2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷(解析版)

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2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考

生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1．（4分）若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 ．

2．（4分）已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x﹣2，x∈R，x≠0}，则∁

UA＝ ．

3．（4分）若实数x，y满足xy＝1，则2x2+y2的最小值为 ．

4．（4分）若数列{a

n}的通项公式为a

n

＝（n∈N*），则a

n＝ ．

5．（4

分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦

点与抛物线y2＝20x的焦点相同，则此双曲线的方程是 ．

6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，

直线经过坐标原点，＝（3，1）是l的一个法向量．已

知数列{a

n}满足：对任意的正整数n，点（a

n+1，a

n）均在l上，若a

2＝6，则a

3的值为 ．

7．（5分）已知（2x2

﹣）n（n∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开

式中含项的系数是 ．（结果用数值表示）

8．（5分）上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表

所示：

等级 A+ A B+ B B﹣ C+ C C﹣ D+ D E

分数 70 67 64 61 58 55 52 49 46 43 40

上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得A+成绩，

其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的

人数至少为 人．

9．（5分）已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x+1），令

函数g（x）＝f（x）（x∈[1，2]），则g（x）的反函数为 ．

10．（5分）已知函数y＝sinx的定义域是[a，b]，值域是[﹣1，]，则b﹣a的最大值是 ．

11．（5分）已知λ∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）恰有2个零点，

则λ的取值范围是 ．

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12．（5分）已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1．直线l

1、l

2分别过圆心M、

N，且1

1与圆M相交于A，B两点，1

2与圆N相交于C，D两点，点P

是椭圆＝

1

上任意一点，则

+的最小值为 ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应

在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13．（5分）设θ∈R，则“θ

＝”是“sinθ

＝”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

14．（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相

垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体

积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积

为（ ）

A．16 B．16 C

． D

．

15．（5分）对于函数y＝f（x），如果其图象上的任意一点都在平面区域{（x，y）|（y+x）（y

﹣x）≤0}内，则称函数f（x）为“蝶型函数”，已知函数：①y＝sinx；②y＝，

下列结论正确的是（ ）

A．①、②均不是“蝶型函数”

B．①、②均是“蝶型函数”

C．①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”

D．①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数”

16．（5分）已知数列{a

n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S

n，若对任意的n∈N*，都

有S

n≥S

3

，则的值不可能为（ ）

A．2 B

． C

． D

．

三、解答题.

17．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1．

（1）正方体ABCD﹣A′B′C′D'中哪些棱所在的直线与直线A′B是异面直线？

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（2）若M，N分别是A'B，BC′的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．

18．（14分）已知函数f（x

）＝，其中a∈R．

（1）解关于x的不等式f（x）≤﹣1；

（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

19．（14分）我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆

弧AB，对应的圆心角∠AOB

＝，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内

的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）

在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．

（1）求海域ABCD的面积；

（2）现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B

点20海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．

20．（16

分）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的长轴长为2，右顶点到左焦点的距离为+1，直线l：y＝kx+m与椭圆Γ交于A，B两点．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆Γ于

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N

，，求k的值．

（3）若原点O到直线l的距离为1

，＝λ

，当时，求△OAB的面积S

的范围．

21．（18分）已知项数为n

0（n

0≥4）项的有穷数列{a

n}，若同时满足以下三个条件：

①a

1＝1，a＝m（m为正整数）；②a

i﹣a

i﹣1＝0或1，其中i＝2，3，……，n

0；

③任取数列{a

n}中的两项a

p，a

q（p≠q），剩下的n

0﹣2项中一定存在两项a

s，a

t（s≠t），

满足a

p+a

q＝a

s+a

t，则称数列{a

n}为Ω数列．

（1）若数列{a

n}是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{a

n}是否是Ω

数列，并说明理由．

（2）当m＝3时，设Ω数列{a

n}中1出现d

1次，2出现d

2次，3出现d

3次，其中d

1，

d

2，d

3∈N*．

求证：d

1≥4，d

2≥2，d

3≥4；

（3）当m＝2019时，求Ω数列{a

n}中项数n

0的最小值．

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2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考

生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1．【解答】解：由i•z＝1+2i，

得z

＝，

∴z的实部为2．

故答案为：2．

2．【解答】解：A＝（0，+∞）；

∴∁

UA＝（﹣∞，0]．

故答案为：（﹣∞，0]．

3．【解答】解：∵xy＝1，∴2x2+y2≥2＝2，（当且仅当2x＝y

＝±时，取等），

故答案为：2．

4．【解答】解：数列{a

n}的通项公式为a

n

＝

＝

﹣， 则a

n＝

（

﹣）＝﹣1．

故答案为：﹣1．

5．【解答】解：抛物线y2＝20x的焦点为（5，0），

则双曲线的焦点在x轴上，

双曲线的一条渐近线为y＝2x，可得b＝2a，

由题意双曲线的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，可得

＝5，

解得a＝，b＝2，

则双曲线的方程为：．

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故答案为：．

6．【解答】

解：直线经过坐标原点，＝（3，1）是l的一个法向量，

可得直线l的斜率为﹣3，

即有直线l的方程为y＝﹣3x，

点（a

n+1，a

n）均在l上，可得a

n＝﹣3a

n+1，

即有a

n+1

＝﹣a

n，

则数列{a

n}为公比q

为﹣的等比数列，

可得a

3＝a

2q＝6

×（﹣）＝﹣2．

故答案为：﹣2．

7．【解答】解：由题意，2n＝128，得n＝7．

∴（2x2

﹣）n＝（2x2

﹣）7，

其二项展开式的通项＝．

由14﹣3r＝﹣1，得r＝5．

∴展开式中含项的系数是．

故答案为：﹣84．

8．【解答】解：设取得A成绩的x人，取得B+成绩的y人，取得B成绩的z人，

则70×5+67x+64y+61z＝64×（5+x+y+z），

即z﹣x＝10，

又x，y，z∈N，

即当且仅当x＝0，y＝0，z＝10时，5+x+y+z取得最小值15，

取得A成绩的0人，取得B+成绩的0人，取得B成绩的10人，

这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为15人，

故答案为：15

9．【解答】解：当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，∴f（x）＝f（﹣x）＝lg（﹣x+1），

当1≤x≤2时，﹣1≤x﹣2≤0，∴f（x）＝f（x﹣2）＝lg[﹣（x﹣2）+1]＝lg（﹣x+3）．

∴g（x）＝lg（﹣x+3）（1≤x≤2），