2018陕西高考理科数学试题及答案
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2018陕西高考理科数学试题及答案
C．3ii
D．4ii
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．112 B．114 C．115 D．118
9．在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为
A．15 B．56 C．55 D．22
10．若()cossinfxxx在[,]aa是减函数，则a的最大值是
A．π4 B．π2 C．3π4 D．π
11．已知()fx是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx．若(1)2f，则
(1)(2)(3)(50)ffff…
A．50 B．0 C．2 D．50
12．已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率
为36的直线上，12PFF△为等腰三角形，12120FFP，则C的离心率为
A． 23 B．12 C．13 D．14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为__________．
14．若,xy满足约束条件25023050xyxyx，，， 则zxy的最大值为__________．
15．已知sincos1αβ，cossin0αβ，则sin()αβ__________．
16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a，315S．
（1）求{}na的通项公式；
（2）求nS，并求nS的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1217，，…，）建立模型①：ˆ30.413.5yt；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5yt．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．学科*网
19．（12分）
设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||8AB．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
20．（12分）
如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．
（1）证明：PO平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
21．（12分）
已知函数2()exfxax．
（1）若1a，证明：当0x时，()1fx； PAOCBM
（2）若()fx在(0,)只有一个零点，求a．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos4sinxθyθ，（θ为参数），直线l的参数方程为
1cos2sinxtαytα，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数()5|||2|fxxax．
（1）当1a时，求不等式()0fx的解集；
（2）若()1fx，求a的取值范围．
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
参考答案:
一、选择题
1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A
7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D
二、填空题
13.2yx 14.9 15.12 16.402π
三、解答题
17. (12分)
解：（1）设{}na的公差为d，由题意得13315ad.
由17a得d=2.
所以{}na的通项公式为29nan.
（2）由（1）得228(4)16nSnnn.
所以当n=4时,nS取得最小值,最小值为−16.
18.(12分)
解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ30.413.519226.1y(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ9917.59256.5y(亿元).
（2）利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5yt上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投
资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ9917.5yt可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网
（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.(12分)
解：（1）由题意得(1,0)F，l的方程为(1)(0)ykxk.
设1221(,),(,)AyxyxB，
由2(1),4ykxyx得2222(24)0kxkxk.
216160k，故122224kxkx.
所以122244||||||(1)(1)xkABAFBFkx.
由题设知22448kk，解得1k（舍去），1k.
因此l的方程为1yx.
（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx.
设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则
00220005,(1)(1)16.2yxyxx解得003,2xy或0011,6.xy
因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy.
20.(12分)
解：（1）因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且23OP.
连结OB.因为22ABBCAC，所以ABC△为等腰直角三角形，
且OBAC，122OBAC.
由222OPOBPB知POOB.
由,OPOBOPAC知PO平面ABC.
（2）如图，以O为坐标原点，OBuuur的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),OBACPAPuuur取平面PAC的法向量(2,0,0)OBuuur.
设(,2,0)(02)Maaa，则(,4,0)AMaauuur.
设平面PAM的法向量为(,,)xyzn.
由0,0APAMuuuruuurnn得2230(4)0yzaxay，可取(3(4),3,)aaan，
所以22223(4)cos,23(4)3aOBaaauuurn.由已知得3|cos,|2OBuuurn.
所以22223|4|3=223(4)3aaaa.解得4a（舍去），43a.
所以83434(,,)333n.又(0,2,23)PCuuur，所以3cos,4PCuuurn.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.
21．（12分）
【解析】（1）当1a时，()1fx等价于2(1)e10xx．
设函数2()(1)e1xgxx，则22()(21)e(1)exxg'xxxx．
当1x时，()0g'x，所以()gx在(0,)单调递减．
而(0)0g，故当0x时，()0gx，即()1fx．
（2）设函数2()1exhxax．
()fx在(0,)只有一个零点当且仅当()hx在(0,)只有一个零点．
（i）当0a时，()0hx，()hx没有零点；
（ii）当0a时，()(2)exh'xaxx．
当(0,2)x时，()0h'x；当(2,)x时，()0h'x．
所以()hx在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增．
故24(2)1eah是()hx在[0,)的最小值．学&科网
①若(2)0h，即2e4a，()hx在(0,)没有零点；
②若(2)0h，即2e4a，()hx在(0,)只有一个零点；
③若(2)0h，即2e4a，由于(0)1h，所以()hx在(0,2)有一个零点，
由（1）知，当0x时，2exx，所以
