃，其余的保留，直到计算预先规定的n组为止。

计算过程及结果如表1所示。

表1 计算过程及结果

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1Z

2Z

3Z 18

24

66 22

29

80 26

34

94 27

36

99 30

36

108 31

41

113 35

36

127 36

48

132 39

51

141 40

53

146 41

55

151 43

56

155

对于前面所得的最优方案中，连续型齿数5544.221Z，在表11—1中与它上下相近的齿数是22和26；对于齿宽2588.53b，应圆整为53或54；对于模数461.3m，必须标准化，取4或4.5。将这些取整后的参数组合成组，并验证是否为可行解，如表2所示。

经过比较，应取方案1。即

221Z， mmb53， mmm5.4

由表1查的与221Z对应的292Z，803Z。按这个离散化的优化方案计算其最优值为

3623221)(10540.2891.4mmxxxXf

而原设计方案的目标函数值为：

mmXf6)(10077.30

表2 优化结果

序 号 Z1 mmb/ mmm/ 是否可行解 mmF/3

1

2

3

4

5

6

7

8 22

22

22

26

26

26

26

26 53

53

54

54

53

53

54

54 4.5

4.0

4.5

4.0

4.5

4.0

4.5

4.0 是

否

是

否

是

是

是

是 2.5406×610

2.5885×610

3.5484×610

2.8037×610

2.6153×610

2.8566×610