高中数学高考专题26 排列组合、二项式定理(解析版)

专题26 排列组合二项式定理

命题规律 内 容 典 型

１ 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题 2020年高考全国Ⅰ卷理数8

２ 求二项式展开式的指定项或指定项系数 2020年高考全国Ⅲ卷理数14

３ 求二项式展开式中奇数项系数 2020年高考浙江卷12

４ 利用计数原理计算组合问题 2020年高考山东卷3

５ 利用计数原理计算排列组合的综合问题 2020年高考全国Ⅱ卷理数14

命题规律一 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题

【解决之道】利用二项式定理展开式的通项，列出关于所求项的指定项指数的方程，通过解不定方程，即可确定指定项，利用通项公式即可求出指定项系数，注意分类讨论.

【三年高考】

1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】25yxxxy的展开式中33xy的系数为 （ ）

A．5

B．10 C．15 D．20

【答案】C

【解析】5()xy展开式的通项公式为515rrrrTCxy（rN且5r），∴2yxx与5()xy展开式的乘积可表示为：56155rrrrrrrxTxCxyCxy或22542155rrrrrrrTCxyxCyyyxx，在615rrrrxTCxy中，令3r，可得：33345xTCxy，该项中33xy的系数为10，在42152rrrrTCxxyy中，令1r，可得：521332TCyxxy，该项中33xy的系数为5，∴33xy的系数为10515，故选C．

2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为（ ）

A．12 B．16 C．20 D．24

【答案】A

【解析】由题意得x3的系数为3144C2C4812，故选A．

命题规律二 求二项式展开式的指定项或指定项系数

【解决之道】解决此类问题，设指定项为二项式展开式的第r项，利用通项公式，列出关于r的方程，解出r，即可求出指定的系数.

【三年高考】

1.【2020年高考北京卷3】在52x的展开式中，2x的系数为 （ ）

A．5 B．5 C．10 D．10

【答案】C

【解析】由题意展开式的通项为Tr+1=𝐶5𝑟（x12）5−r(−2)𝑟==𝐶5𝑟(−2)𝑟𝑥5−𝑟2，令r=1得x2的系数为-10，故选C．

2.【2020年高考全国Ⅲ卷理数14】622xx的展开式中常数项是 （用数字作答）．

【答案】240

【解析】622xx，其二项式展开通项：62612rrrrCxxT1226(2)rrrrxCx1236(2)rrrCx，当1230r，解得4r，622xx的展开式中常数项是：664422161516240CC．故答案为：240．

3.【2020年高考天津卷11】在522xx的展开式中，2x的系数是_________．

【答案】10

【解析】因为522xx的展开式的通项公式为5531552220,1,2,3,4,5rrrrrrrTCxCxrx，令532r，解得1r．所以2x的系数为15210C．

4.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522xx的展开式中4x的系数为（ ）

A．10 B．20 C．40 D．80

【答案】C

【解析】由题可得522xx的展开式的通式为521031552CC2rrrrrrrTxxx，令1034r，

得2r，所以展开式中4x的系数为225C240．故选C．

5.【2019年高考浙江卷理数】在二项式9(2)x的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．

【答案】162 5

【解析】由题意，9(2)x的通项为919C(2)(0,1,29)rrrrTxr，当0r时，可得常数项为0919C(2)162T；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r=，有246810T, T, T, T, T共5个项．

6.【2018年高考浙江卷】二项式831()2xx的展开式的常数项是__________．

【答案】7

【解析】二项式8312xx的展开式的通项公式为8483318811CC22rrrrrrrTxxx，

令8403r得2r，故所求的常数项为2821C=72．故答案为：7．

7.【2018年高考天津卷理数】在51()2xx的展开式中，2x的系数为__________．

【答案】52

【解析】二项式51()2xx的展开式的通项公式为355215511CC22rrrrrrrTxxx，令3522r可得：2r，则2x的系数为：225115C10242．故答案为：52．

命题规律三 求二项式展开式中奇数项系数

【解决之道】解决此类问题，要熟记二项式展开式的系数性质，利用赋值法，即可列出二项式系数的方程（组），系数和即赋值1x，偶数项系数和减去奇数项系数和即赋值1x，通过解方程即可求出偶数项（奇数项）系数和.

【三年高考】

1.【2020年高考浙江卷12】设2345123455612xaaxaxaxaxax，则5a ；123aaa ．

【答案】80；51

【解析】由题意可知5a表示4x的系数，即4455280aC，11a，125210aC，2235240aC，∴12351aaa．

命题规律四 利用计数原理计算组合问题

【解决之道】排列组合问题常见解法:

（1）元素分析法：在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。

(2）位置分析法：在解有限定位置的排列问题时，首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法。

（3)间接法：又叫排除法，在解有限定条件的排列问题时，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数。

(4)树图法：又称框图法，用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数。适合限定条件在3个以上，排列组合问题。

（5）逐一插入法：若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端。

（6）消序法：若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序。

（7）优序法：若干元素必须按照特定的顺序排列的问题，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。

（8）捆绑法：若某些元素必须相邻，先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。

（9)插空法：若某些元素不相邻，先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素。

(10). 查字典法：对数的大小顺序排列问题常用此法。（1）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出来；（2）再找下一位数字。

(11)分组问题：①若各组元素个数均不相同，则逐组抽取。

②若其中有若干组元素个数相同，则逐组选取，因元素个数相同，所以组间无差别，故除以元素个数相同组数的全排列以消序。

【三年高考】

1.【2020年高考山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 （ ）

A．120种 B．90种 C．60种 D．30种

【答案】C

【思路导引】利用分步计算原理，结合组合数的计算，计算出不同的安排方法．

【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去并场馆，故不同的安排方法共有126561060CC种，故选C．

2.【2020年高考上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．

【答案】180

【解析】按照先选再排的方法可知共有411643180CCC种方法．

3.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）

【答案】16

【解析】根据题意，没有女生入选有34C4种选法，从6名学生中任意选3人有36C20种选法，

故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416种，故答案为：16．

命题规律五 利用计数原理计算排列组合的综合问题

【解决之道】排列组合综合问题：应先取后排；较复杂的排列组合问题，如含“至多”、“至少”、多个限定条件问题，注意分类讨论。

【三年高考】

1.【2020年高考全国Ⅱ卷理数14】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．

【答案】36

【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，先取2名同学看作一组，选法有：246C，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636种，故答案为：36．

2.【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)

【答案】1260

【解析】若不取0，则排列数为224534CCA；若取0，则排列数为21135333CCAA，因此一共可以组成224534CCA21135333CCAA1260个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．