高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课后习题 新人教A版必修4

教学设计

3.2.1倍角公式

教材：人民教育出版社必修四 第三章3.2.1

一、教学目标：

1.知识与技能目标

（1）应用三角函数的和角公式推导出倍角公式.在推导过程中，进一步掌握变量替换的思想方法，渗透用已知解决未知问题的化归数学思想.

（2）初步掌握倍角公式公式，并能应用于求值、化简以及三角恒等式的证明.

（3）通过学习倍角公式的推导和初步应用，体会知识之间的有机联系，激发学习数学的兴趣.

2.过程与方法目标

通过倍角公式的探究过程，体验从已知到未知的研究方法，培养观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。通过公式的正用、逆用、变形用，以及“学生自主探究、合作探究，师生共究”的教学方式，使学生自觉地利用发展、变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.

3.情感、态度与价值观目标

通过倍角公式的推导过程，使学生获得发现问题、分析问题、解决问题的成就感，同时展现数学中的和谐美和奇异美。激发学生探究的兴趣，产生热爱数学的情感。并逐步养成科学严谨的学习态度，提高数学推理的能力。

二、教学重点与难点：

重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式2C的两种变形；

难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用.

三、教学方法与教学手段：

教学方法：波利亚说，教师讲了什么并非不重要，更重要千百倍的是学生想了些什么。为了达成教学目标，突出重点，突破难点，彰显关键点，本节课采用复习回顾、问题导引、观察、赋值、启发探究式相结合的教学方法，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中或得倍角公式，对于倍角公式采取讲、练结合的方式进行处理，使学生被学变练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆.

教学手段：使用导学案辅助教学，目标明确，学有所依，借助多媒体辅助教学，直观高效.

四、教学设计

第一环节：情境引入

教学过程 双边活动 设计意图

简单的三角恒等变换

第1页（共10页） 简单的三角恒等变换

学习过程

知识点1： 各个公式

熟练掌握诱导公式，两角和差的正弦、余弦、正切公式。

知识点2 ：三角恒等变换

主要包括：①角的变换——异角变同角

②名的变换——异名化同名

③式的变换——幂的升降等

典型例题

例题1、 求证2222tantan1cossin)sin()sin(．

分析：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.

证法一：左边＝22cossin)sincoscos)(sinsincoscossin

222222cossinsincoscossin

222222tantan1cossinsincos1右边

∴原式成立.

证法二：右边＝2222222222cossinsincoscossincossinsincos1

22cossin)sincoscos)(sinsincoscos(sin

22cossin)sin()sin(＝左边， ∴原式成立.

例题2、 已知：sinβ＝ｍ²sin(2α＋β)，求证：tan(α＋β)＝mm11tanα

分析：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一整体来处理.

证明：由sinβ＝msin(2α＋β)

sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]

sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝m[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα] 简单的三角恒等变换

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 §3 二倍角的三角函数

第1课时 二倍角公式及其应用

, )

1．问题导航

(1)倍角公式对任意角都成立吗？

(2)能否由S2α，C2α推出T2α？

(3)已知角α的某个三角函数值，能唯一确定角2α的三角函数值吗？

2．例题导读

P124例1，例2.通过此两例学习，学会正用倍角公式求值．

试一试：教材P125练习1T2、T3你会吗？

P125例3.解答本例应注意，在三角形的背景下研究问题，会

带来一些隐含条件，如0

试一试：教材P125练习1T4你会吗？

P125例4.通过此例学习，学会利用二倍角公式解决平面图形

的面积最值问题．

试一试：教材P129习题3－3 B组T5你会吗？

1．二倍角公式

名称 简记符号 公式 适用范围

二倍角的正弦公式

S2α sin 2α＝2sin_αcos_α

α∈R

二倍角的余弦公式 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α

＝1－2sin2α

＝2cos2α－1

二倍角的正切公式 T2α tan 2α＝2tan α1－tan2α α≠π2＋kπ，α≠

π4＋kπ2，

其中k∈Z

2.倍角公式的变形

(1)因为sin2α＋cos2α＝1，所以公式C2α可以变形为

cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；①

或cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.②

其中公式①称为升幂公式，②称为降幂公式．

(2)常用的两个变形：

(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋sin 2α，

(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－sin 2α. 小初高试卷教案类

K12小学初中高中

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )

(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )

三角恒等变换专题复习

一．要点精讲

1．两角和与差的三角函数

sincoscossin)sin(；

sinsincoscos)cos(； tantantan()1tantan。

2．二倍角公式

cossin22sin；

2222sin211cos2sincos2cos；

22tantan21tan。

3．半角公式

2cos12sin 2cos12cos

cos1cos12tan

（sincos1cos1sin2tan）

4.（1）降幂公式

2sin21cossin；22cos1sin2；22cos1cos2。

（2cos1sin22 2cos1cos22）

（2）辅助角公式

22sincossinaxbxabx，

2222sincosbaabab其中，。

5．三角函数式的化简、求值、证明

（1）三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

（2）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（3）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

二．典例解析

题型1：巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2()()，2()()，22，222等），